專題1L1相交線與平行線十八大必考點

【人教版】

【考點1同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的判斷】.....................................................1

【考點2三線八角中的截線問題】...............................................................2

【考點3根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)進(jìn)行證明】.....................................................4

【考點4直線旋轉(zhuǎn)中的平行線的判定】............................................................6

【考點5與垂線有關(guān)的角度計算或證明】.........................................................7

【考點6利用平行線的判定與性質(zhì)計算角度】.....................................................8

【考點7平行線的性質(zhì)在生活沖的應(yīng)用】........................................................10

【考點8利用平行線的判定與性質(zhì)探究角度之間的關(guān)系】.........................................11

【考點9平行線的運用（單一輔助線）】........................................................13

【考點10平行線的運用（多條輔助線）】........................................................15

【考點11平行線在折疊問題的運用】.............................................................17

【考點12平行線在三角尺中的運用】............................................................18

【考點13平行線中的規(guī)律問題】................................................................19

【考點14平行線中的轉(zhuǎn)角問題】................................................................21

【題型15生活中的平移現(xiàn)象】..................................................................23

【題型16圖形的平移】.........................................................................24

【題型17利用平移的性質(zhì)求解】................................................................25

【題型18利用平移解決實際問題】..............................................................26

于一笈三

【考點1同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的判斷】

【例1】（2022?河南新鄉(xiāng)?七年級期末）如圖所示，下列說法不正確的是（）

A.（31和團(tuán)2是同旁內(nèi)角B.01和133是對頂角

C.回3和（34是同位角D.團(tuán)1和04是內(nèi)錯角

【變式1-1］（2022?青海?中考真題）數(shù)學(xué)課上老師用雙手形象的表示了“三線八角”圖形，如圖所示（兩大

拇指代表被截直線，食指代表截線）.從左至右依次表示（）

A.同旁內(nèi)角、同位角、內(nèi)錯角

B.同位角、內(nèi)錯角、對頂角

C.對頂角、同位角、同旁內(nèi)角

D.同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角

【變式1-2］（2022?河北保定?七年級期末）如圖所示，下列說法錯誤的是（）

B.團(tuán)2與03是內(nèi)錯角

C.（3A與I2B是同旁內(nèi)角

D.團(tuán)A與幽是同位角

【變式1-3］（2022?河南?商水縣希望初級中學(xué)七年級期末）如圖所示，同位角有a對，內(nèi)錯角有b對，同旁

【考點2三線八角中的截線問題】

【例2】（2022?四川省廣元市寶輪中學(xué)七年級期末）如圖，已知（31和吸是內(nèi)錯角，則下列表述正確的是（）

D

E

A.01和團(tuán)2是由直線A。、AC被CE所截形成的

B.（31和（32是由直線AD、AC被BZ）所載形成的

C.團(tuán)1和（32是由直線D4、被CE所截形成的

D.m1和團(tuán)2是由直線D4、08被AC所載形成的

【變式2-1］（2022?山東濟(jì)寧?七年級期末）如圖，4ABD與乙8。。是（）形成的內(nèi)錯角

A.直線4D、BC被直線所截B.直線48、。。被直線B。所截

C.直線力8、G）被直線4c所截D.直線力0、BC被直線4c所截

【變式2-2］（2022?甘肅?隴西縣鞏昌中學(xué)七年級期末）如圖，02與同3是直線,被第三條直線

所載形成的.

【變式2-3］（2022?全國?七年級）如圖所示，從標(biāo)有數(shù)字的角中找出:

⑴直線C。和被直線AC所截構(gòu)成的內(nèi)錯角.

（2）直線CO和AC被直線AO所截構(gòu)成的同位角.

（3）立線AC和被直線BC所截構(gòu)成的同旁內(nèi)角.

【考點3根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)進(jìn)行證明】

【例3】（2022?浙江臺州?七年級期末）如圖，已知：Z1=Z2,z/1=ZD.求證：（B=4.

（3II（）.

回4A=乙BED（）.

團(tuán)41=ZD（已知），

0ZFED=Z,D（等量代換）.

回II（）.

回乙8=乙C（）.

【變式3-1］（2022?黑龍江?遜克縣教師進(jìn)修學(xué)校七年級期末）如圖所示，ABWCD,直線EF分別交48,CD

于點G,H,是配）“G的平分線.

⑴如果G例是她GE的平分線，（如圖①）試判斷并證明GM和HN的位置關(guān)系;

證明:^AB\\CD,

圖3BGE=（兩直線平行，同位角相等.）

團(tuán)GW是她GE的平分線,

團(tuán)==-LBGE

--------------------------2

是團(tuán)DHG的平分線

□==+乙DHG

---------------------------2

配MGEFNHG（等量代換）

團(tuán)GM和"N的位置關(guān)系是,（）.

