江蘇省揚(yáng)州市邗江中學(xué)2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期10月檢測數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)滿足，則的虛部是（

）A．-1 B．1 C．-2 D．23．圓與圓的位置關(guān)系為（

）A．內(nèi)切 B．相交 C．外切 D．相離4．已知，為正整數(shù)，且直線與直線互相平行，則的最小值為（

）A．7 B．9 C．11 D．165．已知圓，則的最大值為（

）A．4 B．13 C． D．6．若直線與圓相交于，兩點(diǎn)，且（為原點(diǎn)），則的值為（

）A． B．C． D．7．已知PA，PB是圓C:的兩條切線(A，B是切點(diǎn))，其中P是直線上的動(dòng)點(diǎn)，那么四邊形PACB的面積的最小值為A． B． C． D．8．已知圓，過軸上的點(diǎn)存在圓的割線，使得，則的取值范圍（

）A． B．C． D．二、選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9．已知復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)滿足，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，則（

）A． B．的最小值為2C． D．的最大值為10．下列說法正確的是（

）A．“直線與直線互相垂直”是“”的充分不必要條件B．直線的傾斜角的取值范圍是C．若圓上恰有兩點(diǎn)到點(diǎn)的距離為1，則r的取值范圍是D．設(shè)b為實(shí)數(shù)，若直線與曲線恰有一個(gè)公共點(diǎn)，則11．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與圓交于，不同的兩點(diǎn)，分別作圓在點(diǎn)，處的切線，兩條切線相交于點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的有（

）A．當(dāng)時(shí)，B．當(dāng)直線的斜率為時(shí)，的面積為C．當(dāng)時(shí)，的外接圓半徑為D．當(dāng)時(shí)，三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12．經(jīng)過點(diǎn)且在軸和軸上截距都相等的直線方程為13．已知圓：與圓：的公共弦所在直線恒過定點(diǎn)，且點(diǎn)Р在直線上（，），則mn的最大值是.14．已知線段是圓的一條動(dòng)弦，且，若點(diǎn)P為直線上的任意一點(diǎn)，則的最小值為．四、解答題（本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15．已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，.(1)若為實(shí)數(shù)，求的值；(2)若為純虛數(shù)，求.16．已知△ABC的頂點(diǎn)，邊AB的中線CM所在直線方程為，邊AC的高BH所在直線方程為．(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)若入射光線經(jīng)過點(diǎn)，被直線CM反射，反射光線過點(diǎn)，求反射光線所在的直線方程．17．已知圓．若直線與圓交于兩點(diǎn)，（1）求的取值范圍；（2）證明：直線與直線（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率之和為定值．18．已知圓和點(diǎn).（1）過點(diǎn)向圓引切線，求切線的方程；（2）求以點(diǎn)為圓心，且被直線截得的弦長為8的圓的方程；（3）設(shè)為（2）中圓上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)向圓引切線，切點(diǎn)為，試探究：平面內(nèi)是否存在一定點(diǎn)，使得為定值？若存在，請求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，并指出相應(yīng)的定值；若不存在，請說明理由.19．已知，為上三點(diǎn).（1）求的值；（2）若直線過點(diǎn)(0，2)，求面積的最大值；（3）若為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，且，試問直線和直線的斜率之積是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由.江蘇省揚(yáng)州市邗江中學(xué)2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期10月檢測數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求得直線的斜率，從而求得對應(yīng)的傾斜角.【詳解】由于直線的傾斜角為，則直線的斜率，再由，可得.故選：C2．已知復(fù)數(shù)滿足，則的虛部是（

）A．-1 B．1 C．-2 D．2【答案】B【詳解】由題意得：∴∴的虛部是1故選B3．圓與圓的位置關(guān)系為（

）A．內(nèi)切 B．相交 C．外切 D．相離【答案】A【分析】根據(jù)圓心距與半徑的關(guān)系可判斷.【詳解】圓，即，表示以為圓心，半徑等于1的圓.圓，表示以為圓心，半徑等于3的圓.兩圓的圓心距，，故兩個(gè)圓相內(nèi)切.故選：A.4．已知，為正整數(shù)，且直線與直線互相平行，則的最小值為（

