工程數(shù)學1考試及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.行列式\(\begin{vmatrix}1&2\\3&4\end{vmatrix}\)的值為（）A.-2B.2C.10D.-102.設(shè)矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}\)，則\(A\)的逆矩陣\(A^{-1}\)是（）A.\(\begin{pmatrix}1&0\\0&\frac{1}{2}\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}\frac{1}{2}&0\\0&1\end{pmatrix}\)3.向量組\(\vec{\alpha}_1=(1,0,0)\)，\(\vec{\alpha}_2=(0,1,0)\)，\(\vec{\alpha}_3=(0,0,1)\)的秩為（）A.1B.2C.3D.04.齊次線性方程組\(Ax=0\)（\(A\)為系數(shù)矩陣）有非零解的充分必要條件是（）A.\(r(A)=n\)（\(n\)為未知數(shù)個數(shù)）B.\(r(A)\ltn\)C.\(r(A)\gtn\)D.\(r(A)\geqn\)5.設(shè)隨機變量\(X\)服從參數(shù)為\(\lambda\)的泊松分布，且\(P(X=1)=P(X=2)\)，則\(\lambda\)的值為（）A.1B.2C.3D.46.若隨機變量\(X\)的概率密度函數(shù)為\(f(x)=\begin{cases}2x,&0\leqx\leq1\\0,&其他\end{cases}\)，則\(P(0\ltX\lt\frac{1}{2})\)的值為（）A.\(\frac{1}{4}\)B.\(\frac{1}{2}\)C.\(\frac{3}{4}\)D.17.設(shè)\(X\)和\(Y\)是兩個相互獨立的隨機變量，且\(D(X)=4\)，\(D(Y)=9\)，則\(D(X-Y)\)的值為（）A.13B.5C.7D.18.樣本\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)來自總體\(X\)，且\(E(X)=\mu\)，\(D(X)=\sigma^2\)，則樣本均值\(\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\)的期望\(E(\overline{X})\)為（）A.\(\mu\)B.\(\frac{\mu}{n}\)C.\(n\mu\)D.\(\mu^2\)9.對于正態(tài)總體\(N(\mu,\sigma^2)\)，當\(\sigma^2\)已知時，檢驗假設(shè)\(H_0:\mu=\mu_0\)，\(H_1:\mu\neq\mu_0\)，采用的檢驗統(tǒng)計量是（）A.\(t=\frac{\overline{X}-\mu_0}{S/\sqrt{n}}\)B.\(Z=\frac{\overline{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\)C.\(\chi^2=\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\)D.\(F=\frac{S_1^2}{S_2^2}\)10.已知矩陣\(A\)的特征值為\(1,2,3\)，則\(\vertA\vert\)的值為（）A.6B.5C.7D.8答案：1.A2.A3.C4.B5.B6.A7.A8.A9.B10.A二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列關(guān)于矩陣運算正確的有（）A.\((AB)^T=B^TA^T\)B.\((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\)（\(A,B\)可交換）C.\(k(AB)=(kA)B=A(kB)\)（\(k\)為常數(shù)）D.\(A(B+C)=AB+AC\)2.向量組\(\vec{\alpha}_1,\vec{\alpha}_2,\cdots,\vec{\alpha}_s\)線性相關(guān)的充分必要條件是（）A.存在不全為零的數(shù)\(k_1,k_2,\cdots,k_s\)，使得\(k_1\vec{\alpha}_1+k_2\vec{\alpha}_2+\cdots+k_s\vec{\alpha}_s=0\)B.向量組中至少有一個向量可由其余向量線性表示C.向量組的秩小于向量組中向量的個數(shù)D.向量組中任意一個向量都可由其余向量線性表示3.下列關(guān)于線性方程組解的說法正確的有（）A.非齊次線性方程組\(Ax=b\)有解的充分必要條件是\(r(A)=r(A|b)\)B.齊次線性方程組\(Ax=0\)只有零解的充分必要條件是\(r(A)=n\)（\(n\)為未知數(shù)個數(shù)）C.非齊次線性方程組\(Ax=b\)有無窮多解的充分必要條件是\(r(A)=r(A|b)\ltn\)D.齊次線性方程組\(Ax=0\)有非零解的充分必要條件是\(r(A)\ltn\)4.設(shè)隨機變量\(X\)的分布函數(shù)為\(F(x)\)，則（）A.\(F(-\infty)=0\)B.\(F(+\infty)=1\)C.\(F(x)\)單調(diào)不減D.\(F(x)\)右連續(xù)5.已知隨機變量\(X\)服從正態(tài)分布\(N(\mu,\sigma^2)\)，則（）A.其概率密度函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\)B.\(E(X)=\mu\)C.\(D(X)=\sigma^2\)D.\(P(\mu-\sigma\ltX\lt\mu+\sigma)\approx0.6826\)6.設(shè)\(X\)和\(Y\)是兩個隨機變量，\(Cov(X,Y)\)為協(xié)方差，則（）A.