優(yōu)化目錄CONTENTS簡單優(yōu)化1產(chǎn)銷量的最佳安排2再談擬合3優(yōu)化01

目標函數(shù)標準形式：

優(yōu)化問題是工程技術(shù)、經(jīng)濟管理和科學研究等領(lǐng)域中最常遇到的一類問題

設計師要在滿足強度要求等條件下選擇材料的尺寸，使結(jié)構(gòu)總質(zhì)量最輕;公司經(jīng)理要根據(jù)生產(chǎn)成本和市場需求確定產(chǎn)品價格，使所獲利潤最高;調(diào)度人員要在滿足物資需求和裝載條件下安排從各供應點到各需求點的運量和路線，使運輸總費用最低;投資者要選擇一些股票、債券"下注"，使收益最大，而風險最小……

優(yōu)化問題歸結(jié)為求函數(shù)極值問題011、fminbnd函數(shù)（求解一元函數(shù)優(yōu)化問題，局部最優(yōu)）

命令格式：[xmin,ymin]=fminbnd(f,a,b),ymin為極小值[xmin,ymin,exitflag,output]=fminbnd(f,a,b)優(yōu)化過程的信息：iterations(迭代次數(shù)),funcCount(函數(shù)計算次數(shù)),algorithm(算法：黃金分割法，拋物線法),message(退出消息)返回函數(shù)fminbnd的求解狀態(tài)（成功或失?。﹛min=fminbnd(f,a,b),求函數(shù)f在區(qū)間[a,b]上的極小值，其中f是用來求極值的函數(shù)，可以是函數(shù)名，也可以是函數(shù)表達式。xmin為極小值點。簡單優(yōu)化01

黃金分割法

思考：如何縮小搜索區(qū)間的范圍？簡單優(yōu)化01

黃金分割法

黃金分割點

簡單優(yōu)化01

黃金分割法的步驟

1.確定初始搜索區(qū)間[a,b]

簡單優(yōu)化01例1：求函數(shù)的極值。

[xmin,ymin]=fminbnd('x.^3+x.^2-5*x-5',-5,5)運行結(jié)果：xmin=1.0000,ymin=-8.0000[x2,y2]=fminbnd('-(x.^3+x.^2-5*x-5)‘,-5,5)ymax=-y2運行結(jié)果：極大值點x2=-1.6667,極大值為ymax=1.4815因此，函數(shù)y在[-5,5]上的極小值為-8，極大值為1.4815。

簡單優(yōu)化簡單優(yōu)化01[xmin,ymin]=fminbnd('sin(2*x+1)+2*sin(4*x+3)',-3,3)運行結(jié)果：xmin=1.9832,ymin=-2.9640求所有極小值點：例2：求函數(shù)在區(qū)間的極小值。

[xmin1,ymin1]=fminbnd('sin(2*x+1)+2*sin(4*x+3)',-1.5,-1)[xmin2,ymin2]=fminbnd('sin(2*x+1)+2*sin(4*x+3)',0,1)[xmin3,ymin3]=fminbnd('sin(2*x+1)+2*sin(4*x+3)',1.5,2.3)[xmin4,ymin4]=fminbnd('sin(2*x+1)+2*sin(4*x+3)',-3,-2.2)思考：為什么只求出一個極小值？012、fminunc函數(shù)（求解一元函數(shù)及多元函數(shù)的極小值，局部最優(yōu)）標準形式：

求解的基本思想：迭代法思考：如何快速找到最低點(谷底)？1、初值簡單優(yōu)化012、fminunc函數(shù)標準形式：

2、方向求解的基本思想：迭代法思考：如何快速找到最低點(谷底)？1、初值簡單優(yōu)化012、fminunc函數(shù)標準形式：

3、步長第k步的搜索方向第k步的步長方向不同，或步長不同，對應著不同的數(shù)值方法。求解的基本思想：迭代法2、方向思考：如何快速找到最低點(谷底)？1、初值常見的方法有：梯度下降法、最速下降法、牛頓法、擬牛頓法等。簡單優(yōu)化012、fminunc函數(shù)梯度下降法：負梯度方向初始點：初始點：簡單優(yōu)化012、fminunc函數(shù)梯度下降法：負梯度方向步長：……簡單優(yōu)化012、fminunc函數(shù)梯度下降法：負梯度方向03611.83.621.082.1630.6481.29640.38880.777650.233280.4665660.1399680.27993670.08398080.167961680.050388480.1007769690.0302330880.060466176100.0181398530.036279706110.0108839120.021767823

簡單優(yōu)化01……簡單優(yōu)化01……簡單優(yōu)化012、fminunc函數(shù)[x,fval]=fminunc(fun,X0)[x,fval,exitflag,output]=fminunc(fun,X0)

functionf=fun(x)f=2*x(1)^2+x(2)^2;[x,fval,exitflag,output]=fminunc('fun',[3,3])

簡單優(yōu)化01例4：求函數(shù)的極小值。functionf=fun1(x)f=2*x(1)^2-x(1)^4+x(1)^6/6-x(1)*x(2)+x(2)^2;[x_1,minf_1]=fminunc('fun1',[-1.5,-1])[x_2,minf_2]=fminunc('fun1',[0,-0.5])[x_3,minf_3]=fminunc('fun1',[1.5,0.5])x_1=-1.6453-0.8227minf_1=0.7155x_2=1.0e-07*

