第03講平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用

目錄

01考情解碼?命題預(yù)警.....................................................................................................................2

02體系構(gòu)建·思維可視.........................................................................................................................3

03核心突破·靶向攻堅(jiān).........................................................................................................................4

知能解碼........................................................................................................................................4

知識(shí)點(diǎn)1平面向量數(shù)量積的有關(guān)概念..............................................................................4

知識(shí)點(diǎn)2平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示..............................................................4

知識(shí)點(diǎn)3平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律..................................................................................5

知識(shí)點(diǎn)4平面幾何中的向量方法......................................................................................6

題型破譯...............................................................................................................................................7

題型1平面向量數(shù)量積的定義..........................................................................................7

題型2平面向量數(shù)量積的運(yùn)算....................................................................................9

題型3數(shù)量積的坐標(biāo)表示................................................................................................11

題型4投影向量................................................................................................................12

題型5向量在幾何中的應(yīng)用............................................................................................15

題型6向量在物理中的應(yīng)用............................................................................................20

題型7向量新定義......................................................................................................21

04真題溯源·考向感知.......................................................................................................................27

05課本典例·高考素材.......................................................................................................................27

考點(diǎn)要求考察形式2025年2024年2023年

1.理解平面向量數(shù)量

積的含義及其物理意

義.

2.了解平面向量的數(shù)

量積與投影向量的長(zhǎng)

度的關(guān)系.

新課標(biāo)I卷，第3題，5

3.掌握數(shù)量積的坐標(biāo)全國(guó)二卷，第12新課標(biāo)I卷，第3題，5分

表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面分

題，5分新課標(biāo)II卷，第13題，5

向量數(shù)量積的運(yùn)算.單選題新課標(biāo)II卷，第3題，5

上海卷，第12題，分

4.能運(yùn)用數(shù)量積表示多選題分

兩個(gè)向量的夾角，會(huì)填空題5分全國(guó)甲卷，第4題，5分

全國(guó)甲卷，第題，分

用數(shù)量積判斷兩個(gè)平95

解答題天津卷，第14題，全國(guó)乙卷，第12題，5分

面向量的垂直關(guān)系.天津卷，第14題，5分

會(huì)用向量的方法解5分天津卷，14題，5分

5.北京卷，第5題，4分

決某些簡(jiǎn)單的平面幾

何問(wèn)題.

6.會(huì)用向量方法解決

簡(jiǎn)單的力學(xué)問(wèn)題與其

他一些實(shí)際問(wèn)題.

考情分析：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算、化簡(jiǎn)、證明及數(shù)量積的應(yīng)用問(wèn)題，如證明垂直、距離等是每年必考的內(nèi)容，單

獨(dú)命題時(shí)，一般以選擇、填空形式出現(xiàn)．交匯命題時(shí)，向量一般與解析幾何、三角函數(shù)、平面幾何等相結(jié)合考查，

而此時(shí)向量作為工具出現(xiàn)．向量的應(yīng)用是跨學(xué)科知識(shí)的一個(gè)交匯點(diǎn)，務(wù)必引起重視．

預(yù)測(cè)命題時(shí)考查平面向量數(shù)量積的幾何意義及坐標(biāo)運(yùn)算，同時(shí)與三角函數(shù)及解析幾何相結(jié)合的解答題也是熱點(diǎn)．

復(fù)習(xí)目標(biāo)：

1.理解平面向量的意義、幾何表示及向量相等的含義．

2.掌握向量的加法、減法運(yùn)算，并理解其幾何意義及向量共線的含義．

3.了解平面向量基本定理及其意義

4.會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算

知識(shí)點(diǎn)1平面向量數(shù)量積的有關(guān)概念

(1)向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量a和b，O是平面上的任意一點(diǎn)，作O→A＝a，O→B＝b，則∠

AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a與b的夾角.

(2)數(shù)量積的定義：已知兩個(gè)非零向量a與b，它們的夾角為θ，我們把數(shù)量|a||b|cos__θ叫做向量

a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|cos__θ.規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為

0，即0·a＝0.

