專題22.4一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系（舉一反三講義）【華東師大版】TOC\o"13"\h\u【題型1利用根與系數(shù)的關(guān)系直接求代數(shù)式的值】 1【題型2利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合方程的解直接求代數(shù)式的值】 2【題型3利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合方程的解降次求代數(shù)式的值】 2【題型4利用根與系數(shù)的關(guān)系求參數(shù)的值】 2【題型5利用根與系數(shù)的關(guān)系求參數(shù)的取值范圍】 3【題型6利用根與系數(shù)的關(guān)系構(gòu)造一元二次方程求解】 3【題型7不解方程由根與系數(shù)的關(guān)系判斷根的正負】 3【題型8由已知方程根的情況判斷另一個方程根的情況】 4【題型9根與系數(shù)的關(guān)系與幾何圖形的綜合運用】 4【題型10根與系數(shù)的關(guān)系和根的判別式的綜合應(yīng)用】 5知識點一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系1.由求根公式可得當?≥0時，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根分別為x1=例如：方程x2+px+q=0的兩根為x1，x2，2.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用（1）不解方程，求關(guān)于方程兩根的代數(shù)式的值．（2）已知方程一根，求方程的另一根及方程中字母的值．（3）已知方程兩根的關(guān)系，求方程中字母的值．（4）與根的判別式相結(jié)合，解決一些綜合題．【題型1利用根與系數(shù)的關(guān)系直接求代數(shù)式的值】【例1】（2425九年級下·山東煙臺·期中）若a,b是關(guān)于x的方程x2?x?3=0的兩實數(shù)根，則ba+ab的值為．【變式11】（2425八年級下·安徽合肥·期中）已知a,b是一元二次方程x2+x?2025=0的兩個實數(shù)根，則ab?a?b=【變式12】（2425八年級下·黑龍江大慶·期中）一元二次方程x2+x?2=0的兩個根分別是x1，x2，則【變式13】（2425八年級下·江蘇揚州·階段練習）若關(guān)于x的方程x2+2x?m2?m=0（m為正整數(shù)）的兩根分別記為αm，βm，如：當m=1時，方程的兩根記為【題型2利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合方程的解直接求代數(shù)式的值】【例2】（2425八年級下·浙江杭州·期中）若α，β是方程x2+2x?2025=0的兩個實數(shù)根，則代數(shù)式2α【變式21】（2025·四川廣安·中考真題）已知方程x2?5x?24=0的兩根分別為a和b，則代數(shù)式a2【變式22】（2425九年級下·安徽安慶·階段練習）已知a和b是方程x2+4x?4=0的兩個根，則a2【變式23】（2025·湖北·一模）如果m，n是一元二次方程x2?x=3的兩個實數(shù)根，那么2n【題型3利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合方程的解降次求代數(shù)式的值】【例3】（2425九年級下·黑龍江綏化·期中）已知α、β是方程x2+2x?1=0的兩個實根，則α3【變式31】（2425八年級下·安徽宣城·期中）已知α、β是方程x2+4x+2=0的兩個實根，則α3【變式32】（2425九年級上·湖北武漢·階段練習）如果m，n是一元二次方程x2+x?3=0的兩個根，那么多項式m3【變式33】（2425九年級下·安徽蕪湖·期中）已知α，β是一元二次方程x2+x?3=0的兩根，求α【題型4利用根與系數(shù)的關(guān)系求參數(shù)的值】【例4】（2425八年級下·浙江金華·階段練習）已知關(guān)于x的一元二次方程x2?mx+2m?1=0有兩個實數(shù)根x1，x2．