第十一章實(shí)數(shù)和二次根式知識(shí)點(diǎn)一、平方根（2）檢驗(yàn)x是不是a的平方根，只需驗(yàn)證是不是等于a就可以了.3.一個(gè)數(shù)的平方根平方后仍然等于.4.求一個(gè)非負(fù)帶分?jǐn)?shù)的平方根時(shí)，要先化成假分?jǐn)?shù)，再求.平方根的性質(zhì)1.一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，這兩個(gè)平方根互為；2.0的平方根還是0（平方根等于本身的只有0）；3.負(fù)數(shù)沒有；開平方求一個(gè)數(shù)的平方根的運(yùn)算叫做.1.開平方時(shí)，被開方數(shù)a必須是非負(fù)數(shù)；2.開平方是求一個(gè)非負(fù)數(shù)的平方根.3.平方根是數(shù)，是開平方的結(jié)果；而開平方和加、減、乘、除、乘方一樣，是求平方根的過程；4.平方和開平方互為逆運(yùn)算，我們可以用平方運(yùn)算來檢驗(yàn)開平方的結(jié)果表是否正確.知識(shí)點(diǎn)二、算術(shù)平方根1.算術(shù)平方根：正數(shù)a的正的平方根叫做a的；2.算術(shù)平方根的表示：正數(shù)a的算術(shù)平方根記作，讀作“根號(hào)a”；3.算術(shù)平方根的性質(zhì)：正數(shù)的算術(shù)平方根是一個(gè)，0的平方根也叫做0的算術(shù)平方根，沒有算術(shù)平方根.5.平方根與算術(shù)平方根的區(qū)別與聯(lián)系平方根算術(shù)平方根區(qū)別個(gè)數(shù)一個(gè)正數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根只有一個(gè)表示方法非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根表示為取值范圍正數(shù)的平方根是一正一負(fù)正數(shù)的算術(shù)平方根一定是正數(shù)聯(lián)系包含條件平方根包含算術(shù)平方根，算術(shù)平方根是正的平方根（0除外）0.存在條件平方根和算術(shù)平方根都是只有非負(fù)數(shù)才有，0的平方根和算術(shù)平方根都是0.PS：算術(shù)平方根等于它本身的數(shù)只有0和1.知識(shí)點(diǎn)三、立方根2.數(shù)a的立方根記作“”，讀作“三次根號(hào)a”.3.這里a的取值可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)或0，且根指數(shù)3不能省略.立方根的性質(zhì)正數(shù)的立方根是，負(fù)數(shù)的立方根是，0的立方根是0.1.平方根與立方根的區(qū)別與聯(lián)系關(guān)系 名稱平方根立方根區(qū)別個(gè)數(shù)不同正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負(fù)數(shù)沒有平方根正數(shù)的立方根是一個(gè)正數(shù)，0的立方根是0，負(fù)數(shù)的立方根是一個(gè)負(fù)數(shù)表示方法數(shù)a的立方根表示為，根指數(shù)是3，不能省略不寫被開方數(shù)的取值范圍在中，a是任意數(shù)聯(lián)系轉(zhuǎn)化條件都可以轉(zhuǎn)化為非負(fù)數(shù)的非負(fù)方根來研究，平方根轉(zhuǎn)化為算術(shù)平方根來研究，負(fù)數(shù)的立方根可以轉(zhuǎn)化為其相反數(shù)的立方根來研究.2.立方根等于本身的有0和.3.互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)，它們的立方根也互為.開立方求一個(gè)數(shù)的立方根的運(yùn)算叫做.求帶分?jǐn)?shù)的立方根時(shí)，要先將帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)，再求它的立方根.開立方與立方互為逆運(yùn)算，可以利用開立方求一個(gè)數(shù)的立方根，也可以利用立方來檢驗(yàn)一個(gè)數(shù)是不是某個(gè)數(shù)的立方根.開立方時(shí)，先把根號(hào)下的數(shù)化簡，看是不是一個(gè)數(shù)的立方，再求值；另外，開立方時(shí)，要先根據(jù)被開方數(shù)的符號(hào)確定其立方根的符號(hào).知識(shí)點(diǎn)四、無理數(shù)1.無理數(shù)：無線不循環(huán)小數(shù)叫做.無理數(shù)都是無限小數(shù)，但無限小數(shù)不一定是無理數(shù)，只有無限不循環(huán)小數(shù)才是無理數(shù).2.常見的無理數(shù)三種形式3.任何一個(gè)有理數(shù)都能寫成分?jǐn)?shù)的形式（整數(shù)可以看成分母是1的分?jǐn)?shù)），無理數(shù)不能寫成分?jǐn)?shù)的形式.4.任何一個(gè)有理數(shù)都可以寫成有限小數(shù)（把整數(shù)看成小數(shù)點(diǎn)后是0的小數(shù)）或無限循環(huán)小數(shù)的形式，無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù).知識(shí)點(diǎn)五、實(shí)數(shù)及分類1.有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為.2.