(3)投影向量

如圖，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作O→M＝a，O→N＝b，過(guò)點(diǎn)M作直線ON的垂線，

→

垂足為M1，則OM1就是向量a在向量b上的投影向量.

→→

設(shè)與b方向相同的單位向量為e，a與b的夾角為θ，則OM1與e，a，θ之間的關(guān)系為OM1＝|a|cos

θe.

自主檢測(cè)（多選）關(guān)于平面向量a，b，c，下列說(shuō)法不正確的是（）

22

A．a(chǎn)bababB．a(chǎn)bcacbc

rrrrrrrrrr

C．若abac，且a0，則bcD．a(chǎn)bcabc

【答案】CD

【分析】利用數(shù)量積的運(yùn)算律判斷AB；利用數(shù)量積推理判斷C；由共線向量的意義判斷D.

【詳解】對(duì)于A，由向量的運(yùn)算法則，得A正確；

對(duì)于B，向量數(shù)量積滿足分配律，B正確；

rrrrrrr

對(duì)于C，由abac，得a(bc)0，當(dāng)a(bc)時(shí)，滿足題設(shè)，C錯(cuò)誤；

對(duì)于D，(ab)c是與c共線的向量，a(bc)是與a共線的向量，而a與c無(wú)任何關(guān)系，D錯(cuò)誤.

故選：CD

知識(shí)點(diǎn)2平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示

設(shè)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ為向量a，b的夾角.

(1)數(shù)量積：a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2.

22

(2)模：|a|＝a·a＝x1＋y1.

a·bx1x2＋y1y2

(3)夾角：cosθ＝＝.

2222

|a||b|x1＋y1·x2＋y2

(4)兩非零向量a⊥b的充要條件：a·b＝0x1x2＋y1y2＝0.

2222

(5)|a·b|≤|a||b|(當(dāng)且僅當(dāng)a∥b時(shí)等號(hào)成立)?|x1x2＋y1y2|≤x1＋y1·x2＋y2.

r

自主檢測(cè)（多選）若a2,1，b3,1，則?（）

A．a(chǎn)b5B．a(chǎn)bab

π

C．a(chǎn)與b的夾角為D．b在a方向上的投影向量為2a

4

【答案】AC

【分析】選項(xiàng)A：根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示進(jìn)行計(jì)算即可；選項(xiàng)B：根據(jù)向量加減法的坐標(biāo)表示計(jì)算出ab

和ab，再結(jié)合兩向量垂直，數(shù)量積為0判斷即可；選項(xiàng)C：根據(jù)向量夾角的公式進(jìn)行計(jì)算即可；選項(xiàng)D：

根據(jù)向量的投影向量公式計(jì)算即可.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，ab(2,1)(3,1)23(1)1615，故選項(xiàng)A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B，ab(2,1)(3,1)(5,0)，ab(2,1)(3,1)(1,2)，

(ab)(ab)(5,0)(1,2)5(1)0(2)50，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

ab(2,1)(3,1)552

對(duì)于選項(xiàng)C，cosa,b，結(jié)合a與b的夾角范圍為

ab22(1)23212510522

π

[0,π]，故a與b的夾角為，選項(xiàng)C正確；

4

a2a1

對(duì)于選項(xiàng)D，b在a方向上的投影向量為bcosa,b5a，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

a2102

故答案為：AC.

知識(shí)點(diǎn)3平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律

(1)a·b＝b·a(交換律).

(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(結(jié)合律).

(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).

自主檢測(cè)（多選）已知a、b、c是三個(gè)向量，則下列結(jié)論中正確的是（）

A．a(chǎn)bbaB．a(chǎn)(bc)abac

C．(ab)ca(bc)D．若abac，則bc

【答案】AB

【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，以及向量的數(shù)量積的運(yùn)算律，結(jié)合向量數(shù)量積的幾何意義，逐項(xiàng)

判定，即可求解.

【詳解】對(duì)于A中，由數(shù)量積的運(yùn)算公式，可得ababcosa,b,babacosb,a，

所以abba，所以A正確；

對(duì)于B中，由向量數(shù)量積的運(yùn)算律，可得a(bc)abac，所以B正確；

對(duì)于中，，，

Cabcabcosa,bcabcbacosb,aa

所以(ab)c與a(bc)不一定相等，所以C錯(cuò)誤；

對(duì)于D中，由abac，若向量a0，此時(shí)abac0，而b與c不一定相等，所以D錯(cuò)誤.