（2）如果GM是0AG”的平分線，（如圖②）（1）中的結(jié)論還成立.嗎？（不必證明）

⑶如果GM是用4GH的平分線，（如圖③）（1）中的結(jié)論還成立嗎？如果不成立，GM與〃”又有怎樣的

位置關(guān)系？請直接寫出你的猜想不必證明.

【變式3-2]（2022?遼寧葫蘆島?七年級期末）如圖已知：ABWCD,CDWEF,AE平分回BAC,AC^CE,有以

下結(jié)論：（T）Z4B0￡F：②2團(tuán)1-04=90°：（3）203-02=180°：④回3+#4=135°,其中，正確的結(jié)論有.（填序

號）

【變式3-3]（2022?廣東?廣州市第四中學(xué)七年級期末）如圖1,在四邊形48co中，AD||BC,0A=0C.

（1）求證:0B=0D：

（2）如圖2,點E在線段AO上，點G在線段4。的延長線上，連接3G,IMEB=20G,求證：是（3E3C的

平分線；

⑶如圖3,在⑵的條件下，點E在線段A。的延長線上，團(tuán)EOC的平分線?！ń籅G于點H,若（M8E=66。，

求泛3〃。的度數(shù).

【考點4直線旋轉(zhuǎn)中的平行線的判定】

【例4】（2022?河南洛陽?七年級期末）如圖所示是蹺蹺板示意圖，橫板力8繞中點。上下轉(zhuǎn)動，立柱OC與

地面垂直，當(dāng)橫板4B的4端著地時，測得4c=28。，則在玩蹺蹺板時，小明坐在A點處，他上下最大可

以轉(zhuǎn)動的角度為（）

A.28°B.56°C.62°D.84°

【變式4-1］（2022?山東臨沂?七年級期末）如圖將木條小〃與c釘在一起，41=75。，要使木條a與％平

行，木條。順時針旋轉(zhuǎn)了35。，132是（）

A.25°B.35°C.40°D.50°

【變式4-2］（2022.云南昆明?七年級期末）小明把一副三角板擺放在桌面上，如圖所示，其中邊NCDF

在同一條直線上，現(xiàn)將三角板。七尸繞點。順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)E”第一次與43平行時，乙CD尸的度數(shù)是（

A.15。B.30。C.45°D.75°

【變式4-3］（2022?湖南永州?七年級期末）如圖，直線川電，現(xiàn)將一個含30。角的直角三角板的銳角頂點8放

在直線已上，將三角板繞點B旋轉(zhuǎn)，使直角頂點C落在k與％之間的區(qū)域，邊AC與直角。相交于點。，若41=

353則圖中的乙2的值為（）

A

A.65uB.75uC.85"D.80u

【考點5與垂線有關(guān)的角度計算或證明】

【例5】（2022?湖南?測試?編輯教研五七年級期末）如圖，已知（31=團(tuán)C,02=03,FG瞅C于G,你能說明8。

與AC互相垂直嗎？

【變式5-1］（2022?安徽合肥?七年級期末）請補(bǔ)充完整下列推理過程及證明過程中的依據(jù).

如圖，已知OG〃84EF1BC,￡1=Z2.試證明：AD1BC.

解：因為0G〃8A（已知），

所以N2=NB4O（）.

因為乙1=Z2（已知），

所以（等量代換），

所以EF〃（）.

所以（兩直線平行，同位角相等）

因為EF1BC（已知），

所以4EFB=90。（）.

所以4力OF=90。（等量代換）,

所以（垂直的定義）.

【變式5-2]（2022?江蘇鹽城?七年級期末）如圖，AB1AC,垂足為力，21=30。，zF=60°.

（1）力。與BC平行嗎？為什么？

（2）根據(jù)題中的條件，能判斷48與。。平行嗎？如果能，請說明理由：如果不能，添加一個條件，使它們

平行（不必說明理由）.

【變式5?3】（2022?全國?七年級）已知：直線MN、PQ被A8所截，且MN3PQ,點C是線段A8上一定點,

點D是射線AN上一動點，連接CD.

⑴在圖1中過點C作CH3C。，與射線/3Q交于七點.

①依題意補(bǔ)全圖形：

②求證：a4DC+0BEC=9O°；

⑵如圖2所示，點F是射線8Q上一動點，連接CF,^DCF=a,分別作團(tuán)VQC與團(tuán)CFQ的角平分線交于點G,

請用含有a的代數(shù)式來表示I3DGF,并說明理由.

【考點6利用平行線的判定與性質(zhì)計算角度】

【例6】（2022?福建福州?七年級期末）如圖，在△4BC中，點/）,E分別在AB,AC上，點F,G在BC上,

EF與DG交于點、O,41+42=180。，zF=z3.

A

BG

（1）判斷DE與8c的位置關(guān)系，并證明;

(2)若4NED+乙EFC=118°,求乙4的度數(shù).

【變式6-1]（2022,河南一河?七年級期末）已知：如圖，（2L4=（MDE,0C=fflE.

⑵判斷BE與C。的位置關(guān)系，并證明你的猜想.

