絕密★啟用前考生編號(hào)

姓名

2022年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)（二）

預(yù)測(cè)試卷卷（一）

考生注意事項(xiàng)

1.答題前，考生須在試題冊(cè)指定位置上填寫(xiě)考生姓名和考生編號(hào)；在

答題卡指定位置上填寫(xiě)報(bào)考單位、考生姓名和考生編號(hào)，并涂寫(xiě)考

生編號(hào)信息點(diǎn)。

2.選擇題的答案必須涂寫(xiě)在答題卡相應(yīng)題號(hào)的選項(xiàng)上，非選擇題的答

案必須書(shū)寫(xiě)在答題卡指定位置的邊框區(qū)域內(nèi)，超出答案區(qū)域上寫(xiě)的

答案無(wú)效；在草稿紙?jiān)囶}冊(cè)上答題無(wú)效。

3.填（書(shū)）寫(xiě)必須使用黑色字跡簽字筆或鋼筆，字跡工整，筆跡清楚；

涂寫(xiě)部分必須使用2B鉛筆填涂。

4.考試結(jié)束，將答題卡和試題冊(cè)按規(guī)定交回。

一、選擇題：1?10小題，每小題5分，共50分，下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有f選項(xiàng)是符合題目要

求的.請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置匕

(1)把當(dāng)x->0時(shí)的無(wú)窮小量a=In(l+x2)-ln(l?x'),3=juniil.y=arctanx-x排列

起來(lái)，使排在后面的是前一個(gè)的高階無(wú)窮小，則正確的排列次序必

(A)u,p,Y制呻(0a,y,B(D)

⑵設(shè)f(x),g(x)二階可導(dǎo)，又f(0)=0,g(0)=0,f(0)>0,g,(0)>0.令F(x)=

黑

(A)x=0是函數(shù)F(x)的極小值點(diǎn)。

(B)x=0是函數(shù)F(x)的極大值點(diǎn)，

(C)(0.F(0))是曲線y=F(x)的拐點(diǎn)但x=0不是F(x)的極值點(diǎn).

(D)x=0不是函數(shù)F(x)的極值點(diǎn)，(0,F(0))也不是曲線y=F(x)的拐點(diǎn).

⑶設(shè)f(x)在(-w,+w)內(nèi)二階可導(dǎo)且F(x)>0,則Vx~),h]乂)加乂)，有

(A)4也二不二對(duì)“⑷

(B)…J…

(C)/."士空懼”二個(gè)!

(D)

r(I)>AL^A:1

(4)下列等式或不等式

①j>。,②J(&■tfOlM；■y)?

③設(shè)/U)■[*'*:-20超：f(xMx=0,④廣4dlx0

I0.**0.

中正確的共有

(A)1個(gè).(B)2個(gè)，(C)3個(gè).(D)4個(gè).

(5)下列函數(shù)中在區(qū)間卜2,3]上不存在原函數(shù)的是

■(I?/)■/二c

1?1.■.0.

(A)小)..

-??0?

(B)f(x)=max||xl,l}.

(C)/11)?,().?*0,

11H/n

jt<U?

數(shù)學(xué)二預(yù)測(cè)試卷卷(一)

I)

(D)/(?)■//(，)曲，其中■

(6)設(shè)f(x,y)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)且f(x,y)(ydx+xdy)為某一■函數(shù)u(x,y)的全微分，則下列等式成立的

是

(A)曳：更(B)生(C)-J曳2y曳(D).曳―更

dy也加加力力’所

⑺求二重積分:：J二|[i:?(li<K(r>=|(x,y)ll^x^^y^x^y^x).)的值等于

徹￡(B)s

(C)A(D)

-2.]ri

⑼設(shè)4?032.1■0?1.已知A和B有一個(gè)公共特征向量n,并且特征值分別是

1和0,則

(A)a=-1,b=1.(B)a=l,b=0.

(C)a=l,b=-1.(D)a=0,b=..

(10)則下列矩陣中與A合同但不相似的是

1111

(B)131

111<

001

(D)000

100-

2預(yù)測(cè)試卷卷(一)數(shù)學(xué)二

二、填空題：11?16小題，每小題5分，共30分.請(qǐng)將答案寫(xiě)在答題紙指定位置上.

(11)數(shù)列極限/m

(12)

(13)微分方程(3y-2x)dy=ydx的通解是

(14)設(shè)f(x)在(0,+w)上連續(xù)，在(0,+)內(nèi)可導(dǎo)，當(dāng)x￡(O,+x)時(shí)，f(x)X)且單調(diào)上升，

x=g(y)為y=f(x)的反函數(shù)，它們滿足(雪)QJ),則f(x)的表達(dá)

式是.