故選：AB.

知識(shí)點(diǎn)4平面幾何中的向量方法

(1)用向量表示問(wèn)題中的幾何元素，將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題；

(2)通過(guò)向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系；

(3)把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.

π

自主檢測(cè)已知非零平面向量a、b、c，滿足a4，bc2，若a與b的夾角為，則ac的最小值為

3

（）

3

A．232B．3C．232D．

2

【答案】A

【分析】明確ac的幾何意義，根據(jù)圓外的點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的距離的取值范圍求解.

【詳解】如圖：

令OAa，OBb，OCc.

則bcCB，acCA.

又bc2，所以點(diǎn)C在以B為圓心，2為半徑的圓上.

所以CA的最小值為：AB2.

ππ

又OA4，AOB，所以當(dāng)OBBA時(shí)，AB取得最小值為4sin23.

33

所以CA的最小值為：232.

即ac的最小值為232.

故選：A.

題型1平面向量數(shù)量積的定義

例1-1一蜂巢的精密結(jié)構(gòu)由7個(gè)邊長(zhǎng)均為2的正六邊形組成，擺放位置如圖所示，其中A，B，P為三個(gè)固

定頂點(diǎn)，則APAB（）

A．12B．16C．162D．163

【答案】B

【分析】利用數(shù)量積的定義運(yùn)算即可求解.

π

【詳解】由題可知，AP4，AB8，PAB，

3

π

所以APAB48cos16.

3

故選：B.

例1-2已知向量a,b滿足a2bab3，且|a|2,|b|1，則a與b的夾角為（）

A．30oB．60oC．120D．150

【答案】C

【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律將a2bab展開，再結(jié)合向量數(shù)量積公式ab|a||b|cos求出

cos的值，最后根據(jù)夾角的取值范圍確定夾角.

2222

【詳解】由a2bab3，可得aab2ab2baab2b3

又|a|2,|b|1

22

所以2ab213解得：ab1

ab1

所以cosa,b

ab2

又0a,b180所以a,b120

所以a與b的夾角為120．

故選：C.

方法技巧

（1）平面向量數(shù)量積的定義

已知兩個(gè)非零向量a與b，我們把數(shù)量|a||b|cos叫做a與b的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作ab，即

ab=|a||b|cos，規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0．

（2）平面向量數(shù)量積的幾何意義

①向量的投影：|a|cos叫做向量a在b方向上的投影數(shù)量，當(dāng)為銳角時(shí)，它是正數(shù)；當(dāng)為鈍角時(shí)，

它是負(fù)數(shù)；當(dāng)為直角時(shí)，它是0．

②ab的幾何意義：數(shù)量積ab等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a方向上射影|b|cos的乘積．

π

【變式訓(xùn)練1-1】已知向量a2b2，且向量a與向量b的夾角為，則(2a)(3b)．

3

【答案】6

【分析】由題意，根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義計(jì)算即可求解.

π

【詳解】向量a2b2，且a與b的夾角為，

3

則a2,b1，

π1

2a3b6abcosa,b621cos626.

32

故答案為：6

π

【變式訓(xùn)練1-2】已知邊長(zhǎng)為4的菱形ABCD的一個(gè)內(nèi)角為，則ABAD．

3

【答案】8或8

【分析】由平面向量數(shù)量積的定義即可求解．

π2π

【詳解】由題可知，BAD或，

33

π1

若BAD，則ABADABADcosBAD448，

32

2π1

若BAD，則ABADABADcosBAD448，

32

故答案為：8或8．

題型2平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

π

例2-1已知向量a與b的夾角為，a3，b2，則ab（）

6

A．1B．23C．23D．13

【答案】D

【分析】先求ab，再根據(jù)模長(zhǎng)的平方關(guān)系結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律運(yùn)算求解.

rrrr

ππ

【詳解】因?yàn)橄蛄縜與b的夾角為，a3，b2，則ababcos3，

66

rrrr

rr222

可得aba2abb36413，所以ab13.

