專題1.3等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)（舉一反三講義）【全國(guó)通用】TOC\o"13"\h\u【題型1不等式性質(zhì)的應(yīng)用】 3【題型2用不等式表示不等關(guān)系】 3【題型3比較數(shù)（式）的大小】 4【題型4利用不等式的性質(zhì)證明不等式】 4【題型5利用不等式的性質(zhì)求目標(biāo)式的取值范圍】 5【題型6不等式的綜合問題】 6【題型7糖水不等式】 71、不等關(guān)系與不等式性質(zhì)考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析(1)等式性質(zhì)(2)比較兩個(gè)數(shù)的大小(3)理解不等式的性質(zhì)，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用2022年Ⅱ卷：第12題，5分高考對(duì)不等式的性質(zhì)的考查比較穩(wěn)定，一般以選擇題、填空題為主，主要考查不等式的性質(zhì)及其應(yīng)用、比較大??；單獨(dú)考查的題目雖然不多，但不等式的相關(guān)知識(shí)往往可以滲透到高考的各個(gè)知識(shí)領(lǐng)域，作為解題工具與函數(shù)、向量、解析幾何、數(shù)列等知識(shí)相結(jié)合，在知識(shí)的交匯處命題，是進(jìn)行不等式變形、證明以及解不等式的依據(jù)，是高考考查的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容.知識(shí)點(diǎn)等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)1．等式的基本性質(zhì)性質(zhì)1對(duì)稱性：如果a＝b，那么b＝a；性質(zhì)2傳遞性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c；性質(zhì)3可加（減）性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；性質(zhì)4可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc；性質(zhì)5可除性：如果a＝b，c≠0，那么eq\f(a,c)＝eq\f(b,c).2．不等式的性質(zhì)(1)對(duì)稱性：如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b?b<a.(2)傳遞性：如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c?a>c.(3)可加性：如果a>b，那么a＋c>b＋c.(4)可乘性：如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc.(5)同向可加性：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.(6)同向同正可乘性：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.(7)同正可乘方性：如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)．3．不等式的兩類常用性質(zhì)(1)倒數(shù)性質(zhì)(2)有關(guān)分?jǐn)?shù)的性質(zhì)若a>b>0，m>0，則①真分?jǐn)?shù)的性質(zhì)②假分?jǐn)?shù)的性質(zhì)4．比較大小的基本方法關(guān)系方法作差法與0比較作商法與1比較【方法技巧與總結(jié)】1．應(yīng)用不等式的基本性質(zhì)，不能忽視其性質(zhì)成立的條件，特別提醒的是在解決有關(guān)不等式的判斷題時(shí)，有時(shí)可用特殊值驗(yàn)證法，以提高解題的效率.2．比較數(shù)（式）的大小常用的方法有作差法、作商法.、直接應(yīng)用不等式的性質(zhì)、基本不等式、利用函數(shù)的單調(diào)性，需要靈活運(yùn)用方法求解.【題型1不等式性質(zhì)的應(yīng)用】【例1】（2025·天津南開·一模）設(shè)x,y∈R，則“x2+y2>0”是“xy>0A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式11】（2024·河南駐馬店·二模）已知a>b>c>0，則下列說法一定正確的是（

）A．a(chǎn)>b+c B．a(chǎn)C．a(chǎn)c>b2 【變式12】（2025·河北石家莊·一模）如果ab>0，那么“a>b”是“1a<1A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式13】（2025·山東·二模）若a<b<0，則下列不等式成立的是（

）A．a(chǎn)2<b2 B．a(chǎn)+b<b+c C．【題型2用不等式表示不等關(guān)系】【例2】（2425高一上·廣東深圳·階段練習(xí)）公司運(yùn)輸一批木材，總重600噸，車隊(duì)有兩種貨車，A型貨車載重量30噸，B型貨車載重量24噸，設(shè)派出A型貨車x輛，B型貨車y輛，則運(yùn)輸方案應(yīng)滿足的關(guān)系式是（

）A．5x+4y<100 B．5x+4y≥100C．5x+4y>100 D．5x+4y≤100【變式21】（2024·江西撫州·模擬預(yù)測(cè)）2021年是中國(guó)共產(chǎn)黨成立100周年，為了慶祝建黨100周年，學(xué)校計(jì)劃購(gòu)買一些氣球來布置會(huì)場(chǎng)，已知購(gòu)買的氣球一共有紅?黃?藍(lán)?綠四種顏色，紅色多于藍(lán)色，藍(lán)色多于綠色，綠色多于黃色，黃色的兩倍多于紅色，則購(gòu)買的氣球最少有（

）個(gè)A．20 B．22 C．24 D．26【變式22】（2025·山西·二模）從坐標(biāo)平面的四個(gè)象限中取若干點(diǎn)，這些點(diǎn)中橫坐標(biāo)為正數(shù)的點(diǎn)比橫坐標(biāo)為負(fù)數(shù)的點(diǎn)多，縱坐標(biāo)為正數(shù)的點(diǎn)比縱坐標(biāo)為負(fù)數(shù)的點(diǎn)少，則下列對(duì)這些點(diǎn)的判斷一定正確的是（

