基于EKF算法的鋰電池SOC估算分析案例目錄TOC\o"1-3"\h\u1444基于EKF算法的鋰電池SOC估算分析案例 1195961.1卡爾曼濾波算法 1302381.1.1卡爾曼濾波算法原理 251781.1.2擴(kuò)展卡爾曼濾波算法原理 3267171.1.3鋰電池模型的空間狀態(tài)方程 691521.2鋰電池SOC估算仿真 7165481.2.1鋰電池SOC估算步驟 7229061.2.2鋰電池SOC估算結(jié)果 7鋰電池SOC的準(zhǔn)確估計(jì)離不開(kāi)合適的鋰電池等效電路模型選取和實(shí)時(shí)的模型參數(shù)辨識(shí)，在前兩章我們已經(jīng)打好了基礎(chǔ)，本章將結(jié)合第三章鋰電池等效電池模型的選定和在線參數(shù)辨識(shí)內(nèi)容，引入FFRLS+EKF對(duì)鋰電池的SOC進(jìn)行估計(jì)研究，并設(shè)計(jì)算法實(shí)現(xiàn)儲(chǔ)能電池模型參數(shù)辨識(shí)和SOC的在線聯(lián)合估計(jì)。1.1卡爾曼濾波算法濾波是指按照一定的濾波準(zhǔn)則從干擾信號(hào)中提取出有用成分的一種手段。Kalman濾波算法將最小化均方差作為準(zhǔn)則，對(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型進(jìn)行濾波，得到目標(biāo)狀態(tài)變量的最優(yōu)估計(jì)值。它是一種經(jīng)典的最優(yōu)濾波理論，是在1960年，由美籍匈牙利數(shù)學(xué)家R.E.Kalman提出的，他將空間狀態(tài)分析方程率先引入到了濾波理論中，以遞推的形式進(jìn)行，在算法運(yùn)行的同時(shí)，可以實(shí)時(shí)的獲得存在系統(tǒng)干擾噪聲的觀測(cè)數(shù)據(jù)，對(duì)狀態(tài)和噪聲進(jìn)行統(tǒng)一描述，從而得到核心為“預(yù)測(cè)+測(cè)量反饋”的時(shí)域上的遞推算法—卡爾曼濾波算法?？柭鳛檫f推算法，其方法是基于時(shí)域分析，通過(guò)狀態(tài)空間方程預(yù)測(cè)新的狀態(tài)變量，接著用新的實(shí)測(cè)值來(lái)對(duì)上一步預(yù)測(cè)出來(lái)的新?tīng)顟B(tài)變量進(jìn)行修正，因此Kalman濾波算法可以應(yīng)用于多維的向量隨機(jī)過(guò)程的狀態(tài)變量預(yù)估。經(jīng)過(guò)這么多年的發(fā)展，KF系算法發(fā)展形成了適用于不同用途的擴(kuò)展算法，包括線性卡爾曼濾波算法（KalmanFilter，KF）、擴(kuò)展卡爾曼濾波算法（ExtendedKalmanFilter，EKF）、無(wú)跡卡爾曼濾波算法（UnscentedKalmanFilter，UKF），自適應(yīng)卡爾曼濾波算法（AKF）、自適應(yīng)擴(kuò)展卡爾曼濾波算法（AEKF）等等[52]。接下來(lái)本文將著重對(duì)卡爾曼濾波及預(yù)計(jì)采用的EKF算法做出具體分析研究?？柭鼮V波算法由離散和連續(xù)兩類(lèi)組成，本文所研究的電池SOC預(yù)估主要是通過(guò)電池電流和電壓的信號(hào)采集而實(shí)現(xiàn)的，所以本文討論的卡爾曼濾波算法皆是基于離散系統(tǒng)的研究。1.1.1卡爾曼濾波算法原理在離散的線性系統(tǒng)中，有狀態(tài)方程和觀測(cè)方程如式（4-1）（4-1）式（4-1）是非線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程，上式中表示k時(shí)刻的系統(tǒng)狀態(tài)變量，表示k時(shí)刻的系統(tǒng)輸入量，表示n維過(guò)程噪聲。表示k時(shí)刻的系統(tǒng)觀測(cè)信號(hào)，表示m維觀測(cè)噪聲A表示n*n階狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，B表示n*1階輸入控制矩陣，C表示m*n觀測(cè)矩陣，D表示m*1階輸出控制矩陣。