專題02一元二次方程（期中復習講義）核心考點復習目標考情規(guī)律一元二次方程的定義理解一元二次方程的定義，能夠正確的判斷是否為一元二次方程以及求參數(shù)的值?；A必考點，經(jīng)常出現(xiàn)在選填題中一元二次方程的解掌握一元二次方程的解，并能夠利用一元一次方程的解求參數(shù)常考題，常出現(xiàn)在選擇題和填空題中解一元二次方程熟練的使用直接開平方法、因式分解法、配方法以及公式法解一元二次方程解答題高頻考點，作為計算題出現(xiàn)在解答題第一道或者作為計算橋梁。一元二次方程根的判別式熟練的使用一元二次方程根的判別式判斷一元二次方程的根并求參數(shù)的取值范圍高頻考點，常常出現(xiàn)在選擇填空題中，是考試?？贾R點一元二次方程根與系數(shù)的關系熟記根與系數(shù)關系的公式，正確使用根與系數(shù)的關系求解常考題，一元二次方程根與系數(shù)的關系作為考試中的重點題型出現(xiàn)，難度中等。一元二次方程的實際應用準確的將一元二次方程運用在實際生活中，將數(shù)學與實際生活聯(lián)系起來期中常考題，一元二次方程的實際應用往往出現(xiàn)在解答題中知識點01一元二次方程的定義①只含一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2，這樣的整式方程叫做一元二次方程。②一元二次方程的一般式為ax2+bx+c=0,其中（a≠0，a、b、c為常數(shù)），ax2知識點02一元二次方程的解①直接開平方法一般地，對于方程x（1）當p>0時，根據(jù)平方根的意義，方程有兩個不相等的實數(shù)根（2）當p=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根x（3）當p＜0時，方程沒有實數(shù)根。②配方法一般地，如果一個一元二次方程通過配方轉化為x+（1）當p＞0時，根據(jù)平方根的意義，方程有兩個不等的實數(shù)根x1=?n（2）當p=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根x1（3）當p＜0時，因為對于任意的實數(shù)x,都有x+n對于任意的一元二次方程ax2+bx③公式法任何一個一元二次方程都是可以寫成一般式ax2+bxx1=?b+④因式分解法把一個一元二次方程整理成一般形式ax2+bx知識點03一元二次方程根的判別式知識點b2?4ac叫做一元二次方程根的判別式，通常用符號“△”來表示，用它可以直接判斷一元二次方程ax（1）當△＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）當△=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）當△＜0式，方程沒有實數(shù)根。知識點04一元二次方程根與系數(shù)的關系x1、x2是一元二次方程ax2+注意：使用一元二次方程根與系數(shù)的關系公式時，前提是此方程要有根即△≥0知識點05一元二次方程實際應用①一元二次方程實際應用之增長率問題公式：a1±x2=b（其中②一元二次方程實際應用之利潤問題總利潤=單件利潤×總銷售量=（一件的售價一件的成本）×總銷售量，利潤率=利潤③一元二次方程實際應用之握手、球賽問題公式：握手次數(shù)=nn?1題型一判斷是否為一元二次方程解｜題｜技｜巧判斷是否為一元二次方程的方法①只含一個未知數(shù)；②未知數(shù)的最高次數(shù)為2；③整式方程（分母不含字母）；④如果方程不是一般形式，需要進行化簡后再判斷?！镜淅?】下列方程中，是一元二次方程的是（）A．x2+2xy=1 B．x2+x+1【答案】C【分析】本題考查一元二次方程的定義，解題的關鍵在于掌握一元二次方程必須滿足：（1）含有一個未知數(shù)，含未知數(shù)的項的最高次數(shù)是2；（2）整式方程．根據(jù)一元二次方程的定義求解，即可解題．【詳解】解：A.x2B.x2C.x2D.ax2+故選：C．【變式1】(2425九上·廣西柳州鹿寨縣·期中)下列方程中是一元二次方程的是（）A．y=4x2?5C．x2=0 【答案】C【分析】本題主要考查了一元二次方程的定義，熟知一元二次方程的定義是解題的關鍵：含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的最高次為2的整式方程叫做一元二次方程．根據(jù)一元二次方程的定義進行求解即可．【詳解】解：A、方程y=4B、方程x+5x+6C、方程x2D、方程x2故選：C．【變式2】(2425九上·福建漳浦道周中學·期中)下列方程中，一定是一元二次方程的是（

）A．a(chǎn)x2+bx+c=0 B．【答案】B【分析】本題主要考查了一元二次方程的定義，解題的關鍵在于熟知只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程．【詳解】A、ax2+B、7x2+6=3x：移項整理為7xC、x3D、2x2?5y=0故選：B．題型二根據(jù)一元二次方程的定義求參數(shù)解｜題｜技｜巧①求值：找出所給方程中最高次數(shù)并讓它等于2，從而求解出未知數(shù)的值；②驗證：將①中求出的未知數(shù)的值代入方程中檢驗，看是否滿足為一元二次方程?！镜淅?】已知關于x的方程(m?1)x|m【答案】?1【分析】本題考查了一元二次方程的定義，能根據(jù)一元二次方程的定義得出m?1≠0且|m|+1=2根據(jù)一元二次方程的定義得出m?1≠0且|m|+1=2【詳解】解：根據(jù)題意得m?1≠0且|解得：m=?1故答案為：?1．【變式1】(2425九上·山東濰坊濰城區(qū)·期中)若m?3xm?1+m【答案】?1【分析】本題考查的是一元二次方程的定義，熟知只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程是解答此題的關鍵．根據(jù)定義可得m?1=2且【詳解】解：∵m?3xm∴m?1=2且解得m=?1故答案為：?1．【變式2】(2425八下·黑龍江哈爾濱德強學?！て谥?當a=時，xa?2【答案】4【分析】本題考查了一元二次方程，根據(jù)一元二次方程的定義解答即可求解，掌握一元二次方程的定義是解題的關鍵．【詳解】解：∵xa?2?5∴a?2=2∴a=4故答案為：4．題型三由一元二次方程的解求代數(shù)式的值【典例3】已知m是一元二次方程x2+4x?1=0的根，則【答案】0【來源】四川省內江市第一中學20212022學年九年級上學期期中考試數(shù)學試題【分析】本題主要考查了代數(shù)式求值，掌握一元二次方程解的意義是解題關鍵．根據(jù)方程的解代入方程得出m2+4m【詳解】解：∵m是一元二次方程x2∴m2∴m2∴m====?=?=?1+1=0，故答案為：0；【變式1】(2425九上·福建漳州長泰區(qū)·期中)若一元二次方程有一個根是x=1，則這個方程可以是（

