第03講等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和目錄01TOC\o"13"\h\u考情解碼?命題預(yù)警 2 02體系構(gòu)建·思維可視 303核心突破·靶向攻堅(jiān) 3知能解碼 3知識(shí)點(diǎn)1等比數(shù)列的概念 3知識(shí)點(diǎn)2等比數(shù)列的有關(guān)公式 4知識(shí)點(diǎn)3等比數(shù)列的性質(zhì) 4題型破譯 5題型1等比數(shù)列基本量計(jì)數(shù) 5【方法技巧】等比數(shù)列基本量計(jì)算方法題型2等比數(shù)列的判斷與證明 7【方法技巧】判斷與證明等比數(shù)列題型3等比數(shù)列角標(biāo)和性質(zhì) 9【方法技巧】等比數(shù)列角標(biāo)和性質(zhì)題型4等比數(shù)列片段和性質(zhì) 10【方法技巧】等比數(shù)列片段和性質(zhì)題型5奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)求和問題 12【方法技巧】等比數(shù)列奇偶項(xiàng)和問題題型6等比數(shù)列與等差數(shù)列綜合 14題型7等比數(shù)列實(shí)際應(yīng)用 1604真題溯源·考向感知 1905課本典例·高考素材 21考點(diǎn)要求考察形式2025年2024年2023年（1）等比數(shù)列的有關(guān)概念（2）等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式（3）等比數(shù)列的性質(zhì)單選題多選題填空題解答題全國二卷T7，（5分）全國一卷T13，（5分）北京卷T5，（4分）全國甲卷（文）T17（1），（5分）全國甲卷（理）T5，（5分）全國II卷T8，（5分）2全國乙卷（理）T15，（5分）天津卷T19（2），（10分）天津卷T5，（5分）考情分析：高考對(duì)等比數(shù)列的考查相對(duì)穩(wěn)定，考查內(nèi)容、頻率、題型、難度均變化不大．重點(diǎn)是（1）選擇題、填空題多單獨(dú)考查基本量的計(jì)算；（2）解答題多與等差數(shù)列結(jié)合考查，或結(jié)合實(shí)際問題或其他知識(shí)考查．復(fù)習(xí)目標(biāo)：（1）理解等比數(shù)列的概念．（2）掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式．（3）了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系．知識(shí)點(diǎn)1等比數(shù)列的概念(1)等比數(shù)列的定義(2)等比中項(xiàng)自主檢測已知數(shù)列{a?n}滿足，a4=1，an+1an【答案】15【詳解】因?yàn)閍n+1所以數(shù)列{an}因?yàn)閍4所以a1所以a1S4故答案為：15.知識(shí)點(diǎn)2等比數(shù)列的有關(guān)公式自主檢測（2025·陜西·模擬預(yù)測）已知an是公比為2的等比數(shù)列，bn是公差為4的等差數(shù)列，若a3=20,b1【答案】4n+1【詳解】由題意可得a3=22a則bn的通項(xiàng)公式為b故答案為：4n+1知識(shí)點(diǎn)3等比數(shù)列的性質(zhì)自主檢測等比數(shù)列an中，a2,a8是方程xA．4 B．?4 C．?4或4 D．16【答案】C【詳解】由a2,a8是方程因?yàn)閿?shù)列an為等比數(shù)列，可得a3a7=所以a3a7故選：C.題型1等比數(shù)列基本量計(jì)數(shù)例11已知等比數(shù)列an中，a4=?8,a【答案】?2【詳解】設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，由a4=?8,a2故答案為：?2例12已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a6?a【答案】an【詳解】依題意，a6S6?S解得q=2，a3=8，所以方法技巧等比數(shù)列基本量計(jì)算方法方法總結(jié)解決等比數(shù)列基本量運(yùn)算的思想方法(1)方程思想:等比數(shù)列的基本量為首項(xiàng)和公比,通常利用已知條件及通項(xiàng)公式或前項(xiàng)和公式列方程(組)求解,等比數(shù)列中包含,,,,五個(gè)量,可“知三求二”.(2)整體思想:當(dāng)所給條件只有一個(gè)時(shí),可將已知和所求都用,表示,尋求兩者間的聯(lián)系,整體代換即可求解.