）A．第一象限點(diǎn)比第二象限點(diǎn)多 B．第二象限點(diǎn)比第三象限點(diǎn)多C．第一象限點(diǎn)比第三象限點(diǎn)少 D．第二象限點(diǎn)比第四象限點(diǎn)少【變式23】（2024·浙江金華·一模）某高中高三（15）班打算下周開展辯論賽活動(dòng)，現(xiàn)有辯題A、B可供選擇，每位學(xué)生都需根據(jù)自己的興趣選取其中一個(gè)作為自己的辯題進(jìn)行資料準(zhǔn)備，已知該班的女生人數(shù)多于男生人數(shù)，經(jīng)過統(tǒng)計(jì)，選辯題A的人數(shù)多于選辯題B的人數(shù)，則（

）A．選辯題A的女生人數(shù)多于選辯題B的男生人數(shù)B．選辯題A的男生人數(shù)多于選辯題B的男生人數(shù)C．選辯題A的女生人數(shù)多于選辯題A的男生人數(shù)D．選辯題A的男生人數(shù)多于選辯題B的女生人數(shù)【題型3比較數(shù)（式）的大小】【例3】（2025·云南昆明·一模）已知x>0，x2?2xy+z2=0A．y>z>x B．x>y>z C．y>x>z D．z>x>y【變式31】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知x>y，則下列不等式正確的是（

）A．1?x<1?y B．x2>y2 C．【變式32】（2024·浙江金華·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)a,b,c的平均數(shù)為M,a與b的平均數(shù)為N,N與c的平均數(shù)為P.若a>b>c,則（

）A．N<P B．P<MC．N<M D．M+N<2P【變式33】（2025·廣西來賓·模擬預(yù)測(cè)）不僅可以制成精美的首飾佩戴，還因其價(jià)值高，并且是一種稀少的資源，長(zhǎng)久以來也是一種投資工具.小李計(jì)劃投資，根據(jù)自身實(shí)際情況，他決定分兩次進(jìn)行購(gòu)買，并且制定了兩種不同的方案：方案一是每次購(gòu)入一定數(shù)量的：方案二是每次購(gòu)入一定金額的.已知價(jià)格并不穩(wěn)定，所以他預(yù)設(shè)兩次購(gòu)入的單價(jià)不同.現(xiàn)假設(shè)他兩次購(gòu)入的單價(jià)分別為a1,a2，且A．當(dāng)且僅當(dāng)a1B．當(dāng)且僅當(dāng)a1C．無論a1D．無論a1【題型4利用不等式的性質(zhì)證明不等式】【例4】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知a，b，c為三角形的三邊．(1)求證：a2(2)若c≥b≥a，求證：3a【變式41】（2425高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）設(shè)x>0，y>0，z>0，證明：1<x【變式42】（2425高一上·海南省直轄縣級(jí)單位·期中）已知a>b>1，d<c<?2．(1)求證：a?1b?1(2)求證：ac+bd>bc+ad．【變式43】（2425高一上·上?！ふn堂例題）（1）已知c>a>b>0，求證：ac?a（2）已知a>b，e>f，c>0，求證：f?ac<e?bc．【題型5利用不等式的性質(zhì)求目標(biāo)式的取值范圍】【例5】（2025·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）已知π4<α<β<π2，則A．?π2,C．?π,π【變式51】（2025·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）已知2<a≤4，?1<b≤0，則2a?b的取值范圍（

）A．4,9 B．4,9 C．5,8 D．5,8【變式52】（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)x,y為實(shí)數(shù)，滿足3≤xy2≤8,4≤x2A．27 B．24 C．12 D．32【變式53】（2025·浙江·模擬預(yù)測(cè)）若負(fù)實(shí)數(shù)t滿足：對(duì)于任意a∈?4,t，總存在b,c∈?4,t，使得ab+c=1，則t的范圍是（A．?4,?54 B．?54,?1【題型6不等式的綜合問題】【例6】（2425高一上·云南·期中）回答下列問題(1)已知a,b都是正實(shí)數(shù)，比較a2b+(2)已知1<a+b<3，?2<a?b<2，求2a+3b的取值范圍.【變式61】（2425高一上·上海寶山·階段練習(xí)）（1）已知x∈R，比較2x2+3x?1（2）已知a>0，b>0，若a+b>4，求證：ab+2和ba+2中至少有一個(gè)大于【變式62】（2425高一上·四川南充·階段練習(xí)）（1）已知?1≤x+y≤4,2≤x?y<3，求x+2y的取值范圍；（2）若a>b>0,c<d<0,e<0，求證：【變式63】（2425高一上·上海黃浦·期中）設(shè)a，b，c，d是四個(gè)正數(shù)．(1)已知a>b，比較2a+ba+2b與a(2)若a+1b+1c+1d+1<16，求證：a，b，【題型7糖水不等式】【例7】（2425高一上·貴州六盤水·期末）十六世紀(jì)中葉，英國(guó)數(shù)學(xué)家雷科德在《礪智石》一書中首先把“=”作為等號(hào)使用，后來英國(guó)數(shù)學(xué)家哈利奧特首次使用“<”和“>”符號(hào)，并逐漸被數(shù)學(xué)界接受，不等號(hào)的引入對(duì)不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn).如糖水在日常生活中經(jīng)常見到，可以說大部分人都喝過糖水.如果a克糖水中含有b克糖（a>b>0），再添加n克糖（n>0）（假設(shè)全部溶解），糖水變甜了，將這一事實(shí)表示為不等式正確的是（