A．x+1x+2C．x2?2x【答案】B【分析】本題考查的是一元二次方程的解，能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．根據(jù)一元二次方程的解的定義判斷即可．【詳解】解：A、當x=1時，1+11+2≠0，則xB、當x=1時，12?1=0，則xC、當x=1時，12?2?1≠0，則xD、當x=1時，12+1≠0，則x故選：B．【變式2】已知a是方程x2?2026x+1=0的一個根，則A．2023 B．2024 C．2025 D．2026【答案】C【分析】本題考查了一元二次方程的根，已知式子的值求代數(shù)式的值，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．先理解題意，則把x=a代入x2?2026x+1=0，得a2【詳解】解：∵a是方程x∴a即a2∴a2則a=2026====2025．故選：C．題型四一元二次方程解的估算解｜題｜技｜巧對照表格找出ax【典例4】(2425九上·浙江溫州·期中)根據(jù)下列表格的對應值，判斷方程ax2+bx+c=0（a≠0，x3.13.23.33.4a?1.3?0.6?0.30.5A．3<x<3.1 B．3.1<x<3.2 C．【答案】D【分析】本題考查求一元二次方程的近似根，根據(jù)表格，找到相鄰兩個x的值，使ax【詳解】解：由表格可知：當x=3.3時，ax2+bx∴當3.3<x<3.4時，必然存在一個x，使∴ax2+bx+c=0（a≠0，故選D．【變式1】(2425九上·山西運城臨猗縣多?！て谥?已知關于x的二次三項式axx3.13.23.33.43.5a?0.69?0.36?0.010.360.75據(jù)此可估計關于x的一元二次方程ax2+A．3.1<x<3.2 C．3.3<x<3.4 【答案】C【分析】本題考查了估算一元二次方程的近似解，根據(jù)表格數(shù)據(jù)得到x=3.3時，ax2+bx【詳解】解：∵x=3.3時，ax=3.4時，a∴關于x的一元二次方程ax2+故選：C．【變式2】(2425九上·福建漳州臺商投資區(qū)·期中)如表是某同學求代數(shù)式ax2+bx（a，b為常數(shù)）的值的情況．根據(jù)表格中數(shù)據(jù)，可知關于x??2?10123?a?620026?A．x1=2，x2=?3 C．x1=0，x2=1 【答案】D【分析】本題考查了方程的解，將關于x的方程ax2+bx?6=0化為ax2+bx=6，由表格可知，當【詳解】解：關于x的方程ax2+由表格可知，當x=?2或3時，a∴關于x的方程ax2+bx?6=0故選：D．題型五一元二次方程的一般式解｜題｜技｜巧一元二次方程的一般式為ax注意：在找一元二次方程各項系數(shù)時，需要先將一元二次方程化簡為一般形式后再進行求解?！镜淅?】(2425九上·遼寧沈陽·期中)一元二次方程3x2?3A．3，?5，9 B．3，?5，?9 C．3，5，9 D．3，5，?9【答案】B【分析】本題考查一元二次方程的一般式，將方程化為一般形式ax【詳解】解：原方程為3x2?3將右邊5x移到左邊，得：3則二次項系數(shù)為3，一次項系數(shù)為?5，常數(shù)項為?9；故選B．【變式1】(2425九上·廣西欽州靈山縣青云中學·期中)將方程x2?2xA．?2,?10 B．?2,10 C．2,?10 D．2，10【答案】A【分析】本題考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a、b、c是常數(shù)且a≠0），特別要注意a≠0的條件．在一般形式中ax2【詳解】解：原方程為x2移項得：x2?2x?10=0，此時二次項系數(shù)為1，一次項系數(shù)為故選：A．【變式2】(2425九上·內蒙古呼倫貝爾莫力達瓦達斡爾族自治旗達斡爾中學·期中)已知一元二次方程x2?3xA．3、5 B．?3、5 C．3、?5 D．?3、?5【答案】D【分析】本題考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0a≠0，其中a【詳解】解：將x2?3x∴一元二次方程x2?3x故選：D．【變式3】(2425九下·河北邢臺內丘縣·期中)若一元二次方程3x?5=2xA．3 B．?3 C．5 D．?5【答案】B【分析】本題主要考查了一元二次方程的一般形式，先將方程化為一般形式，然后寫出一次項系數(shù)解答即可．將方程整理為一般形式，確定一次項系數(shù)。【詳解】解：原方程化為一般式為2此時二次項系數(shù)為2，一次項系數(shù)為?3，故選：B．題型六解一元二次方程（計算題）【典例6】(2425九上·湖北襄陽·期中)解下列方程：(1)5(2)x【答案】(1)x1=?(2)x1=2【分析】本題主要考查解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關鍵．（1）先移項，再用提公因式法因式分解求解可得；（2）直接利用十字相乘法因式分解求解可得．【詳解】（1）解：5x5x5x5x5x+2=0或解得：x1=?2（2）解：x2x?2x?2=0或x解得：x1=2，【變式1】按要求解方程：(1)x2(2)13【答案】(1)x(2)x【分析】本題主要考查解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的方法是解答本題的關鍵．（1）方程兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方，配方后運用直接開平方法求得未知數(shù)的值即可；（2）方程移項后運用因式分解法解答即可．【詳解】（1）解：x2x2x+4x+4=±5∴x1（2）解：1313x?1x?1=0，∴x1【變式2】(2425九上·寧夏銀川靈武五?！て谥?選用適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?1)49(2)x(3)2(4)x【答案】(1)x1=(2)x1=0(3)x1=(4)x【分析】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的常用方法（直接開平方法、配方法、公式法、換元法、因式分解法等）是解題關鍵．（1）方程可以變形為x2（2）方程可以變形為x+4（3）方程利用平方差公式變形為3x（4）方程利用完全平方公式變形為x?3【詳解】（1）解：49x49xx2x=±所以方程的解為x1=6（2）解：x+4x+4x+4=4或xx=0或x所以方程的解為x1=0，（3）解：2x2x2x3x3x?2=0或x=23所以方程的解為x1=2（4）解：x+2x+2?5x?3所以方程的解為x1題型七特殊值解一元二次方程【典例7】(2425九上·福建漳州臺商投資區(qū)·期中)已知關于x的方程ax+m2+b=0（a，b，m為常數(shù)，a≠0）的解是A．