匯文中學(xué)2026屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末檢測試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知點(diǎn)P是雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，過原點(diǎn)O的直線l與雙曲線分別相交于M、N兩點(diǎn)，則的最小值為（）A.4 B.3C.2 D.12．設(shè)x∈R，則x<3是0<x<3的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件3．我國新冠肺炎疫情防控進(jìn)入常態(tài)化，各地有序進(jìn)行疫苗接種工作，下面是我國甲、乙兩地連續(xù)11天的疫苗接種指數(shù)折線圖，根據(jù)該折線圖，下列說法不正確的是（）A.這11天甲地指數(shù)和乙地指數(shù)均有增有減B.第3天至第11天，甲地指數(shù)和乙地指數(shù)都超過80%C.在這11天期間，乙地指數(shù)的增量大于甲地指數(shù)的增量D.第9天至第11天，乙地指數(shù)的增量大于甲地指數(shù)的增量4．已知雙曲線，其中一條漸近線與x軸的夾角為，則雙曲線的漸近線方程是（）A. B.C. D.5．已知不等式只有一個(gè)整數(shù)解，則m的取值范圍是（）A. B.C. D.6．若則（）A.?2 B.?1C.1 D.27．命題“對任何實(shí)數(shù)，都有”的否定形式是（）A.，使得B.，使得C.，使得D.，使得8．已知是虛數(shù)單位，若，則復(fù)數(shù)z的虛部為（）A.3 B.－3iC.-3 D.3i9．不等式解集為（）A. B.C. D.10．命題“若α=，則tanα=1”的逆否命題是A.若α≠，則tanα≠1 B.若α=，則tanα≠1C.若tanα≠1，則α≠ D.若tanα≠1，則α=11．設(shè)雙曲線的方程為，過拋物線的焦點(diǎn)和點(diǎn)的直線為．若的一條漸近線與平行，另一條漸近線與垂直，則雙曲線的方程為（）A. B.C. D.12．用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證不等式（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．二項(xiàng)式的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為__________.14．已知直線l是拋物線（）的準(zhǔn)線，半徑為的圓過拋物線的頂點(diǎn)O和焦點(diǎn)F，且與l相切，則拋物線C的方程為___________；若A為C上一點(diǎn)，l與C的對稱軸交于點(diǎn)B，在中，，則的值為___________.15．某位同學(xué)參加物理、化學(xué)、政治科目的等級考，依據(jù)以往成績估算該同學(xué)在物理、化學(xué)、政治科目等級中達(dá)的概率分別為假設(shè)各門科目考試的結(jié)果互不影響，則該同學(xué)等級考至多有1門學(xué)科沒有獲得的概率為___________.16．已知數(shù)列中，，，則_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線C：，直線l經(jīng)過點(diǎn)，且與拋物線C交于M，N兩點(diǎn)，其中.（1）若，且，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；（2）是否存在正數(shù)m，使得以MN為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，若存在，請求出正數(shù)m，若不存在，請說明理由.18．（12分）如圖，四邊形是一塊邊長為4km正方形地域，地域內(nèi)有一條河流，其經(jīng)過的路線是以中點(diǎn)為頂點(diǎn)且開口向右的拋物線的一部分（河流寬度忽略不計(jì)），某公司準(zhǔn)備投資一個(gè)大型矩形游樂場.（1）設(shè)，矩形游樂園的面積為，求與之間的函數(shù)關(guān)系；（2）試求游樂園面積的最大值.19．（12分）已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）.（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值.20．（12分）某港口船舶?？康姆桨甘窍鹊较韧＃颐看沃荒芡？恳凰掖?（1）若甲乙兩艘船同時(shí)到達(dá)港口，雙方約定各派一名代表猜拳：從1，2，3，4，5中各隨機(jī)選一個(gè)數(shù)，若兩數(shù)之和為奇數(shù)，則甲先?？?；若兩數(shù)之和為偶數(shù)，則乙先?？浚@種方式對雙方是否公平？請說明理由；（2）若甲、乙兩船在一晝夜內(nèi)到達(dá)該碼頭的時(shí)刻是等可能的.如果甲船停泊時(shí)間為1h，乙船停泊時(shí)間為2h，求它們中的任意一艘都不需要等待碼頭空出的概率.21．（12分）已知是等差數(shù)列，其n前項(xiàng)和為，已知（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式：（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和22．（10分）已知圓：，點(diǎn)A是圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn).（1）求點(diǎn)的軌跡方程；（2）直線過點(diǎn)且與點(diǎn)的軌跡交于A，兩點(diǎn)，若，求直線的方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)雙曲線的對稱性可得為的中點(diǎn)，即可得到，再根據(jù)雙曲線的性質(zhì)計(jì)算可得；【詳解】解：根據(jù)雙曲線的對稱性可知為的中點(diǎn)，所以，又在上，所以，當(dāng)且僅當(dāng)在雙曲線的頂點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，所以故選：C2、B【解析】利用充分條件、必要條件的定義可得出結(jié)論.【詳解】，因此，“”是“”必要不充分條件.故選：B.3、C【解析】由折線圖逐項(xiàng)分析得到答案.【詳解】對于選項(xiàng)A，從折線圖中可以直接觀察出甲地和乙地的指數(shù)有增有減，故選項(xiàng)A正確；對于選項(xiàng)B，從第3天至第11天，甲地指數(shù)和乙地指數(shù)都超過80%，故選項(xiàng)B正確；對于選項(xiàng)C，從折線圖上可以看出這11天甲的增量大于乙的增量，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D，從折線圖上可以看出第9天至第11天，乙地指數(shù)的增量大于甲地指數(shù)的增量，故D正確；故選：C.4、C【解析】由已知條件計(jì)算可得，即得到結(jié)果.【詳解】由雙曲線，可知漸近線方程為，又雙曲線的一條漸近線與x軸的夾角為，故，即漸近線方程為.故選：C5、B【解析】依據(jù)導(dǎo)函數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性，數(shù)形結(jié)合去求解即可解決.