《勾股定理應(yīng)用（第二課時(shí)）》教案教學(xué)目標(biāo)及教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)本課應(yīng)用勾股定理解決問(wèn)題，體會(huì)數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化、分類討論的思想方法，感受勾股定理的應(yīng)用價(jià)值，提升數(shù)學(xué)推理的素養(yǎng)，提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。教學(xué)過(guò)程(表格描述)教學(xué)環(huán)節(jié)主要教學(xué)活動(dòng)設(shè)置意圖引入回顧勾股定理—從邊的數(shù)量關(guān)系的角度豐富了直角三角形的性質(zhì).提出本節(jié)課的目標(biāo)應(yīng)用勾股定理解決問(wèn)題例題如圖1-1，幾何原本中的勾股定理這樣表述，如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為c，以直角邊a，b為邊長(zhǎng)的兩個(gè)正方形面積之和等于以斜邊c為邊長(zhǎng)正方形的面積.（1）如圖1-2，如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為c，以直角邊a，b，為邊長(zhǎng)的兩個(gè)等邊三角形的面積之和是否等于以斜邊c為邊長(zhǎng)的等邊三角形的面積？（2）如圖1-3，如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為c，以直角邊a，b為直徑的兩個(gè)半圓的面積之和是否等于以斜邊c為直徑的半圓的面積？圖圖1-1圖1-2圖1-3（1）分析：要求三角形的面積需要知道它的底和高的，顯然底已知，關(guān)鍵是確定高.（1）解：作于H,∵?ABC是等邊三角形，∴，,∵在Rt?AEH中,同理可得：,∵在Rt?ABC中，.(2)分析:要計(jì)算半圓的面積關(guān)鍵是確定它的半徑，顯然半徑長(zhǎng)為直角三角形邊長(zhǎng)的一半(2)解：設(shè)以a,b,c為直徑的半圓面積分別為：S1,S1,S3.∵在Rt?ABC中，a2+b2=c2，.反思：以直角邊為基礎(chǔ)所作畫兩個(gè)圖形的面積S1與S2的和始終等于以斜邊為基礎(chǔ)所畫圖形的面積S3.這一切都依賴于三個(gè)圖形面積比值S1：S2：S3=a2：b2：c2,而Rt?ABC的三邊滿足a2+b2=c2,所以S1+S2=S3.圖圖2例2如圖2，在直線上依次擺放著3個(gè)正方形，水平放置的2個(gè)正方形面積分別為S1，S2，傾斜放置的正方形面積為S3，求S1，S2，S3之間的關(guān)系.分析：正方形的面積等于邊長(zhǎng)的平方，所以探尋3個(gè)正方形面積之間的關(guān)系，就是探究3個(gè)正方形邊長(zhǎng)AG，AB，CH間的關(guān)系.AG，AB分別是Rt?AGB的一條直角邊和斜邊，獨(dú)立存在的CH要是和它的另一條直角邊BG有關(guān)系就好了.測(cè)量一下，就會(huì)發(fā)現(xiàn)BG=CH.所以我們只需證明BG=CH.要證BG=CH需證明BG與CH所在三角形△AGB和△BHC全等，要證三角形全等，需找齊三個(gè)條件，顯然由正方形可得AB=BC,∠AGB=∠BHC=90o。邊相等是要求證的，所以我們需再找一對(duì)角相等，不妨找∠ABG=∠BCH，要證兩個(gè)角等，這里我們不會(huì)再證全等，可以找和它們有關(guān)系的角，顯然它們都是∠CBH的余角.所以依據(jù)同角的余角相等即可得證.證明：∵在正方形EFGA，正方形ABCD，正方形CHIM中，AB=BC，∠AGB=∠BHC=∠ABC=90o，∵在Rt?BHC中，∠BCH+∠CBH=90o，∵∠ABC=90o，∴∠CBH+∠ABG=180o－90o=90o，∵在Rt?AGB中，，，，反思：對(duì)比例1與例2，如果兩道題中的?ABC和?ABG是同一個(gè)圖形，可以認(rèn)為例2是把例1中一條直角邊上的正方形經(jīng)過(guò)全等變換改變了圖形位置而得到的所以雖然圖形位置不同，但3個(gè)正方形面積間數(shù)量關(guān)系仍舊保持不變。例3（1）如圖3-1，這是我國(guó)古代著名的“趙爽弦圖”，它由4個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼接成一個(gè)大正方形，若直角三角形兩條直角邊分別圖3-1為a，b（a>b)，大正方形面積為49，圖3-1小正方形面積為4，求a+b的值.（2）如圖3-2，有一個(gè)長(zhǎng)和寬分別為6.5和2的長(zhǎng)方形，把它分割后拼成一個(gè)大正方形.