(15)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P(x,y)在曲線9y=4"上運(yùn)動(dòng)，且坐標(biāo)軸的單位長(zhǎng)度是1cm.如果P點(diǎn)橫坐標(biāo)的速率是

30cm/s,則當(dāng)P點(diǎn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,4)時(shí)，從原點(diǎn)到P點(diǎn)的距離r的變化率是

2300'

(16)已知A"一?！鉇'為A的伴隨矩陣，叫JA

0020'4/

三、解答題：17?22小題，共70分.?清將解答寫(xiě)在答題紙指定位置上，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)an

演算步驟.

(17)(本題滿分13分)

(I)設(shè)f(x)在x=O的某鄰域內(nèi)有定義，且滿足刈.盯514..0,求頌4

(II)求二重積分/-1心內(nèi)其中D由星形線(二cir)與x軸圍成.

{ly??int

(18)(本題滿分10分)

2424-2

已知yi(x)=xe4+e~,y2(x)=xe+xe,y;(x)=xe-J-e^xe是某二階線性常

系數(shù)微分方程y"+py'+qy=f(x)的三個(gè)特解

(I)求這個(gè)方程和它的通解；

(H)設(shè)y=y(x)是該方程滿足y(O)=O,y<O)=<)的特解，本廠.)di.

(19)(本題滿分10分)

設(shè)D是曲線y=2x-x2與x軸圍成的平面圖形，直線y=kx把D分成為D1和D?兩部分(如

圖)，滿足Di的面積Si與Dz的面積S2之比Si:S2=1：Z

數(shù)學(xué)二預(yù)測(cè)試卷卷(一)3

⑴求常數(shù)k的值及直線y=kx與曲線y=2x-x2的交點(diǎn).

(II)求平面圖形D1的周長(zhǎng)以及D,繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體

的體積.

(20)(本題滿分11分)

設(shè)z=z(x,y)是由9x2-54xy+90y2-6yz-z2+18=0確定的函數(shù),

⑴求z=z(x,y)一階偏導(dǎo)數(shù)與駐點(diǎn)；

(11)求2=26,丫)的極值點(diǎn)和極值.

(21)(本題滿分14分)

(I)設(shè)f(x)=4x3+3x2-6x,求f(x)在(-m.+m)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

(II)設(shè)f(x)在［0,2］上連續(xù)，在(0,2)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且KO)F2)=O,f(l)=2.求證:

至少存在一點(diǎn)€e(0,2)使得r(5)=4

(22)(本題滿分15分)

設(shè)a產(chǎn)(1,3,5,?D',a?=(2,7,a,4)M=(5,17,-1,7)\

(I)若5,線性相關(guān)，求a

(H)當(dāng)a=3時(shí)，求與J,a2,4都正交的非零向量

(III)設(shè)a=3g是與aha2,a,都正交的非零向量，證明o?a2,a3,a,可表示任何?個(gè)4維向

量.

(IV)在Xi,X2,x;線性無(wú)關(guān)時(shí)，證矩陣C=(X1,x2,x;)記4階實(shí)矩陣A=xx11+X2x2,+x3x;\求

二次型x'Ax的秩.

4預(yù)測(cè)試卷卷(一)數(shù)學(xué)二

考生編號(hào)

絕密★啟用前

姓名

2022年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)（二）

預(yù)測(cè)試卷卷（二）

考生注意事項(xiàng)

1.答題前，考生須在二式題冊(cè)指定位置上填寫(xiě)考生姓名和考生編號(hào)；在

答題卡指定位置上填寫(xiě)報(bào)考單位、考生姓名和考生編號(hào)，并涂寫(xiě)考

生編號(hào)信息點(diǎn)。

2.選擇題的答案必須涂寫(xiě)在答題卡相應(yīng)題號(hào)的選項(xiàng)上，非選擇題的答

案必須書(shū)寫(xiě)在答題卡指定位置的邊框區(qū)域內(nèi)，超出答案區(qū)域上寫(xiě)的

答案無(wú)效；在草稿紙?jiān)囶}冊(cè)上答題無(wú)效。

3.填（書(shū)）寫(xiě)必須使用黑色字跡簽字筆或鋼筆，字跡工整，筆跡清楚;

涂寫(xiě)部分必須使用2B鉛筆填涂。

4.考試結(jié)束，將答題卡和試題冊(cè)按規(guī)定交回。

一、選擇題：1?10小題，每小題5分，共50分.下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要

求的.請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置匕

(1)ifl/i一:|<<b,/r?在x=O連續(xù)且滿足g(x)=l+2x+o(x)(x-?0).乂F(x)=f[g(x)],

則F(0)=

(A)4e.(B)4.(C)2.(D)2e.