【變式訓(xùn)練11】已知遞增等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a2=2，S3A．8 B．6 C．4 D．2【答案】A【詳解】由已知，數(shù)列為等比數(shù)列，a可求出a1=1q=2，a故選：A【變式訓(xùn)練12】在等比數(shù)列an中，已知a1=3，an=48，【答案】5【詳解】在等比數(shù)列an中，a1=3，an=48由前n項(xiàng)和公式及通項(xiàng)公式可得，93=31?qn1?q故答案為：5.【變式訓(xùn)練13】數(shù)列an成等比數(shù)列，其公比為q，前n項(xiàng)和為Sn．若a3=32，【答案】?1【詳解】等比數(shù)列an的公比為q，由a3=整理得1q2+1q所以q=?12或故答案為：?1題型2等比數(shù)列的判斷與證明例21（多選）若Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且SnA．a(chǎn)3=?4 C．a(chǎn)n是等比數(shù)列 D．S【答案】ACD【詳解】當(dāng)n=1時(shí)，S1當(dāng)n≥2時(shí)，由Sn=2a所以an所以數(shù)列an時(shí)以?1a3由Sn因?yàn)镾n?1=?2故選：ACD.例22已知數(shù)列an滿足a(1)設(shè)bn=a(2)證明數(shù)列bn【答案】(1)b1=3，b(2)證明見解析【詳解】（1）已知a1=1，因?yàn)閎n當(dāng)n=1時(shí)，a2=a1當(dāng)n=2時(shí)，b2先求a3，因?yàn)閚=2為偶數(shù)，a再求a4，因?yàn)閚=3為奇數(shù)，a4=a當(dāng)n=3時(shí)，b3先求a5，因?yàn)閚=4為偶數(shù)，a再求a6，因?yàn)閚=5為奇數(shù)，a6=（2）由bn=a所以bn+1則bn+1+3=2(b所以數(shù)列{bn+3}是以6方法技巧判斷證明等比數(shù)列方法定義法等差中項(xiàng)法【變式訓(xùn)練21】數(shù)列an滿足a1∈Z,an+1+an=2n+3A．99 B．103 C．137 D．169【答案】D【詳解】由an+1+a∴an?n?1∴a∴S①m為奇數(shù)時(shí)，a1②m為偶數(shù)時(shí)，?a∵a1∈綜上所述，m=169.故選:D.【變式訓(xùn)練22】已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn=2【答案】?【詳解】當(dāng)n=1時(shí)，a1=S當(dāng)n≥2時(shí)，Sn?1兩式相減得，Sn?S所以an因?yàn)閍1=?1≠0，所以an故數(shù)列an是首項(xiàng)為?1所以an故答案為：?2【變式訓(xùn)練23】已知數(shù)列an滿足：a1=72(1)求證：數(shù)列an(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和S【答案】(1)證明見解析(2)a【詳解】（1）由題得，an+1∴an+1?所以數(shù)列an（2）由（1）得，an?1所以前n項(xiàng)和Sn題型3等比數(shù)列角標(biāo)和性質(zhì)例31已知an為各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，a4和a5是方程x2?8x+10=0A．72 B．4 C．92【答案】B【詳解】由a4和a5是方程x2又?jǐn)?shù)列an為各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，則a所以lga故選：B例32已知數(shù)列an為等比數(shù)列，其中a6，a10為方程x2+2025x+3=0A．12 B．?3 C．3 【答案】B【詳解】由題得，根據(jù)韋達(dá)定理可得a6?a10=3由等比數(shù)列的等比中項(xiàng)性質(zhì)可得：a6因?yàn)榈缺葦?shù)列的偶數(shù)項(xiàng)符號(hào)相同，a6,a10都是負(fù)數(shù)，設(shè)公比為所以a8故選：B.方法技巧等比數(shù)列角標(biāo)和性質(zhì)【變式訓(xùn)練31】在等比數(shù)列an中，a3，a9是方程x2?8x+2=0A．2 B．?2 C．±2 【答案】A【詳解】由韋達(dá)定理得a3+a又an為等比數(shù)列，所以a所以a6故選：A.【變式訓(xùn)練32】an是等比數(shù)列，a3,a7是方程xA．±3 B．3 C．?3 【答案】C【詳解】設(shè)等比數(shù)列an公比為q因?yàn)閍3，a7是方程所以a3a7由等比數(shù)列的性質(zhì)可知a所以a5故選：C.【變式訓(xùn)練33】已知等比數(shù)列an中，a4=1，a8=81A．