圖3-2(1)分析：我們由兩個(gè)正方形的面積與直角三角形兩條直角邊a，b之間的關(guān)系，得到兩個(gè)關(guān)于a，b的等式，再根據(jù)所學(xué)代數(shù)知識(shí)求出a+b的值就可以了.圖3-2(1)解：我們?cè)O(shè)直角三角形斜邊為c，.∵大正方形面積為49，，∵小正方形面積為4，∴小正方形邊長(zhǎng)為，也就是，,.,,,.圖3-3圖3-4分析：依題意可知長(zhǎng)方形面積為6.5×2=13，從長(zhǎng)方形變成正方形，面積不變，所以正方形面積是13，因此要拼成的正方形邊長(zhǎng)為根號(hào)13.我們知道根號(hào)13的平方等于13恰好等于2與3的平方和，所以根號(hào)13是以2，3為直角邊的直角三角形的斜邊長(zhǎng).我們可以以此在圖中畫出長(zhǎng)為根號(hào)13的線段.將長(zhǎng)方形沿分割線（虛線）剪出4個(gè)以根號(hào)13為斜邊的直角三角形，將它們拼成右圖，我們知道這四個(gè)直角三角形全等，如圖?ADF≌?BAE,則∠ADF=∠BAE圖3-3圖3-4∵∠ADF+∠DAF=90o，∴∠ADF+∠BAE=90o，即∠DAB=90o，同理可證∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90o,由于AD=DC=CB=BA=，所以四邊形ABCD為正方形.拼成的大正方形中間還空出個(gè)四邊形EFGH，顯然它的四個(gè)角都是直角，四條邊恰好是直角三角形較大直角邊3與較小直角邊2的差為1,所以中間空出的四邊形EFGH也是正方形，面積為1.原長(zhǎng)方形剪掉4個(gè)直角三角形后剩余一個(gè)長(zhǎng)為2，寬為0.5的長(zhǎng)方形，面積為1.把它分成2個(gè)長(zhǎng)為1，寬為0.5的長(zhǎng)方形，恰能拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形,也就是拼成正方形EFHG.反思：回顧例3的第（1）小問(wèn)，借助趙爽弦圖，我們把圖形面積轉(zhuǎn)化為代數(shù)式的值；問(wèn)題（2）的解決過(guò)程我們借助根號(hào)13的平方等于13恰好等于2與3的平方和這個(gè)數(shù)量關(guān)系，完成了從長(zhǎng)方形到正方形的轉(zhuǎn)變.例4請(qǐng)你在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格紙中，畫?ABC，使它的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，且三邊長(zhǎng)分別為AB=，AC=，BC=.分析：?ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上,而三邊長(zhǎng)均不是整數(shù)，考慮它們是直角邊長(zhǎng)為正整數(shù)的直角的三角形的斜邊.我們知道的，所以是以2，3為直角邊的直角三角形的斜邊長(zhǎng)，，所以是以1，2為直角邊的直角三角形的斜邊長(zhǎng)，再計(jì)算BC的長(zhǎng)即可。(1)(2)（3）（4）（5）（6）（7）（8）解：如圖（8）?ABC即為所求.反思：由滿足特殊的數(shù)量關(guān)系邊長(zhǎng)，找到畫線段的方法，再通過(guò)對(duì)線段不同位置的討論最終用計(jì)算確定圖形,以至后面的圖形面積計(jì)算，都讓我們感受到數(shù)與形的交匯交融，同時(shí)對(duì)AB的位置分類討論時(shí)是按空間順序有序展開(kāi).例1從勾股定理幾何原本中的表述起步，改變題目中的條件使圖形從正方形到等邊三角形到半圓，探討圖形發(fā)生變化，面積之間根據(jù)勾股定理不變的數(shù)量關(guān)系，體驗(yàn)從幾何圖形特征到代數(shù)數(shù)量關(guān)系的轉(zhuǎn)化，感受勾股定理的應(yīng)用價(jià)值，提升邏輯推理素養(yǎng).例2是把例1中一條直角邊上的正方形經(jīng)過(guò)全等變換改變了圖形位置而得到的所以雖然圖形位置不同，但3個(gè)正方形面積間數(shù)量關(guān)系根據(jù)勾股定理，仍舊保持不變。使學(xué)生再次體驗(yàn)從幾何圖形特征到代數(shù)數(shù)量關(guān)系的轉(zhuǎn)化，感受勾股定理的應(yīng)用價(jià)值，提升邏輯推理素養(yǎng)。例3的第（1）小問(wèn)，借助趙爽弦圖，根據(jù)勾股定理，我們把圖形面積轉(zhuǎn)化為代數(shù)式的值；問(wèn)題（2）的解決過(guò)程我們根據(jù)勾股定理，借助根號(hào)13的平方等于13恰好等于2與3的平方和這個(gè)數(shù)量關(guān)系，完成了從長(zhǎng)方形到正方形的轉(zhuǎn)變.體會(huì)從形到數(shù)，從數(shù)到形的轉(zhuǎn)化，感受勾股定理的應(yīng)用價(jià)值，提升邏輯推理素養(yǎng)。