x1=2，x2=?3 C．x1=0，x2=?1 【答案】D【分析】此題主要考查了方程解的定義，把后面一個方程中的x+2看作整體，相當于前面一個方程中的x【詳解】解：∵關于x的方程ax+m2+b=0（a∴方程ax+m即x+2=2或x解得：x1=0或故選：D．【變式1】(2425八下·浙江溫州·期中)若關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0ac≠0A．?m B．1m C．m 【答案】D【分析】本題考查一元二次方程的解，解題的關鍵是理解方程的解的定義；根據(jù)x=m滿足方程ax2+【詳解】解：x=m把代入一元二次方程am兩邊除以?m2（m≠0，若m=0，代入ax?ac?∴當x=?1m∴方程cx2?故選：D．【變式2】(2425九上·山東煙臺龍口（五四制）·期中)若關于x的一元二次方程ax2+bx+2=0(a≠0)A．2024 B．2025 C．2026 D．2027【答案】C【分析】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．由于關于x的一元二次方程ax2+bx+2=0（a≠0）有一根為x=2025，則把方程ax?12【詳解】解：∵ax∴ax∵x=2025是a∴x?1=2025也是a即x=2025+1=2026故選：C．【變式3】(2425九上·山東煙臺蓬萊區(qū)·期中)若關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0ac≠0A．2025 B．?2025 C．12025 D．【答案】C【分析】本題考查一元二次方程的解，x=2025代入一元二次方程ax2+bx【詳解】解：把x=2025代入一元二次方程ax2兩邊除以20252，得a∴12025∴12025是一元二次方程c故選：C．【變式4】(2425九下·江蘇徐州邳州實驗中學等多校聯(lián)考·月考)若關于x的一元二次方程x2+bx+c=0的解為x1=3，A．y1=3，y2=?4 C．y1=2，y2=?3 【答案】D【分析】本題主要考查了一元二次方程的解，能根據(jù)題意得出兩個方程解之間的關系是解題的關鍵．根據(jù)題意得出，后一個方程是用y?1替換了前一個方程中的x【詳解】解：由題知，后一個方程是用y?1替換了前一個方程中的x又∵關于x的一元二次方程x2+bx+c∴y?1=3或?4∴y1=4故選：D．題型八利用配方法判斷變形是否正確解｜題｜技｜巧解題方法：①先將所給一元二次方程化為二次項系數(shù)為1，②在再等號兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平法即可?！镜淅?】(2425九下·北京海淀區(qū)·期中)用配方法解一元二次方程x2?6xA．x?32=3 B．x?32=6【答案】B【分析】本題考查了配方法解一元二次方程，先移項，然后在方程左右兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方，最后整理得x?3【詳解】解：依題意，x2移項得x2x2∴x?3故選：B【變式1】(2324九上·江蘇南京玄武區(qū)·期中)一元二次方程y2A．y?12=0 B．y?22=1【答案】D【分析】本題考查配方法解一元二次方程，先移項，再利用完全平方公式配方即可．【詳解】解：y2y2y2y?2故選：D．【變式2】(2425九上·廣西欽州靈山縣青云中學·期中)把x2?4x+1化成(xA．(x?4)2C．(x?2)2【答案】B【分析】本題主要考查了配方法的應用，利用配方法進行求解即可．【詳解】解：x==(故選：B．題型九利用配方法求參數(shù)的值【典例9】用配方法解一元二次方程x2+2x?2024=0，將它轉化為(xA．45 B．46 C．2026 D．2025【答案】C【分析】本題考查了用配方法解一元二次方程，先利用配方法將一元二次方程x2+2x?2024=0化為x+12=2025【詳解】解：xxxx∴a=1，b∴a+故選：C．【變式1】(2425九上·四川自貢富順縣自貢富順聯(lián)考九年級期中考試·期中)若一元二次方程x+a2=b（a，b為常數(shù))，化成一般形式為x2?6A．3，4 B．?3，4 C．3，?4 D．?3，?4【答案】B【分析】本題考查配方法的應用，將x2?6x【詳解】解：xxx∴x?3∴a=?3,故選B．題型十利用配方法求最值解｜題｜技｜巧一般地，代數(shù)式ax2+bx+c當a＞0時，代數(shù)式有最小值，x=h時取的最小值k；當a＜0時，代數(shù)式有最大值，x=h時取的最大值k?！镜淅?0】(2425九上·甘肅酒泉第二中學·期中)代數(shù)式y(tǒng)2+4y【答案】4【分析】本題主要考查了配方法的應用，掌握配方法成為解題的關鍵．先根據(jù)完全平方公式配方，然后根據(jù)非負數(shù)的性質即可解答．【詳解】解：∵y2+4y∴y+2∴代數(shù)式y(tǒng)2故答案為：4．【變式1】(2425九上·江蘇宿遷沭陽縣南湖初級中學·期中)已知實數(shù)a，b滿足a+b2=1，則代數(shù)式【答案】4【分析】此題考查了配方法的應用與平方式的非負性，解題的關鍵是熟練掌握配方法．由題意得b2=1?a，代入代數(shù)式a2?4【詳解】解：∵a∴b2=1?∴====a∵a∴a+22≥0則a+2∴當a=?2時，代數(shù)式a故答案為：4．【變式2】(2425九上·湖南永州京華中學·期中)新定義：關于x的一元二次方程a1x?m2+k=0與a2x?m2+k【答案】2030【分析】此題考查了配方法的應用，非負數(shù)的性質，以及一元二次方程的定義，弄清題中的新定義是解本題的關鍵．利用“同族二次方程”定義列出關系式，再利用多項式相等的條件列出關于a與b的方程組，求出方程組的解得到a與b的值，進而利用非負數(shù)的性質確定出代數(shù)式的最小值即可．【詳解】解：∵2x?12∴a∴a+2?2a∴a=5∴=5=5x∵x?12∴5x?12即ax2+故答案為：2030．題型十一利用求根公式求參數(shù)的值解｜題｜技｜巧一般地，一元二次方程ax2+bx+cx1=?解此類題型只需要對照所給的等式與一元二次方程的求根公式，找出對應的a、b、c即可還原一元二次方程?！镜淅?1】(2425九上·山東淄博·期中)若x=2±bA．3x2+2C．?x2?2【答案】D【分析】本題考查了公式法解一元二次方程，由求根公式x=?b±b2?4×【詳解】解：∵x=∴a=3，b=?2，∴這個一元二次方程為3x故選：D．