擬合與插值問題的提出在一些實(shí)際問題中，有時(shí)只知道未知函數(shù)y=f(x)在有限個(gè)點(diǎn)x0,x1,…,xn上的值f(x0),f(x1),…,f(xn)，這相當(dāng)于已知一個(gè)數(shù)表然后根據(jù)表中的數(shù)據(jù)來構(gòu)造一個(gè)簡單的函數(shù)p(x)作為未知函數(shù)f(x)的近似函數(shù)，去參與有關(guān)f(x)的運(yùn)算，這類問題稱為數(shù)據(jù)逼近問題.擬合插值目錄CONTENTS多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式擬合擬合問題引例1溫度t(0C)20.532.751.073.095.7電阻R()7658268739421032已知熱敏電阻數(shù)據(jù)：求：（1）電阻R與溫度t的關(guān)系（2）600C時(shí)的電阻R。

設(shè)

R=at+ba,b為待定系數(shù)擬合問題引例2求血藥濃度隨時(shí)間的變化規(guī)律c(t).作半對數(shù)坐標(biāo)系(semilogy)下的圖形已知一室模型快速靜脈注射下的血藥濃度數(shù)據(jù)(t=0注射300mg)曲線擬合已知平面上若干個(gè)點(diǎn)，求一個(gè)較簡單的函數(shù)（曲線）,使盡可能的靠近數(shù)據(jù)點(diǎn)，在某種意義下達(dá)到最優(yōu)。

稱為擬合函數(shù)。曲線擬合的一般提法使殘差的平方和最小，即為點(diǎn)與曲線的距離,近似函數(shù)求得的近似值與觀測值

之差稱為殘差+++++++++xy最小二乘法最小二乘法與曲線擬合（1）直線擬合設(shè)已知數(shù)據(jù)點(diǎn)（xi,yi)i=1,2,…n,分布大致為一條直線

作擬合直線：該直線不是通過所有的數(shù)據(jù)點(diǎn)，而是使誤差平方和最小最小二乘法與曲線擬合

其中每組數(shù)據(jù)與擬合曲線的誤差為：誤差平方和

故最小二乘法與曲線擬合

即得擬合曲線最小二乘法與曲線擬合（2）多項(xiàng)式擬合

有時(shí)所給數(shù)據(jù)點(diǎn)的分布并不一定近似地呈一條直線，這時(shí)可用多項(xiàng)式擬合給定數(shù)據(jù)點(diǎn)（xi,yi)i=1,2,…n,設(shè)擬合多項(xiàng)式為：最小二乘法與曲線擬合擬合多項(xiàng)式與數(shù)據(jù)點(diǎn)之間的距離平方和為

使得取極小值——多元函數(shù)的極值問題最小二乘法與曲線擬合令得

多項(xiàng)式擬合

p=polyfit（x，y，n）Matlab多項(xiàng)式擬合命令poly2str(p,‘x’)將多項(xiàng)式表示成習(xí)慣的形式。是多項(xiàng)式系數(shù)，字符為自變量polyval（p，X）按數(shù)組規(guī)則計(jì)算處多項(xiàng)式的值功能:將給定向量對應(yīng)的作為數(shù)據(jù)點(diǎn)，擬合成次多項(xiàng)式；向量具有相同的維數(shù)；為多項(xiàng)式的系數(shù)向量功能:功能:多項(xiàng)式擬合——擬合函數(shù)為多項(xiàng)式x=1:.1:2;y=[2.1,3.2,2.1,2.5,3.2,3.5,3.4,4.1,4.7,5.0,4.8];p2=polyfit(x,y,2)p3=polyfit(x,y,3);p7=polyfit(x,y,7);disp(‘二次擬合函數(shù)'),f2=poly2str(p2,'x')disp(‘三次擬合函數(shù)'),f3=poly2str(p3,'x');disp(‘七次擬合函數(shù)'),f7=poly2str(p7,'x');x1=1:.01:2;y2=polyval(p2,x1);y3=polyval(p3,x1);y7=polyval(p7,x1);plot(x,y,'rp',x1,y2,'--',x1,y3,'k-.',x1,y7);例多項(xiàng)式擬合p2=1.3869-1.26082.141二次擬合函數(shù)f2=1.3869x^2-1.2608x+2.141多項(xiàng)式擬合溫度t(0C)20.532.751.073.095.7電阻R()7658268739421032引例1.由數(shù)據(jù)擬合R=a1t+a2得到a1=3.3940,a2=702.4918t=[20.532.7517395.7];r=[7658268739421032];p1=polyfit(t,r,1)disp('一次擬合函數(shù)'),f1=poly2str(p1,'x')x1=20:100;y1=polyval(p1,x1);plot(t,r,'r+')holdonplot(x1,y1,'b')xlabel('溫度t(^{0}C)'),ylabel('R(\Omega)')擬合應(yīng)用——人口預(yù)測

下表是1971年到1990年我國總?cè)丝诘慕y(tǒng)計(jì)數(shù)字，試根據(jù)1971年到1985年這15年人口的統(tǒng)計(jì)數(shù)字用多種方法預(yù)測未來20年的人口數(shù)字，并比較1986年到1990年間預(yù)測人口數(shù)字與實(shí)際統(tǒng)計(jì)數(shù)字的差異，在你所使用的幾種預(yù)測方法中找出一種較為合理的預(yù)測方法。年份人口統(tǒng)計(jì)數(shù)字年份人口統(tǒng)計(jì)數(shù)字19718.5229198110.007219728.7177198210.165419738.9211198310.300819749.0859198410.435719759.2420198510.585119769.3717198610.750719779.4974198710.930019789.6259198811.102619799.7542198911.270419809.8705199011.4333擬合應(yīng)用——人口預(yù)測年份統(tǒng)計(jì)數(shù)字3次擬合4次擬合