【變式6-2]（2022?廣東湛江?七年級期末）如圖所示,已知射線CBIIO44C=LOAB=110°,E、I在CB上,

且滿足NF0B=N408,OE平分乙COF,根據(jù)上述條件，解答下列問題:

（1）證明:OCHAB；

（2）求心EOB的度數(shù)；

⑶若平行移動力氏那么ZOBCNOFC的值是否隨之變化？若不變，求出這個比值；若變化，請說明理由.

【變式6-3]（2022?北京密云?七年級期末）已知：點C是財08的04邊上一點（點。不與點。重合），

點。是（MOB內(nèi)部一點，射線CQ不與相交.

圖1圖2

⑴如圖1,0408=90。，0OCD=12O°,過點。作射線。E,使得。以/CD.（其中點七在財。B內(nèi)部）.

①依據(jù)題意，補(bǔ)全圖1；

②直接寫出團(tuán)80七的度數(shù).

⑵如圖2,點尸是射線。8上一點，且點尸不與點0重合，當(dāng)"1。8=。（0。＜1工180。）時，過點尸作射線

FH,使得P〃〃C。（其中點”在MOB的外部），用含a的代數(shù)式表示mOC。與她777的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【考點7平行線的性質(zhì)在生活中的應(yīng)用】

【例7】（2022?湖北武漢?七年級期末）如圖線段AB和CD表示兩面鏡子，且直線AB團(tuán)直線CD,光線EF經(jīng)

過鏡子AB反射到鏡子CD,最后反射到光線GH.光線反射時，01=02,03=04,下列結(jié)論：①直線EF平行于

直線GH；②團(tuán)FGH的角平分線所在的直線垂直于直線AB；③團(tuán)BFE的角平分線所在的直線垂直于團(tuán)4的角平

分線所在的直線；④當(dāng)CD繞點G順時針旋轉(zhuǎn)90時，直線EF與直線GH不一定平行，其中正確的是（）

X—￡

A.①②③④B.①②③C.②③D.①③

【變式7-1］（2022?江蘇宿遷?七年級期末）實驗證明：平面鏡反射光線的規(guī)律是：射到平面鏡上的光線和

被反射出的光線與平面鏡所夾的銳角相等，如圖有兩塊互相垂直的平面鏡MM/VP,一束光線4B射在其中一

塊MN上，經(jīng)另外一塊NP反射，兩束光線會平行嗎？若不平行，請說明理由，若平行，請給予證明

MA

B

C

【變式7-2］（2022?浙江杭州?七年級期末）（1）若組成乙1和乙2的兩條邊互相平行，且41是N2的2倍小15。,

求的度數(shù).

（2）如圖，放置在水平操場上的籃球架的橫梁"始終平行于48,￡7嗚上拉桿6形成的“=145。，主柱4。

垂直于地面，通過調(diào)整CF和后拉桿8C的位置來調(diào)整籃筐的高度.當(dāng)乙CDB=25。時，點”，。：B在同一直

線上，求，”的度數(shù).

【變式7-3］（2022?湖南?師大附中梅溪湖中學(xué)七年級期末）梅溪湖公園某處湖道兩岸所在直線（AB0CD）如

圖所示，在湖道兩岸安裝探照燈P和Q，若燈P射線自力逆時針旋轉(zhuǎn)至P8便立即回轉(zhuǎn)，燈C射線自。。

逆時針旋轉(zhuǎn)至OC便立即回轉(zhuǎn)，每天晚間兩燈同時開啟不停交叉照射巡視.設(shè)燈P轉(zhuǎn)動的速度是10度/秒,

燈Q轉(zhuǎn)動的速度是4度/秒，湖面上點M是音樂噴泉的中心.

（1）若把燈P自力轉(zhuǎn)至PB,或者燈Q自Q。轉(zhuǎn)至QC稱為照射一次，請求出P、Q兩燈照射一次各需要的

時間:

（2）12秒時，兩光束恰好在M點匯聚，求團(tuán)PMQ；

（3）在兩燈同時開啟后的35秒內(nèi)，請問開啟多長時間后，兩燈的光束互相垂直？

A?BA2B

CQDcoD

（備用圖）

【考點8利用平行線的判定與性質(zhì)探究角度之間的關(guān)系】

【例8】（2022?河北唐山?七年級期末）已知三角形43C,E/M4C交直線于點七，0FII48交直線4C于點Q.

AA

圖1備用圖

⑴如圖1,若點尸在邊BC上，直接寫出N8AC與4EFD的數(shù)量關(guān)系；

⑵若點尸在邊的延長線上，（1）中的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？若成立，給子證明；若不成立，又有怎樣的

數(shù)最關(guān)系，請在備用圖中畫出圖形并說明理由.

【變式8-1］（2022?湖北襄陽?七年級期末）如圖，己知AMII8N,P是射線AM上一動點（不與點A重合），

BC,8。分別平分財8P與色P8N,分別交射線AM于點C,D.