）A．7 B．9 C．11 D．16【答案】B【解析】由已知兩直線平行得出滿足的關(guān)系，然后由基本不等式求得最小值．【詳解】由題意，，即，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即（滿足是正整數(shù)）時(shí)等號(hào)成立．∴的最小值是9．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查兩直線平行的條件，考查用基本不等式求最值．在用基本不等式求最值時(shí)，注意其條件：一正二定三相等，其中定值有時(shí)需要湊配，“1”的代換是常用方法．5．已知圓，則的最大值為（

）A．4 B．13 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)的幾何意義，結(jié)合圓的性質(zhì)求解出對應(yīng)最大值.【詳解】解：，上式表示圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離，因?yàn)閳A，圓心，半徑．顯然．故選：C．6．若直線與圓相交于，兩點(diǎn)，且（為原點(diǎn)），則的值為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由題意可知，圓心角，過圓心作直線的垂線，交點(diǎn)為C，那么是直角三角形，即可求出答案.【詳解】由圓，其圓心為，半徑為，過圓心作直線的垂線，交點(diǎn)為C，那么是直角三角形，其中，，，又圓心到直線的距離為，解得.故選：A.7．已知PA，PB是圓C:的兩條切線(A，B是切點(diǎn))，其中P是直線上的動(dòng)點(diǎn)，那么四邊形PACB的面積的最小值為A． B． C． D．【答案】C【分析】配方得圓心坐標(biāo)，圓的半徑為1，由切線性質(zhì)知，而的最小值為C點(diǎn)到的距離，由此可得結(jié)論．【詳解】由題意圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，∴圓心為，半徑為．又，到直線的距離為，∴．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查圓切線的性質(zhì)，考查面積的最小值，解題關(guān)鍵是把四邊形面積用表示出來，而的最小值為圓心到直線的距離，從而易得解．8．已知圓，過軸上的點(diǎn)存在圓的割線，使得，則的取值范圍（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用割線定理得，再根據(jù)，列出關(guān)于的關(guān)系式，利用求解即可.【詳解】由題意得圓的圓心坐標(biāo)為，半徑，如圖所示：連接，交圓分別點(diǎn)，易證△∽△則，因?yàn)?，故，，所以，又，所以，解?故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的方程及圓的幾何性質(zhì)，考查學(xué)生分析處理問題的能力，屬于難題，解答時(shí)將問題靈活轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵.二、選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9．已知復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)滿足，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，則（

）A． B．的最小值為2C． D．的最大值為【答案】ABD【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘方即可判斷A；根據(jù)復(fù)數(shù)的模的計(jì)算公式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷B；根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義及復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算即可判斷C；根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義得出復(fù)數(shù)的軌跡即可判斷D.【詳解】對于A，，故A正確；對于B，，當(dāng)時(shí)，取得最小值，故B正確；對于C，，故C錯(cuò)誤；對于D，由，得復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的軌跡為以為圓心，半徑為1的圓，故是圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離，其最大值為，故D正確.故選：ABD10．下列說法正確的是（