其中、是兩個(gè)相互獨(dú)立的高斯白噪聲，均值為0，其協(xié)方差分別為Q、R。即有：（4-2）（4-3）（4-4）（4-5）（4-6）假設(shè)狀態(tài)變量初始統(tǒng)計(jì)特性為：初始狀態(tài)和、不相關(guān)，則有：（4-7）（4-8）上式中，表示系統(tǒng)初始狀態(tài)的均值，表示初始狀態(tài)的協(xié)方差矩陣。卡爾曼濾波算法的用來(lái)做估計(jì)研究的本質(zhì)就是已知系統(tǒng)輸入變量和系統(tǒng)輸出變量的前提下，利用遞推公式計(jì)算并更新?tīng)顟B(tài)變量的最小均方差估計(jì)值，即找到狀態(tài)向量的最優(yōu)估計(jì)，并使其估計(jì)值和實(shí)測(cè)值之間的誤差方差最小。線性離散動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的卡爾曼計(jì)算步驟如下：（1）最優(yōu)預(yù)測(cè)估計(jì)方程：（4-9）（2）根據(jù)前一時(shí)刻狀態(tài)協(xié)方差，計(jì)算出k+1時(shí)刻的協(xié)方差矩陣的預(yù)測(cè)值。其中，為k時(shí)刻協(xié)方差矩陣的最優(yōu)濾波值。（4-10）（3）計(jì)算卡爾曼最優(yōu)濾波增益。（4-11）（4）輸出變量預(yù)測(cè)。（4-12）（5）根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)對(duì)k+1時(shí)刻的狀態(tài)變量進(jìn)行更新。其中表示時(shí)刻狀態(tài)變量的最優(yōu)濾波估計(jì)值。表示時(shí)刻輸出變量的觀測(cè)值。（4-13）（6）協(xié)方差矩陣更新，其中表示時(shí)刻協(xié)方差矩陣的優(yōu)濾波值。I為n階單位矩陣。（4-14）在算法的實(shí)現(xiàn)步驟中，步驟（1）～（2）為系統(tǒng)狀態(tài)變量和協(xié)方差矩陣的預(yù)測(cè)，是算法的預(yù)測(cè)階段，稱(chēng)為時(shí)間更新方程。步驟（3）～（6）為根據(jù)系統(tǒng)的真實(shí)輸出值對(duì)兩預(yù)測(cè)值進(jìn)行更新，是算法的更新階段，稱(chēng)為觀測(cè)更新方程。在電池電荷狀態(tài)的估計(jì)中，線性Kalman濾波的優(yōu)勢(shì)在于可以同時(shí)得到電池SOC的估計(jì)值和SOC估計(jì)誤差的協(xié)方差，保證了估計(jì)的準(zhǔn)確度，但是該方法計(jì)算復(fù)雜，且相當(dāng)依賴(lài)電池模型選取的準(zhǔn)確度[53]。1.1.2擴(kuò)展卡爾曼濾波算法原理實(shí)際工程應(yīng)用過(guò)程中，大部分的系統(tǒng)都是非限定的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，為了能在非線性系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)濾波，R.S.Bucy對(duì)Kalman濾波進(jìn)行了改進(jìn)，提出了一種擴(kuò)展卡爾曼濾波（ExtendedKalmanFilter，EKF）[54]。EFK的實(shí)質(zhì)是先將非線性系統(tǒng)線性化之后，再對(duì)已經(jīng)線性化后的系統(tǒng)進(jìn)行卡爾曼濾波。對(duì)于儲(chǔ)能鋰離子電池這種動(dòng)態(tài)非線性系統(tǒng)，為了更好的運(yùn)用Kalman，我們可以采用EKF先將電池的非線性系統(tǒng)變化為一個(gè)近似的線性化系統(tǒng)，然后再對(duì)其進(jìn)行線性濾波。下面將對(duì)EKF的濾波原理進(jìn)行介紹。對(duì)于非線性的離散系統(tǒng)，其狀態(tài)方程和觀測(cè)方程如下：（4-15）其中，非線性函數(shù)和為在所有采樣點(diǎn)上均可微的。