⑴若44=50。，求々CBD的度數(shù)；

⑵在點。的運動過程中，皿m4與團(tuán)4D4的數(shù)量關(guān)系是否隨之發(fā)生變化？若變化，請說明理由；若不變，請

求出奶必與勖DA的數(shù)量關(guān)系；

⑶當(dāng)點。運動到使財。8=蜘8。時，探究團(tuán)WC與團(tuán)。8N的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

【變式8-2］（2022?安徽合肥?七年級期末）已知：直線A8IICZ）,經(jīng)過直線AB上的定點P的直線EF交CD于點

。，點M,N為直線CC上的兩點,且點M在點。右側(cè)，點N的左側(cè)時，連接PM,PN,滿足4MPN=4MNP.

DC"\D

F

圖1圖2

⑴如圖1,若乙河尸。=25。，匕MNP=50。，直接寫出“OP的度數(shù)為：.

⑵如圖2,射線PQ為NMPE的角平分線，用等式表示乙NPQ與4POM之間的數(shù)量關(guān)系，井證明.

【變式8-3］（2022?湖北孝感?七年級期末）在三角形A6C中，點。在線段AC上，。圳BC交A3于點E,

點F在線段A8上（點尸不與點4E,8重合），連接。尸，過點。作尸GJ.FD交射線C8于點G.

⑴如圖1,點尸在線段BE上，

①用等式表示團(tuán)與團(tuán)3G77的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

②如圖，求證：乙ABC+乙BFG-乙EDF=90。；

⑵當(dāng)點尸在線段AE上時，依題意，在圖2中補(bǔ)全圖形，請直接用等式表示團(tuán)研甲與（38GF的數(shù)量關(guān)系，不

需證明.

【考點9平行線的運用（單一輔助線）】

【例9】（2022?四川德陽?七年級期末）已知：48||CD,點夕、0分別在A3、CO上，在兩直線間取一點￡.

圖1圖2圖3

（1）如圖1,求證：NE=N4PE+ZCQE；

⑵將線段EQ沿。C平移至FG,匕CG尸的平分線和NAPE的平分線交于直線48、CD內(nèi)部一點H.

①如圖2,若々E=90。，求N"的度數(shù)；

②如圖3,若點/在直線人仄CO內(nèi)部，且P/平分N8PE,連接若乙I一乙H=m0,AE=n0,請直接

寫出機(jī)與〃的數(shù)量關(guān)系，不必證明.

【變式9-1］（2022?廣東梅州?八年級期末）已知：^AOB=a（0°<a<90°）,一塊三角板CQE中，^CED

=90。，^CDE=30°,將三角板CZ）￡如圖所示放置，使頂點C落在08邊匕經(jīng)過點。作直線M/V0O8交

OA邊于點M,且點M在點。的左側(cè).

XLD

圖1圖2

⑴如圖1,若CE0OA,EF^MN,0/VDE=45°,求a的度數(shù);

⑵若回A〃)C的平分線。尸交08邊于點片如圖2,當(dāng)"唱。4,且a=60。時，證明：CE0Q4.

【變式9-2](2022?陜西西安?八年級期末)在綜合.與實踐課上，同學(xué)們以“一個含30。的直角三角尺和兩條

平行線”為背景開展數(shù)學(xué)活動如圖1，己知兩直線a，b,且a||b和直角三角形A3C,4BCA=90°,LBAC=30°.

B

C

圖1

(1)在圖1中，01=46%求團(tuán)2的度數(shù);

⑵如圖2,創(chuàng)新小組的同學(xué)把直線a向上平移,并把團(tuán)2的位置改變，發(fā)現(xiàn)42-41=120。，說明理由;

⑶竟賽小組在創(chuàng)新小組發(fā)現(xiàn)結(jié)論的基礎(chǔ)上，將圖2中的圖形繼續(xù)變化得到圖3,當(dāng)八C平分團(tuán)A4M時.此時

發(fā)現(xiàn)回1與團(tuán)2又存在新的數(shù)量關(guān)系，請寫出地1與團(tuán)2的數(shù)量關(guān)系并證明.

【變式9-3](2022?遼寧葫蘆島?七年級期末)如圖1,點A在直線MN上，點8在直線ST上，點。在MM

57之間，且滿足(3M4C+MCB+0S8C=360°.

圖1圖2圖3

(1)證明:MNWST；

(2)如圖2,若MCB=60°,4DIICB,點E在線段8c上，連接月ED4E=2(3CBT,試判斷團(tuán)CAE與團(tuán)。IN

的數(shù)量關(guān)系，并說明理由;

（3）如圖3,若財C8=45。，點石在線段8c上，連接AE,若團(tuán)M4E=4團(tuán)C8。直接寫出團(tuán)C4E：團(tuán)CAN的值.