9 B．±9 C．81 D．±81【答案】A【詳解】在等比數(shù)列{an}中，根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)a已知a4=1，a8=81，那么a6因在等比數(shù)列中，偶數(shù)項(xiàng)的符號(hào)相同，a4=1>0，a8故選：A.題型4等比數(shù)列片段和性質(zhì)例41記等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S4S8A．7 B．49 C．437 【答案】C【詳解】設(shè)S4=tt≠0因?yàn)镾8所以(6t)2=tS所以S12故選：C例42已知正項(xiàng)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Sk=4,【答案】52【詳解】因?yàn)閍n為正項(xiàng)等比數(shù)列，所以S則S2k即S2k兩式相除得S2k所以S3k所以S2k所以S2k所以S2k所以S2k解得S2k所以S3k故答案為：52方法技巧等比數(shù)列片段和性質(zhì)【變式訓(xùn)練41】已知正項(xiàng)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S5=4，A．12 B．14 C．16 D．18【答案】A【詳解】由題意及等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)，得S5，S10?則S10?S5S5=故選：A【變式訓(xùn)練42】已知Sn是等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，S3=1,SA．7 B．8 C．15 D．16【答案】C【詳解】因?yàn)镾n是等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和且可知S3又因?yàn)镾3=1,S可得S9?S所以S9=S故選：C.【變式訓(xùn)練43】已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足S4=1,S【答案】273【詳解】等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足所以S8?S故答案為：273題型5奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)求和問題例51已知一個(gè)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列an所有項(xiàng)之和為所有奇數(shù)項(xiàng)之和的3倍，前2項(xiàng)之積為8，則a1=A．2 B．2 C．1 D．2或2【答案】D【詳解】設(shè)首項(xiàng)為a1，公比為q，數(shù)列共有2n項(xiàng)，則a2n?1滿足首項(xiàng)為a1，公比為q2，項(xiàng)數(shù)為因?yàn)樗许?xiàng)之和是奇數(shù)項(xiàng)之和的3倍，所以q≠1，所以Tn=a故滿足S2nTn又a1所以a1故選：D例52若等比數(shù)列an共有2n項(xiàng)，其公比為2，其奇數(shù)項(xiàng)和比偶數(shù)項(xiàng)和少100，則數(shù)列an的所有項(xiàng)之和為【答案】300【詳解】設(shè)等比數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)之和為S則S1S2由題意可得：S1+100=S2，即故數(shù)列{an}故答案為：300.方法技巧等比數(shù)列奇偶項(xiàng)和性質(zhì)（1）等比數(shù)列中，所有奇數(shù)項(xiàng)之和與所有偶數(shù)項(xiàng)之和具有的性質(zhì)，設(shè)公比為．【變式訓(xùn)練51】已知一個(gè)等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)，其奇數(shù)項(xiàng)之和為1012，偶數(shù)項(xiàng)之和為2024，則這個(gè)數(shù)列的公比為（

