判斷矩陣合同一、矩陣合同的定義與基本概念矩陣合同是線性代數(shù)中描述矩陣之間一種重要關(guān)系的概念，與矩陣的相似、等價(jià)共同構(gòu)成矩陣三大基本關(guān)系。其核心定義為：設(shè)A、B是數(shù)域P上的n階矩陣，若存在數(shù)域P上的n階可逆矩陣C，使得B=C[^T]AC，則稱矩陣A與B合同，記作A?B。這一定義中蘊(yùn)含三個(gè)關(guān)鍵要素：一是矩陣的階數(shù)必須相同；二是轉(zhuǎn)換矩陣C必須可逆；三是運(yùn)算過程涉及矩陣的轉(zhuǎn)置與乘法的復(fù)合操作。從幾何視角看，合同變換本質(zhì)上是對(duì)二次型進(jìn)行坐標(biāo)變換的代數(shù)表達(dá)。在n維線性空間中，二次型f(x?,x?,…,x?)=X[^T]AX通過可逆線性變換X=CY可化為Y^TY=Y[^T]BY，這里的矩陣A與B就構(gòu)成合同關(guān)系。這種變換保持了二次型的幾何特性，如二次曲線的類型、曲面的慣性等，為解決幾何問題提供了代數(shù)工具。需要注意的是，矩陣合同與相似關(guān)系既存在聯(lián)系又有本質(zhì)區(qū)別。兩者都要求矩陣同階且存在可逆變換矩陣，但合同變換強(qiáng)調(diào)C[^T]AC的形式，而相似變換則是P[^-1]AP的結(jié)構(gòu)。在正交矩陣的特殊情形下，由于C[^T]=C[^-1]，此時(shí)合同變換與相似變換等價(jià)，這一特性在實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化中具有重要應(yīng)用。二、矩陣合同的判定條件（一）基本判定定理數(shù)域P上的n階矩陣A與B合同的充分必要條件是：A與B具有相同的秩和相同的正慣性指數(shù)。這一判定定理被稱為慣性定理，是合同關(guān)系最核心的判定準(zhǔn)則。其中秩r(A)=r(B)保證了二次型的維數(shù)不變，而正慣性指數(shù)p（即標(biāo)準(zhǔn)形中正平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)）則決定了二次型的定性性質(zhì)。慣性定理的嚴(yán)格證明需要通過二次型的規(guī)范形理論完成。任意實(shí)二次型都可經(jīng)過非退化線性變換化為規(guī)范形z?2+z?2+…+z?2-z???2-…-z?2，其中p為正慣性指數(shù)，r-p為負(fù)慣性指數(shù)。規(guī)范形的唯一性確保了慣性指數(shù)是合同關(guān)系的不變量，反之，若兩矩陣具有相同的慣性指數(shù)和秩，則必存在可逆變換實(shí)現(xiàn)合同轉(zhuǎn)換。（二）不同數(shù)域下的特殊判定在復(fù)數(shù)域上，合同關(guān)系的判定條件得到簡(jiǎn)化：n階復(fù)矩陣A與B合同當(dāng)且僅當(dāng)r(A)=r(B)。這是因?yàn)閺?fù)數(shù)域中√-1的存在使得負(fù)數(shù)項(xiàng)可轉(zhuǎn)化為正數(shù)項(xiàng)，規(guī)范形僅由秩唯一確定，即所有同秩復(fù)矩陣都合同于對(duì)角矩陣diag(1,1,…,1,0,…,0)（其中1的個(gè)數(shù)等于秩數(shù)）。在實(shí)數(shù)域上，除秩相等外，還需滿足正慣性指數(shù)相同。例如，對(duì)角矩陣diag(1,2)與diag(3,4)在實(shí)數(shù)域上合同（正慣性指數(shù)均為2），但diag(1,-1)與diag(-1,1)雖然秩相等（均為2），但正慣性指數(shù)不同（分別為1和1，此處需注意兩矩陣正慣性指數(shù)實(shí)際相同，應(yīng)改為diag(1,-1)與diag(-1,-1)正慣性指數(shù)分別為1和0），故不合同。（三）特殊矩陣類的判定實(shí)對(duì)稱矩陣：實(shí)對(duì)稱矩陣必合同于對(duì)角矩陣，且合同對(duì)角矩陣的非零元素個(gè)數(shù)等于矩陣的秩，正元素個(gè)數(shù)等于正慣性指數(shù)。這一性質(zhì)可通過正交變換實(shí)現(xiàn)，即存在正交矩陣Q，使得Q[^T]AQ=Λ，其中Λ為對(duì)角矩陣，其對(duì)角元為A的特征值。正定矩陣：n階實(shí)對(duì)稱矩陣A正定的充分必要條件是A合同于單位矩陣E。