【考點10平行線的運用（多條輔助線）】

【例10]（2022?云南普洱?七年級期末）己知三角板ABC中，0BAC=6O°,國8=30。，0C=9O°,長方形DEFG

中，DE//GF.如圖（1）,若將三角板A8C的頂點A放在長方形的邊G尸上，BC與。E相交于點M,AB^DE

于點N.

（2）若將三角板ABC按圖（2）所示方式擺放（AB與。E不垂直），請你猜想G3EMC與（3C4/的數(shù)量關(guān)系？并

說明理由.

⑶請你總結(jié)（1）,（2）解決問題的思路，在圖（2）中探究勖4G與團(tuán)8M。的數(shù)量關(guān)系？并說明理由.

【變式10-1】（2022?湖北武漢?七年級期末）直線4BIICE,4￡-￡C是一條折線段，平分乙為BE.

圖1

⑴如圖1,若BPIICE,求證：Z.BEC4-Z-DCE=180°；

（2）CQ平分NDCE,直線BP,CQ交于點足

①如圖2,寫出乙BEC和/BFC的數(shù)量關(guān)系，并證明:

②當(dāng)點E在直線48,CD之間時，若4BEC=40。，直接寫出乙B/C的大小.

【變式10-2】（2022?廣東?新豐縣教育局教研室七年級期末）細(xì)觀察，找規(guī)律.

(1)下列各圖中的與N4n平行?

①圖①中的44+〃2=度.

②圖②中的乙4++4力3=度.

③圖③中的匕力1+匕42+^3+^4=度.

④圖④中的乙41+乙心+乙包+乙人4+4人5=度.

⑤第⑩個圖中的乙41+乙42+乙的+…+/A11=度.

⑥第九個圖中的+4力2+443+.??+乙An+1=度.

(2)下列各圖中4B〃CD.

①圖甲中乙8、乙C、4BEC的數(shù)量關(guān)系是.

②圖乙中乙8,乙E,乙G,乙尸，NC的數(shù)量關(guān)系是.

③圖丙中乙8,乙E,乙尸，乙G,Z/7,乙M,4c的數(shù)量關(guān)系是

【變式10-3】(2022?北京師范大學(xué)附屬實驗中學(xué)分校七年級期天)已知，如圖1,射線PE分別與直線A8,

CO相交于E、尸兩點，回PFD的平分線與直線48相交于點M,射線PM交C。于點N,設(shè)(3PFM=a。，0EMF

=C。，且，80-2?+|夕-40|=0

(l)a=—，B=—:直線A8與CD的位置關(guān)系是一；

(2)如圖2,若點G、”分別在射線AM和線段〃尸上，且?WGH=0PNF,試找出與0之間存在的

數(shù)最關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

⑶若將圖中的射線繞著端點P逆時針方向旋轉(zhuǎn)（如圖3），分別與44、CO相交于點和點N/時，作

團(tuán)PM18的角平分線M1Q與射線尸M相交于點Q,何在旋轉(zhuǎn)的過程中等的值是否改變？若不變，請求出其

值；若變化，請說明理由.

【考點H平行線在折疊問題的運用】

[例II]（2022?山東濰坊七年級期木）將一張邊沿互相平行的紙條如圖折疊后，巖由AD“BC,則翻折角乙1

與乙2一定滿足的關(guān)系是（）

A.41=2/2B.41+乙2=90°C.zl-Z2=30°D.2zl-3z2=30°

【變式11-1】（2022?山東?滕州市龍泉街道滕東中學(xué)七年級期末）如圖，四邊形ABC7）中，點M、N分別在

A&8c上，將I38A/N沿MN翻折，得回FMN,若加甩4。，F(xiàn)NWC,則團(tuán)8=（）

A.60°B.70°C.80°D.90°

【變式11-2】（2022?全國?七年級單元測試）如圖，在三角形ABC中，0ACB=9O°,將三角形ABC向下翻折,

使點A與點C重合，折痕為DE.試說明：DE13BC.

R

【變式11-3】（2022?江蘇?常州市第二十四中學(xué)七年級期末）在中，團(tuán)R4C=90。，點。是4c上一點,

將（L43。沿AD翻折后得到財￡。，邊AE交BC于點F.

⑴如圖①，當(dāng)A￡@8C時，寫出圖中所有與國3相等的角：:所有與回C相等的角：.

（2）若回C—團(tuán)8=50°,0B/\D=X°（O<A<45）.

①求國8的度數(shù)：

②是否存在這樣的x的值，使得回。后尸中有兩個角相等.若存在，并求x的值；若不存在，請說明理由.

【考點12平行線在三角尺中的運用】

【例12】（2022?浙江寧波?七年級期末）兩塊不同的三角板按如圖1所示擺放，力C邊重合，LBAC=45°,

乙DAC=30。.接著如圖2保持三角板力BC不動，將三角板4CD繞著點。按順時針以每秒15。的速度旋轉(zhuǎn)90。后

停止.在此旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)旋轉(zhuǎn)時間”秒時，三角板4（。有一條邊與三角板48。的一條邊

恰好平行.