）A．b+na+n>bC．b+na+n≥b【變式71】（2425高一上·福建莆田·期末）a克糖水中含有b克糖，糖的質(zhì)量與糖水的質(zhì)量比為ba，這個(gè)質(zhì)量比決定了糖水的甜度，如果再添加m克糖（假設(shè)全部溶解），生活經(jīng)驗(yàn)告訴我們糖水會(huì)變甜，對(duì)應(yīng)的不等式為b+ma+m>A．711<7C．log85<log【變式72】（2025高二·全國(guó)·專題練習(xí)）下列關(guān)于糖水濃度的問題，能提煉出怎樣的不等關(guān)系呢？寫出式子并證明.(1)如果向一杯糖水里加糖，糖水變甜了；(2)把原來的糖水（淡）與加糖后的糖水（濃）混合到一起，得到的糖水一定比淡的濃、比濃的淡；(3)如果向一杯糖水里加水，糖水變淡了.【變式73】（2425高一上·黑龍江黑河·階段練習(xí)）已知b克糖水中有a克糖(b>a>0)，往糖水中加入m克糖m>0，（假設(shè)全部溶解）糖水更甜了．(1)請(qǐng)將這個(gè)事實(shí)表示為一個(gè)不等式，并證明這個(gè)不等式；(2)利用（1）的結(jié)論比較M=20192020(3)證明命題：設(shè)x>0,y>0,z>0，證明：1<x一、單選題1．（2024·青海西寧·一模）下列命題中，正確的是（

）A．若ab≠0且a<b，則1a>1b C．若a>b，c>d，則ac>bd D．若a>b，則a+c>b+c2．（2025·福建三明·三模）已知a，b∈R，則“a+b≤1”是“A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．（2025·北京海淀·二模）設(shè)a、b、c∈R，abc≠0，且a>b>c，則（

）A．a(chǎn)b+bC．2a>b+c D．a(chǎn)+b>c4．（2025·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知x，y為實(shí)數(shù)，p:x<y，q:x<y，則p是q的（A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．（2025·山西臨汾·二模）若3≤a≤5,?2≤b≤1，則2a?b的范圍是（

）A．8,9 B．4,8 C．5,8 D．5,126．（2025·重慶·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)a，b，c為均不為零的實(shí)數(shù)，且a?c<b，則（A．a(chǎn)?c<b B．a(chǎn)+b>cC．a(chǎn)<b+7．（2025·云南玉溪·二模）已知x>0，x2?2xy+z2=0A．y>z>x B．x>y>z C．y>x>z D．z>x>y8．（2025·安徽淮北·二模）已知a,b∈R，下列命題正確的是（

A．若ab=1，則a+b≥2B．若1a<C．若a>b，則lnD．若a>b>0，則a+二、多選題9．（2025·山東臨沂·二模）已知a>b>c，則下列不等式正確的是（

）A．1a?c<1a?b B．a(chǎn)b210．（2025·廣東茂名·一模）下列命題正確的是（

）A．若a>b，則aB．若a<b<0，則bC．若a>b>0,baD．若2<a+b<3,?1<a?b<2，則3<3a+b<811．（2025·湖南長(zhǎng)沙·二模）設(shè)a，b，c，d為實(shí)數(shù)，且a>b>0>c>d，則下列不等式正確的有（

）A．c2<cd B．a(chǎn)?c<b?d C．a(chǎn)c<bd 三、填空題12．（2025·吉林長(zhǎng)春·二模）正整數(shù)a,b滿足3<a<b<9，則a+bab的最大值為13．（2024·河北石家莊·二模）若實(shí)數(shù)x,y,z≥0，且x+y+z=4,2x?y+z=5，則M=4x+3y+5z的取值范圍是.14．（2025·河北邯鄲·三模）記min{x,y,z}表示x，y，z中最小的數(shù)．設(shè)a>0，b>0，則mina,1b,四、解答題15．（2425高一·全國(guó)·隨堂練習(xí)）判斷下列命題的真假，并說明理由：(1)若a>b，則ac(2)若ac2>b(3)若a>b，c>d，則ac>bd；(4)若a>b，則1a16．（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知?1≤x+y≤2，?2≤x?y≤1，求x?2y的取值范圍.17．（2425高一下·河北保定·階段練習(xí)）（1）已知x≤