0.1072-0.0466minf_2=3.0137e-16x_3=1.64530.8227minf_3=0.7155簡單優(yōu)化目錄CONTENTS無約束優(yōu)化1產(chǎn)銷量的最佳安排2再談擬合3產(chǎn)銷量的最佳安排02某廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品有甲、乙兩個牌號，討論在產(chǎn)銷平衡的情況下如何確定各自的產(chǎn)量，使總利潤最大.所謂產(chǎn)銷平衡指工廠的產(chǎn)量等于市場上的銷量。問題分析總利潤既取決于銷量和價格，也依賴于產(chǎn)量和成本。

甲的價格甲的成本甲的銷量乙的價格乙的成本乙的銷量產(chǎn)銷量的最佳安排02模型假設1、價格與銷量成線性關(guān)系影響甲的價格p1的因素：1）隨甲的銷量x1的增長而降低2）乙的銷量x2的增長也會使甲的價格有稍微的下降可以簡單地假設價格與銷量成線性關(guān)系，即：

同理：

總利潤既取決于銷量和價格，也依賴于產(chǎn)量和成本。產(chǎn)銷量的最佳安排02模型假設1、價格與銷量成線性關(guān)系

2、成本與產(chǎn)量成負指數(shù)關(guān)系

甲的成本q1隨其產(chǎn)量(等于甲的銷量x1)的增長而降低，且有一個漸進值，可以假設為負指數(shù)關(guān)系，即：同理：

產(chǎn)銷量的最佳安排02模型建立

總利潤：若根據(jù)大量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，求出系數(shù)b1=100,a11=1,a12=0.1,b2=280,a21=0.2,a22=2,r1=30,λ1=0.015,c1=20,r2=100,λ2=0.02,c2=30

則問題轉(zhuǎn)化為無約束優(yōu)化問題：求甲，乙兩個牌號的產(chǎn)量x1,x2，使總利潤z最大。產(chǎn)銷量的最佳安排02模型求解

用迭代法求解，先估計初始值：簡化模型，先忽略成本，并令,a12=0,a21=0，則問題轉(zhuǎn)化為求

的極值顯然其解為x1=b1/2a11=50，x2=b2/2a22=70，我們把它作為原問題的初始值。產(chǎn)銷量的最佳安排02編程求解1.建立函數(shù)文件：functionz_minus=fun(x)y1=((100-x(1)-0.1*x(2))-(30*exp(-0.015*x(1))+20))*x(1);y2=((280-0.2*x(1)-2*x(2))-(100*exp(-0.02*x(2))+30))*x(2);z_minus=-y1-y2;2.主程序：x0=[50,70];xmin=fminunc(‘fun’,x0)z_minus=fun(xmin)

3.計算結(jié)果：x=23.9025,62.4977,z_minus=-6.4135e+003即甲的產(chǎn)量為23.9025，乙的產(chǎn)量為62.4977，最大利潤為6413.5。目錄CONTENTS無約束優(yōu)化1產(chǎn)銷量的最佳安排2再談擬合3再談擬合03人口模型——Malthus模型年份人口統(tǒng)計數(shù)字年份人口統(tǒng)計數(shù)字19718.5229198110.007219728.7177198210.165419738.9211198310.300819749.0859198410.435719759.2420198510.585119769.3717198610.750719779.4974198710.930019789.6259198811.102619799.7542198911.270419809.8705199011.4333Malthus模型：目標：根據(jù)前15年的數(shù)據(jù)進行擬合，求p0,r，使得

最小即：再談擬合033、lsqcurvefit函數(shù)（least-squarescurve-fitting）X=lsqcurvefit(FUN,X0,XDATA,YDATA)已知的數(shù)據(jù)點迭代初始點注意：FUN返回FUN(X,XDATA)，而不是sum((FUN(X,XDATA)-YDATA).^2)用于最小二乘法求解非線性曲線擬合問題min

sum{(FUN(X,XDATA)-YDATA).^2}Xfunctionpt=population1(x,tdata)pt=x(1)*exp(x(2)*tdata);%x(1)=p0,x(2)=rFUN(X,XDATA),X是未知系數(shù)組成的向量，

Malthus模型中，再談擬合03tdata=1971:1985;tdata=tdata-1970;pdata=[8.5229,8.7177,8.9211,9.0859,9.2420,9.3717,9.4974,9.6259,9.7542,9.8705,10.0072,10.1654,10.3008,10.4357,10.5851];x0=[1,0.15];%x的初值，迭代初始值

x=lsqcurvefit('population1',x0,tdata,pdata)%極小值點（p0，r）ts=1971:2015;ts=ts-1970;y=population1(x,ts);plot(ts+1970,y)人口模型——Malthus模型再談擬合03人口模型——阻滯增長模型（Logistic模型）由于自然資源、環(huán)境條件等因素對人口的增長起著阻滯作用，并且隨著人口的增加，阻滯作用越來越大.1）人口增長率r為當時人口數(shù)量p(t)的減函數(shù)，最簡單的假定：r是固有增長率；2）自然資源和環(huán)境條件年容納的最大人口數(shù)量為pm模型假設再談擬合031）人口增長率r為當時人口數(shù)量p(t)的減函數(shù)，最簡單的假定：r是固有增長率；2）自然資源和環(huán)境條件年容納的最大人口數(shù)量為pm當p=pm時，增長率為0，即：所以：代入到Malthus模型模型假設模型建立再談擬合03用分離變量法得：模型求解兩邊分別積分，得：所以：functionpt=population2(x,tdata)pt=x(1)./(1+(x(1)/8.5278-1)*exp(-x(2)*tdata));%x(1)=pm,x(2)=r

Logistic模型再談擬合03模型求解functionpt=population2(x,tdata)pt