故選：D.

例2-2已知平面向量a，b，c均為單位向量，若a與b的夾角為60°，則cac2b的最大值為（）

A．23B．4C．27D．5

【答案】C

【分析】根據(jù)cac2b2ca2b，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求ca2b的最小值，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為求a2b

的值，利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則求解即可.

1

【詳解】由題意：abc1，ab11cos60.

2

2

因?yàn)閏ac2bc2abca2b2ca2b.

又ca2bca2bcosc,a2ba2bcosc,a2ba2b，

當(dāng)cosc,a2bπ時(shí)取“”.

2

2221

又a2ba2ba4ab4b1447，所以a2b7.

2

所以cac2b27.

故選：C

例2-3已知a2,0,b1,1，若aab，則（）

A．1B．1C．2D．2

【答案】D

【分析】根據(jù)向量的加法、數(shù)乘向量垂直的坐標(biāo)表示即可求解.

【詳解】ab2,01,12,，

因?yàn)閍ab，

所以220，解得2.

故選：D.

方法技巧

平面向量數(shù)量積的兩種運(yùn)算方法

(1)基底法：當(dāng)已知向量的模和夾角θ時(shí)，可利用定義法求解，適用于平面圖形中的向量數(shù)量積

的有關(guān)計(jì)算問(wèn)題；

(2)坐標(biāo)法：當(dāng)平面圖形易建系求出各點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，可利用坐標(biāo)法求解.

【變式訓(xùn)練2-1】已知e1,e2是兩個(gè)垂直的單位向量．若ae1e2,b2e1e2，設(shè)向量a,b的夾角為，則

cos（）

12510

A．B．C．D．

102510

【答案】D

【分析】首先求出向量的數(shù)量積，然后求出向量a,b的模，最后根據(jù)向量夾角的余弦公式即可求出答案.

【詳解】因?yàn)閑1,e2是兩個(gè)垂直的單位向量，所以e1e20.

因?yàn)閍e1e2,b2e1e2，

所以a·be1e2·2e1e22e1e211.

22

而，

ae1e2112e1e22b2e1e2414e1e25.

a·b110

所以cos.

ab2510

故選：D.

【變式訓(xùn)練2-2·變考法】已知abab2，則ab.

【答案】23

【分析】利用數(shù)量積的運(yùn)算律求得2ab4，然后利用數(shù)量積的運(yùn)算律求解模即可.

222

【詳解】因?yàn)閍bab2，所以2ab|ab|ab4，

22

所以aba2abb44423.

故答案為：23

題型3數(shù)量積的坐標(biāo)表示

例3-1已知向量a(4,3),b(3,1)，則ab.

【答案】9

【分析】利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可.

【詳解】ab4(3)319.

故答案為：9

例3-2已知向量a1,2,b2,0，則向量a在向量b方向上的投影向量為.

【答案】1,0

【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)求得數(shù)量積以及模長(zhǎng)，利用投影向量的計(jì)算，可得答案.

22

【詳解】由a1,2,b2,0，則ab12202，b202，

ab2

bb1,0

所以向量a在向量b方向上的投影向量為2.

b4

故答案為：1,0.

r

例3-3已知向量a3,1，b2,3，若a，b的夾角為銳角，則的取值范圍是．

199

【答案】,U,

222

【分析】a，b的夾角為銳角的充要條件是a，b的數(shù)量積大于0且不共線，由此列不等式求解即可.

r

【詳解】因?yàn)閍3,1，b2,3，a，b的夾角為銳角，

19

所以630且29，解得且，

22

199

即的取值范圍是,U,.

222

199

故答案為：,U,.

222

方法技巧坐標(biāo)法求平面向量的數(shù)量積

（1）方法依據(jù)：當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時(shí)，可利用坐標(biāo)法求解，

rrrr

即若，，則；

a(x1,y1)b(x2,y2)abx1x2y1y2

（2）適用范圍：①已知或可求兩個(gè)向量的坐標(biāo)；②已知條件中有（或隱含）正交基底，優(yōu)先考慮建立平面

直角坐標(biāo)系，使用坐標(biāo)法求數(shù)量積。

【變式訓(xùn)練3-1】已知向量a1,3，向量b2,1，則向量a在向量ab上的投影向量的模為（）

5111711517

A．B．C．D．

517517

【答案】B

【分析】利用投影向量的定義，結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.