為k時(shí)刻的系統(tǒng)狀態(tài)變量，表示k時(shí)刻的系統(tǒng)輸入量，表示k時(shí)刻的系統(tǒng)輸出量，為系統(tǒng)過(guò)程噪聲，為系統(tǒng)觀測(cè)噪聲，、為相互獨(dú)立的高斯白噪聲，過(guò)程噪聲和觀測(cè)噪聲的協(xié)方差矩陣分別為Q、R。EKF將非線性系統(tǒng)線性化的過(guò)程就是將非線性系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程和非線性測(cè)量方程進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)的展開(kāi)，省去高次項(xiàng)，留下一次項(xiàng)，從而可以獲得一個(gè)近似的線性系統(tǒng)。線性化后的系統(tǒng)狀態(tài)空間方程如式（4-16）所示。（4-16）式（4-16）中的各參數(shù)矩陣由狀態(tài)方程矩陣定義如下。（4-17）此時(shí)已經(jīng)得出非線性系統(tǒng)的線性化狀態(tài)方程，緊接著對(duì)其進(jìn)行卡爾曼濾波，具體步驟如下所示：（1）濾波初始化（4-18）（2）系統(tǒng)的時(shí)間更新方程（4-19）（3）系統(tǒng)的觀測(cè)更新方程（4-20）由上可見(jiàn)，通過(guò)EKF線性化后的系統(tǒng)同直接使用Kalman的線性系統(tǒng)一樣，先對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)變量和協(xié)方差矩陣進(jìn)行預(yù)測(cè)，再根據(jù)系統(tǒng)真實(shí)輸出對(duì)先前的預(yù)測(cè)進(jìn)行修正。只是線性化后的系統(tǒng)中，將轉(zhuǎn)移矩陣和觀測(cè)矩陣改為了由非線性函數(shù)的雅可比矩陣。在算法啟動(dòng)前，應(yīng)先對(duì)為、、Q和R賦初始值。電池模型中的狀態(tài)變量是由荷電狀態(tài)、極化電容電壓和而構(gòu)成的，在Matlab編程中，用電池開(kāi)路電壓確定的值，極化電容電壓一般為零，所以可以求得，且的容錯(cuò)性較高，為單位矩陣，Q和R的根據(jù)經(jīng)驗(yàn)取值。有時(shí)在實(shí)際應(yīng)用中，EKF的狀態(tài)變量初值不一定會(huì)確定，如果系統(tǒng)過(guò)程噪聲Q和系統(tǒng)觀測(cè)噪聲R的取值合理，則可以使?fàn)顟B(tài)變量經(jīng)過(guò)多次的迭代然后收斂到真值附近，這樣的算法就具有良好的魯棒性，而當(dāng)兩個(gè)噪聲取值不合適時(shí)，會(huì)造成算法的收斂性和穩(wěn)定性均有所降低，甚至發(fā)散。所以說(shuō)EFK的調(diào)節(jié)本質(zhì)上是追求系統(tǒng)收斂和卡爾曼濾波自身收斂這兩者的平衡。由公式（4-19）中協(xié)方差矩陣的預(yù)測(cè)公式可知，當(dāng)Q取值較小，則較小，由公式（4-20）中濾波最優(yōu)增益，當(dāng)較小，則濾波增益K也較小，這就導(dǎo)致了實(shí)際值對(duì)預(yù)測(cè)值的更新修改能力減弱，進(jìn)而使預(yù)測(cè)值在最優(yōu)濾波值中占據(jù)比較大的權(quán)重，致使預(yù)測(cè)值不易被修正改變，從而降低算法的收斂性。而相反的情況，當(dāng)K較大時(shí)，算法修正能力強(qiáng)，修正量在最優(yōu)濾波值中占據(jù)比較大的比重，則會(huì)使預(yù)測(cè)值輕易被修正，修正量太過(guò)占據(jù)主導(dǎo)地位從而導(dǎo)致算法穩(wěn)定性降低。因此在實(shí)際應(yīng)用中，噪聲方差Q、R的取值不但重要而且擁有一定的難度。1.1.3鋰電池模型的空間狀態(tài)方程在電池的等效電路參數(shù)辨識(shí)中，我們把等效電路模型中的輸入u和輸出y分別為對(duì)應(yīng)電池的電流I和電壓，狀態(tài)變量為SOC并寫(xiě)入狀態(tài)方程，、，則式子（3-1）、（3-2）、（3-11）可以整理為狀態(tài)空間方程的形式如下：（4-21）式子中，系數(shù)代表的含義分別為：狀態(tài)變量，,,,,,。