）A．“直線與直線互相垂直”是“”的充分不必要條件B．直線的傾斜角的取值范圍是C．若圓上恰有兩點(diǎn)到點(diǎn)的距離為1，則r的取值范圍是D．設(shè)b為實(shí)數(shù)，若直線與曲線恰有一個(gè)公共點(diǎn)，則【答案】BC【分析】利用直線垂直求出的值，可判斷選項(xiàng)A錯(cuò)誤；根據(jù)直線的斜率為計(jì)算斜率的取值范圍，進(jìn)而推出直線傾斜角的范圍，得到選項(xiàng)B正確；問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)圓相交問題，根據(jù)圓心距和半徑的關(guān)系得到選項(xiàng)C正確；分析曲線為半圓，通過畫圖求得的范圍，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.【詳解】A.由兩直線垂直得，，解得或，“或”是“”的必要不充分條件，選項(xiàng)A錯(cuò)誤.B.由得，，直線斜率，∵，∴，即，∵，∴傾斜角的取值范圍是.選項(xiàng)B正確.C.到點(diǎn)距離為的點(diǎn)在圓上，由題意得，，圓與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，兩圓相交，∵圓心距，∴，∴，即的取值范圍是，選項(xiàng)C正確.D.由得，曲線表示圓心為原點(diǎn)，半徑為的半圓，如圖所示，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，，當(dāng)直線過點(diǎn)和點(diǎn)時(shí)，，當(dāng)直線與半圓相切于點(diǎn)時(shí)，由圓心到直線的距離為得，解得或（舍），所以當(dāng)直線與曲線恰有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，或.選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：BC.11．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與圓交于，不同的兩點(diǎn)，分別作圓在點(diǎn)，處的切線，兩條切線相交于點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的有（

）A．當(dāng)時(shí)，B．當(dāng)直線的斜率為時(shí)，的面積為C．當(dāng)時(shí)，的外接圓半徑為D．當(dāng)時(shí)，【答案】AB【分析】依題意可設(shè)直線的方程為，當(dāng)時(shí)，得到，從而根據(jù)勾股定理求出，再根據(jù)等面積法即可求出的值，進(jìn)而根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系即可求出來判斷A；當(dāng)直線的斜率為時(shí)，先求出圓心到直線的距離，再根據(jù)勾股定理求出，進(jìn)而即可求出來判斷B；當(dāng)時(shí)，設(shè)，依題意可得，，，四點(diǎn)共圓，且以為直徑，再根據(jù)圓與圓的關(guān)系即可得到直線的方程，從而即可得到點(diǎn)的軌跡方程，再根據(jù)即可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而即可求出的外接圓半徑來判斷C；當(dāng)時(shí)，結(jié)合選項(xiàng)C有，根據(jù)正切函數(shù)的定義即可求出，從而求出，，進(jìn)而根據(jù)等面積法即可求出來判斷D．【詳解】依題意可得直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，圓心到直線的距離為，則，對于選項(xiàng)A，由，，則當(dāng)時(shí)，，所以，所以，即，解得，則，所以，故A正確；對于選項(xiàng)B，當(dāng)直線的斜率為時(shí)，即直線的方程為，則，則，所以，故B正確；對于選項(xiàng)C，設(shè)，由，，所以，，，四點(diǎn)共圓，且以為直徑，則該圓的方程為，即，聯(lián)立，整理得直線的方程為，又點(diǎn)在直線上，則，解得，即點(diǎn)的軌跡方程為，又當(dāng)時(shí)，即，解得，所以，即的外接圓半徑為，故C錯(cuò)誤；