例4由滿足特殊的數(shù)量關(guān)系的邊長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理，找到畫線段的方法，再通過(guò)對(duì)線段的位置按空間順序有序分類討論，最終運(yùn)用勾股定理計(jì)算線段長(zhǎng)度確定圖形，使學(xué)生感受到數(shù)與形的交匯交融，再次感受勾股定理的應(yīng)用價(jià)值.總結(jié)1.數(shù)形結(jié)合本節(jié)課我們首先從不同的幾何圖形中發(fā)現(xiàn)其蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系，反過(guò)來(lái)又從特殊的數(shù)量關(guān)系發(fā)現(xiàn)構(gòu)圖的方法。當(dāng)然這一切都依賴于勾股定理這一媒介，因?yàn)楣垂啥ɡ肀旧砭褪且粋€(gè)數(shù)形完美結(jié)合的定理。2.轉(zhuǎn)化在解決問(wèn)題中我們多次用到了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法：在研究面積關(guān)系時(shí)，在證明線段相等時(shí)，再用補(bǔ)形的方法求面積時(shí)等等，3.分類討論在解題中我們還用到了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，比如對(duì)線段位置的討論，這些數(shù)學(xué)思想方法對(duì)我們今后學(xué)習(xí)會(huì)大有幫助?？偨Y(jié)本節(jié)課所學(xué)知識(shí)，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法.作業(yè)1.如圖,分別以在Rt?ABC的三邊AC,BC,AB為直徑畫半圓，求證：所得兩個(gè)月形圖案AFCD和月形圖案BGCE的面積和等于Rt△ABC的面積.2.有5個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，排列形式如圖，請(qǐng)把它們分割后拼接成一個(gè)大正方形.3.?ABC三邊長(zhǎng)分別為，，，其中且，請(qǐng)你畫出?ABC并求出它的面積.練習(xí)1運(yùn)用勾股定理從幾何圖形特征到代數(shù)數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化.練習(xí)2運(yùn)用勾股定理從代數(shù)數(shù)量關(guān)系尋求構(gòu)造圖形的方法，從而將長(zhǎng)方形轉(zhuǎn)化為正方形.練習(xí)3運(yùn)用勾股定理從代數(shù)數(shù)量關(guān)系尋求構(gòu)造圖形的方法，從而畫出圖形，在運(yùn)用割補(bǔ)法求圖形面積.知能演練提升能力提升1.如圖,已知正方形的邊長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度,以表示數(shù)1的點(diǎn)為圓心,正方形對(duì)角線長(zhǎng)為半徑畫弧,交數(shù)軸于點(diǎn)A,則點(diǎn)A表示的數(shù)是()A.-12 B.-C.1-3 D.1-22.如圖,在長(zhǎng)方形ABCD中,AB=3,AD=1,AB在數(shù)軸上.若以點(diǎn)A為圓心,對(duì)角線AC的長(zhǎng)為半徑作弧,交數(shù)軸的正半軸于點(diǎn)M,則點(diǎn)M在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的數(shù)為()A.2 B.5-1C.10-1 D.53.如圖,螺旋是由一系列直角三角形組成的,則第n個(gè)直角三角形的面積為()A.n B.nC.n2 D.4.利用勾股定理作出長(zhǎng)為6cm的線段.5.如圖,正方形網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1.(1)求AB,BC,CA的長(zhǎng);(2)求△ABC的面積;(3)求△ABC中BC邊上的高AH的長(zhǎng).創(chuàng)新應(yīng)用6.在數(shù)軸上如何畫出表示3-1,2-2的點(diǎn)?

知能演練·提升能力提升1.D數(shù)軸上正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為12+12=2,由題圖可知數(shù)所以點(diǎn)A表示的數(shù)是1-2.故選D.2.C3.D根據(jù)勾股定理,得OA1=2,OA2=3,……則S1=12×1×1=12,S2=12×2×故Sn=12×n×14.解畫法:(1)如圖,作直角邊長(zhǎng)為1cm的等腰直角三角形ABC;(2)以斜邊AC為一條直角邊,以2cm長(zhǎng)為另一條直角邊,作出Rt△ACD.AD即為長(zhǎng)6cm的線段.5.解(1)由勾股