2025—2026學(xué)年高三學(xué)業(yè)水平診斷(一)

數(shù)學(xué).答案

一、單項(xiàng)選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.

1.答案C

命題透析本題考查集合的交、補(bǔ)運(yùn)算.

解析由題意,得CRA={x|x≤0},所以(CRA)∩B={x|-1≤x≤0}.

2.答案C

命題透析本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算以及復(fù)數(shù)的模.

解析由于Z=+1=-i-1+1=-i,所以|Z|=1.

3.答案A

命題透析本題考查平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算.

—→——→—→——→—→

解析AB+2BO=AB+BD=AD.

4.答案B

命題透析本題考查不等式的解法.

解析由不等式可得x+1≠0,且==x-2>0,所以x>2.

5.答案D

命題透析本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系以及二倍角公式.

解析因?yàn)閟in所以costanα=3,故tan

6.答案B

命題透析本題考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)的定義域與值域.

2

解析由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知f(x)必是單調(diào)函數(shù),又f(0)=0恒成立,所以f(4)=4,即a-1=4,所以a=\.

7.答案A

命題透析本題考查函數(shù)與方程,指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象.

x111x

解析由題意知a,b,C分別是方程2=,lgx=,lnx=的正根,即函數(shù)y=2,y=lgx,y=lnx的圖象與

xxx

y=的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo),作出相應(yīng)圖象,由圖可知a<C<b.

—1—

8.答案B

命題透析本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值.

解析由題意可知f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),a>0,由條件可得f(x1)-f(x2)>(lna-1)(x1-x2),所以

x

f(x1)-(lna-1)x1>f(x2)-(lna-1)x2.設(shè)g=fx=e-xlnxx,

則g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.求導(dǎo)得g/(x)=ex-lnx-(a-1)x-lna=(ex+x)-[ax+ln(ax)],則g/(x)≥0

在(0,+∞)上恒成立,所以ex+x≥ax+ln(ax),即ex+lnex≥ax+ln(ax)恒成立,易知y=x+lnx在(0,+∞)上

單調(diào)遞增,故只需ex≥ax,即a在x>0時(shí)恒成立即可.設(shè)tx>0,則t/(x)=,可知t(x)在

(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增,則t(x)≥t(1)=e,所以a≤e,即a的最大值為e.

二、多項(xiàng)選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.每小題全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)的

得0分.

9.答案ACD

命題透析本題考查平面向量的運(yùn)算.

解析對(duì)于A,a.b=-m+6=5,得m=1,故A正確;

對(duì)于B,a=(1,3),b=(-1,2),顯然a與b不共線(xiàn),故B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,設(shè)a,b的夾角為則cos所以θ=45O,故C正確;

對(duì)于D,a-b=(2,1),所以b.(a-b)=0,所以b丄(a-b),故D正確.

10.答案AD

命題透析本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì).

解析對(duì)于A,f(x)=sin2xcos2x=2sin所以f(x)的最小正周期為π,故A正確;

對(duì)于B,f(x)的最大值為2,故B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,當(dāng)x時(shí),2x所以直線(xiàn)x=不是f(x)圖象的對(duì)稱(chēng)軸,故C錯(cuò)誤;

對(duì)于D,f=2sin(2x+π)=-2sin2x,為奇函數(shù),故D正確.

11.答案BCD

命題透析本題考查抽象函數(shù)的性質(zhì).

解析令x=y=0,得f(0)f(0)-f(0)=f(0)[f(0)-1]=0,所以f(0)=1或f(0)=0.

對(duì)于A,若f(0)=1,則對(duì)任意x∈R,f(x)f(0)-f(x+0)=2-(ex+e0),左邊=f(x)-f(x)=0,右邊=1-ex,

矛盾,故A錯(cuò)誤;

對(duì)于B,若f(0)=0,則對(duì)任意x∈R,f(x)f(0)-f(x+0)=2-(ex+e0),可得f(x)=ex-1,經(jīng)檢驗(yàn),符合題意,

易知f(x)在R上單調(diào)遞增,故B正確;

—2—

對(duì)于C,f(x)=ex-1的值域?yàn)?-1,+∞),只要g(x)滿(mǎn)足定義域?yàn)?-1,+∞),值域?yàn)镽即可,如g(x)=

ln(x+1),故C正確;

x()xxx

fxe-1-

對(duì)于D,令g(x)=e2,得==e2-e2,為奇函數(shù),故D正確.

g(x)

三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.

12.答案1

命題透析本題考查基本不等式的應(yīng)用.

2

解析x+4y≥2\=4\,所以xy≤=1,當(dāng)且僅當(dāng)x=2,y=時(shí)等號(hào)成立.

13.答案

命題透析本題考查對(duì)數(shù)與指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).

a-a

解析a=log2\=log43,所以4-4=3-=.

14.答案(-∞,-2)U(2,+∞)

命題透析本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)與不等式的性質(zhì).

32

解析設(shè)過(guò)點(diǎn)P的直線(xiàn)與f(x)的圖象相切于點(diǎn)(x0,x0-2x0),則切線(xiàn)斜率k=f/(x0)=3x0-2,由切線(xiàn)過(guò)點(diǎn)

P(a,4),得k=,因此3x2-2整理得2xaxa+4=0.

-0

令g(x)=2x3-3ax2+2a+4,則g/(x)=6x2-6ax=6x(x-a),原問(wèn)題等價(jià)于g(x)有三個(gè)不同零點(diǎn).