小?!)■小馬

⑵設(shè)Mx)是以3為周期的可導(dǎo)的奇函數(shù)，且(2)-1,則數(shù)列極限/-|一「

(A)O.(B)1.(C)2.(D)

(3)以y1=e'cos2x,丫2=。'sin2x與y?=e為線性無(wú)關(guān)特解的三階常系數(shù)齊次線性微分方程是

(A)y"+y"+3y'+5y=0.(B)y--y?+3y'+5y=0.

(C)y"+y,,-3y'+5y=O.(D)y"-yn-3y'+5y=O.

(4)設(shè)函數(shù)F(x,y)在(xo,yo)某鄰域有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，且F(x<),y0)=F(xo,yo)=0,F.(x0,

yo)>0.F".(xo.yo)<0.由方程F(x,y)=0在x0的某鄰域確定的隱函數(shù)y=y(x),它有連

續(xù)

的二階導(dǎo)數(shù)，且y(x0)=yo,則

以。名極大值點(diǎn).

(A)y(x)x=x(B)y(x)以x=x。為極小值點(diǎn)，

(C)y(x)在x=xo不取極值，(D)(x0,y(x0))是曲線y=f(x)的拐點(diǎn),

(5)已知累次枳分/=心其中aX)為常數(shù)，則I可寫(xiě)成

(A)|(B)|di|/(?.?)<1?,

■7?■了

(C)Jdi|(D)j小//(■,v)di

(6)設(shè)函數(shù)f(x)在[0,+。]內(nèi)可導(dǎo)，且f(l)=2.若f(x)的反函數(shù)g(x)滿足

|/(?1)]/(Au?I)■/AX?I

則f(x)=

(A)2^(5-1)(B)^1.(C)e'-+l.(D)2e.

2預(yù)則試卷卷（二）數(shù)學(xué)二

則f(x)在(-a,rn)

(A)處處連續(xù).(B)只有一個(gè)間斷點(diǎn)且是第一類(lèi)間斷點(diǎn).

(C)只有一個(gè)間斷點(diǎn)且是第二類(lèi)間斷點(diǎn).(D)有兩個(gè)間斷點(diǎn)

⑻己知方程組

廣???4=0

卜，?H°，和Xi+*2+x3=a-1有公共解，則

1“?4*,?■0

(A)a*和2(B)a=l(C)a=l或2(D)a=2

⑼設(shè)A二卜2I，要使得A正定，a應(yīng)該滿足的條件是

(A)a>2.(B)a>2.(C)0<a<2,(D)a<0.

(10)n維向量組,d2，…對(duì)和(II)：3,B,等價(jià)的充分必要條件是

(A)r(l)=r(Il),并且s=t.

(B)r(I)=r(II)=n.

(C)r(I)=r(II),并且⑴可以用(II)線性表示.

(D)(I)和(II)都線性無(wú)關(guān)，并且s=t.

二、填空題：11?16小題，每小題5分，共50分.請(qǐng)將答案寫(xiě)在答題紙指定位置上,

(11)為常數(shù))，f(x)在定義域上僅有兩個(gè)零點(diǎn)則常數(shù)a的取值范圍是

(I?3)

(12)設(shè)f(x)=arctan(l-x),且f(0)=().則〃U)心■

(13)設(shè)f(x)=(l+x+x2)c”m.則「(())=

(14)i,ii=J[//Ij)小卜11,其中f(1v)是連續(xù)函數(shù)，則dz=

(15)設(shè)D是以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域，則

/■/>?2*1?Jy*.

r01o"ooirioof

(16)已知4=]000300II,則A』

*0op*0o川0o

數(shù)學(xué)二預(yù)測(cè)試卷卷(二)3

(17)(本題滿分14分)

(I)設(shè)f(x)是(-，+Q)上的連續(xù)奇函數(shù)，且滿足IRx)KM,其中常數(shù)M>0,求證：函

g、一|是(-，+x)上的有界奇函數(shù).

(II)從拋物線y=x?-1上的任意一點(diǎn)P(t,2-1)引拋物線y=x?的兩條切線，

求這兩條切線的切線方程；并證明該兩條切線與拋物線y=x2所圍面積為常數(shù)。

(18)(本題滿分11分)

計(jì)算二重積r/-||MU?y,其中D:O0x02%,xR￡2兀.

O

(19)(本題滿分11分)

求RxyzTx+y-z2^在區(qū)域Q晝斗丫2+把2上的最大值與最小值，

(20)(本題滿分12分)

設(shè)有一容器由平面z=0,^l及介于它們之間的曲而S所圍成.過(guò)z軸上V點(diǎn)(0,0,z)(0￡z

W1)作垂直于z軸的平面與該立體相截得水平截面D(z),它是半徑電)=4(l-z)斗的

圓面.若以每杪V。體積單位的均勻速度往該容器注水，并假設(shè)外始時(shí)容器是空的.