實數(shù)m滿足x1【變式41】（2425九年級下·江西九江·期中）已知x1，x2是關(guān)于x的方程x2?mx+1=0的兩個實數(shù)根，且x1【變式42】（2425九年級上·江蘇南通·階段練習）已知方程x2+4?2mx+【變式43】（2425九年級上·河南周口·期中）關(guān)于x的方程x2?2mx+m2?4=0的兩個根x1，x2滿足x【題型5利用根與系數(shù)的關(guān)系求參數(shù)的取值范圍】【例5】（2324八年級下·浙江金華·階段練習）若關(guān)于x的方程4x2?5x?m+5=0【變式51】（2425九年級上·四川成都·階段練習）已知關(guān)于x的一元二次方程x2?4x+m?1=0有兩個不相等的實數(shù)根x1,x2，且x1【變式52】（2324八年級下·浙江嘉興·期末）已知關(guān)于x的一元二次方程ax2+a+2x+1=0有兩個不相等的實數(shù)根x1,【變式53】（2324九年級上·四川成都·期末）已知關(guān)于x的一元二次方程x2?2m+2x+m2?4m+4=0有兩個實數(shù)根x1，x2，則m的取值范圍是，若【題型6利用根與系數(shù)的關(guān)系構(gòu)造一元二次方程求解】【例6】（2425九年級上·湖北隨州·期末）已知2x2?2025x+3=0,3y2?2025y+2=0，且【變式61】（2425八年級下·上?！るA段練習）方程組x+y=8xy=15的解是【變式62】（2425八年級下·江西宜春·階段練習）已知實數(shù)m,nm≠n滿足2m2?3m?1=0，2【變式63】設(shè)x，y，s，t為互不相等的實數(shù)，且A．1 B．1 C．0 D．0.5【題型7不解方程由根與系數(shù)的關(guān)系判斷根的正負】【例7】（2024八年級下·全國·專題練習）已知a、b、c是△ABC的三條邊的長，那么方程cxA．沒有實數(shù)根 B．有兩個不相等的負實數(shù)根C．有兩個相等的負實根 D．只有一個實數(shù)根【變式71】（2025·江蘇南京·模擬預(yù)測）關(guān)于x的一元二次方程x2A．有兩個相等的實數(shù)根 B．有兩個不相等的實數(shù)根且兩根異號C．有兩個不相等的實數(shù)根且兩根同號 D．沒有實數(shù)根【變式72】（2022·江蘇南京·二模）方程x+1x?2A．兩個正根 B．兩個負根 C．一個正根，一個負根 D．無實數(shù)根【變式73】（2324九年級上·福建廈門·期中）一元二次方程ax2+bx+c=0，已知a>0，b>0，c<0A．有兩個正的實數(shù)根 B．沒有實數(shù)根C．有一正根一負根且正根絕對值大 D．有一正根一負根且負根絕對值大【題型8由已知方程根的情況判斷另一個方程根的情況】【例8】（2223八年級下·浙江杭州·階段練習）一元二次方程M:ax2+bx+c=0；N:cx2+bx+a=0，其中ac≠0，a≠c，給出以下四個結(jié)論：①若方程M有兩個不相等的實數(shù)根，則方程N也有兩個不相等的實數(shù)根；②若方程M的兩根符號相同，則方程N的兩根符號也相同；③若m是方程M的一個根，則1m是方程N的一個根；④若方程MA．①③ B．①②③ C．①②④ D．①③④【變式81】（2223九年級上·江蘇南京·期中）若關(guān)于x的一元二次方程a(x+?)2+k=0的兩根分別為?3、2，則方程a【變式82】（2425九年級上·浙江臺州·期末）若x1=2025，x2=1是一元二次方程ax【變式83】關(guān)于x的一元二次方程x2+px+q=0有兩個同號非零整數(shù)根，關(guān)于y的一元二次方程y2A．p是正數(shù)，q是負數(shù) B．(p?2)C．q是正數(shù)，p是負數(shù) D．(p?2)【題型9根與系數(shù)的關(guān)系與幾何圖形的綜合運用】【例9】（2425八年級下·安徽合肥·期中）已知等腰△ABC的一條邊為7，其余兩邊的邊長恰好是方程x2?2?m+1x+【變式91】（2425八年級下·江蘇揚州·階段練習）若一個菱形的兩條對角線長分別是關(guān)于x的一元二次方程x2?6x+m=0的兩個實數(shù)根，且其面積為4，則該菱形的邊長為【變式92】（2425九年級上·四川成都·階段練習）已知平行四邊形ABCD的兩邊AB、AD的長是關(guān)于x的方程x2?mx+m2?【變式93】（2425八年級下·浙江杭州·期中）邊長為整數(shù)的直角三角形，若其兩直角邊長是方程x2?k+2【題型10根與系數(shù)的關(guān)系和根的判別式的綜合應(yīng)用】【例10】（2425八年級下·安徽滁州·期末）已知關(guān)于x的一元二次方程mx(1)判斷此方程根的情況，并說明理由．(2)若此方程的兩個實數(shù)根都是整數(shù)，求符合條件的整數(shù)m的值的和．(3)若此方程的兩個實數(shù)根分別為x1,x【變式101】（2425八年級下·浙江·期中）關(guān)于x的一元二次方程x2(1)求k的取值范圍．(2)如果k是符合條件的最大整數(shù)，且關(guān)于x的一元二次方程m?1x2+x+m?3=0與方程x(3)若方程x2?5x+k=0的兩個實數(shù)根為x1,x【變式102】（2025·四川南充·二模）已知a、b是一元二次方程x2(1)求整數(shù)k的取值；(2)若等式a2+2b?5=0成立，求整數(shù)【變式103】（2425八年級