【詳解】因?yàn)橄蛄縜1,3，向量b2,1，所以ab1,32,11,4

aab1,31,41121117

向量a在向量ab上的投影向量的模為，

ab1,41717

故選：B.

2π

【變式訓(xùn)練3-2】平面向量a，b滿足a2,5，b8，a與b的夾角為，則b在a方向上的投影向量

3

為（）

433

A．a(chǎn)B．a(chǎn)C．bD．4b

316163

【答案】A

rrr

【分析】只需求出a,ab，再結(jié)合投影向量的定義即可求解.

2π

【詳解】由題意a453，b8，a與b的夾角為，

3

1

所以ab3812，

2

ab124

在方向上的投影向量為

ba2aaa.

93

a

故選：A.

題型4投影向量

例4-1已知VABC的外接圓圓心為O，且2AOABAC，OAAC，則向量AB在向量BC上的投影向量

為（）

13uuur13

A．BCB．BCC．BCD．BC

4444

【答案】D

【分析】根據(jù)條件作圖，可得△ACO為等邊三角形，VAOB為等腰三角形，VABC為直角三角形，即

3

OBA30，ABBC，再根據(jù)投影向量的概念求解即可.

2

【詳解】如圖，由2AOABAC，可得O為BC的中點(diǎn)，

又因?yàn)镺為VABC的外接圓圓心，所以O(shè)AOBOC，

又因?yàn)镺AAC，所以ACOAOBOC，

所以△ACO為等邊三角形，即ACO60，

VAOB為等腰三角形，即∠OAB∠OBA30，

3

VABC為直角三角形，ABBC，

2

所以向量AB在向量BC上的投影向量為

BC3BC333

ABcos150BCcos150BCBC.

BC2BC224

故選：D.

例4-2設(shè)向量a.b滿足a6,b4且ab12，則向量a在向量b方向上的投影是.

【答案】3

【分析】利用向量投影的計(jì)算公式，即可求解.

【詳解】向量a、b滿足a6，b4，且ab12，

ab12

向量a在向量b方向上的投影3，

b4

故答案為：3.

方法技巧

rrrrrr

uuuurrruuuurrrrbrabbabr

設(shè)向量是向量在向量上的投影向量，則有rrrrr，

A1B1abA1B1|a|cosa,b|a|b

|b||a||b||b||b|2

rr

uuuur|ab|

則r

|A1B1|

|b|

π

【變式訓(xùn)練4-1】如圖，在VABC中，C，ADBC于D，AD2，BC6，則AB在AC上的投影向

4

量為（）

1111

A．ACB．ACC．ACD．AC

2552

【答案】A

10

【分析】根據(jù)已知及余弦定理得cosCAB，再由投影向量的求法求AB在AC上的投影向量.

10

【詳解】由題設(shè)，ADCD2，則AC22，BD4，

故ABAD2BD225，

AC2AB2BC28203610

所以cosCAB，

2ACAB2222510

10

2522

所以AB在AC上的投影向量為ABACAC101.

ACAC

ACAC82

故選：A.

【變式訓(xùn)練4-2·變載體】已知am1,2，b1,m.

(1)若abb，求m的值；

(2)若ab2且m0，求a在b方向上的投影數(shù)量.

【答案】(1)m0或3

75

(2)

5

【分析】（1）根據(jù)向量垂直得到方程，求出m0或m3；

（2）abm,m2，根據(jù)向量模長(zhǎng)得到方程，求出m2，利用投影向量的公式得到答案.

【詳解】（1）因?yàn)閍bm,m2，b1,m，

2

由于abb，所以abbm3m0，

所以m0或3.