這是因?yàn)檎ň仃嚨恼龖T性指數(shù)為n，秩為n，故其規(guī)范形為E。常見的等價(jià)條件還包括：各階順序主子式全大于零；特征值全為正數(shù)；存在可逆矩陣D使得A=D[^T]D。對(duì)角矩陣：兩個(gè)同階對(duì)角矩陣合同當(dāng)且僅當(dāng)它們的對(duì)角元中正負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)相等（不計(jì)次序）。例如diag(2,-3,0)與diag(-5,1,0)合同（正慣性指數(shù)1，負(fù)慣性指數(shù)1，秩2），但與diag(1,1,-2)不合同（正慣性指數(shù)不同）。三、矩陣合同的基本性質(zhì)矩陣合同關(guān)系滿足等價(jià)關(guān)系的三個(gè)基本公理，構(gòu)成數(shù)域P上n階矩陣集合的一個(gè)等價(jià)分類：自反性：A?A。取C=E（單位矩陣），則有A=E[^T]AE，故自反性成立。這表明任何矩陣與其自身合同，是關(guān)系自洽的基礎(chǔ)。對(duì)稱性：若A?B，則B?A。由B=C[^T]AC可得A=(C[^-1])[^T]BC[^-1]，令D=C[^-1]，則A=D[^T]BD，故對(duì)稱性成立。這保證了合同關(guān)系的雙向性。傳遞性：若A?B且B?C，則A?C。由B=C?[^T]AC?和C=C?[^T]BC?，可得C=(C?C?)[^T]A(C?C?)，因C?、C?可逆，其乘積也可逆，故傳遞性成立。除基本等價(jià)性質(zhì)外，合同矩陣還具有以下重要特性：秩不變性：合同變換不改變矩陣的秩。因?yàn)榭赡婢仃嚺c任何矩陣相乘不改變矩陣的秩，故r(B)=r(C[^T]AC)=r(A)。這一性質(zhì)保證了二次型的維數(shù)在合同變換下保持不變。對(duì)稱性不變性：若A是對(duì)稱矩陣，則與A合同的矩陣B必為對(duì)稱矩陣。證明如下：B[^T]=(C[^T]AC)[^T]=C[^T]A[^T]C=C[^T]AC=B，故對(duì)稱性得以保持。這表明合同變換將對(duì)稱矩陣集映射到自身。特征值的符號(hào)分布不變性：雖然合同變換不保持特征值不變，但實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值中正負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)（不計(jì)重?cái)?shù)）在合同變換下保持不變。這正是慣性定理的體現(xiàn)，也是二次型定性分類的基礎(chǔ)。運(yùn)算兼容性：若A??B?，A??B?，且存在可逆矩陣C同時(shí)使B?=C[^T]A?C和B?=C[^T]A?C，則k?A?+k?A??k?B?+k?B?（k?,k?為數(shù)域P中的常數(shù)）。這一性質(zhì)在二次型的線性組合運(yùn)算中具有應(yīng)用價(jià)值。四、矩陣合同的應(yīng)用領(lǐng)域（一）二次型的標(biāo)準(zhǔn)化與定性分類矩陣合同理論最直接的應(yīng)用是二次型的標(biāo)準(zhǔn)化。通過合同變換，可將二次型矩陣化為對(duì)角矩陣，從而消去交叉項(xiàng)，得到標(biāo)準(zhǔn)形f=λ?y?2+λ?y?2+…+λ?y?2。常用的方法包括：配方法：通過代數(shù)配方逐步消去交叉項(xiàng)，構(gòu)造可逆線性變換。例如對(duì)f(x?,x?)=x?2+4x?x?+2x?2，可配方為(x?+2x?)2-2x?2，令y?=x?+2x?，y?=x?，即得標(biāo)準(zhǔn)形y?2-2y?2。初等變換法：對(duì)增廣矩陣[A|E]進(jìn)行成對(duì)的初等行變換和列變換，當(dāng)A化為對(duì)角矩陣時(shí)，E同步化為變換矩陣C。具體操作是：對(duì)A施行一次初等行變換后，立即對(duì)列施行相同的初等變換，保證合同關(guān)系不變。正交變換法：對(duì)于實(shí)二次型，可通過正交矩陣將其化為標(biāo)準(zhǔn)形，此時(shí)標(biāo)準(zhǔn)形的系數(shù)為矩陣的特征值。這種方法的優(yōu)勢(shì)是保持幾何度量不變，在解析幾何中有特殊應(yīng)用。二次型的定性分類是合同理論的重要應(yīng)用方向。