【變式12-1］（2022?河北?青縣教育局教研室七年級期末）把一副直角三角尺按如圖方式擺放，點C與點E重

合，8c邊與EF邊都在直線2上，若直線且MN經(jīng)過點D,則4CON=

【變式12-2】（2022?四川達(dá)州?八年級期末）一副三角板和A8C按如圖1所示放置，點B在斜邊4。

上，其中田石=084。=90。，團(tuán)0=45。，0C=3O°.現(xiàn)將三角板/1?！旯潭ú粍?，三角板ABC繞點八順時針旋轉(zhuǎn)

a（0°<a<180°）,使兩塊三角板至少有一一組邊互相平行，如圖2,當(dāng)團(tuán)區(qū)4。=15。時，BC||DE,則叫4。其

他所有可能符合條件的度數(shù)為.

圖1圖2

【變式12-3】（2022?江蘇蘇州?七年級期末）在一次課外活動中，小明將一副直角三角板如圖放置，E在AC

上,LC=Z.DAE=90°,48=60。,匕。=45。.小明將"DE從圖中位置開始,繞點4按每秒6。的速度順

時針旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)過程中，第秒時，邊力B與邊。E平行.

【考點13平行線中的規(guī)律問題】

【例13】（2022?山東泰安?期末）如圖，4BIICD,點E為兩直線之間的一點

⑴如圖1,若乙BAE=35°,乙DCE=20°,則乙4EC=：

⑵如圖2,試說明，Z.BAE+/-AEC+ZECD=360°；

（3）①如圖3,若4R4E的平分線與乙DCE的平分線相交于點R判斷乙AEC與4力FC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由;

②如圖4,若設(shè)/E=7TI,乙BAF二）FAE,乙DCF=3乙FCE,請直接用含m、72的代數(shù)式表示”的度數(shù).

【變式13-1】（2022?山東煙臺?七年級期末）問題情境:

如圖1,A的CO,團(tuán)以4=130。，^PCD=12Q°.求國4PC的度數(shù).小明的思路是：過。作。皿3,通過平行

線性質(zhì)，可得lMPC=a4PE+團(tuán)CP￡=50°+60°=110°.

問題解決：

（1）如圖2,A施CO,直線/分別與AB、CO交于點M、N,點P在直線/上運動，當(dāng)點P在線段MN上運

動時（不與點M、N重合），^PAB=a,團(tuán)PCQ=B，判斷M尸C、a、。之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由；

（2）在（1）的條件下，如果點P在線段MN或NM的延長線上運動時.請直接寫出（MPC、a、8之間的數(shù)

量關(guān)系；

（3）如圖3,AB^CD,點P是48、CO之間的一點（點夕在點A、C右側(cè)），連接小、PC,（28AP和團(tuán)。CP

的平分線交于點Q.若0Ape=116。，請結(jié)合（2）中的規(guī)律，求助QC的度數(shù).

夕---BA\MB.4^________B

A。

CDc\y\D

CD

圖1圖2圖3

【變式13-2]（2022?四川?樹德中學(xué)七年級期末）（1）如圖①，已知ABIICD,圖中Nl,Z2,乙3之間有什

么美系？

AB

AB

-BL>^E?

二1_二JA尸

I

C0DCDcD

①②③

（2）如圖②，已知ABIIC。，圖中41,z2,z3,44之間有什么關(guān)系？

（3）如圖③，已知力8IICD,請直接寫出圖中21,,z2,Z3,乙4,45之間的關(guān)系

（4）通過以上3個問題，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

【變式13-3】（2022?北京市第一零一中學(xué)溫泉校區(qū)七年級期末）喜歡思考的小澤同學(xué)，設(shè)計了一種折疊紙

條的游戲.如圖1,紙條的一組對邊PNE1QM（紙條的長度視為可延伸），在PN,QM上分別找一點A,B,

使得0ABM=a.如圖2,將紙條作第一次折疊，使8"與BA在同一條直線上，折痕記為8R1.

解決下面的問題：

（1）聰明的小白想計算當(dāng)a=90,時，I3BR1N，的度數(shù)，于是他將圖2轉(zhuǎn)化為下面的幾何問題，請幫他補(bǔ)全

問題并求解：如圖3,PN13QM,A,B分別在上，且121ABM=90、由折疊：川?平分,

求肥&”的度數(shù).

（2）聰穎的小桐提出了一個問題：按圖2折疊后，不展開紙條，再沿ARi折疊紙條（如圖4）,是否有可

能使〃團(tuán)BRi?如果能，請直接寫出此時a的度數(shù)；如果不能，請說明理由.

（3）笑笑看完此題后提出了一個問題：當(dāng)0。040。時，將圖2汜為第一次折疊；將紙條展開，作第二次折

疊，使與BR】在同一條直線上，折痕記為BRz（如圖5）；將紙條展開，作第三次折疊，使與BR?

在同一條直線上,折痕記為BR3；...以此類推.