(I)寫(xiě)出注水過(guò)程中1時(shí)刻水面高度z=z(。與相應(yīng)的水體積V=V⑴之間的關(guān)系式，并證明

水面高度z與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系：

-rx4(x>I)?IE—l：

3?

(n)求水表面上升速度最大時(shí)的水面高度；

(HD求灌滿容器所需時(shí)間.

(21)(本題滿分10分)

設(shè)f(x)在(-，+。)一階可導(dǎo)，求證：

(1)若"x)在(-w,+)是凹函數(shù)，則k4，)??■或>■?/<X)=??.

(II)若f(x)在(-x,+m)二階可導(dǎo)，又存忘應(yīng)限ha/b)./hm/(?>=%則存在2W

G,+x),使得『⑸=0.一’

(22)(本題滿分15分)

已知A是3階矩陣，Q。各。,是線性無(wú)關(guān)的3維列向量組，滿足

Aui=-Q]-3a2-3a?,

Aa2=4cti+4a2+a3,

Aa、=-2a,+3a

(I)求A的特征值.

(H)求A的特征向量，

(HD求A'-6E的秩.

預(yù)測(cè)試卷卷(二)數(shù)學(xué)二

絕密★啟用前考生編號(hào)

姓名

2022年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)（二）

預(yù)測(cè)試卷卷（三）

考生注意事項(xiàng)

1.答題前，考生須在試題冊(cè)指定位置上填寫(xiě)考生姓名和考生編號(hào)；在

答題卡指定位置上填寫(xiě)報(bào)考單位、考生姓名和考生編號(hào)，并涂寫(xiě)考

生編號(hào)信息點(diǎn)。

2.選擇題的答案必須涂寫(xiě)在答題卡相應(yīng)題號(hào)的選項(xiàng)上，非選擇題的答

案必須書(shū)寫(xiě)在答題卡指定位置的邊框區(qū)域內(nèi)，超出答案區(qū)域上寫(xiě)的

答案無(wú)效；在草稿紙?jiān)囶}冊(cè)上答題無(wú)效。

3.填（書(shū)）寫(xiě)必須使用黑色字跡簽字筆或鋼筆，字跡工整，筆跡清楚；

涂寫(xiě)部分必須使用2B鉛筆填涂。

4.考試結(jié)束，將答題卡和試題冊(cè)按規(guī)定交回。

一選擇題：1?10小題，每小題5分，共50分，下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要

求的.請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上，

(1)下列命題

①若f(x)在x=xo存在左、右導(dǎo)數(shù)且r(xoNf(Xo),則f(x)在X=Xo處連續(xù)

②若函數(shù)極限=/,則數(shù)列極限=4

③若數(shù)列朧I小八>-I-「Ln-I,則函數(shù)極限>''I

④lim/<?I■<1)不存在，則?waI)不存在

中正確/名數(shù)是'i

(A)1個(gè).⑻2個(gè).(C)3個(gè)，(D)4個(gè).

⑵定積分Jarrtam、1'dx的值等于

(A)兀.(B)(C):(D)

⑶設(shè)嚏/U)則下列結(jié)論正確的是⑷

I<<0,

f(X)有間斷點(diǎn).

(B)f(x)在(-，+x)上連續(xù)，但在(-m,+a)內(nèi)有不可導(dǎo)的點(diǎn).

(C)f(x)在(-，+a)內(nèi)處處可導(dǎo)，但r(x)在(-a,+x)上不連續(xù).

(D)f(x)在(-m,+a)上連續(xù).

(4)設(shè)/「「—/x「4,則

#?1tinx

(A)I2>I>1.(B)I>I>I.(C)l>I2>1.(D)1>I>L

(5)微分方程y”-4y±2cos22x的特解可設(shè)為

(A)AX+B,COS4X+B2sin4x(B)A+B,CO<4X+B2sin4x.

2

(C)B,COS2X+B2siM2x.(D)B,COS4X+B2sin4x,

(6)設(shè)f(x),g(x)均有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)且滿足f(0)>0,f(0)=0,g(0)=0,則函數(shù)u(x,y)=

f(nJ<(i)d在點(diǎn)(0,0)處取極小值的一個(gè)充分條件是

(A)f'(0)>0,g'(x)<0(0<x<li.

(B)f'(0)<0,g'(x)>0(0<x<l).

(C)f'(0)>0,g'(x)>0(0<x<l).

(D)f'(0)<0,g'(x)<0(0<x<li.

(7)已知曲線y=y(x)在宜免坐標(biāo)系中由參數(shù)方程給出：x=t+e,,y=2t+e-2(t>0),則y=y(x)

在(1,+)的升降性與凹凸性是：

(A)單調(diào)上升且是凹的.(B)單調(diào)上升且是凸的.