【變式1】(2425八下·山東煙臺招遠·期中)以x=b±A．x2?bx+10=0 B．x2?【答案】D【分析】本題考查了公式法解一元二次方程，牢記一元二次方程的求根公式是解題的關鍵．根據(jù)公式法解一元二次方程即可求解．【詳解】解：A、x2?bxB、x2?bxC、x2+bxD、x2?bx故選：D．【變式2】(2425九上·河南商丘虞城縣·期中)下列一元二次方程的根可以根據(jù)x=?3±3A．2x2+3x+1=0 B．2x【答案】B【分析】本題考查公式法解一元二次方程，根據(jù)求根公式確定二次項系數(shù)，一次項系數(shù)和常數(shù)項即可．【詳解】解：∵一元二次方程的根可以根據(jù)x=∴a=2,∴對應方程為：2x故選B．題型十二根據(jù)根的判別式判斷根的情況解｜題｜步｜驟①將一元二次方程化簡為一般形式ax②正確的找出a、b、c的值，注意需要帶上前面的符號；③代入一元二次方程根的判別式進行判斷即可?！镜淅?2】一元二次方程x2?42A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根C．無實數(shù)根 D．無法確定【答案】B【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，熟練掌握根的判別式與根的情況的關系是解題的關鍵．通過計算一元二次方程根的判別式Δ的值，來判斷方程根的情況．【詳解】解：對于一元二次方程x2?42x+8=0，其中a∵Δ=?4∴方程有兩個相等的實數(shù)根．故選：B．【變式1】(2425九下·河南周口商水縣·期中)定義運算：a※b=a2?2abA．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根C．有實數(shù)根 D．無實數(shù)根【答案】A【分析】本題考查了根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況，根據(jù)定義運算將方程轉化為標準一元二次方程，計算判別式判斷根的情況．【詳解】由題意得方程x※2=?4，即x整理得：x計算判別式：Δ=由于Δ=8>0，方程有兩個不相等的實數(shù)根．故選A．題型十三利用根的判別式求參數(shù)的取值范圍【典例13】(2425九上·黑龍江佳木斯·期中)若關于x的一元二次方程k?1x2A．k<6 B．k<6C．?23≤k<6【答案】D【分析】本題考查根的判別式，二次根式有意義的條件，根據(jù)方程有兩個不相等的實數(shù)根得到Δ>0，結合二次項的系數(shù)不為0，以及二次根式有意義的條件，進行求解即可．【詳解】解：∵關于x的一元二次方程k?1∴k?1≠0且Δ=(?解得：?23≤故選：D．【變式1】若關于x的一元二次方程a+cx2+bx+a?A．以b為斜邊的直角三角形 B．以c為底邊的等腰三角形C．以b為底邊的等腰三角形 D．以a為斜邊的直角三角形【答案】D【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，勾股定理的逆定理．根據(jù)一元二次方程有兩個相等實數(shù)根的條件得到判別式Δ=0，代入方程系數(shù)計算后得到關系式，進而判斷三角形的形狀．【詳解】解：∵關于x的一元二次方程a+∴Δ=∴a2∴a、b、c為邊的三角形是以a為斜邊的直角三角形，故選：D．【變式2】(2425八下·山東煙臺牟平區(qū)（五四制）·期中)若關于x的方程mx2+2x+1=0A．m≤1 B．m≤1C．m≥?1且m≠0 【答案】A【分析】本題考查了一元二次方程的根的判別式，關于x的方程mx2+2x+1=0【詳解】解：當m=0時：方程變?yōu)?解得x=?顯然有實數(shù)解，此時m=0當m≠0∵方程有實數(shù)解，∴Δ=2解得m≤1綜上，當m≤1故選A．題型十四利用根與系數(shù)的關系進行直接求解解｜題｜技｜巧①先將一元二次方程化為一般形式，準確的找出a、b、c的值②根據(jù)根與系數(shù)的公式：①x1+x2注意：在使用根與系數(shù)的關系進行求解的前提是一元二次方程要有解，即△≥0.【典例14】若m，n是一元二次方程x2?3x?1=0的兩個根，則【答案】3【分析】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系，熟練掌握當一元二次方程ax2+bx+c=0【詳解】解：∵m，n是一元二次方程x2∴m故答案為：3．【變式1】(2425九上·廣東揭陽惠來縣·期中)x1，x2是一元二次方程x【答案】?2【分析】本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關系：x1?x2=ca【詳解】解：∵x1，x∴x1故答案為：?2．【變式2】(2425九上·廣東茂名博雅中學·期中)已知x1，x2是方程x2?2【答案】0【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系，求代數(shù)式的值．熟練掌握若x1，x2是方程ax2+bx+c=0a≠0【詳解】解：∵x1，x2是方程∴x1+x∴x==?3+2+1=0．故答案為：0．【變式3】(2425九下·四川眉山洪雅縣·期中)已知x1、x2是方程x2?2【答案】0【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系，完全平方公式的變形求值，解題的關鍵是根據(jù)根與系數(shù)的關系得到x1+x根據(jù)根與系數(shù)的關系可得出x1+x【詳解】解：∵x1、x2是方程∴x1+x∴x1故答案為：0．題型十五利用根與系數(shù)的關系間接求解解｜題｜技｜巧常見題型及其處理方法①分式形式：只需要對分式進行通分后，再利用根與系數(shù)的關系進行求解；②高次形式（大于等于2次）：需進行降次處理，那個變量出現(xiàn)高次就先對這個變量進行降次。【典例15】若a,b是關于x的方程x2?x【答案】?【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)關系，分式的求值，完全平方公式的變形應用，熟練掌握ax2+bx+根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關系得到a+b=1，ab【詳解】解：∵a，b是方程x2∴a+b∴ba故答案為：?7【變式1】(2425八下·安徽寧國城關四校聯(lián)盟期·調研)已知a，b是一元二次方程x2+x?5=0的兩個實數(shù)根，則【答案】2026【分析】本題考查一元二次方程根的定義和根于系數(shù)的關系，解題的關鍵是掌握根于系數(shù)關系的公式．利用一元二次方程根的定義和根于系數(shù)的關系將原式進行轉換求解即可．