當(dāng)a=0時(shí),g/(x)=6x2≥0,g(x)單調(diào)遞增,最多有1個(gè)零點(diǎn),不符合題意.

當(dāng)a>0時(shí),g(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞增,在(0,a)上單調(diào)遞減,在(a,+∞)上單調(diào)遞增,極大值為g(0)=

2a+4,極小值為g(a)=-a3+2a+4,要使g(x)有三個(gè)零點(diǎn),需滿(mǎn)足g(0)>0且g(a)<0,即

2a+4>0,

解得a>2.

{-a3+2a+4<0,

當(dāng)a<0時(shí),g(x)在(-∞,a)上單調(diào)遞增,在(a,0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增,極小值為g(0)=

2a+4,極大值為g(a)=-a3+2a+4,要使g(x)有三個(gè)零點(diǎn),需滿(mǎn)足g(a)>0且g(0)<0,即

2a+4<0,

解得a<-2.

{-a3+2a+4>0,

綜上,a的取值范圍是(-∞,-2)U(2,+∞).

四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.命題透析本題考查概率的計(jì)算,隨機(jī)變量的分布列、期望與方差.

解析(1)甲進(jìn)入復(fù)賽的概率為1-=.……………(5分)

(2)X的所有可能取值為0,1,2,

02

0

P(X=0)=C2=,

—3—

20

2

P(X=2)=C2=.……………(8分)

分布列如下:

X012

441

P

999

…………………(9分)

4412

所以E(X)=0×+1×+2×=,………………(11分)

9993

222

D(X)=(0-×+(1-×+(2-×=.………(13分)

另解:X~B,所以E(X)

16.命題透析本題考查正弦定理、余弦定理與三角恒等變換的應(yīng)用.

解析(1)由條件及正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosA,………………(2分)

又A+B+C=π,所以sinA=sin(B+C)=sinBcosC+sinCcosB,

所以sinA=2sinAcosA,……………………(4分)

又因?yàn)锳∈(0,π),所以sinA≠0,cosA=,故A=.…………………(6分)

(2)由余弦定理得a2=b2+C2-bC,…………(8分)

2

將a=2\,b=2C代入,得3C=12,所以C=2,b=4.……………………(10分)

由S△ABC=S△ABD+S△ACD,

1π1π1π

得×4×2sin=×4×ADsin+×2×ADsin,

232626

解得AD………………(15分)

另解:求得b,C后,觀(guān)察可知△ABC是特殊的直角三角形,用特殊角計(jì)算可得AD.

17.命題透析本題考查線(xiàn)面垂直的證明,利用空間向量計(jì)算空間角.

解析(1)如圖,連接BE.

」ABCD,E為CD的中點(diǎn),:AB=DE,

又」ABⅡDE且AB=AD,:四邊形ABED為菱形,AE丄BD.………………(2分)

:AE丄OB,AE丄OP,又OB∩OP=O,:AE丄平面POB.…………………(4分)

與四邊形ABED為菱形同理,可知四邊形ABCE為菱形,

:AEⅡBC,:BC丄平面POB.………………(6分)

(2)由(1)可知△DAE即△PAE是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,又PO丄平面ABCE,所以O(shè)A,OB,OP兩兩互相垂

—4—

直,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),以O(shè)A,OB,OP所在直線(xiàn)分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,……………(7分)

則O(0,0,0),A(1,0,0),B(0,\,0),C(-2,\,0),P(0,0,\),

———

:=(1,0,-\),=(0,\,-\),=(-2,\,-\).…………(9分)

設(shè)平面PAB的法向量為m=(x,y,z),

則取m……………(11分)

設(shè)平面PBC的法向量為n=(a,b,C),

C=0,

則取n(13分)

m.n210

:cos〈m,n〉===\,

|m|.|n|\5×\25

2

故二面角A-PB-C的正弦值為=\.………………(15分)

\5

18.命題透析本題考查橢圓的方程與幾何性質(zhì),橢圓與直線(xiàn)的位置關(guān)系.

解析(1)設(shè)C的半焦距為C(C>0).

由橢圓的定義可知2a=4,所以a=2.

又e,得C=1,所以b2=a2-C2=3,

故C的方程為…………………(4分)

(2)(i)由C的方程可得F(1,0),設(shè)l:x=my+1,點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),D(4,y1).

將C與l的方程聯(lián)立可得(3m2+4)y2+6my-9=0,

所以y1+yy1y…………………(6分)

直線(xiàn)BD:y+y1,令x可得y(8分)

其中,分子=3y2+5y1-2y1(my2+1)=3(y1+y2)-2my1y2==0,

—5—

所以直線(xiàn)BD恒過(guò)點(diǎn),0).………………(11分)

(i)設(shè)E,0),

則S△OBDOE||y1-y…………………(14分)

2

記t=m+1,則t∈[1,+∞),S△OBD

設(shè)f(t)=\,則f/(t)=,當(dāng)t∈[1,+∞)時(shí),f/(t)<0,f(t)單調(diào)遞減,

3t1

所以f(t)max=f(1)=,故△OBD的面積的最大值為.………………(17分)

19.命題透析本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用.

解析(1)由題意可知f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),f/

令f/(x)=0,得x=e,………………………(3分)

故當(dāng)0<x<e時(shí),f/(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,當(dāng)x>e時(shí),f/(x)<0,f(x)單調(diào)遞減.………(5分)

(2)由(1)可知,f(x)在(0,e)上單調(diào)遞增,在(e,+∞)上單調(diào)遞減.

若2m>\2e,則f(2m)<f(\2