平面向量坐標(biāo)運算深度解析與實戰(zhàn)技巧詳解_高考數(shù)學(xué)第35講全攻略一、引言在高考數(shù)學(xué)的知識體系中，平面向量是一個重要的分支，它兼具代數(shù)與幾何的雙重特性，是溝通代數(shù)、幾何的橋梁。而平面向量的坐標(biāo)運算更是向量知識的核心內(nèi)容之一，在高考中占據(jù)著相當(dāng)重要的地位。通過本講的深度解析與實戰(zhàn)技巧詳解，我們將全面梳理平面向量坐標(biāo)運算的相關(guān)知識，幫助同學(xué)們在高考中應(yīng)對自如。二、平面向量坐標(biāo)運算的基礎(chǔ)理論（一）平面向量坐標(biāo)的定義在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與\(x\)軸、\(y\)軸方向相同的兩個單位向量\(\vec{i}\)，\(\vec{j}\)作為基底。對于平面內(nèi)的任一向量\(\vec{a}\)，由平面向量基本定理可知，有且只有一對實數(shù)\(x\)，\(y\)，使得\(\vec{a}=x\vec{i}+y\vec{j}\)，我們把有序數(shù)對\((x,y)\)叫做向量\(\vec{a}\)的坐標(biāo)，記作\(\vec{a}=(x,y)\)。其中\(zhòng)(x\)叫做\(\vec{a}\)在\(x\)軸上的坐標(biāo)，\(y\)叫做\(\vec{a}\)在\(y\)軸上的坐標(biāo)。例如，若\(\vec{i}\)，\(\vec{j}\)是單位向量，向量\(\vec{AB}=3\vec{i}-2\vec{j}\)，則向量\(\vec{AB}\)的坐標(biāo)為\((3,-2)\)。（二）向量坐標(biāo)運算的基本法則1.加法運算若\(\vec{a}=(x_1,y_1)\)，\(\vec=(x_2,y_2)\)，則\(\vec{a}+\vec=(x_1+x_2,y_1+y_2)\)。其幾何意義是：以表示\(\vec{a}\)，\(\vec\)的有向線段為鄰邊作平行四邊形，則以共同起點為起點的對角線所表示的向量就是\(\vec{a}+\vec\)。從坐標(biāo)角度看，就是對應(yīng)坐標(biāo)相加。例如，已知\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec=(3,4)\)，則\(\vec{a}+\vec=(1+3,2+4)=(4,6)\)。2.減法運算若\(\vec{a}=(x_1,y_1)\)，\(\vec=(x_2,y_2)\)，則\(\vec{a}-\vec=(x_1-x_2,y_1-y_2)\)。幾何意義為：若\(\vec{a}\)，\(\vec\)有共同的起點，則\(\vec{a}-\vec\)表示從\(\vec\)的終點指向\(\vec{a}\)的終點的向量。同樣，坐標(biāo)運算就是對應(yīng)坐標(biāo)相減。比如，若\(\vec{a}=(5,6)\)，\(\vec=(2,3)\)，那么\(\vec{a}-\vec=(5-2,6-3)=(3,3)\)。3.數(shù)乘運算若\(\vec{a}=(x,y)\)，\(\lambda\)是實數(shù)，則\(\lambda\vec{a}=(\lambdax,\lambday)\)。當(dāng)\(\lambda>0\)時，\(\lambda\vec{a}\)與\(\vec{a}\)方向相同；當(dāng)\(\lambda<0\)時，\(\lambda\vec{a}\)與\(\vec{a}\)方向相反；當(dāng)\(\lambda=0\)時，\(\lambda\vec{a}=\vec{0}\)。例如，若\(\vec{a}=(2,-1)\)，\(\lambda=3\)，則\(3\vec{a}=(3\times2,3\times(-1))=(6,-3)\)。（三）向量坐標(biāo)運算與向量模長、夾角的關(guān)系1.向量的模長若\(\vec{a}=(x,y)\)，則\(\vert\vec{a}\vert=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\)。這是根據(jù)勾股定理推導(dǎo)出來的，因為向量\(\vec{a}\)在平面直角坐標(biāo)系中可以看作是以原點為起點，\((x,y)\)為終點的有向線段，其長度就是直角三角形的斜邊長度。例如，向量\(\vec{a}=(3,4)\)，則\(\vert\vec{a}\vert=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{9+16}=5\)。2.向量的夾角設(shè)\(\vec{a}=(x_1,y_1)\)，\(\vec=(x_2,y_2)\)，\(\vec{a}\)與\(\vec\)的夾角為\(\theta\)，\(0\leqslant\theta\leqslant\pi\)，則\(\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec}{\vert\vec{a}\vert\vert\vec\vert}=\frac{x_1x_2+y_1y_2}{\sqrt{x_1^{2}+y_1^{2}}\cdot\sqrt{x_2^{2}+y_2^{2}}}\)。例如，已知\(\vec{a}=(1,0)\)，\(\vec=(0,1)\)，則\(\vec{a}\cdot\vec=1\times0+0\times1=0\)，\(\vert\vec{a}\vert=\sqrt{1^{2}+0^{2}}=1\)，\(\vert\vec\vert=\sqrt{0^{2}+1^{2}}=1\)，所以\(\cos\theta=\frac{0}{1\times1}=0\)，又因為\(0\leqslant\theta\leqslant\pi\)，所以\(\theta=\frac{\pi}{2}\)，即\(\vec{a}\)與\(\vec\)垂直。