①第二次折疊時，回8/?2''=（用a的式子表示）；

②第n次折疊時，回8RnN'=（用a和n的式子表示）.

【考點14平行線中的轉(zhuǎn)角問題】

【例14】（2022?黑龍江?綏棱縣綏中鄉(xiāng)學(xué)校七年級期末）將兩個等邊三角形（每個內(nèi)角都等于60。）如圖1

疊放在一起，現(xiàn)將團(tuán)CDE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為a（旋轉(zhuǎn)用0。VaV360。，請?zhí)骄肯铝袉栴};

AAA

圖1

⑴如圖2,當(dāng)旋轉(zhuǎn)角滿足0。＜。＜60。時，請寫出0BC。與（MCE的關(guān)系，并說明理由;

⑵如圖3,當(dāng)旋轉(zhuǎn)角滿足60。＜aW120。時，請寫出（38CE與0AC。的關(guān)系，并說明理由;

⑶當(dāng)。自〃BC時請直接寫出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù).

【變式14-1】（2022?福建泉州?七年級期末）現(xiàn)有一塊含30。角的直角三角板4。8,其直角頂點0在直線，上,

將三角板A08繞著點0按逆時針方向旋轉(zhuǎn)乙2的度數(shù)（0。＜乙2〈360。）.

請你解決下列問題:

⑴當(dāng)42的度數(shù)為多少時，ABWI（不必說理）；

⑵如右圖，作于點C,BD工I于點、D,試探究：圖中提供的字母或數(shù)字能表示的所有角：不包含該圖

中的直角〉中，是否存在相等的角？若存在，試寫出所有相等的角，并說明理由；若不存在，請舉例說明.

【變式14-2】（2022?河南?溪河市哪城區(qū)邸城初級中學(xué)七年級期末）如圖1,已知PQIIMN,點A,8分別

在MN,PQ上，且NB4V=45。，射線4M繞點A順時針旋轉(zhuǎn)至AN便立即逆時針回轉(zhuǎn)（速度是a。/秒），射線

8P繞點8順時針旋轉(zhuǎn)至BQ便立跳逆時針回轉(zhuǎn)（速度是。。/秒）、且。、。滿足|。一3|+（/?-1）2=0,

(l)a=>b=

⑵如圖2,兩條射線同時旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為，秒（tv60）,兩條旋轉(zhuǎn)射線交于點C,過。作CD1AC交PQ

于點。，求乙8AC與N8CD的數(shù)量關(guān)系；

（3）若射線BP先旋轉(zhuǎn)20秒，射線4M才開始旋轉(zhuǎn)，設(shè)射線4M旋轉(zhuǎn)時間為f秒（tV160）,若旋轉(zhuǎn)中4M||BP,

求i的值.

【變式14-3]（2022?浙江湖州?七年級期末）如圖1,己知直線ABIICD,LCMN=60°,射線ME從3D出發(fā),

繞點M以每秒a度的速度按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，到達(dá)MC后立即以相同的速度返回，到達(dá)MD后繼續(xù)改變方向，

繼續(xù)按上述方式旋轉(zhuǎn)；射線N尸從從4出發(fā)，繞點N以每秒b度的速度按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，到達(dá)NB后停止運動,

此時ME也同時停止運動.其中a,b滿足方程組｛穿）會13.

⑴求Q,b的值:

⑵若N尸先運動30秒，然后ME一起運動，設(shè)ME運動的時間為3當(dāng)運動過程中ME||N/時，求t的值；

⑶如圖2,若ME與N尸同時開始轉(zhuǎn)動，在ME第一次到達(dá)MC之前，ME與N尸交于點P,過點P作PQ_LME于

點尸，交直線4B于點Q,則在運動過程中，若設(shè)NNME的度數(shù)為m,請求出NNPQ的度數(shù)（結(jié)果用含血的代

數(shù)式表示）.