對于選項(xiàng)D，結(jié)合選項(xiàng)C有，則當(dāng)時(shí)，有，又，則，所以，所以，又，即，得，故D錯(cuò)誤．

故選：AB．三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12．經(jīng)過點(diǎn)且在軸和軸上截距都相等的直線方程為【答案】或2x-y=013．已知圓：與圓：的公共弦所在直線恒過定點(diǎn)，且點(diǎn)Р在直線上（，），則mn的最大值是.【答案】/0.25【分析】先將兩圓的方程相減得公共弦所在的直線方程為，再求出公共弦所在的直線恒過定點(diǎn)，然后結(jié)合二次函數(shù)值域的求法求解即可.【詳解】由圓與圓，將兩圓的方程相減可得，即公共弦所在的直線方程為，又可變形為，令，即，則公共弦所在的直線恒過定點(diǎn)，即，又點(diǎn)P在直線上，則，則，即mn的最大值為.故答案為：.14．已知線段是圓的一條動(dòng)弦，且，若點(diǎn)P為直線上的任意一點(diǎn)，則的最小值為．【答案】【分析】設(shè)，則，作出圖示，確定點(diǎn)E的軌跡方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式求得軌跡方程上的點(diǎn)到直線的距離的最小值，即求得的最小值，即得答案.【詳解】由題意，設(shè)，則，則M為的中點(diǎn)，則,又，作,則,又,故,即E點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，圓心為,到直線的距離為，則點(diǎn)到直線的最短距離為，即的最小值，也即的最小值為，故答案為：.四、解答題（本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15．已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，.(1)若為實(shí)數(shù)，求的值；(2)若為純虛數(shù)，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用復(fù)數(shù)加法和乘法結(jié)合復(fù)數(shù)概念計(jì)算即可；（2）利用復(fù)數(shù)除法結(jié)合復(fù)數(shù)概念求得，再由復(fù)數(shù)模長公式計(jì)算即可.【詳解】（1），若為實(shí)數(shù)，則，即，所以，（2），若為純虛數(shù)，則，解得，所以，.16．已知△ABC的頂點(diǎn)，邊AB的中線CM所在直線方程為，邊AC的高BH所在直線方程為．(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)若入射光線經(jīng)過點(diǎn)，被直線CM反射，反射光線過點(diǎn)，求反射光線所在的直線方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)，分析可知的中點(diǎn)在直線上，運(yùn)算即可；（2）求關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，進(jìn)而可求反射光線所在的直線方程.【詳解】（1）由題意可設(shè)點(diǎn)，因?yàn)椋瑒t的中點(diǎn)在直線上，可得，解得，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為.（2）設(shè)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，則，解得，即所以反射光線所在的直線方程為，可得.17．已知圓．(1)若直線與圓交于兩點(diǎn)，（?。┣蟮娜≈捣秶唬áⅲ┳C明：直線與直線（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率之和為定值．(2)若直線和直線將圓的周長四等分，求的值．【答案】(1)（ⅰ）；（ⅱ）證明見解析；(2)．【分析】（1）將直線代入圓方程消去，由得的取值范圍；由韋達(dá)定理得；（2）設(shè)直線和圓交于點(diǎn)，直線與圓交于點(diǎn)，則和為等腰直角三角形，利用兩平行線距離公式可求.【詳解】（1）將直線的方程代入圓的方程，可得．（ⅰ）因?yàn)橹本€與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，所以，解得，即的取值范圍是．（ⅱ）設(shè)，，由根與系數(shù)的關(guān)系得所以．即直線的斜率之和為定值．（2）設(shè)直線和圓交于點(diǎn)，直線與圓交于點(diǎn)．因?yàn)橹本€和直線將圓的周長四等分，所以圓心位于兩直線之間，連接，則，所以為等腰直角三角形，所以圓心到直線的距離為，同理可得圓心到直線的距離為，故直線和直線間的距離為，所以，即．18．已知圓和點(diǎn).（1）過點(diǎn)向圓引切線，求切線的方程；（2）求以點(diǎn)為圓心，且被直線截得的弦長為8的圓的方程；（3）設(shè)為（2）中圓上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)向圓引切線，切點(diǎn)為，試探究：平面內(nèi)是否存在一定點(diǎn)，使得為定值？若存在，請求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，并指出相應(yīng)的定值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）或；（2）；（3）存在；定點(diǎn)時(shí)，定值為或定點(diǎn)時(shí)，定值為.【分析】（1）討論斜率是否存在：當(dāng)斜率不存在時(shí)，易判斷為圓的切線；當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程，由圓心到直線距離等于半徑，即可求得斜率，進(jìn)而確定直線方程.（2）由點(diǎn)到直線距離公式可先求得點(diǎn)到直線的距離，再根據(jù)所得弦長和垂徑定理，即可確定半徑，進(jìn)而得圓的方程；（3）假設(shè)存在定點(diǎn)，使得為定值，設(shè)，，，根據(jù)切線長定理及兩點(diǎn)間距離公式表示出，代入并結(jié)合圓M的方程，化簡即可求得，進(jìn)而代入整理的方程可得關(guān)于的一元二次方程，解方程即可確