）A．8 B．?2 C．4 D．2【答案】D【詳解】由題意可知：S偶所以q=S故選：D.【變式訓(xùn)練52】已知等比數(shù)列an的前6項(xiàng)和為126，其中偶數(shù)項(xiàng)和是奇數(shù)項(xiàng)和的2倍，則a1【答案】2【詳解】由題設(shè)a1+a若an的公比為q，則a所以a1+a故答案為：2【變式訓(xùn)練53】若等比數(shù)列an共有奇數(shù)項(xiàng)，其首項(xiàng)為1，其偶數(shù)項(xiàng)和為170，奇數(shù)項(xiàng)和為341，則這個(gè)數(shù)列的公比為，項(xiàng)數(shù)為【答案】29【詳解】在等比數(shù)列an中，由S奇=a1設(shè)這個(gè)數(shù)列共有2n+1項(xiàng)，則S2n+1=1?故答案為：2；9題型6等比數(shù)列與等差數(shù)列綜合例61已知等比數(shù)列an的公比q>1,(1)求an(2)設(shè)bn=10+log2a【答案】(1)a(2)k=5【詳解】（1）由題意得a1所以an（2）由（1）得bn所以b1解得k=5或k=?16（舍去）.例62已知等差數(shù)列an滿足：a4=6(1)求數(shù)列an(2)設(shè)等比數(shù)列bn的各項(xiàng)均為正數(shù)，Tn為其前n項(xiàng)和，若b1=1，【答案】(1)a(2)T【詳解】（1）對(duì)于等差數(shù)列an，設(shè)該數(shù)列的公差為d，則a∴a（2）由（1）可知b3=a3=2×3?2=4，又∵∴q2=【變式訓(xùn)練61】在等差數(shù)列an中，a6=?6(1)求an通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和S(2)若數(shù)列bn為等比數(shù)列，且b1=a9，b2=【答案】(1)an=3n?24(2)T【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d因?yàn)閍6=?6,a7=?3所以an所以Sn因?yàn)閚∈N*，所以當(dāng)n=7或n=8時(shí)且最小值為S7（2）由（1）可得：b1=a所以等比數(shù)列bn的公比為q=所以bn=b1?qn?1【變式訓(xùn)練62】已知數(shù)列an中，a(1)求數(shù)列an(2)若等差數(shù)列bn滿足b2=a3,b【答案】(1)a1(2)S【詳解】（1）數(shù)列an中，因?yàn)閍4=8≠0故an+1an又因?yàn)閍4=8，所以所以a1（2）等差數(shù)列bn滿足b設(shè)等差數(shù)列公差為d,2d=b4?所以bn所以bn的前n項(xiàng)和S【變式訓(xùn)練63】已知數(shù)列an滿足：a1+(1)若數(shù)列an是等差數(shù)列，求an的通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和(2)若數(shù)列an是等比數(shù)列，求a【答案】(1)an=3n?(2)a【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列an所以2d=(a所以d=3．所以a1即2a解得a1所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式a即an所以數(shù)列an的前n項(xiàng)和S即Sn（2）因?yàn)閿?shù)列an所以q=a由a1得a1即a1解得a1所以an數(shù)列an的通項(xiàng)公式為a題型7等比數(shù)列實(shí)際應(yīng)用例71在國家開發(fā)西部的號(hào)召下，某西部企業(yè)得到了一筆400萬元的無息貸款用做設(shè)備更新．據(jù)預(yù)測，該企業(yè)設(shè)備更新后，第1個(gè)月收入為20萬元，在接下來的5個(gè)月中，每月收入都比上個(gè)月增長20%，從第7個(gè)月開始，每個(gè)月的收入都比前一個(gè)月增加2萬元．則從新設(shè)備使用開始計(jì)算，該企業(yè)用所得收入償還400萬無息貸款只需個(gè)月．（結(jié)果取整）【答案】10【詳解】由題意設(shè)每個(gè)月的收入為數(shù)列an，其前n項(xiàng)和記作Sn，前6個(gè)月的收入成等比數(shù)列，且公比為第7個(gè)月開始收入成等差數(shù)列，公差為2，則S6又a7=a6+2=20×65而S9≈198.6+51.77+53.77+55.77=359.91，所以該企業(yè)用所得收入償還400萬元貸款只需10個(gè)月.故答案為：10.例72某企業(yè)2023年的純利潤為500萬元，因?yàn)槠髽I(yè)的設(shè)備老化等原因，企業(yè)的生產(chǎn)能力將逐年下降．若不進(jìn)行技術(shù)改造，預(yù)測從2015年開始，此后每年比上一年純利潤減少20萬元．如果進(jìn)行技術(shù)改造，2024年初該企業(yè)需一次性投入資金600萬元，在未扣除技術(shù)改造資金的情況下，預(yù)計(jì)2024年的利潤為750萬元，此后每年的利潤比前一年利潤的一半還多250萬元．