【詳解】解：∵a、b是方程x2∴a2+a∴a2∴a=5?=2025?=2025?=2026．故答案是：2026．【變式2】(2425九上·黑龍江綏化明水縣第二中學·期中)若x1，x2是關于x的一元二次方程x2?3x【答案】2025【分析】本題考查了一元二次方程的解和根與系數(shù)的關系，正確變形、靈活應用整體思想是關鍵；根據(jù)題意可得x12?3x1【詳解】解：∵x1，x2是關于x的一元二次方程∴x12?3∴x1∴x12=2022+3=2025；故答案為：2025．題型十六利用根與系數(shù)的關系求參數(shù)的值【典例16】已知實數(shù)k、m、nm≠n，且滿足m2?2m【答案】2【分析】本題主要考查一元二次方程的運用，掌握一元二次方程的解，根與系數(shù)的關系是解題的關鍵．根據(jù)題意可得，m，n為關于x的方程x2【詳解】解：∵m2?2∴m，n為關于x的方程x∴由根與系數(shù)的關系得：m+故答案為：2．【變式1】(2425九上·江西吉安萬安縣·期末)已知關于x的一元二次方程x2?kx+k?3=0的兩個實數(shù)根分別為x1，x【答案】1【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系，利用根與系數(shù)的關系得出x1+x2=k，x1x【詳解】解：由題意可知Δ=(?∴關于x的一元二次方程x2∵關于x的一元二次方程x2?kx+k∴x1+∵x1∴(∴k整理得出：k2解得：k1故答案為：1．【變式2】(2425九上·湖南株洲·期末)關于x的方程x2?2mx+m2?4=0的兩個根x1，x2【答案】3【分析】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系，解一元二次方程．根據(jù)根與系數(shù)的關系得到x1+x2=2m，x1x2【詳解】解：∵x1，x2是關于x的方程∴x1+∴x1∵x∴2m∴x2∴x1∴4m∴8m∴m2解得m=?9或m∵x∴4m∴m>?3∴m=3故答案為：3．題型十七根與系數(shù)的關系綜合應用【典例17】(2425九上·四川瀘州·期中已知關于x的方程：x2(1)求證：無論m取何實數(shù)，方程總有兩個不相等的實數(shù)根．(2)設x1，x2是方程的兩個根，且x1【答案】(1)見解析(2)m的值為3或?1【分析】本題考查根與系數(shù)的關系，熟知一元二次方程根與系數(shù)的關系是解題的關鍵．（1）表示出根的判別式，證明大于零即可；（2）利用根與系數(shù)的關系得x1+x2=?m+2，x【詳解】（1）證明：m==m因為m2所以m2所以無論m取何實數(shù)，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）解：因為x1，x所以x1+x又因為x1即x1所以?m解得m=3或?1所以m的值為3或?1．【變式1】(2425九上·四川瀘州合江縣·期中)已知關于x的一元二次方程x2(1)若該方程有實數(shù)根，求m的取值范圍．(2)若x1，x2是方程的兩根，且x1【答案】(1)m(2)14【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的根與Δ=b2?4ac有如下關系：①Δ>0，方程有兩個不相等的實數(shù)根，②Δ=0，方程有兩個相等的實數(shù)根，③Δ<0，方程沒有實數(shù)根．關于x的一元二次方程ax2（1）由題意可得Δ=?2（2）由一元二次方程根與系數(shù)的關系可得x1+x2=21?m【詳解】（1）解：∵關于x的一元二次方程x2∴Δ=?2∴m≤（2）解：∵x1，x∴x1+x當x1+x∴m=?1≤∴x1∴x2【變式2】(2324九上·浙江寧波鎮(zhèn)海區(qū)仁愛中學·期中)已知關于x的一元二次方程x2(1)求m的取值范圍；(2)方程的兩個實數(shù)根x1、x2滿足x1【答案】(1)m(2)4【分析】（1）根據(jù)方程的系數(shù)結合根的判別式Δ≥0，即可得出關于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范圍；（2）根據(jù)方程的系數(shù)結合，可得出關于m的方程，解之經(jīng)檢驗后即可得出結論．本題考查了根的判別式以及根與系數(shù)的關系，解題的關鍵是：找出關于m的方程．【詳解】（1）解：∵關于x的一元二次方程x2∴Δ=?2解得：m≥2（2）解：方程x2?2m+1x∴x1+x原式=∴m∴m∴m∴m1=1（與m≥2【變式3】(2425九上·湖南益陽益陽師專附屬學?！て谥?已知關于x的一元二次方程c+ax2+2bx+c?(1)若△ABC(2)若△ABC是直角三角形，且c【答案】(1)x1=0(2)有兩個相等的實數(shù)根（1）根據(jù)等邊三角形的性質可得a=b=（2）根據(jù)勾股定理可得a2【詳解】（1）解：∵△ABC∴a=∴方程變?yōu)?a解得：x1=0，（2）解：∵△ABC是直角三角形，c∴a2∴Δ=4b∴方程有兩個相等的實數(shù)根．題型十八配方法的實際應用【典例18】(2425九上·貴州黔南·期中)閱讀下列材料：配方法是初中數(shù)學中經(jīng)常用到的一個重要方法，掌好配方法對我們學習數(shù)學有很大的幫助．所謂配方，就是將某一個多項式變形為一個完全平方式，變形一定要是恒等的．例如：解方程x2?4x+3=0，則有x2?4x+4?4+3=0，∴(x?2)2=1，解得x1=3，x根據(jù)以上材料解答下列各題：(1)若x2+6x(2)若a,b,c分別表示△ABC【答案】(1)1(2)△ABC【分析】本題主要考查了配方法，完全平方公式，代數(shù)式求值，非負數(shù)的性質，將多項式變形為完全平方式是解題的關鍵．（1）應用配方法將方程變形為(x+3)2+(y?4)（2）△ABC為等腰三角形，理由：先將方程變形為(a?2b)2+【詳解】（1）解：∵x∴(x∴(∴x=?3，∴(（2）解：△ABC理由：∵a∴(a∴(∴a?2b∴a=2b∴a∴△ABC【變式1】(2425九上·河南駐馬店上蔡縣·期中)我們定義：一個整數(shù)能表示成a2+b2（a、解決問題：(1)已知10是“完美數(shù)”，請將它寫成a2+b2（(2)已知x2+y(3)數(shù)學學習的本質是“再創(chuàng)造”．周末，小明同學在復習配方法時，對代數(shù)式x2+4x+6進行了配方，發(fā)現(xiàn)x2+4x+6=x2+4x+4+2=(x【答案】(1)10=(2)?2(3)4【分析】本題考查配方法的應用以及非負數(shù)的性質，屬于基礎題，掌握方法是關鍵．