專題2.3二次函數(shù)與一元二次方程、不等式（舉一反三講義）【人教A版（2019）】TOC\o"13"\h\u【題型1解不含參數(shù)的一元二次不等式】 2【題型2解含參數(shù)的一元二次不等式】 2【題型3解分式、高次、絕對值不等式】 3【題型4由一元二次不等式的解確定參數(shù)】 4【題型5一元二次不等式恒成立問題】 5【題型6一元二次不等式有解問題】 5【題型7一元二次不等式的實際應用】 6【題型8二次函數(shù)的圖象分析與判斷】 8【題型9二次函數(shù)的單調性問題】 9【題型10三個“二次”關系的應用】 10知識點1一元二次不等式1．一元二次不等式一般地，我們把只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均為常數(shù)，a≠0.2．一元二次不等式的解法(1)解不含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟：①通過對不等式變形，使二次項系數(shù)大于零；②計算對應方程的判別式；③求出相應的一元二次方程的根，或根據(jù)判別式說明方程沒有實根；④根據(jù)函數(shù)圖象與x軸的相關位置寫出不等式的解集．(2)解含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟：①若二次項系數(shù)含有參數(shù)，則需對二次項系數(shù)大于0、等于0與小于0進行討論；②若求對應一元二次方程的根需用公式，則應對判別式Δ進行討論；③若求出的根中含有參數(shù)，則應對兩根的大小進行討論．3．分式、高次、絕對值不等式的解法(1)解分式不等式的一般步驟：①對于比較簡單的分式不等式，可直接轉化為一元二次不等式或一元一次不等式組求解，但要注意分母不為零．②對于不等號右邊不為零的較復雜的分式不等式，先移項再通分(不要去分母)，使之轉化為不等號右邊為零，然后再用上述方法求解．(2)解高次不等式的一般步驟：高次不等式的解法：如果將分式不等式轉化為正式不等式后，未知數(shù)的次數(shù)大于2，一般采用“穿針引線法”，步驟如下：①標準化；②分解因式；③求根；④穿線；⑤得解集.(3)解絕對值不等式的一般步驟：對于絕對值不等式，可以分類討論然后去括號求解；還可以借助數(shù)軸來求解.4．一元二次不等式恒成立、存在性問題【題型1解不含參數(shù)的一元二次不等式】【例1】（2425高一上·新疆和田·期末）不等式?3x2+7x?2<0A．13,2 B．?∞,13∪2,+∞【變式11】（2425高一上·山西晉中·期中）不等式x2?2xA．x∣x>0 B．{x∣x<2} 【變式12】（2425高一上·湖南婁底·期末）不等式x2+5xA．{x∣x<?1或x>6}C．x?6<x<1【變式13】（2425高一上·云南昭通·階段練習）不等式?x2?3A．?4,1 B．?1,4C．?∞,?4∪1,+∞ D．【題型2解含參數(shù)的一元二次不等式】【例2】（2025高一上·河北保定·專題練習）若0<t<1，則關于x的不等式(x?tA．{x|1C．{x|x【變式21】（2425高一上·陜西渭南·階段練習）關于x的不等式ax2+2aA．?∞,?2 B．?2,C．?∞,?2∪1a【變式22】（2425高一上·江蘇淮安·階段練習）已知實數(shù)a∈R，則不等式x+aA．x?a<C．{x|x>?a或x【變式23】（2425高一上·上海金山·期末）當0<a<1時，關于x的不等式x?3A．?∞,a?3aC．3,a?3a【題型3解分式、高次、絕對值不等式】【例3】（2425高一上·安徽宿州·期末）不等式2x+1x?1A．?12,1C．?∞,?12∪【變式31】（2425高一上·遼寧·期中）不等式x+3x?2A．?3,1∪2,+∞ B．?∞,?3∪1,2 C．【變式32】（2425高一上·上海·階段練習）求下列不等式的解集：(1)x?1(2)x?3【變式33】（2425高一上·湖南懷化·期中）求下列不等式的解集：(1)x(2)2(3)2【題型4由一元二次不等式的解確定參數(shù)】【例4】（2324高一下·云南玉溪·期末）若關于x的不等式x2+bx+c≤1b,A．?12 B．?32 【變式41】（2425高一上·天津·期末）關于x的不等式2x2+1?2aA．2,3 B．2,3 C．2,3 D．2,3【變式42】（2425高一上·云南昭通·期中）已知不等式ax2+bx+c<0A．aB．cC．aD．cx2【變式43】（2425高一上·湖北武漢·期中）已知關于x的不等式x2?a+1xA．5,6 B．?4,?3C．?4,?3∪5,6 【題型5一元二次不等式恒成立問題】【例5】（2425高一上·重慶·期末）若不等式a?2x2?2a?2xA．?∞,?2∪2,+∞ C．?2,2 D．?2,2【變式51】（2425高一上·廣東江門·階段練習）任意x∈?1,1，使得不等式x2?xA．m≥12 B．m≤14【變式52】（2425高一下·四川瀘州·開學考試）已知不等式ax2?3(1)求a,(2)若不等式mx2+mx+3【變式53】（2425高一上·全國·課前預習）設函數(shù)y=(1)若對于一切實數(shù)x,y<0(2)對于1≤x≤3,y【題型6一元二次不等式有解問題】【例6】（2425高一上·江西南昌·階段練習）若關于x的不等式x2?4x>a2?5aA．0,5 B．1,4C．(?∞，0)∪(5，+∞) D．?∞，1【變式61】（2425高一上·福建莆田·階段練習）若?x∈x|1≤x≤3，使得A．a≥1 B．a≥2 C．a≥3【變式62】（2425高一上·福建福州·階段練習）設y=(1)當a=2時，解關于x的不等式y(tǒng)(2)當a<0時，解關于x的不等式y(tǒng)(3)若關于x的不等式y(tǒng)≥?2在x≥1時有解，求實數(shù)【變式63】（2425高一上·河北張家口·階段練習）已知函數(shù)fx=2x(1)當a=1時，解不等式f(2)若對任意x>0，都有fx>(3)若對?x1∈0,1，?x【題型7一元二次不等式的實際應用】【例7】（2425高一上·廣東肇慶·階段練習）某網店銷售一批新款削筆器，每個削筆器的最低售價為15元.若按最低售價銷售，每天能賣出30個，若一個削筆器的售價每提高1元，日銷售量將減少2個.為了使這批削筆器每天獲得400元以上的銷售收入，這批削筆器的銷售單價x（單位：元）的取值范圍是（