【題型15生活中的平移現(xiàn)象】

【例15】（2022春?浙江湖州?七年級統(tǒng)考期末）下列現(xiàn)象中屬于平移的是（）

①方向盤的轉(zhuǎn)動；②打氣筒打氣時，活塞的運動；③鐘擺的擺動；④汽車雨刷的運動

A.①②B.②③C.①②④D.②

【變式15-1]（2022春?重慶璧山?七年級校聯(lián)考期中）今年4月,被稱為“豬兒蟲”的璧山云巴正式運行.云

巴在軌道上運行可以看作是（）

A.對稱B.旋轉(zhuǎn)C.平移D.跳躍

【變式15-2】（2022春?湖北宜昌七年級統(tǒng)考期末）如圖，兩只螞蟻以相同的速度沿兩條不同的路徑，同時

從點4出發(fā)爬到點8,只考慮路徑、時間、路程等因素，下列結(jié)論正確的為（）

A.乙比甲先到B.甲比乙先到

C.甲和乙同時到D.無法確定哪只螞蟻先到

【變式15-3】（2022春?廣東廣州?七年級統(tǒng)考期末）如圖，人民公園內(nèi)一塊長方形草地上原有一條1m寬的

筆直小路，現(xiàn)要將這條小路改造成彎曲小路，小路的上邊線向下平移1m就是它的下邊線，那么改造后小路

的面積（）

A.變大了B.變小了C.沒變D.無法確定

【題型16圖形的平移】

【例16】（2022春?內(nèi)蒙古興安盟?七年級統(tǒng)考期末）2022年，中國舉辦了第二十四屆冬季奧林匹克運動會,

如圖，通過平移吉祥物“冰墩墩〃可以得到的圖形是（）

【變式16-1】（2022春?全國?七年級期末）下列汽車標(biāo)志中可以看作是由某圖案平移得到的是（）

【變式16-2】（2022春?八年級單元測試）觀察下列五幅圖案，在②③④⑤中可以通過①平移得到的圖

案是（）

【題型17利用平移的性質(zhì)求解】

【例17】（2022春?廣東江門?七年級統(tǒng)考期末）如圖，長方形的長為8,寬AD為6,將這個長

方形向上平移3個單位，再向左平移2個單位，得到長方形EFG”，則陰影部分的面積為（）

C.36D.40

【變式17-1】（2022春?全國?七年級專題練習(xí)）如圖，直角三角形ABC的周長為2021,在其內(nèi)部有5個小直

角三角形，且這5個小直角三角形都有一條邊與3C平行，則這5個小直角三角形周長的和為.

AB

【變式17-2】（2022秋?山東臨沂?八年級?？计谥校┤鐖D，將ZMBC沿直?線AB向右平移到達(dá)4BDE的位置,

若/C4B=55。，乙4BC=100。，則/CBE的度數(shù)為

【變式17-3】（2022春?廣東韶關(guān)七年級統(tǒng)考期中）如圖，把邊長為2的正方形的局部進(jìn)行圖①~圖④的

變換，拼成圖⑤，則圖⑤的面積是（）

【題型18利用平移解決實際問題】

【例18】（2022春?北京西城?七年級北京市西城外國語學(xué)校?？计谥校┤鐖D，公園里長為20米寬為10米

的長方形草地內(nèi)修建了寬為1米的道路，則草地面積是平方米.

D

【變式18-1】（2022春?廣東東莞七年級東莞市光明中學(xué)?？计谥校┤鐖D，某酒店重新裝修后，準(zhǔn)備在大廳

主樓梯上鋪設(shè)紅色地毯，其側(cè)面如圖所示，則需地毯一米.

【變式18-2】（2022春?全國?七年級專題練習(xí)）如圖（單位，m）,一塊長方形草坪中間有兩條寬度相等的

石子路（每條石子路間距均勻），請你求出草坪（陰影部分）的面積.

【變式18-3】（2022春?全國?七年級專題練習(xí)）圖形操作：（本題圖1、圖2、圖3中的長方形的長均為10

個單位長度，寬均為5個單位長度）

在圖1中，將線段向上平移1個單位長度到得到封閉圖形（陰影部分）；

在圖2中，將折線（其中點B叫做折線ABC的一個"折點"）向上平移1個單位長度到折線〃夕L,得

到封閉圖形AA'B'C'CB（陰影部分）.

圖1圖2

問題解決:

⑴在圖3中，請你類似地畫一條有兩個“折點〃的折線，同樣向上平移1個單位長度，從而得到一個封閉圖

形，并用斜線畫出陰影部分：

（2）設(shè)圖1,圖2中除去陰影部分后乘IJ下部分的面積分別為工、S2,則S產(chǎn)平方單位；并比較大?。汗?/p>

52（填"或"V"）；

⑶聯(lián)想與探索：如圖4.在一塊長方形草地上，有一條彎曲的柏油小路（小路的寬度是1個單位長度），長

方形的長為小寬為兒請你直接寫出空白部分表示的草地的面積是平方單位.（用含小人的式

子表示）

專題11.1相交線與平行線十八大必考點

【人教版】

【考點1同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的判斷】....................................................28

【考點2三線八角中的截線問題】...............................................................30

【考點3根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)進(jìn)行證明】....................................................32

【考點4直線旋轉(zhuǎn)中的平行線的判定】..........................................................38

【考點5與垂線有關(guān)的角度計算或證明】........................................................41

【考點6利用平行線的判定與性質(zhì)計算角度】....................................................45

【考點7平行線的性質(zhì)在生活中的應(yīng)用】........................................................50

【考點8利用平行線的判定與性質(zhì)探究角度之間的關(guān)系】.........................................56

【考點9平行線的運用（單一輔助線）】........................................................62

【考點10平行線的運用（多條輔助線）】........................................................69

【考點11平行線在折疊問題的運用】............................................................78

【考點12平行線在三角尺中的運用】............................................................81

【考點13平行線中的規(guī)律問題】.................................................................86

【考點14平行線中的轉(zhuǎn)角問題】.............................................................