\(Cov(X,Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]\)B.\(Cov(X,X)=D(X)\)C.若\(X\)和\(Y\)相互獨立，則\(Cov(X,Y)=0\)D.\(D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)\)7.樣本\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)來自總體\(X\)，總體均值為\(\mu\)，總體方差為\(\sigma^2\)，以下說法正確的是（）A.樣本均值\(\overline{X}\)是\(\mu\)的無偏估計量B.樣本方差\(S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2\)是\(\sigma^2\)的無偏估計量C.樣本二階中心矩\(B_2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2\)是\(\sigma^2\)的無偏估計量D.樣本均值\(\overline{X}\)的方差\(D(\overline{X})=\frac{\sigma^2}{n}\)8.關(guān)于假設(shè)檢驗，下列說法正確的有（）A.原假設(shè)\(H_0\)和備擇假設(shè)\(H_1\)是相互對立的B.犯第一類錯誤的概率\(\alpha\)是在\(H_0\)為真時拒絕\(H_0\)的概率C.犯第二類錯誤的概率\(\beta\)是在\(H_0\)為假時接受\(H_0\)的概率D.在樣本容量\(n\)固定時，減小\(\alpha\)會使\(\beta\)增大9.矩陣\(A\)可相似對角化的充分必要條件有（）A.\(A\)有\(zhòng)(n\)個線性無關(guān)的特征向量B.\(A\)的每個特征值的代數(shù)重數(shù)等于其幾何重數(shù)C.\(A\)有\(zhòng)(n\)個不同的特征值D.\(A\)是實對稱矩陣10.設(shè)\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，則（）A.\(\vertAB\vert=\vertA\vert\vertB\vert\)B.若\(A\)可逆，則\(\vertA^{-1}\vert=\frac{1}{\vertA\vert}\)C.\(\vertkA\vert=k^n\vertA\vert\)（\(k\)為常數(shù)）D.若\(AB=0\)，則\(A=0\)或\(B=0\)答案：1.ACD2.ABC3.ABCD4.ABCD5.ABCD6.ABCD7.ABD8.ABCD9.AB10.ABC三、判斷題（每題2分，共10題）1.若\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，則\((A+B)(A-B)=A^2-B^2\)。（）2.向量組中向量個數(shù)大于向量的維數(shù)時，向量組一定線性相關(guān)。（）3.非齊次線性方程組\(Ax=b\)的兩個解的差是對應的齊次線性方程組\(Ax=0\)的解。（）4.隨機變量\(X\)的概率密度函數(shù)\(f(x)\)滿足\(\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=1\)。（）5.若\(X\)和\(Y\)相互獨立，且\(D(X)=4\)，\(D(Y)=9\)，則\(D(XY)=D(X)D(Y)\)。（）6.樣本均值\(\overline{X}\)和樣本方差\(S^2\)相互獨立。（）7.在假設(shè)檢驗中，當樣本容量一定時，顯著水平\(\alpha\)越小，犯第二類錯誤的概率\(\beta\)越大。（）8.實對稱矩陣一定可以相似對角化。（）9.若矩陣\(A\)的特征值都不為零，則\(A\)可逆。（）10.若\(A\)為正交矩陣，則\(\vertA\vert=1\)。（）答案：1.×2.√3.√4.√5.×6.×7.√8.√9.√10.×四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述矩陣可逆的充分必要條件。答案：\(n\)階方陣\(A\)可逆的充分必要條件是\(\vertA\vert\neq0\)；也等價于\(A\)滿秩，即\(r(A)=n\)；還等價于\(A\)可表示為若干個初等矩陣的乘積。2.說明隨機變量的數(shù)學期望和方差的意義。答案：數(shù)學期望反映隨機變量取值的平均水平。方差衡量隨機變量取值相對于其均值的離散程度，方差越大，取值越分散；方差越小，取值越集中在均值附近。3.簡述用正交變換化實對稱矩陣\(A\)為對角矩陣的步驟。答案：先求\(A\)的特征值；再對每個特征值求對應的特征向量；將特征向量正交化、單位化；以這些正交單位向量為列向量構(gòu)成正交矩陣\(P\)，則\(P^TAP\)為對角矩陣。4.簡述參數(shù)估計的兩種方法。答案：點估計，用樣本統(tǒng)計量的值估計總體參數(shù)的值，如用樣本均值估計總體均值。區(qū)間估計，給出包含總體參數(shù)的一個區(qū)間及該區(qū)間包含總體參數(shù)的概率，如構(gòu)造置信區(qū)間。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論矩陣的秩與線性方程組解的關(guān)系。答案：對于非齊次線性方程組\(Ax=b\)，\(r(A)=r(A|b)\)時有解，\(r(A)\ltr(A|b)\)時無解；\(r(A)=r(A|b)=n\)（\(n\)為未知數(shù)個數(shù)）有唯一解，\(r(A)=r(A|b)\ltn\)有無窮多解。齊次線性方程組\(Ax=0\)，\(r(A)=n\)只有零解，\(r(A)\ltn\)有非零解。2.討論正態(tài)分布在實際中的應用。答案：許多實際問題中變量近似服從正態(tài)分布，如學生考試成績、測量誤差等。利用正態(tài)分布性質(zhì)可對數(shù)據(jù)進行分析，如確定合理范圍；在質(zhì)量控制中，依據(jù)正態(tài)