年份統(tǒng)計(jì)數(shù)字3次擬合4次擬合19718.52298.52638.5143

198911.270411.432911.112919728.71778.72788.7329

199011.433311.700311.205819738.92118.91058.9209

1991

11.996511.270419749.08599.07719.0855

1992

12.324211.299119759.2429.23019.2331

1993

12.685911.28319769.37179.37229.3692

1994

13.084411.212819779.49749.50619.4987

1995

13.522211.07819789.62599.63449.6254

1996

14.002110.867619799.75429.75989.7524

1997

14.526610.569619809.87059.88489.8818

1998

15.098410.171198110.007210.012210.0152

1999

15.72019.6583198210.165410.144610.153

2000

16.39449.017198310.300810.284610.295

2001

17.1248.2316198410.435710.434810.44

2002

17.91147.2861198510.585110.59810.5861

2003

18.75946.1633198610.750710.776810.7305

2004

19.67054.8455198710.9310.973710.8695

2005

20.64753.3139198811.102611.191510.9987

人口預(yù)測——多項(xiàng)式擬合擬合應(yīng)用——人口預(yù)測人口模型——Malthus模型1）設(shè)p(t)表示t時(shí)刻的人口數(shù)，且p(t)連續(xù)可微；2）人口的增長率r是常數(shù)（增長率=出生率-死亡率）；3）人口數(shù)量的變化是封閉的，即人口數(shù)量的增加與減少只取決于人口中個(gè)體的生育和死亡，且每一個(gè)體都具有同樣的生育能力與死亡率。由假設(shè)，t時(shí)刻到時(shí)刻人口的增量為：即：解得：……（1）模型假設(shè)模型建立擬合應(yīng)用——人口預(yù)測兩邊同取對數(shù)得：令：則（*）式變?yōu)椋骸?.（*）

當(dāng)擬合函數(shù)是非線性時(shí)，稱為非線性擬合。對于非線性擬合，常用的方法是采取數(shù)據(jù)線性化技術(shù)來擬合各種曲線。按線性擬合解出后再還原為原變量所表示的曲線擬合方程?？苫癁榫€性擬合的非線性擬合Malthus模型模型求解擬合應(yīng)用——人口預(yù)測t=1971:1985;pt=[8.5229,8.7177,8.9211,9.0859,9.2420,9.3717,9.4974,9.6259,9.7542,9.8705,

10.0072,10.1654,10.3008,10.4357,10.5851]y=log(pt);p=polyfit(t,y,1);

tt=1970:2005;f1=polyval(p,tt);y1=exp(f1);

ts=1971:1990;ys=[8.5229,8.7177,8.9211,9.0859,9.2420,9.3717,9.4974,9.6259,9.7542,9.8705,

10.0072,10.1654,10.3008,10.4357,10.5851,10.7507,10.9300,11.1026,11.2704,11.4333];plot(ts,ys,'rp',tt,y1)擬合應(yīng)用——人口預(yù)測結(jié)果分析：Malthus模型的結(jié)果說明：人口以指數(shù)規(guī)律將無限增長。事實(shí)上，任何地區(qū)的人口都不可能無限增長，指數(shù)模型不能描述和預(yù)測較長時(shí)期的人口演變過程。這是因?yàn)?，隨著人口的增長，自然資源和環(huán)境條件等因素對人口增長的限制作用越來越顯著。如果人口較少，人口增長較快，人口的自然增長率可以看做常數(shù)，當(dāng)人口到一定數(shù)量時(shí)，這個(gè)增長率就要隨著人口增長而減少，于是應(yīng)該對指數(shù)增長模型關(guān)于人口增長率的假設(shè)進(jìn)行修改。可化為線性擬合的非線性擬合例：給定如下數(shù)據(jù)：x=[1.001.502.002.503.003.504.004.505.005.506.006.507.007.508.008.509.009.5010.00]y=[3.024.226.096.987.627.668.709.039.919.9710.4710.4410.7211.3810.9011.1911.4611.9012.54]

已知模型為y=a+bln(x)，要求根據(jù)數(shù)據(jù)求擬合函數(shù)，畫出數(shù)據(jù)點(diǎn)與擬合函數(shù)的圖像?？苫癁榫€性擬合的非線性擬合解：令X=ln(x)，則y=a+bln(x)可轉(zhuǎn)化為線性模型：y=a+bXx=[1.001.502.002.503.003.504.004.505.005.506.006.507.007.508.008.509.009.5010.00];y=[3.024.226.096.987.627.668.709.039.919.9710.4710.4410.7211.3810.9011.1911.4611.9012.54];X=log(x);p=polyfit(X,y,1)p=3.96133.0876所以擬合系數(shù)b=3.9613,a=3.0876可化為線性擬合的非線性擬合擬合系數(shù)b=3.9613,a=3.0876所以擬合函數(shù)為y=3.0876+3.9613ln(x)，畫圖如下：%畫圖————————————x0=1:0.1:10;y0=3.9613*log(x0)+3.0876;plot(x0,y0,x,y,'o')可化為線性擬合的非線性擬合可化為線性擬合的非線性擬合可化為線性擬合的非線性擬合可化為線性擬合的非線性擬合作業(yè)1、分別用2、3、4、6階多項(xiàng)式擬和函數(shù)y=cos(x),并做出擬和曲線與函數(shù)曲線y=cos(x)進(jìn)行比較。2、在鋼線碳含量對于電阻的效應(yīng)的研究中，得到以下數(shù)據(jù)。分