（1）根據(jù)“完美數(shù)”的定義求解即可；（2）利用完全平方公式變形為x?12+y+3（3）將m2?6m【詳解】（1）解：由題意得：10=1故答案為：10=1（2）解：∵x∴x∴x∵x∴x∴x∴x（3）解：m2∵m∴m∴代數(shù)式m2【變式2】(2425九上·河南南陽唐河縣·期中)【方法學習】把一個二次式通過添項或拆項的方法得到完全平方式，再利用“a2例如：求a2解：a2∵a+2∴a+22+1≥1，所以當a+22【問題解決】(1)當x為何值時，代數(shù)式x2(2)如圖1，是一組鄰邊長分別為7，2a+5的長方形，其面積為S1；圖2是邊長為a+6的正方形，面積為S2，a【答案】(1)x=3時，代數(shù)式x2(2)當a=1時，S2=S【分析】（1）利用配方法解答即可求解；（2）利用長方形和正方形的面積公式分別表示出S1、S2，進而求出本題考查了配方法，整式的運算，掌握配方法是解題的關鍵．【詳解】（1）解：x2∵x?3∴x?3∴當x?32=0，即x=3時，代數(shù)式（2）解：由題意得，S1=72∴S2當a=1時，a?12∴當a=1時，S當a≠1時，a?12∴當a≠1時，S綜上所述，當a=1時，S2=S1題型十九一元二次方程實際應用之傳播問題解｜題｜技｜巧（1）明確變量：①設每輪每個傳染源傳播給x人；②注意題目描述是“每輪新增人數(shù)”還是“總人數(shù)”。（2）建立方程：根據(jù)題目描述的總人數(shù)或新增人數(shù)關系列方程。（3）解方程：整理為一元二次方程標準形式，通過因式分解、配方法或求根公式求解，舍去負根。（4）驗證實際意義：x

必須為正整數(shù)（人數(shù)為整數(shù)）。檢查是否滿足題目條件（如傳播輪數(shù)、總人數(shù)等）【典例19】(2425九上·廣東江門臺山·期中)近年手機微信上的垃圾短信泛濫成災，嚴重影響了人們的生活，最近小王收到一條垃圾短信，此短信要求接到短信的人必須轉發(fā)給若干人，如果收到此短信的人都按要求轉發(fā)，從小王開始計算，轉發(fā)兩輪后共有111人有此短信．(1)請求出這個短信要求收到短信的人必須轉發(fā)給多少人？(2)如果收到短信的人都按要求轉發(fā)，從小王開始計算，三輪后會有多少人有此短信？【答案】(1)10人(2)1111人【分析】本題主要考查了一元二次方程的實際應用，有理數(shù)混合計算的實際應用：（1）設這個短信要求收到短信的人必須轉發(fā)給x人，則第一輪小王會發(fā)給x人，第一輪被轉發(fā)的x人每個人又要轉發(fā)x人，據(jù)此列出方程求解即可；（2）根據(jù)（1）所求列式求解即可．【詳解】（1）設這個短信要求收到短信的人必須轉發(fā)給x人，依題意得：1+解得x=10或?11答：這個短信要求收到短信的人必須轉發(fā)給10人；（2）第三輪短信轉發(fā)后，收到此短信的人數(shù)共有：1+1×10+10×10+10×100=1111（人）．答：從小王開始計算，三輪后會有1111人有此短信．【變式1】(2425九上·四川宜賓興文縣·期中)有一個人患了某種流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有100人患了此流感．(1)每輪傳染中平均一人傳染了幾人？(2)如果此流感未得到及時控制，按照這樣的傳染速度，經(jīng)過三輪傳染后一共有多少人患此流感？【答案】(1)每輪傳染中平均一個人傳染9個人(2)1000人【分析】本題考查了一元二次方程的應用，解答本題的關鍵在于讀懂題意，設出合適的未知數(shù)，找出等量關系，列方程求解．（1）設第一個人傳染了x人，根據(jù)兩輪傳染后共有100人患了流感；列出方程，即可求解；（2）根據(jù)題意，求出三輪之后患流感的人數(shù)．【詳解】（1）解：設每輪傳染中平均一個人傳染x個人，由題意得：1+x+解得：x1=9，∵x∴x∴x答：每輪傳染中平均一個人傳染9個人．（2）第一輪的患病人數(shù)為：1+9=10人，第二輪的患病人數(shù)為：10+9×10=100人，則，第三輪的患病人數(shù)為：100+9×100=1000人．【變式2】(2324九下·山東威海環(huán)翠區(qū)實驗中學·期中)近年手機微信上的垃圾短信泛濫成災，嚴重影響了人們的生活，最近小王收到一條垃圾短信，此短信要求接到短信的人必須轉發(fā)給若干人，如果收到此短信的人都按要求轉發(fā)，從小王開始計算，轉發(fā)兩輪后共有91人有此短信．(1)請求出這個短信要求收到短信的人必須轉發(fā)給多少人？(2)如果收到短信的人都按要求轉發(fā)，從小王開始計算，三輪后會有多少人有此短信？【答案】(1)這個短信要求收到短信的人必須轉發(fā)給9人(2)從小王開始計算，三輪后會有820人有此短信．【分析】本題主要考查了一元二次方程的實際應用，含乘方的有理數(shù)混合計算的實際應用：（1）設這個短信要求收到短信的人必須轉發(fā)給x人，則第一輪小王會發(fā)給x人，第一輪被轉發(fā)的x人每個人又要轉發(fā)x人，據(jù)此列出方程求解即可；（2）根據(jù)（1）所求列式求解即可．【詳解】（1）解：設這個短信要求收到短信的人必須轉發(fā)給x人，由題意得，1+x整理得x2解得x=9或x答：這個短信要求收到短信的人必須轉發(fā)給9人；（2）解：1+9+9答：從小王開始計算，三輪后會有820人有此短信．【變式3】(2425九上·天津河西區(qū)·期中)某種樹木的主干長出若干支干，假設每個支干又長出同樣數(shù)目的小分支，若此時主干、支干和小分支的總數(shù)是111．求每個支干長出多少小分支？設主干長出了x個支干．請根據(jù)相關信息，解答下列問題：(1)填表：x（主干長出支干的個數(shù)）234主干、支干和小分支的總數(shù)(2)填空（用含x的代數(shù)式表示）：①在小分支沒有長出之前，主干和支干的總數(shù)是；②在每個支干又長出了數(shù)目相同的小分支后，小分支的個數(shù)為；③在每個支干又長出了數(shù)目相同的小分支后，主干、支干和小分支的總數(shù)可以表示為；(3)請繼續(xù)完成本題的解答：【答案】(1)7，13，21(2)①1+(3)10個【分析】本題考查了一元二次方程的應用，還涉及有理數(shù)的計算，列代數(shù)式，正確理解題意是解題的關鍵．（1）分別求出主干、支干和小分支的總數(shù)填表即可；（2）①在小分支沒有長出之前，主干和支干的總數(shù)是：1+x；②在每個支干又長出了數(shù)目相同的小分支后，小分支的個數(shù)為：x2；③在每個支干又長出了數(shù)目相同的小分支后，主干、支干和小分支的總數(shù)可以表示為：（3）由題意得1+x【詳解】（1）解：主干長出支干的個數(shù)為2時，則主干、支干和小分支的總數(shù)為1+2+2主干長出支干的個數(shù)為3時，則主干、支干和小分支的總數(shù)為1+3+3主干長出支干的個數(shù)為4時，則主干、支干和小分支的總數(shù)為1+4+4則填表為：x（主干長出支干的個數(shù)）234主干、支干和小分支的總數(shù)71321（2）解：①在小分支沒有長出之前，主干和支干的總數(shù)是：1+x②在每個支干又長出了數(shù)目相同的小分支后，小分支的個數(shù)為：x2③在每個支干又長出了數(shù)目相同的小分支后，主干、支干和小分支的總數(shù)可以表示為：1+x（3）解：由題意得，1+x解得：x1=10，答：每個支干長出10個小分支．