(C)單調(diào)下.降且是凹的.(D)單調(diào)下.降且是凸的.

2預(yù)測(cè)試卷卷(三)數(shù)學(xué)二

(8)已知A和B都是n階矩陣，使得E+AB可逆則()成立.

(A)(E+AB)A(E+AB)*=A(B)(E+AB)-B(E+AB)=B

(C)(E+AB)'A(E+BA)=A(D)(E+AB)'A(E+BA)=B

(9)設(shè)m,n12J|；為3個(gè)n維向量，AX=O是n元齊次方程組。則()正確.

(A)如果n,,n,都是AX=o的解，并且線性無(wú)關(guān)，則run2,為AX=O的一個(gè)基礎(chǔ)解系.

(B)如果m,mj|；都是AX=O的解，并且r(A尸n-3,則m,r)2R；為AX=O的一個(gè)基

礎(chǔ)

解系.

(C)如果?！可?,等價(jià)于AX-0的個(gè)基礎(chǔ)解系.則它也是AX-O的基礎(chǔ)解系.

(D)如果r(A)=n-3,并且AX=O每個(gè)解都可以用m,mz?線性表示，則m［，屯為

AX=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系.

(10)下列矩陣中不相似于對(duì)角矩陣的是

I00-riII-1IIrI-12

(A)02?⑻(C)2229).|01

Lo03-133a

二、填空題：11?16小題，每小題5分，共30分.請(qǐng)將答案寫(xiě)在答題紙指定位置上.

(11)設(shè)y=f(x)二階可導(dǎo)，f(x)R,它的反函數(shù)是x=(p(y),又￡0尸】丁(0尸也,『(0尸

T，!叫一;"(Ui=_______-

(12)設(shè)n為正整數(shù)，喘|“仙.|<l.?_______

(13)lim,n?*小二

(14)設(shè)f(x,y)為連續(xù)函數(shù),Jft/lji.y)?產(chǎn)卜」八，j&do,其中Diu^+vW^aX)),則

f(x,y)=________

(15)設(shè)氏x(chóng),y)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，=￡?)，則Kx,y)=

31九加

(16)已知A是3階矩陣，A的特征值為1,-2.3.則(A)的特征值為

演算步驟.

(17)(本題滿分10分)

一質(zhì)量為M、長(zhǎng)為1的均勻桿AB吸引著一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)C,此質(zhì)點(diǎn)C位于桿AB的中垂線匕

且與AB的距離為&試求：

數(shù)學(xué)二預(yù)測(cè)試卷卷（三）3

(I)桿AB與質(zhì)點(diǎn)C的相互吸引力.

(1I)當(dāng)質(zhì)點(diǎn)C在桿AB的中垂線上從點(diǎn)C沿y軸移向無(wú)窮遠(yuǎn)處時(shí)，克服用力所做的功,

(18)(本題滿分10分)

設(shè)u=f(2x+3y,z),其中f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，而z=26,”是由方程；，*|口-］；'山：

確定并滿足z(0,0)=l的函數(shù)，求，結(jié)果用式0,1),門(mén)0,1)表示(i,j=l,2).

(19)(本題滿分15分)

⑴設(shè)有I=|r'<h(>€<-x.??)),它的反函數(shù)是y="x),求y=y(x)的定義域及

拐點(diǎn).

(H)計(jì)算二重積分，coa'iia/?y),&>,其中D=|(x,y)|x2+y2Wa2,常數(shù)a>0}.

(20)(本題滿分12分)

?子彈穿透某鐵板，已知入射子彈的速度為v。,穿出鐵板時(shí)的速度為I,以子彈入射鐵板時(shí)為起

始時(shí)間，又知穿透鐵板的時(shí)間為h.子彈在鐵板內(nèi)的阻力與速度平方成正比，比例系數(shù)k>0.

(I)求子彈在鐵板內(nèi)的運(yùn)動(dòng)速度v與時(shí)間I的函數(shù)關(guān)系p=v(l);

(II)求鐵板的厚度，

(21)(本題滿分11分)

設(shè)f(x)在［a,b］上有二階導(dǎo)數(shù),且f'(x)〉O.

(I)證明至少存在一點(diǎn)5e(a.b),使

(H)對(duì)(I)中的5￡(a,b),求

limf

(22)(本題滿分15分)

設(shè)a1,a2......a,都是實(shí)的n維列向量，規(guī)定n階矩陣A=?ia'+a2a2+

…+3^￡①證明A是實(shí)對(duì)稱矩陣；

(H)證明A是負(fù)慣性指數(shù)為0;

(III)設(shè)r(a】#2，…a尸k,求二次型X'AX的規(guī)范形.