式（3-12）為連續(xù)的狀態(tài)空間方程，要對(duì)二階戴維南等效電路模型進(jìn)行SOC估算，就必須對(duì)其連續(xù)狀態(tài)空間方程進(jìn)行離散化的處理，離散化形式如下式：（4-22）式子中，分別代表的含義為，，，，，，。已知時(shí)間常數(shù)，，其中T指的是采樣周期。1.2鋰電池SOC估算仿真1.2.1鋰電池SOC估算步驟在第三章中通過(guò)FFRLS算法實(shí)現(xiàn)了電池模型參數(shù)的在線辨識(shí)，在本章節(jié)中為了能夠使電池此刻的模型最接近于此刻的實(shí)際狀態(tài)，本文考慮了在模型進(jìn)行狀態(tài)估計(jì)的同時(shí)能提供出實(shí)時(shí)的模型參數(shù)這一操作，設(shè)計(jì)了將FFRLS在線辨識(shí)參數(shù)和EKF對(duì)電池荷電狀態(tài)進(jìn)行估計(jì)兩者的聯(lián)合。構(gòu)思的FFRLS+EKF聯(lián)合估計(jì)SOC的算法具體實(shí)施步驟如下：（1）初始化電池模型參數(shù)，根據(jù)公式（4-22）可以推導(dǎo)出系統(tǒng)狀態(tài)空間方程的對(duì)應(yīng)系數(shù)：；（2）利用EKF算法，通過(guò)迭代方程（4-18）～（4-20）來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)鋰電池SOC的估算，即得出當(dāng)前時(shí)刻；（3）根據(jù)SOC和OCV之間的擬合關(guān)系式求出k時(shí)刻對(duì)應(yīng)的開(kāi)路電壓；（4）FFRLS的輸出變量為電池端電壓減去電池的開(kāi)路電壓，接著根據(jù)公式（3-18）可以辨識(shí)出參數(shù)；（5）根據(jù)反推公式（3-19）計(jì)算出k時(shí)刻的模型參數(shù)，完成后繼續(xù)返回第一步，實(shí)現(xiàn)電池參數(shù)的在線辨識(shí)聯(lián)合。1.2.2鋰電池SOC估算結(jié)果在已建立鋰電池二階RC等效電路模型的前提下，利用該SOC估算模型，將實(shí)際實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)作為模型的輸入，使用FFRLS在線參數(shù)辨識(shí)和EKF聯(lián)合估計(jì)鋰電池SOC，即可對(duì)所用算法的鋰電池SOC估算效果進(jìn)行分析對(duì)比，分析對(duì)比圖如圖1.1、1.2所示：圖1.1FFRLS+EKF聯(lián)合估算SOC結(jié)果對(duì)比通過(guò)對(duì)圖1.1中聯(lián)合算法對(duì)SOC的估算結(jié)果分析，可以發(fā)現(xiàn)，在充電階段的實(shí)驗(yàn)中，正確的初始值應(yīng)當(dāng)是0，通過(guò)Matlab編寫(xiě)程序得出在EFK聯(lián)合FFRLS算法的情況下，當(dāng)SOC的初始值設(shè)置為SOC=0.7時(shí)，初始狀態(tài)的狀態(tài)估計(jì)誤差為70%，初始值設(shè)定的誤差較大的時(shí)候收斂較慢，但最終會(huì)經(jīng)過(guò)更新修正達(dá)到算法的收斂。充電階段隨時(shí)間變化的SOC估算誤差如圖1.2所示：圖1.2FFRLS+EKF聯(lián)合估算SOC的誤差將SOC初始值誤差修正為55%，其結(jié)果如圖1.3、1.4所示：圖1.3FFRLS+AEKF聯(lián)合估算SOC結(jié)果對(duì)比圖1.4FFRLS+EKF聯(lián)合估算SOC的誤差由誤差分析圖可以看出，在充電階段，初值選定的誤差越大，則前期的狀態(tài)估算誤差越大，總的來(lái)說(shuō)，SOC的初始取值并不會(huì)對(duì)后續(xù)的狀態(tài)估計(jì)產(chǎn)生較大的影響，說(shuō)明EKF算法對(duì)SOC的初始誤差有很強(qiáng)的修正作用，無(wú)論把初始誤差設(shè)置為多少，都能在很短的時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)算法的收斂，但如果