實(shí)數(shù)的分類（1）按分類：（2）按分類：PS：0既不是正實(shí)數(shù)，也不是負(fù)實(shí)數(shù).實(shí)數(shù)與數(shù)軸上點(diǎn)的關(guān)系…有理數(shù)集合…有理數(shù)集合…無理數(shù)集合2.畫表示無理數(shù)的點(diǎn)：要想在數(shù)軸上畫出表示無理數(shù)的點(diǎn)，需先得到長度為無理數(shù)的絕對(duì)值的線段，一般地，依據(jù)勾股定理，通過構(gòu)造直角三角形來得到長度為無理數(shù)的絕對(duì)值的線段，以原點(diǎn)為圓心，以上述線段長為半徑畫弧，弧與數(shù)軸的交點(diǎn)，便是表示無理數(shù)的點(diǎn).正無理數(shù)以原點(diǎn)為圓心，向數(shù)軸正方向畫弧，負(fù)無理數(shù)以原點(diǎn)為圓心，向數(shù)軸負(fù)方向畫弧.實(shí)數(shù)的有關(guān)概念在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，相反數(shù)、絕對(duì)值、倒數(shù)的意義和有理數(shù)范圍內(nèi)的相反數(shù)、絕對(duì)值、倒數(shù)的意義完全一樣.比較實(shí)數(shù)的大小有理數(shù)的大小比較方法在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然適用.1.在數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大.2.正數(shù)都大于0，負(fù)數(shù)都小于0，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；兩個(gè)負(fù)數(shù)比較，絕對(duì)值大的反而小.3.比較兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的常用方法：（1）比較被開方數(shù)：如果兩個(gè)數(shù)的根指數(shù)相同，我們可以通過比較被開方數(shù)的大小來比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小；（2）數(shù)軸比較法：根據(jù)在數(shù)軸上右邊的點(diǎn)表示的數(shù)大于左邊的點(diǎn)表示的數(shù)，結(jié)合圖形比較，這個(gè)方法適用于多個(gè)實(shí)數(shù)比較大?。唬?）法則比較法：根據(jù)“正數(shù)大于0，負(fù)數(shù)小于0，正數(shù)大于負(fù)數(shù)；兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對(duì)值大的數(shù)反而小”進(jìn)行比較；知識(shí)點(diǎn)六、近似數(shù)1.近似數(shù)：接近準(zhǔn)確數(shù)而不等于準(zhǔn)確數(shù)的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)的，也叫做.2.準(zhǔn)確數(shù)：與實(shí)際完全符合的數(shù)值稱為.3.常見的近似數(shù)（1）用測(cè)量工具測(cè)出的一般都是近似數(shù)，如長度、質(zhì)量、時(shí)間等；（2）“計(jì)算”產(chǎn)生的近似數(shù)，如有圓周率π參與計(jì)算的結(jié)果；（3）不容易得到或不能得到準(zhǔn)確數(shù)時(shí)，只能用近似數(shù)表示，如人口普查等；（4）表示某一時(shí)間段的數(shù)據(jù)為近似值，如小明今年14歲，在這1年中他都是14歲.近似數(shù)的精確度一個(gè)近似數(shù)四舍五入到哪一位，就稱這個(gè)數(shù)精確到哪一位，精確到的這一位也叫做這個(gè)近似數(shù)的.1.一個(gè)近似數(shù)末尾的0不能省略，如0.10中末尾的0不能省略，因?yàn)樗硎镜氖沁@個(gè)數(shù)的精確度；2.帶單位的數(shù)以及用科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)，求精確度時(shí)要先把數(shù)還原，再判斷數(shù)的精確度，如10萬＝10000，則10萬精確到萬位.3.其他近似數(shù)的取法知識(shí)點(diǎn)七、二次根式二次根式的定義形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”稱為；判斷一個(gè)式子是二次根式，需要滿足以下條件：（1）根指數(shù)必須是2；（2）被開方數(shù)為非負(fù)數(shù).二次根式有無意義的條件：（1）如果一個(gè)式子中含有多個(gè)二次根式，那么它們有意義的條件是：各個(gè)二次根式中的被開方數(shù)都必須是非負(fù)數(shù)．（2）如果所給式子中含有分母，則除了保證被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)外，還必須保證分母不為零．二次根式的性質(zhì)：（5）=（a≥0，b>0）二次根式的運(yùn)算：1.二次根式的乘法乘法法則：兩個(gè)二次根式相乘，把被開方數(shù)相乘，根指數(shù)不變.即：2.二次根式的除法除法法則：兩個(gè)二次根式相除，把被開方數(shù)相除，根指數(shù)不變.即：3.