(1)設(shè)從2024年起的第n年（以2024年為第一年），該企業(yè)不進(jìn)行技術(shù)改造的年純利潤為an萬元；進(jìn)行技術(shù)改造后，在未扣除技術(shù)改造資金的情況下的年利潤為bn萬元，求an(2)設(shè)從2024年起的第n年（以2024年為第一年），該企業(yè)不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤為An萬元，進(jìn)行技術(shù)改造后的累計(jì)純利潤為B【答案】(1)a(2)4【詳解】（1）由題意得an是等差數(shù)列，a所以an=500?20n，由題意得所以bn+1所以bn+1?500是首項(xiàng)為250，公比為所以bn?500=2501（2）An是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，所以Bn是數(shù)列bn的前所以Bn=500(1+1Bn?A又當(dāng)n∈N*時(shí)，函數(shù)所以函數(shù)y=Bn?An單調(diào)遞增，且n=1,2,3時(shí)B所以至少經(jīng)過4年，進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤將超過不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤.【變式訓(xùn)練71】漸進(jìn)式延遲退休方案是指采取較緩而穩(wěn)妥的方式逐步延長退休年齡.對(duì)于男職工，新方案將延遲法定退休年齡每4個(gè)月延遲1個(gè)月，逐步將男職工的法定退休年齡從原六十周歲延遲至六十三周歲.如果男職工延遲法定退休年齡部分對(duì)照表如下表所示：出生時(shí)間1965年1月—4月1965年5月—8月1965年9月—12月1966年1月—4月……改革后法定退休年齡60歲+1個(gè)月60歲+2個(gè)月60歲+3個(gè)月60歲+4個(gè)月……那么1975年7月出生的男職工法定退休年齡為（

）A．62歲3個(gè)月 B．62歲5個(gè)月 C．62歲8個(gè)月 D．63歲【答案】C【詳解】設(shè)1965年7月出生的男職工退休年齡為a1則1966年7月出生的男職工退休年齡為a2設(shè)7月出生的男職工退休年齡為an，則an是首項(xiàng)為6011975年7月出生的男職工退休年齡為a11故1975年7月出生的男職工退休年齡為62歲8個(gè)月.故選：C.【變式訓(xùn)練72】王先生為購房于2019年12月初向銀行貸款36萬元，與銀行約定按“等額本金還款法”分10年進(jìn)行還款，從2020年1月初開始，每個(gè)月月初還一次款，貸款月利率為0.5%，現(xiàn)因資金充足準(zhǔn)備向銀行申請(qǐng)?zhí)崆斑€款，銀行規(guī)定：提前還款除償還剩余本金外，另需收取違約金，貸款不滿一年提前還款收取提前還款額的百分之三作為違約金；貸款的時(shí)間在一年到兩年之間申請(qǐng)?zhí)崆斑€款收取提前還款額的百分之二作為違約金；滿兩年之后提前還款收取提前還款額的百分之一作為違約金.王先生計(jì)劃于2024年12月初將剩余貸款全部一次性還清，則他按現(xiàn)計(jì)劃的所有還款數(shù)額比按原約定的所有還款數(shù)額少（

A．22450元 B．27270元 C．25650元 D．27450元【答案】C【詳解】根據(jù)題意，截止2024年12月，提前還款數(shù)額比按約定還款數(shù)額少的部分為：按原計(jì)劃還款時(shí)，從2024年12月起到原計(jì)劃結(jié)束時(shí)所還的利息，即剩余60個(gè)月的利息，同時(shí)減掉剩余還款額百分之一的違約金.因?yàn)槊吭滤€本金為360000120所以2024年12月還完后本金還剩余360000?3000×60=180000元，故違約金為1800元，2025年1月應(yīng)還利息為180000×0.5%2025年2月應(yīng)還利息為180000?3000×0.52025年3月應(yīng)還利息為180000?3000×2×0.5?最后一次應(yīng)還利息為180000?3000×59×0.5所以后60個(gè)月的利息合計(jì)為180000×60?3000×1+2+3+?+59故他按現(xiàn)計(jì)劃的所有還款數(shù)額比按原約定的所有還款數(shù)額少27450?1800=25650元.故選：C.【變式訓(xùn)練73】小琴3月8日用分期付款的方式購買一件商品，商品價(jià)格為2200元，購買當(dāng)天支付200元，當(dāng)年4月開始算分期付款的第一個(gè)月，月利率為0.5%,25個(gè)月還清．