）A．10,20 B．15,20 C．16,20 D．15,25【變式71】（2425高一上·陜西西安·階段練習）某花卉店售賣一種多肉植物，若每株多肉植物的售價為30元，則每天可賣出25株；若每株多肉植物的售價每降低1元，則日銷售量增加5株．為了使這種多肉植物每天的總銷售額不低于1250元，則每株這種多肉植物的最低售價為（

）A．25元 B．20元 C．10元 D．5元【變式72】（2425高一上·河南駐馬店·階段練習）某文具店購進一批新型臺燈，若按每盞臺燈15元的價格銷售，每天能賣出30盞；若售價每提高1元，日銷售量將減少2盞，現(xiàn)決定提價銷售，為了使這批臺燈每天獲得400元以上（不含400元）的銷售收入.則這批臺燈的銷售單價x（單位：元）的取值范圍是（

）A．x15≤x<22C．x15≤x<20【變式73】（2425高一下·河南·開學考試）河南是華夏文明的主要發(fā)祥地之一，眾多的文物古跡和著名的黃河等自然風光構成了河南豐富的旅游資源，在旅游業(yè)蓬勃發(fā)展的帶動下，餐飲、酒店、工藝品等行業(yè)持續(xù)發(fā)展．某連鎖酒店共有500間客房，若每間客房每天的定價是200元，則均可被租出；若每間客房每天的定價在200元的基礎上提高10x元（1≤x≤10，x∈Z），則被租出的客房會減少15xA．250元 B．260元 C．270元 D．280元知識點2三個“二次”的關系1．二次函數(shù)的零點一般地，對于二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，我們把使ax2＋bx＋c＝0的實數(shù)x叫做二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的零點．【注】：(1)二次函數(shù)的零點不是點，是二次函數(shù)與x軸交點的橫坐標．(2)一元二次方程的根是相應一元二次函數(shù)的零點．2．二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的解的對應關系?>0?=0?<0y=ax2+bx+c(a>0)的圖象ax2+bx+c=0(a>0)的根有兩個不相等的實數(shù)根x1,x2（x1<x2）有兩個相等的實數(shù)根沒有實數(shù)根ax2+bx+c>0(a>0)的解集Rax2+bx+c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}【注】：(1)對于一元二次不等式的二次項系數(shù)為正且存在兩個根的情況下，其解集的常用口訣是：大于取兩邊，小于取中間．(2)對于二次項系數(shù)是負數(shù)(即a<0)的不等式，可以先把二次項系數(shù)化為正數(shù)，再對照上述情況求解．【題型8二次函數(shù)的圖象分析與判斷】【例8】（2425高一上·福建福州·階段練習）不等式cx2+ax+b>0的解集為A．

B．

C．

D．

【變式81】（2425高一上·湖南株洲·階段練習）不等式cx2+ax+b>0【變式82】（2425高一上·江西南昌·開學考試）在同一平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=ax2與一次函數(shù)y=A． B．C． D．【變式83】（2425高一上·山西·期中）已知函數(shù)fx=ax2+bxA．?12,1C．?∞,?2∪1,+∞ 【題型9二次函數(shù)的單調性問題】【例9】（2425高一上·廣西欽州·階段練習）“m<?17”是“函數(shù)fx=?3x2A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【變式91】（2425高二下·山東濰坊·期末）已知二次函數(shù)f(x)=ax2+A．(?∞,?1] B．[?1,+∞)C．(?∞,2] D．[2,+∞)【變式92】（2425高一上·陜西渭南·期末）已知函數(shù)f(x)=A．f(0)>f(1) B．f(?2)>f(4)【變式93】（2425高一上·海南·階段練習）若函數(shù)fx=x2+1+aA．?∞,7 B．7,+∞ C．?7,+∞ D．?∞,?7【題型10三個“二次”關系的應用】【例10】（2425高一上