題型二十一元二次方程實際應用之增長率問題解｜題｜步｜驟（1）設未知數(shù)①設增長率為x；②明確初始量a和變化后的量b（2）列方程（兩種常見模型）①連續(xù)兩年增長：a1+x（3）解方程：選擇適合的方法解一元二次方程（最常用直接開平方法）（4）驗根取舍：①舍去負增長率；②舍去大于100%增長率。【典例20】(2425九上·江蘇蘇州·期中)“七里山塘，枕河而居”，蘇州市的山塘街是具有江南風貌特色的歷史文化街區(qū)，現(xiàn)在已成為網(wǎng)紅打卡地．據(jù)統(tǒng)計，2014年10月1日截至21時山塘歷史街區(qū)累計客流量為8萬人次，第三天游客人數(shù)達到11.52萬人次．(1)求游客人數(shù)從假期第一天到第三天的平均日增長率；(2)景區(qū)內某文創(chuàng)小店推出了特色絲綢團扇，每把扇子的成本為7元．根據(jù)銷售經(jīng)驗，每把扇子定價為25元時，平均每天可售出300把．若每把扇子的售價每降低1元，平均每天可多售出30把．設每把扇子降價x元．請解答以下問題：①填空：每天可售出扇子_______________把（用含x的代數(shù)式表示）；②若該文創(chuàng)小店想通過售出這批扇子每天獲得5760元的利潤，又想盡可能地減少庫存，每把扇子應降價多少元？【答案】(1)20%(2)①300+30x【分析】本題考查了一元二次方程的應用，列代數(shù)式．根據(jù)題意正確的列等式方程是解題的關鍵．（1）設從假期第一天到第三天的平均日增長率為x，依題意得81+（2）①由題意知，每天可售出扇子300+30x②依題意得25?x【詳解】（1）解：設從假期第一天到第三天的平均日增長率為x，依題意得，81+解得，x=0.2=20%或x∴從假期第一天到第三天的平均日增長率為20%；（2）①解：由題意知，每天可售出扇子300+30x故答案為：300+30x②解：依題意得，25?x整理得，x?2解得，x=2或x∵想盡可能地減少庫存，∴每把扇子應降價6元．【變式1】(2425九上·陜西寶雞2第一中學·期中)暑期奧運點燃了我們的運動熱情，某網(wǎng)店直接從工廠以35元/件的進價購進一批紀念“奧運”的鑰匙扣，售價為60元/件時，第一天銷售了25件．該商品十分暢銷，銷售量持續(xù)走高．在售價不變的基礎上，第三天的銷售量達到了36件．(1)求每天銷售量的平均增長率；(2)“奧運”臨近結束時，鑰匙扣還有大量剩余，為了盡快減少庫存，網(wǎng)店打算將鑰匙扣降價銷售．經(jīng)調查發(fā)現(xiàn)，每降價1元，在第三天的銷售量基礎上每天可多售2件，將鑰匙扣的銷售價定為每件多少元時，每天可獲利920元？【答案】(1)20%(2)55元【分析】本題考查一元二次方程的應用，分析題意列出等量關系是解題的關鍵．（1）設平均增長率為x，根據(jù)增長率問題列方程解應用題；（2）鑰匙扣每件降價y元銷售，列出一元二次方程解題．【詳解】（1）解：設每天銷售量的平均增長率為x，根據(jù)題意得：25解得：x1=0.2，x∴每天銷售量的平均增長率為20%（2）解：設將鑰匙扣每件降價y元銷售，根據(jù)題意得：60?y解得：y1=2，又∵要盡快減少庫存，∴取降價5元，則銷售定價為60?5=55元，∴將鑰匙扣的銷售價定為每件55元時，每天可獲利920元．【變式2】(2425九上·河南鄭州金水區(qū)經(jīng)緯中學·期中)杭州亞運會的三個吉祥物“琮琮”“宸宸”“蓮蓮”組合名為“江南憶”，出自唐朝詩人白居易的名句“江南憶，最憶是杭州”，它融合了杭州的歷史人文、自然生態(tài)和創(chuàng)新基因．吉祥物一開售，就深受大家的喜愛．某商店以每件35元的價格購進某款亞運會吉祥物，以每件58的價格出售．經(jīng)統(tǒng)計，4月份的銷售量為256件，6月份的銷售量為400件．(1)求該款吉祥物4月份到6月份銷售量的月平均增長率；(2)經(jīng)市場預測，7月份的銷售量將與6月份持平，現(xiàn)商場為了減少庫存，采用降價促銷方式，調查發(fā)現(xiàn)，該吉祥物每降價1元，月銷售量就會增加20件．當該吉祥物售價為多少元時，月銷售利潤達8400元？【答案】(1)該款吉祥物4月份到6月份銷售量的月平均增長率為25%(2)該款吉祥物售價為50元時，月銷售利潤達8400元【分析】本題考查了一元二次方程的應用．（1）設該款吉祥物4月份到6月份銷售量的月平均增長率為m，根據(jù)4月份的銷售量為256件，6月份的銷售量為400件．列出一元二次方程，解之取其正值即可；（2）設該吉祥物售價為y元，則每件的銷售利潤為y?35元，月銷售量為1560?20【詳解】（1）解：設該款吉祥物4月份到6月份銷售量的月平均增長率為m，則6月份的銷售量為2561+根據(jù)題意得：2561+解得：m1=0.25=25%，答：該款吉祥物4月份到6月份銷售量的月平均增長率為25%；（2）解：設該吉祥物售價為y元，則每件的銷售利潤為y?35元，月銷售量為400+20根據(jù)題意得：y?35整理得：y2解得：y1=50，答：該款吉祥物售價為50元時，月銷售利潤達8400元．題型二十一一元二次方程實際應用之與圖形有關的問題【典例21】學校打算建立一塊矩形的生物種植田來種植水果黃瓜，一面利用學校的墻（墻的最大可用長度為10米），其余部分需要用總長為22米的柵欄圍成，且矩形中間需用柵欄隔開，柵欄因實驗需要，有兩個寬為1米的門（門無需柵欄，如圖所示）．設種植田AB為m米．若該種植田的面積為36平方米（柵欄的占地面積忽略不計），求該種植田的寬m．【答案】6米【分析】本題考查了一元二次方程的實際應用，解題關鍵是根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關系，正確列出方程求解．根據(jù)題意可得種植田的長為22?3m+1+1米，再根據(jù)面積公式列一元二次方程，解方程，最后根據(jù)墻的最大可用長度為【詳解】解：∵種植田AB為m米，柵欄總長為22米，有兩個寬為1米的門，∴種植田的長BC為22?3m∵該種植田的面積為36平方米，∴24?3m整理得：m?2解得m1=2，當m=2時，BC當m=6時，BC答：該種植田的寬m為6米．