（1）已知從當(dāng)年4月開始，后面每月的8日都還款本金80元，并加付欠款利息，若全部欠款付清后，則購買這件商品實(shí)際付款元；（2）若從當(dāng)年4月開始，后面每月的8日還款一次，每次還款數(shù)額相同，按復(fù)利計(jì)息，則每月還款金額為元．（最后結(jié)果保留4位有效數(shù)字，參考數(shù)據(jù)：(1+0.5%【答案】233085.19【詳解】（1）設(shè)第n個(gè)月付款an元，則a所以購買這件商品實(shí)際付款Sn所以購買這件商品實(shí)際付款200+2130=2330元；（2）設(shè)每期還款x元，按復(fù)利計(jì)算2000元貸款經(jīng)過25期連本帶息增值為20001+0.5則x1+0.5可得x1?整理可得x=2000所以每月還款金額為85.19元.故答案為：2330；85.19.1．（2023·全國甲卷·高考真題）設(shè)等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和Sn，若a1=1，S5A．158 B．658 C．15【答案】C【詳解】由題知1+q+q即q3+q4=4q+4由題知q>0,所以q=2.所以S4故選:C.2．（2023·天津·高考真題）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a1=2,aA．16 B．32 C．54 D．162【答案】C【詳解】當(dāng)n≥2,n∈N?時(shí)，an=2S當(dāng)n=1時(shí)，a2所以數(shù)列an則a4故選：C.3．（2024·北京·高考真題）漢代劉歆設(shè)計(jì)的“銅嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的標(biāo)準(zhǔn)量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形狀均可視為圓柱.若升、斗、斛量器的容積成公比為10的等比數(shù)列，底面直徑依次為65mm,325mm,325mm，且斛量器的高為230mm，則斗量器的高為mm，升量器的高為mm．【答案】2357.5/115【詳解】設(shè)升量器的高為?1，斗量器的高為?2（單位都是mm），則故?2=23mm故答案為：23mm,1154．（2023·北京·高考真題）我國度量衡的發(fā)展有著悠久的歷史，戰(zhàn)國時(shí)期就已經(jīng)出現(xiàn)了類似于砝碼的、用來測量物體質(zhì)量的“環(huán)權(quán)”．已知9枚環(huán)權(quán)的質(zhì)量（單位：銖）從小到大構(gòu)成項(xiàng)數(shù)為9的數(shù)列an，該數(shù)列的前3項(xiàng)成等差數(shù)列，后7項(xiàng)成等比數(shù)列，且a1=1,a5=12,a9【答案】48384【詳解】方法一：設(shè)前3項(xiàng)的公差為d，后7項(xiàng)公比為q>0，則q4=a9a則a3=1+2d=a5q空1：可得a3空2：a方法二：空1：因?yàn)閍n,3≤n≤7為等比數(shù)列，則且an>0，所以又因?yàn)閍52=空2：設(shè)后7項(xiàng)公比為q>0，則q2=a可得a1+a故答案為：48；384.5．（2022·全國甲卷·高考真題）記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和．已知(1)證明：an(2)若a4,a【答案】(1)證明見解析；(2)?78．【詳解】（1）因?yàn)?Snn當(dāng)n≥2時(shí)，2S①?②得，2S即2a即2n?1an?2n?1an?1所以an是以1（2）[方法一]：二次函數(shù)的性質(zhì)由（1）可得a4=a1+3又a4，a7，a9即a1+62所以an=n?13，所以所以，當(dāng)n=12或n=13時(shí)，Sn[方法二]：【最優(yōu)解】鄰項(xiàng)變號(hào)法由（1）可得a4=a1+3又a4，a7，a9即a1+62所以an=n?13，即有則當(dāng)n=12或n=13時(shí)，Sn1．(人教A版選擇性必修第二冊(cè)P41習(xí)題4.3第9題)在流行病學(xué)中，基本傳染數(shù)R0是指在沒有外力介入，同時(shí)所有人都沒有免疫力的情況下，一個(gè)感染者平均傳染的人數(shù)．R0一般由疾病的感染周期、感染者與其他人的接觸頻率、每次接觸過程中傳染的概率決定，假設(shè)某種傳染病的基本傳染數(shù)R0=4，那么感染人數(shù)由1個(gè)初始感染者增加到1000人大約需要輪感染？（結(jié)果取整數(shù)，初始感染者傳染R【答案】5【詳解】由題可知，第一輪傳染感染的人數(shù)為1+R0=5第三輪傳染感染的人能數(shù)為：20R0=80人；故感染人數(shù)可看作首項(xiàng)為5，公比為4的等比數(shù)列，an=5×4