（2）因?yàn)閍m1,2，b1,m，則abm,m2，

22

mm22

若ab2且m0，則，解得m2，

m0

則a3,2，b1,2，可得ab7，b5

ab775

所以a在b方向上的投影數(shù)量.

b55

題型5向量在幾何中的應(yīng)用

π1

例5-1已知OBA，OB4，且ABOA，則xOBOAxOBOAxR的最小值為（）

32

3

A．25B．23C．3D．

2

【答案】C

1

【分析】根據(jù)題意畫出圖形，并利用位置關(guān)系求得OA23，設(shè)ODxOB,OEOA，結(jié)合平面向量線

2

性運(yùn)算以及余弦定理可求得當(dāng)A、D、F三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值．

π3

【詳解】由已知OAOBsin423，

32

1

設(shè)ODxOB,OEOA，

2

1

則xOBOAxOBOAODOAODOEADED，

2

作E關(guān)于直線OB的對(duì)稱點(diǎn)F，連接OF、AF、AD、FD，

π

則OFOE23，F(xiàn)OA2BOA，

3

所以ADEDADFDAF，

22π1

在AOF中，由余弦定理可得AFOFOA2OFOAcos31223233，

32

所以ADEDADFDAF3，

當(dāng)且僅當(dāng)A、D、F三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，

1

所以xOBOAxOBOAxR的最小值為3．

2

故選：C．

π2

例5-2已知a,b,e是平面向量，e是單位向量，若非零向量a與e的夾角為，向量b滿足，

3b6be80

則ab的最小值是（）．

33

A．31B．31C．31D．23

22

【答案】A

2

【分析】由b6be80，可得b4eb2e0，則b4e與b2e垂直，設(shè)a,b共起點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合畫

出相應(yīng)圖象，結(jié)合向量減法的幾何意義計(jì)算即可得解.

2

【詳解】設(shè)a,b共起點(diǎn)，由b6be80，可得b4eb2e0，

所以b4e與b2e垂直，如圖，

由向量減法的幾何意義可知，向量b的終點(diǎn)落在圖中的圓上，

由題意可知a的終點(diǎn)在圖中所示的射線上，

所以ab是從圓上的點(diǎn)到射線上的點(diǎn)形成的向量，

要求ab的最小值，只需求圓心到射線的距離減去圓的半徑，

π3

故ab的最小值為3sin131．

32

故選：A．

方法技巧用向量方法解決實(shí)際問(wèn)題的步驟

【變式訓(xùn)練5-1】已知平面向量AB、AC、AD，ABAC1，ABAC1，△BCD的面積為23，則AD

的最小值為（）

37

A．B．2C．D．4

22

【答案】C

【分析】通過(guò)ABAC1平方，求得BAC，結(jié)合余弦定理求得BC3，再結(jié)合面積公式求得點(diǎn)D到BC

的距離，進(jìn)而可求解.

【詳解】已知ABAC1，ABAC1，

2222

對(duì)ABAC平方得ABACABACAB2ABACAC.

2222

因?yàn)锳BAB1，ACAC1，

設(shè)BAC，0π，則ABACABACcoscos，

212π

所以ABAC12cos11，即22cos1，解得cos，有.

23

b2c2a21

在VABC中，由余弦定理有cos，可得BC3，

2bc2

1

設(shè)點(diǎn)A到BC的距離為h，有h1.

12

已知，設(shè)點(diǎn)到的距離為，

SBCD23DBCh

1

由SBCh23，解得h4，

BCD2

17

則AD的最小值為hh4.

122

故選：C

rrrrrrrrur2rur

【變式訓(xùn)練5-2】已知a3,b1,ab0,caca4,d4bd30，則cd的最大值

為．

221

【答案】1

3

【分析】由題意首先得出cd為兩外切的圓和橢圓上的兩點(diǎn)間的距離，再由三角形三邊關(guān)系將問(wèn)題轉(zhuǎn)換為

橢圓上點(diǎn)到另一個(gè)圓的圓心的最大值即可.

【詳解】如圖所示：

不妨設(shè)aOA3,0,bOB0,1,OCm,n,ODp,q,A13,0，

滿足a3，b1，ab0，

22

又caca4，即22，

m3nm3n42a2c23A1A

由橢圓的定義可知點(diǎn)C在以A1,A為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓上運(yùn)動(dòng)，

a2,c3,ba2c2431，

x2

所以該橢圓方程為y21，

4

2

而d24bd30，即p2q2