4預(yù)測(cè)試卷卷(三)數(shù)學(xué)二

絕密★啟用前考生編號(hào)

姓名

2022年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)（二）

預(yù)測(cè)試卷卷（四）

考生注意事項(xiàng)

1.答題前，考生須在試題冊(cè)指定位置上填寫(xiě)考生姓名和考生編號(hào)；在

答題卡指定位置上填寫(xiě)報(bào)考單位、考生姓名和考生編號(hào)，并涂寫(xiě)考

生編號(hào)信息點(diǎn)。

2.選擇題的答案必須涂寫(xiě)在答題卡相應(yīng)題號(hào)的選項(xiàng)上，非選擇題的答

案必須書(shū)寫(xiě)在答題卡指定位置的邊框區(qū)域內(nèi)，超出答案區(qū)域上寫(xiě)的

答案無(wú)效；在草稿紙?jiān)囶}冊(cè)上答題無(wú)效。

3.填（書(shū)）寫(xiě)必須使用黑色字跡簽字筆或鋼筆，字跡工整，筆跡清楚；

涂寫(xiě)部分必須使用2B鉛筆填涂。

4.考試結(jié)束，將答題卡和試題冊(cè)按規(guī)定交回。

一、選擇題：1?10小題，每小題5分，共50分.下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要

求的.請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上.

則點(diǎn)x=O是g(f(x))的

_._］X才0

(A)可去間斷點(diǎn).(B)跳躍間斷點(diǎn).

(C)連續(xù)點(diǎn).(D)第二類(lèi)間斷點(diǎn).

(2)在反常積分

中收斂的是

(A)①，②.(B)①，③.(C).②，④.(D)③，④.

⑶設(shè)f(xo)=0%xo)<0,則必定存在一個(gè)正數(shù)6，使

得(A)曲線y=f(x)在(X。-5,x0+8)上是凹的.

(B)曲線y=f(x)在Go-8,xo+8)上是凸的，

(C)曲線y=f(x)在(xo￡xo)上單調(diào)減少，而在［xo,Xc+G)上單調(diào)增加.

(D)曲線y=f(x)YE(xo-d,xo)上單調(diào)增加，而在［xo,Xq+6)上單調(diào)減少.

(4)設(shè)函數(shù)出x)連續(xù)，除個(gè)別點(diǎn)外二階可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)y=f(x)

的圖像如右圖⑴，令函數(shù)y=f(x)的駐點(diǎn)的個(gè)數(shù)為p,極值

點(diǎn)的個(gè)數(shù)為q,曲線y=f(x)拐點(diǎn)的個(gè)數(shù)為r,則

(A)p=q=r=3.

(B)p=3,q=r=2.

(C)p=3,q=2,r=3.

(D)p=3,q=2,r=l.

(5)下列二元函數(shù)在點(diǎn)(0,0)處可微的是

i1??■o.

2預(yù)測(cè)試卷卷(四)數(shù)學(xué)二

(6)設(shè)D是由直線x=O,y=O,x+y=l在第一象限所圍成的平面區(qū)域，=|卜'句垢=

(A)e+I.(B)e-l.(C)2-±J(D)2_zJ

(7)已知由參數(shù)方■廣”."皿*,確定了可導(dǎo)函數(shù)y=f(x),則

(A)x=0是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn).

(B)x=0是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn)，

(C)x=0不是f(x)的極值點(diǎn)且在x=0鄰域單調(diào)上升，

(D)x=0不是f(x)的極直點(diǎn)且在x=0鄰域單調(diào)下降.

(8)二次型J?31；?24?2d”,可用可逆線性變量替換化為2yL3y2+5y),則

(A)a46(B)a%6(C)a2>6(D)a2<6

(9)3階實(shí)對(duì)稱矩陣A相似于矩陣024,人是實(shí)數(shù).則A2+A+1E是正定矩陣的充分必要條

I。00I」

件是

(A)X>0.(B)X>-1.(C)X>-12.(D)X2-1.

(10)已知向量組aha2,a;和B,,B2,B3,B,都是4維實(shí)向量，其中Ka】，a2,a3)=2鄧j,陀，隹,p4)

>1,并且每個(gè)B與ai,a2,a3都正交.則r他，02,0邛4)=

(A)1.(B)2.(C)3.(D)4.

二、填空題：11?16小題，每小題G分，共30分，請(qǐng)將答案寫(xiě)在答題紙指定位置上.