最簡二次根式最簡二次根式必須同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件：①開方數(shù)所含因數(shù)是整數(shù)或字母，因式是整式（分母中不應(yīng)含有根號(hào)）；②被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式，即被開方數(shù)的因數(shù)或因式的指數(shù)都為1.4.二次根式的加減同類二次根式：把幾個(gè)二次根式化為最簡二次根式以后，如果被開方數(shù)相同，那么這幾個(gè)二次根式叫做.【補(bǔ)充】幾個(gè)同類二次根式在沒有化簡前，被開方數(shù)可以完全互不相同，如：2、8、12二次根式的加減：一般地，二次根式加減時(shí)，先把各個(gè)二次根式化為最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式合并.【口訣】一化、二找、三合并.5.二次根式的混合運(yùn)算內(nèi)容：二次根式的混合運(yùn)算指的是二次根式的加、減、乘、除、乘方的混合運(yùn)算.運(yùn)算順序：先乘方，再乘除，最后加減，有括號(hào)要先算括號(hào)里面的.易錯(cuò)易混1）結(jié)果要化為最簡二次根式或整式；2）如果含有字母，要注意字母的取值范圍是否能使式子成立，以及其中的隱藏條件.6.分母有理化：通過分子和分母同乘以分母的有理化因式，將分母中的根號(hào)去掉的過程.【分母有理化方法】1）分母為單項(xiàng)式時(shí)，分母的有理化因式是分母本身帶根號(hào)的部分.即：12）分母為多項(xiàng)式時(shí)，分母的有理化因式是與分母相乘構(gòu)成平方差的另一部分.即：1a一、平方根與算術(shù)平方根1.一個(gè)正數(shù)的平方根有兩個(gè)，互為相反數(shù)錯(cuò)誤：忘記負(fù)根注意：一個(gè)正數(shù)的平方根有兩個(gè)，千萬不能忘記負(fù)數(shù)根(1)求a和b的值．2.算術(shù)平方根的雙重非負(fù)性錯(cuò)誤：在算術(shù)平方根中，底數(shù)要大于等于0，結(jié)果也要大于等于0注意：要注意算術(shù)平方根的雙重非負(fù)性3.算術(shù)平方根的規(guī)律性問題錯(cuò)誤：底數(shù)和結(jié)果之間的倍數(shù)關(guān)系搞混注意：一般底數(shù)是100倍，結(jié)果就是10倍（2425八年級(jí)上·北京門頭溝·階段練習(xí)）通過觀察后再回答問題．200(1)從表格中探究a與數(shù)位的規(guī)律，并利用這個(gè)規(guī)律解決問題：二、立方根1.無論正數(shù)、負(fù)數(shù)，還是0，均有立方根錯(cuò)誤：與平方根搞混，忽略負(fù)數(shù)也有立方根注意：牢記負(fù)數(shù)也要立方根，切與原數(shù)符號(hào)保持一致，0也有立方根（2425八年級(jí)上·北京朝陽·階段練習(xí)）有如下命題：①負(fù)數(shù)沒有立方根；②一個(gè)實(shí)數(shù)的立方根不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)；③一個(gè)正數(shù)或負(fù)數(shù)的立方根與這個(gè)數(shù)同號(hào)；④如果一個(gè)數(shù)的立方根是這個(gè)數(shù)本身，那么這個(gè)數(shù)是1或0．其中錯(cuò)誤的是（）A．①②③ B．①②④ C．①②③④ D．①③④2.立方根的規(guī)律性問題錯(cuò)誤：底數(shù)和結(jié)果之間的倍數(shù)關(guān)系搞混注意：一般底數(shù)是1000倍，結(jié)果就是10倍三、實(shí)數(shù)1.實(shí)數(shù)的概念與分類錯(cuò)誤：實(shí)數(shù)的分類界限不清晰，導(dǎo)致分類錯(cuò)誤注意：掌握實(shí)數(shù)的概念，注意分類A．6 B．7 C．8 D．92.無理數(shù)的整數(shù)部分與小數(shù)部分的計(jì)算問題錯(cuò)誤：不會(huì)表示無理數(shù)的小數(shù)部分注意：用原數(shù)減去整數(shù)部分即可得到小數(shù)部分A．3 B．4 C． D．四、二次根式1.二次根式的化簡問題錯(cuò)誤：二次根式的化簡，要注意范圍，尤其是帶字母的式子注意：要考慮字母的取值范圍，如果是正數(shù)，直接化簡即可，如果是負(fù)數(shù)，要記得留下負(fù)號(hào)2.復(fù)合二次根式的化簡錯(cuò)誤：要會(huì)對(duì)二次根式里邊的式子進(jìn)行完全平方變形注意：要會(huì)對(duì)其一一對(duì)應(yīng)，知道平方數(shù)的和與2ab的對(duì)應(yīng)數(shù)3.二次根式的混合運(yùn)算錯(cuò)誤：混合運(yùn)算時(shí)順序錯(cuò)誤，容易漏項(xiàng)注意：計(jì)算時(shí)要統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)，可以先化簡成最簡二次根式，再進(jìn)行計(jì)算（2425八年級(jí)上·北京東城·階段練習(xí)）計(jì)算：1．（2526九年級(jí)上·北京·開學(xué)考試）下列二次根式中，最簡二次根式是（

）．2．（2526九年級(jí)上·北京·開學(xué)考試）下列計(jì)算正確的是（

）A．6 B． C．3 D．A．甲、乙、丙都對(duì) B．只有甲、乙對(duì) C．只有甲、丙對(duì) D．只有甲對(duì)A．1個(gè) B．2個(gè)