根據(jù)正慣性指數(shù)p和秩r的不同組合，實(shí)二次型可分為：正定二次型：p=r=n，如f=x?2+x?2+x?2負(fù)定二次型：p=0，r=n，如f=-x?2-x?2-x?2半正定二次型：p=r<n，如f=x?2+x?2半負(fù)定二次型：p=0，r<n，如f=-x?2-x?2不定二次型：0<p<r≤n，如f=x?2-x?2這種分類在多元函數(shù)極值判定中具有關(guān)鍵作用。對(duì)于二元函數(shù)f(x,y)在駐點(diǎn)(x?,y?)處的Hessian矩陣H=[[f??,f??],[f??,f??]]，若H正定則函數(shù)取極小值，負(fù)定則取極大值，不定則為鞍點(diǎn)，半正定或半負(fù)定時(shí)需進(jìn)一步判斷。（二）解析幾何中的坐標(biāo)變換在解析幾何中，二次曲線和二次曲面的方程化簡(jiǎn)依賴于矩陣合同變換。以平面二次曲線為例，一般方程為ax2+2bxy+cy2+2dx+2ey+f=0，其二次項(xiàng)部分對(duì)應(yīng)矩陣A=[[a,b],[b,c]]。通過坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)變換消去交叉項(xiàng)（即合同變換），可將方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，從而判斷曲線類型：當(dāng)|A|>0時(shí)，曲線為橢圓型（包括橢圓、點(diǎn)或虛橢圓）當(dāng)|A|=0時(shí)，曲線為拋物型（包括拋物線或兩條平行直線）當(dāng)|A|<0時(shí)，曲線為雙曲型（包括雙曲線或兩條相交直線）例如，對(duì)于方程5x2+4xy+2y2=1，其矩陣A=[[5,2],[2,2]]，通過合同變換可化為標(biāo)準(zhǔn)形6y?2+y?2=1，這是一個(gè)橢圓方程，其長(zhǎng)短半軸分別為1/√6和1。在三維空間中，二次曲面的分類更為復(fù)雜，但同樣基于3階對(duì)稱矩陣的合同分類。通過合同變換，可將一般二次曲面方程化為17種標(biāo)準(zhǔn)形式之一，如橢球面、單葉雙曲面、雙葉雙曲面等，每種標(biāo)準(zhǔn)形式對(duì)應(yīng)不同的合同類。（三）力學(xué)系統(tǒng)的能量表達(dá)與穩(wěn)定性分析在力學(xué)系統(tǒng)中，動(dòng)能和勢(shì)能的表達(dá)式常以二次型形式出現(xiàn)。例如，n個(gè)質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)的動(dòng)能T=?∑∑m??q??q??（q??為廣義速度），勢(shì)能V=?∑∑k??q?q?（q?為廣義坐標(biāo)），其矩陣形式分別為T=??[^T]M?和V=?X[^T]KX，其中M為質(zhì)量矩陣，K為剛度矩陣，兩者均為對(duì)稱矩陣。系統(tǒng)的穩(wěn)定性可通過勢(shì)能二次型的正定性判斷：若剛度矩陣K正定，則系統(tǒng)在平衡位置附近穩(wěn)定；若K半正定，則可能處于隨遇平衡狀態(tài)；若K不定，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。這種判定本質(zhì)上是通過合同變換將K化為標(biāo)準(zhǔn)形，考察其慣性指數(shù)。在振動(dòng)理論中，通過合同變換（正交變換）將質(zhì)量矩陣和剛度矩陣同時(shí)對(duì)角化（即正則模態(tài)分析），可將耦合振動(dòng)系統(tǒng)分解為獨(dú)立的單自由度振動(dòng)系統(tǒng)，大大簡(jiǎn)化問題求解。此時(shí)的合同變換矩陣對(duì)應(yīng)系統(tǒng)的模態(tài)振型矩陣。（四）最優(yōu)化理論中的二次規(guī)劃二次規(guī)劃問題的一般形式為：minf(X)=?X[^T]AX+b[^T]X，s.t.CX=d，其中A為n階對(duì)稱矩陣。該問題有最優(yōu)解的充分條件是A為半正定矩陣（無(wú)約束情形）或約束規(guī)格滿足且Lagrange函數(shù)的Hessian矩陣半正定（約束情形）。矩陣A的正定性判定依賴于合同理論：A正定當(dāng)且僅當(dāng)A合同于單位矩陣，此時(shí)f(X)為嚴(yán)格凸函數(shù)，具有唯一極小值點(diǎn)。通過合同變換X=CY將目標(biāo)函數(shù)化為標(biāo)準(zhǔn)形f=?Y[^T]ΛY+(b[^T]C)Y，可簡(jiǎn)化最優(yōu)解的計(jì)算過程。