(1，)設(shè)函數(shù)⑻在x=i處二階可導(dǎo)，又色勺.7,則式3——,r(D=

(12)已知困數(shù)y(x)可微(x>0)且滿足方程

山…??呼.平卜(x>0)

貝Jy(x)=_________

(13)ift皿筑卜y,則F(x尸

(14)已知當(dāng)x>0與y>OF則函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x,y)=(l.I)處

的全微分dflu=

(15)設(shè)丫=皿乂則丫(")=

(16)已知ai=(l,2,T)',a2=(1,-3,2)',a；=(4,11,-6)*.矩陣A滿足Aa】=(0,2)',Aa2

=(5,2兒Aa,=(-3,7),則A=

數(shù)學(xué)二預(yù)測(cè)試卷卷(四)3

三、解答題

演算步驟

(17)(本題滿分10分)

22

設(shè)有拋物線Ci:x2=ay和圓C2:x+y=2y.

(I)確定a的取值范圍，使得Ci,Cz交于三點(diǎn)0,M,P(如圖)；

(H)求拋物線C,與弦MP所圍平面圖形面積S(a)的最大值：

(III)求上述具有最大面積的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體

體積V.

(18)(本題滿分13分)

?酎?IO[9'lit

(I)已知極限I=hm-------------一一.一求常數(shù)3,c.

?9*

(II)求累次積|<l?|rilt?|<h|rill

(19)(本題滿分10分)

設(shè)u=u(x,y)在全平面有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，

(I)作極坐標(biāo)變換x=rcos0,y=rsin。求:與,的關(guān)系式：

(II)若*弛?J".()(V(x,y)),求證：u(x,y)=u(0,0)為常數(shù),

初

(20)(本題滿分11分)

設(shè)xOy平面第一象限中有曲線T:y=y(x),過(guò)點(diǎn)A(0,A/2-l)*(x)>0.又M(x,y)為T(mén)上

任意一點(diǎn)，滿足：弧段AM的長(zhǎng)度與點(diǎn)M處T的切線在x軸上的截距之差為&-L

(I)導(dǎo)出尸y(x)滿足的積分、微分方程.

(II)導(dǎo)出y(x)滿足的微分方程和初始條件.

(山)求曲線T的表達(dá)式.

(21)(本題滿分14分)

(I)設(shè)f(x)在(a+w)可導(dǎo)且hm/*(?)=｛求證：

若A>0,則InnriIs?■

若A<0.則Imifl?-?.

????

(II)設(shè)n為非負(fù)整數(shù)，求定積分，|fln-fdt

(HI)設(shè)g(x)在(a,十a(chǎn))連續(xù)，|[|《t心收斂，又im11=，求證

1=0.

(22)(本題滿分12分)

設(shè)J,a2，a,都是矩陣A的特征向量，特征值兩兩不同，記丫=Q〔+a2+a

(I)證明y.AyA2/線性無(wú)關(guān)，線性相關(guān)。

(II)設(shè)a1,a2,a3的特征值依次為1,T,2,記矩陣B=(y,Ay,A〃y),芹A，y,求解線性方

程

組BX=0.

J及T-T-^r測(cè)j.11—試卷卷(/四rm)\

考生編號(hào)

絕密★啟用前

姓名

2022年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)（二）

預(yù)測(cè)試卷卷（五）

考生注意事項(xiàng)

1.答題前，考生須在試題冊(cè)指定位置上填寫(xiě)考生姓名和考生編號(hào)；在

答題卡指定位置上填寫(xiě)報(bào)考單位、考生姓名和考生編號(hào)，并涂寫(xiě)考

生編號(hào)信息點(diǎn)。

2.選擇題的答案必須涂寫(xiě)在答題卡相應(yīng)題號(hào)的選項(xiàng)上，非選擇題的答

案必須書(shū)寫(xiě)在答題卡指定位置的邊框區(qū)域內(nèi)，超出答案區(qū)域上寫(xiě)的

答案無(wú)效；在草稿紙?jiān)囶}冊(cè)上答題無(wú)效。

3.填（書(shū)）寫(xiě)必須使用黑色字跡簽字筆或鋼筆，字跡工整，筆跡清楚;

涂寫(xiě)部分必須使用2B鉛筆填涂。

4.考試結(jié)束，將答題卡和試題冊(cè)按規(guī)定交回。

一、選擇題：1?10小題，每小題5分，共50分，下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要

求的.請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上.

⑴山則工產(chǎn)為..(?)?￡—“小，則當(dāng)x-0時(shí)f(x)是g(x)的

(A)高階左窮小.?(B)低階無(wú)窮小.

(O同階而非等價(jià)無(wú)窮小，(D)等價(jià)無(wú)窮小，

0<1<，

⑵i段/U)*F(x)在［0,2］上

I??1.I<B<2.