【詳解】不等式只有一個(gè)整數(shù)解，可化為只有一個(gè)整數(shù)解令，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，則當(dāng)時(shí)，取最大值，當(dāng)時(shí)，恒成立，的草圖如下：，，則若只有一個(gè)整數(shù)解，則，即故不等式只有一個(gè)整數(shù)解，則m的取值范圍是故選：B6、B【解析】分子分母同除以，化弦為切，代入即得結(jié)果.【詳解】由題意，分子分母同除以，可得.故選：B.7、B【解析】可將原命題變成全稱命題形式，而全稱命題的否定為特稱命題，即可選出答案.【詳解】命題“對任何實(shí)數(shù)，都有”，可寫成：，使得，此命題為全稱命題，故其否定形式為：，使得.故選：B.8、C【解析】由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算可得答案.【詳解】由題得，所以復(fù)數(shù)z的虛部為－3.故選：C.9、C【解析】化簡一元二次不等式的標(biāo)準(zhǔn)形式并求出解集即可.【詳解】不等式整理得，解得或，則不等式解集為.故選：.10、C【解析】因?yàn)椤叭?，則”的逆否命題為“若，則”，所以“若α=，則tanα=1”的逆否命題是“若tanα≠1，則α≠”.【點(diǎn)評】本題考查了“若p，則q”形式的命題的逆命題、否命題與逆否命題，考查分析問題的能力.11、D【解析】由拋物線的焦點(diǎn)可求得直線的方程為，即得直線的斜率為，再根據(jù)雙曲線的漸近線的方程為，可得，即可求出，得到雙曲線的方程【詳解】由題可知，拋物線焦點(diǎn)為，所以直線的方程為，即直線的斜率為，又雙曲線的漸近線的方程為，所以，，因?yàn)?，解得故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的簡單幾何性質(zhì)，雙曲線的幾何性質(zhì)，以及直線與直線的位置關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題12、B【解析】取即可得到第一步應(yīng)驗(yàn)證不等式.【詳解】由題意得，當(dāng)時(shí)，不等式為故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、80【解析】利用二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可.【詳解】二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式為：，令，所以項(xiàng)的系數(shù)為，故答案為：8014、①.②.【解析】（1）由題意得：圓的圓心橫坐標(biāo)為，半徑為，列方程，即可得到答案；（2）由正弦定理得，從而求得直線的方程，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得到答案；【詳解】由題意得：圓的圓心橫坐標(biāo)為，半徑為，，拋物線C的方程為；設(shè)到準(zhǔn)線的距離為，，，，，代入，解得：，，，故答案為：；15、【解析】考慮3門或者2門兩種情況，計(jì)算概率得到答案.【詳解】.故答案為：.16、【解析】根據(jù)遞推公式一一計(jì)算即可；【詳解】解：因?yàn)?，所以，，，故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）或（2）存在，【解析】（1）確定點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，則根據(jù)拋物線的焦半徑公式，結(jié)合拋物線方程，求得答案;（2）假設(shè)存在正數(shù)m，使得以MN為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，可推得，由此可設(shè)直線方程，聯(lián)立拋物線方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，代入到中，可得結(jié)論.【小問1詳解】依題意得為的焦點(diǎn),故，解得,故，則∴點(diǎn)的坐標(biāo)或;【小問2詳解】假設(shè)存在正數(shù)，使得以為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn),∴，設(shè)直線：，，，由,得,則，,∵，,∴,解得或（舍去）所以存在正數(shù)，使得以為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn).18、（1）（2）【解析】（1）首先建立直角坐標(biāo)系，求出拋物線的方程，利用，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，表示出的面積為即可；（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值即可.【小問1詳解】以為原點(diǎn)，所在直線為軸，垂直于的直線為軸建立直角坐標(biāo)系，則，設(shè)拋物線的方程為，將點(diǎn)代入方程可得，解得，則拋物線方程為，由已知得，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，【小問2詳解】，令，解得，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，因此函數(shù)時(shí)，有最大值，19、（1）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，（2）【解析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間.（2）利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性、極值，從而求得的值.【小問1詳解】由，得，令，得或；令，得.∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，.【小問2詳解】∵，∴.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，∴的單調(diào)遞減區(qū)間為，；單調(diào)遞增區(qū)間為.∴的極小值為，極大值為.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.又∵函數(shù)有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，∴實(shí)數(shù)的值為.20、（1）不公平，理由見解析.（2）【解析】（1）通過計(jì)算概率來進(jìn)行判斷.（2）利用幾何概型計(jì)算出所求概率.【小問1詳解】兩數(shù)之和為奇數(shù)的概率為，兩數(shù)之和為偶數(shù)的概率為，兩個(gè)概率不相等，所以不公平.【小問2詳解】設(shè)甲到的時(shí)刻為，乙到的時(shí)刻為，則，若它們中的任意一艘都不需要等待碼頭空出，則或，畫出可行域如下圖陰影部分所示，所以所求的概率為：.21、（1）；（2）.【解析】（1）利用等差數(shù)列的基本量，結(jié)合已知條件，列出方程組，求得首項(xiàng)和公差，即可寫出通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)（1）中所求，結(jié)合裂項(xiàng)求和法，即可求得.【小問1詳解】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，其n前項(xiàng)和為，已知，設(shè)其公差為，故可得：，，