在工程優(yōu)化設(shè)計(jì)中，如結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化、控制系統(tǒng)參數(shù)整定等問題，常需通過二次規(guī)劃模型求解，矩陣合同理論為這些問題的適定性分析提供了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。（五）控制理論中的系統(tǒng)穩(wěn)定性在線性控制系統(tǒng)理論中，Lyapunov穩(wěn)定性判據(jù)與矩陣合同密切相關(guān)。對(duì)于線性定常系統(tǒng)?=Ax，其漸近穩(wěn)定的充分必要條件是：對(duì)任意給定的正定矩陣Q，存在正定矩陣P，使得A[^T]P+PA=-Q。這里的矩陣P的正定性即通過合同關(guān)系定義，即P合同于單位矩陣。在二次型Lyapunov函數(shù)V(x)=x[^T]Px中，P的正定性保證了V(x)是正定函數(shù)，而A[^T]P+PA的負(fù)定性則保證了V(x)沿系統(tǒng)軌跡的導(dǎo)數(shù)為負(fù)定函數(shù)，從而確保系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。這種方法可推廣到非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析，構(gòu)成現(xiàn)代控制理論的重要基礎(chǔ)。五、矩陣合同的擴(kuò)展與深化（一）無(wú)限維空間中的合同概念在泛函分析中，矩陣合同概念可推廣到無(wú)限維內(nèi)積空間中的有界自伴算子。設(shè)H是Hilbert空間，T、S是H上的有界自伴算子，若存在有界可逆算子C，使得S=C[^]TC（其中C[^]為C的共軛轉(zhuǎn)置），則稱T與S合同。此時(shí)的慣性定理表現(xiàn)為算子的譜分解中正、負(fù)、零譜子空間的維數(shù)不變性。（二）矩陣束的合同等價(jià)矩陣束是指形如A+λB的矩陣族（λ為參數(shù)），其合同等價(jià)性定義為：若存在可逆矩陣P、Q及多項(xiàng)式可逆矩陣R(λ)，使得P(A+λB)Q=R(λ)^TR(λ)，則稱兩矩陣束合同等價(jià)。這一概念在控制理論的極點(diǎn)配置問題中具有重要應(yīng)用。（三）合同變換在數(shù)值計(jì)算中的應(yīng)用在數(shù)值線性代數(shù)中，合同變換常用于對(duì)稱矩陣的特征值計(jì)算。通過Householder變換（一種正交合同變換）可將對(duì)稱矩陣化為三對(duì)角矩陣，再用QR方法求解特征值，大大提高計(jì)算效率。這種方法的穩(wěn)定性源于正交變換保持矩陣的范數(shù)不變，可有效控制舍入誤差。合同變換還在矩陣分解中發(fā)揮作用，如Cholesky分解A=LL[^T]（A為正定矩陣）本質(zhì)上是將A合同于單位矩陣的過程，分解得到的下三角矩陣L正是合同變換矩陣的逆矩陣轉(zhuǎn)置。Cholesky分解在求解線性方程組Ax=b中具有廣泛應(yīng)用，其計(jì)算量約為L(zhǎng)U分解的一半。六、典型例題解析例1：判斷矩陣合同關(guān)系設(shè)A=diag(1,-1,0)，B=diag(-1,-1,2)，C=diag(2,3,0)，判斷下列矩陣對(duì)是否合同：(1)A與B；(2)A與C。解：(1)r(A)=2，正慣性指數(shù)p=1；r(B)=3，正慣性指數(shù)p=1。因秩不同，故A與B不合同。(2)r(A)=2，p=1；r(C)=2，p=2。因正慣性指數(shù)不同，故A與C不合同。例2：二次型的標(biāo)準(zhǔn)化用配方法化二次型f(x?,x?,x?)=x?2+2x?2+5x?2+2x?x?+2x?x?+6x?x?為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出合同變換矩陣。解：先對(duì)x?配方：f=(x?+x?+x?)2+x?2+4x?2+4x?x?再對(duì)x?配方：=(x?+x?+x?)2+(x?+2x?)2令y?=x?+x?+x?，y?=x?+2x?，y?=x?則標(biāo)準(zhǔn)形為f=y?2+y?2，合同變換矩陣C=?1-11??01-2??001?例3：正定矩陣的判定與應(yīng)用設(shè)A是n階正定矩陣，證明A?