(A)有界，不可積.(B)可積，有間斷點(diǎn)，

(C)連續(xù)，有不可導(dǎo)點(diǎn).(D)可導(dǎo)，

(3)設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(T,1)內(nèi)二次可導(dǎo)，已知f(0)=0,f(0)=l,且『(x)<0當(dāng)x￡(-1,l)

時(shí)成立，則

(A)當(dāng)x6(T,0)時(shí)f(x)>x,而當(dāng)x￡(0,1)時(shí)f(x)〈x.

(B)當(dāng)x￡(-1.0)時(shí)f(x)<x,而當(dāng)x任(0.1)時(shí)f(x)>x.

(C)當(dāng)x￡(-l,0)與xG(O.l)時(shí)都有f(x)>x.

(D)當(dāng)xc(-1,0)與20,1)時(shí)都有f(X)VX.

(4)在x=0處二階導(dǎo)數(shù)存在，則常數(shù)a,b分別是

le,?.a>0,

(A)a=l.b=l.(B)Bs|Js1

(C)a=1,b=2.(D)a=2,b=I,

⑸數(shù)列極限/.H.[山「?________.

I■■J

(A)1.(B)e.(C)e*.(D)e*.

設(shè)u(x,y)在Mo(xow)取極小值，并」心*、號(hào)程均座,則

(6)

(A)等心。筆1"“⑻

宇>0,竽>0.

5.0,坐”

(C)等處?。,普?。,(D)

⑺函數(shù)F(t)=[■■?■c(一?.??J)的值域區(qū)間是

(1.短)yi

(A)(0,+u)(B)0.I

O.；-3，dJ

(C)(0,X(D)

2預(yù)測(cè)試卷卷(五)數(shù)學(xué)二

(8)設(shè)A是n階可逆矩陣，B是把A的第2列的3倍加到第4列上得到的矩陣，則

(A)把A-'第2行的3倍加到第4行上得到B：

(B)把A-第4行的3倍加到第2行上得到B-.

(C)把A?第2行的-3倍加到第4行上得到

(D)把A'第4行的-3倍加到第2行上得到IT，.

⑼設(shè)4階矩陣A=(a1所值,aa4),已知齊次方程組AX=O的通解為c(l.21,0)：c任

意.則下列選項(xiàng)中不對(duì)的是

(A)a1,a2,a3線性相關(guān).(B)如短線性無(wú)關(guān).

(C)a1,a2,a4線性無(wú)關(guān).(D)a;^2。4線性相關(guān).

(10)已知3元二次型x7Ax的平方項(xiàng)系數(shù)都為0,又它的矩陣A滿足Ax=2x,其中x=(l,2,T)',

則X，Ax的規(guī)范形為

22222

⑴產(chǎn)92+y;2.(B)y￥y2—2.(C)y-y-y.(D)y+y2.

二,填空題：11?16小題，每小題5分，共30分.請(qǐng)將答案寫(xiě)在答題紙指定位置上.

(11)設(shè)八■)=廣小則F(x)的定義域是

(12)設(shè)曲線T的極坐標(biāo)方程為則T在點(diǎn)(學(xué),/)處的法線的宣角坐標(biāo)方程是

(13)設(shè)u=u(x,y)滿足二?人?I,則u(x,y)=_______.

<ta

(14)曲線y=x101)的全部漸近線方程是_____

(15)設(shè)有擺線x=4(D=t-sint,y=w(l)=l-cosK0SH27t)的第一拱L、則L繞x軸旋轉(zhuǎn)

一周所得旋轉(zhuǎn)面的面積0=

5。r

(16)設(shè)實(shí)對(duì)稱矩陣A.5?要使得A的正，負(fù)慣性指數(shù)分別為2,1,則a滿足的條件是

三、解答題：17?22小題，共70分.請(qǐng)將解答寫(xiě)在答題紙指定位置上.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或

演算步驟.

(17)(本題滿分11分)

設(shè)函數(shù)f(x)在(0,+a)內(nèi)可導(dǎo)，/(,)卜'，且

回旭霜f1.嚴(yán)鏟，e(o,+m)

數(shù)學(xué)二預(yù)測(cè)試卷卷(五)3

(I)求f(x);

(II)定義數(shù)列1.-［［(，)也,證明數(shù)列｛X。I收斂.

(18)(本題滿分11分)

設(shè)1Wa<b,函數(shù)f(x)=xln2x,求證f(x)滿足不等式

(I)0<f,(x)<2(x>l).

?n)/t?)*/(s)-。'

(19)(本題滿分11分)

(I)設(shè)z=z(x,y),y>0有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)且滿足

al打±且

*7寸2

作變換u=x-2/y,v=x+2/y,

(H)求方程的解.

(20)(本題滿分14分)

(Dif//.?.-|'(,，出.求函數(shù)f(x)的單調(diào)性區(qū)間與正、負(fù)值區(qū)間.

(II)設(shè)陽(yáng))