【變式1】某農(nóng)場要建一個長方形的養(yǎng)雞場，雞場的一邊靠墻（墻長25m），另外三邊用木欄圍成，木欄長40m，若養(yǎng)雞場面積為150m【答案】15m,10m【分析】本題考查一元二次方程的應用：首先設出雞場寬為x米，長為40?2x米，然后根據(jù)矩形的面積=長×寬，用未知數(shù)x表示出雞場的面積，根據(jù)面積為150【詳解】設寬為x米，長40?2x根據(jù)題意得：x40?2解得：x1=15，由0<40?2x<25得故x=15∴雞場靠墻的一邊長為：40?2x∴雞場兩邊的長分別是15m,10m．【變式2】如圖，若要建一個長方形雞場，雞場的一邊靠墻，墻對面有一個2米寬的門，另三邊用竹籬笆圍成，籬笆總長33米，圍成的長方形的雞場除門之外四周不能有空隙．(1)若墻長為18米，要圍成的雞場的面積為150平方米，則雞場的長和寬各為多少米？(2)圍成的雞場的面積可能達到200平方米嗎？(3)若墻長為a米，對建150平方米面積的雞場有何影響？【答案】(1)雞場的長為15米，寬為10米(2)雞場面積不可能達到200平方米，見解析(3)當0<a<15時，不能圍成一個長方形養(yǎng)雞場；當15≤a【分析】本題考查一元二次方程的應用，找到等量關系列出方程是解決問題的關鍵．（1）先設養(yǎng)雞場的寬為xm，得出長方形的長，再根據(jù)面積公式列出方程，求出x的值即可，注意x（2）先設養(yǎng)雞場的寬為xm，得出長方形的長，再根據(jù)面積公式列出方程，判斷出Δ（3）根據(jù)實際問題當0<a<15時，當15≤a【詳解】（1）解：設養(yǎng)雞場的寬為xmx?解得：x1=10，當x1=10時，當x2=7.5時，則養(yǎng)雞場的寬是10m，長為15m；（2）解：設養(yǎng)雞場的寬為xmx?整理得：2xΔ=(?35)∵方程沒有實數(shù)根，∴圍成養(yǎng)雞場的面積不能達到200m（3）解：當0<a當15≤a當a≥20【變式3】(2425九上·河南鄭州第十一初級中學·期中)電動車雖然方便了我們的日常出行，但是部分電動車充電過程中十分危險，一旦發(fā)生著火、爆炸，將造成非常嚴重的危害．“人車分離”是保障大家生命安全的重要手段．陽光小區(qū)為實現(xiàn)“人車分離”，在小區(qū)外面搭建了兩個矩形電動車車棚（如圖），一邊利用小區(qū)的后墻（可利用墻長為45m），其他的邊用總長70m的不銹鋼柵欄圍成，左右兩側各開一個1m長的出口（出口處不用柵欄），不銹鋼柵欄狀如“山”字形．(1)若車棚占地面積為384m2，試求出電動車車棚的長BC和寬(2)若小區(qū)擬利用現(xiàn)有柵欄對電動車車棚進行擴建，請問能圍成占地面積為450m【答案】(1)電動車車棚的長BC為24m，寬AB為16m；(2)不能圍成占地面積為450m【分析】本題考查了一元二次方程的實際應用、根的判別式，解題關鍵是正確理解題意，找到等量關系列出方程．（1）設車棚寬AB為xm，則車棚長BC為72?3xm（2）根據(jù)（1）中方法列出關于車棚面積的一元二次方程，再利用根的判別式判斷即可解題．【詳解】（1）解：設車棚寬AB為xm，則車棚長BC為72?3由題意，得x72?3整理，得x2解得：x1=8，當x=8時，72?3×8=48>45當x=16時，72?3×16=24<45答：電動車車棚的長BC為24m，寬AB為16m．（2）解：不能圍成占地面積為450m設車棚寬AB為ym，則車棚長BC為72?3由題意，得y72?3整理，得y2∵Δ=?24∴原方程無解，∴不能圍成占地面積為450m題型二十二一元二次方程實際應用之營銷問題解｜題｜步｜驟（1）設未知數(shù)通常設：①售價變化量（設“漲價x元”或“降價x元”）；②銷售變化量（如：每漲1元，少賣10元）（2）列方程模型①：利潤最大化利潤=單件利潤×銷售量，單價利潤=售價成本例如：某商品進價40元，售價60元時每天賣100件。每漲1元，少賣5件。設漲價x元，利潤為y；y=（60+x40）（1005x）=（20+x）（1005x）模型②總收入問題總收入=售價×銷量例如：某書定價30元時賣200本，每降價1元多賣20本。設降價x元?？偸杖隦；R=（30x）（200+2x）（3）解方程【典例22】某市茶葉專賣店銷售某品牌茶葉，其進價為每千克240元，按每千克400元出售，平均每周可售出200千克，后來經(jīng)過市場調查發(fā)現(xiàn)，售價每降低10元，則平均每周的銷售量可增加40千克．(1)若該專賣店銷售這種品牌茶葉要想平均每周獲利41600元，請回答：①每千克茶葉應降價多少元？②在平均每周獲利不變的情況下，為盡可能讓利于顧客，贏得市場，該店應按原售價的幾折出售？(2)在降價情況下，該專賣店銷售這種品牌茶葉平均每周獲利能達到50000元嗎？請說明理由．【答案】(1)①每千克茶葉應降價30元或80元，②該店應按原售價的八折出售(2)該專賣店銷售這種品牌茶葉平均每周獲利不能達到50000元．【分析】（1）①通過設每千克茶葉降價x元，利用“每千克利潤×銷售量=總利潤”的關系列出方程求解；②在①的基礎上，根據(jù)讓利于顧客的要求確定降價金額，進而求出折扣；（2）設降價y元，依據(jù)上述利潤關系列方程，通過判別式判斷方程是否有實數(shù)根，從而確定獲利能否達到．本題主要考查了一元二次方程在銷售利潤問題中的應用，熟練掌握“每千克利潤×銷售量=總利潤”的等量關系以及一元二次方程的解法、判別式的運用是解題的關鍵．【詳解】（1）解：①設每千克茶葉應降價x元，根據(jù)題意，得400?x整理得x2?110x答：每千克茶葉應降價30元或80元；②由①可知每千克茶葉可降價30元或80元，∵要盡可能讓利于顧客，∴每千克茶葉應降價80元，此時的售價為：400?80=320（元），320400答：該店應按原售價的八折出售；（2）解：該專賣店銷售這種品牌茶葉平均每周獲利不能達到50000元，理由如下：設每千克茶葉應降價y元，根據(jù)題意，得400?y整理得y2∵Δ=?110∴原方程沒有實數(shù)根，∴該專賣店銷售這種品牌茶葉平均每周獲利不能達到50000元．【變式1】(2425九下·重慶萬州中學教育集團·期中)2025年春節(jié)聯(lián)歡晚會吉祥物“巳（si）升升”，設計靈感來源于中華傳統(tǒng)文化，整體造型參考甲骨文中的“巳”字，采用青綠色為主色調，外形憨態(tài)可掬，寓意“福從頭起，尾隨如意”，在市場上一度走紅．(1)某商店銷售A，B兩款“巳升升”吉祥物，已知A款吉祥物的單價比B款吉祥物的單價高20元，若顧客花800元購買A款吉祥物的數(shù)量與花600元購買B款吉祥物的數(shù)量相同，則A，B兩款吉祥物的單價分別是多少元？(2)若A款吉祥物的進價為每件60元，經(jīng)市場調查發(fā)現(xiàn)，當售價定為每件100元，則每天能銷售A款吉祥物20件，而售價每降價1元，每天可多售出A款吉祥物2件，為了推廣宣傳，商家決定降價促銷，同時盡量減少庫存，若使每天銷售后獲利1200元，則A款