三、平面向量坐標(biāo)運算的深度解析（一）向量坐標(biāo)運算與幾何圖形的聯(lián)系1.平行四邊形中的向量坐標(biāo)運算在平行四邊形\(ABCD\)中，設(shè)\(A(x_1,y_1)\)，\(B(x_2,y_2)\)，\(C(x_3,y_3)\)，\(D(x_4,y_4)\)。因為\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\)，根據(jù)向量坐標(biāo)運算，\(\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1)\)，\(\overrightarrow{DC}=(x_3-x_4,y_3-y_4)\)，所以\(\begin{cases}x_2-x_1=x_3-x_4\\y_2-y_1=y_3-y_4\end{cases}\)。例如，已知平行四邊形\(ABCD\)中，\(A(1,2)\)，\(B(3,4)\)，\(C(5,6)\)，求\(D\)點坐標(biāo)。由\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\)，\(\overrightarrow{AB}=(3-1,4-2)=(2,2)\)，設(shè)\(D(x,y)\)，則\(\overrightarrow{DC}=(5-x,6-y)\)，所以\(\begin{cases}5-x=2\\6-y=2\end{cases}\)，解得\(\begin{cases}x=3\\y=4\end{cases}\)，即\(D(3,4)\)。2.三角形中的向量坐標(biāo)運算在\(\triangleABC\)中，若\(A(x_1,y_1)\)，\(B(x_2,y_2)\)，\(C(x_3,y_3)\)，則重心\(G\)的坐標(biāo)為\((\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\frac{y_1+y_2+y_3}{3})\)。這是因為重心是三角形三條中線的交點，根據(jù)向量的性質(zhì)和坐標(biāo)運算可以推導(dǎo)得出。例如，已知\(A(0,0)\)，\(B(3,0)\)，\(C(0,4)\)，則重心\(G\)的坐標(biāo)為\((\frac{0+3+0}{3},\frac{0+0+4}{3})=(1,\frac{4}{3})\)。（二）向量共線與垂直的坐標(biāo)表示及應(yīng)用1.向量共線的坐標(biāo)表示若\(\vec{a}=(x_1,y_1)\)，\(\vec=(x_2,y_2)\)，且\(\vec{a}\neq\vec{0}\)，則\(\vec{a}\)與\(\vec\)共線的充要條件是\(x_1y_2-x_2y_1=0\)。證明如下：因為\(\vec{a}\)與\(\vec\)共線，則存在實數(shù)\(\lambda\)，使得\(\vec=\lambda\vec{a}\)，即\((x_2,y_2)=\lambda(x_1,y_1)=(\lambdax_1,\lambday_1)\)，所以\(\begin{cases}x_2=\lambdax_1\\y_2=\lambday_1\end{cases}\)，消去\(\lambda\)可得\(x_1y_2-x_2y_1=0\)。例如，已知\(\vec{a}=(2,3)\)，\(\vec=(4,m)\)，且\(\vec{a}\)與\(\vec\)共線，則\(2m-4\times3=0\)，解得\(m=6\)。2.向量垂直的坐標(biāo)表示若\(\vec{a}=(x_1,y_1)\)，\(\vec=(x_2,y_2)\)，則\(\vec{a}\perp\vec\)的充要條件是\(\vec{a}\cdot\vec=0\)，即\(x_1x_2+y_1y_2=0\)。例如，已知\(\vec{a}=(1,-2)\)，\(\vec=(m,3)\)，且\(\vec{a}\perp\vec\)，則\(1\timesm+(-2)\times3=0\)，解得\(m=6\)。四、平面向量坐標(biāo)運算的實戰(zhàn)技巧（一）巧妙設(shè)坐標(biāo)簡化運算在解決一些向量問題時，合理設(shè)出向量的坐標(biāo)可以大大簡化計算過程。例如，已知\(\triangleABC\)是等腰直角三角形，\(\angleC=90^{\circ}\)，\(CA=CB\)，\(A(-1,2)\)，\(C(1,1)\)，求\(B\)點坐標(biāo)。設(shè)\(B(x,y)\)，則\(\overrightarrow{CA}=(-1-1,2-1)=(-2,1)\)，\(\overrightarrow{CB}=(x-1,y-1)\)。因為\(\triangleABC\)是等腰直角三角形，\(\angleC=90^{\circ}\)，所以\(\overrightarrow{CA}\perp\overrightarrow{CB}\)且\(\vert\overrightarrow{CA}\vert=\vert\overrightarrow{CB}\vert\)。由\(\overrightarrow{CA}\perp\overrightarrow{CB}\)可得\(\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}=0\)，即\(-2(x-1)+(y-1)=0\)，化簡得\(-2x+2+y-1=0\)，即\(y=2x-1\)。又因為\(\vert\overrightarrow{CA}\vert=\sqrt{(-2)^{2}+1^{2}}=\sqrt{5}\)，\(\vert\overrightarrow{CB}\vert=\sqrt{(x-1)^{2}+(y-1)^{2}}=\sqrt{5}\)，將\(y=2x-1\)代入\(\sqrt{(x-1)^{2}+(y-1)^{2}}=\sqrt{5}\)中，\((x-1)^{2}+(2x-2)^{2}=5\)，\((x-1)^{2}+4(x-1)^{2}=5\)，\(5(x-1)^{2}=5\)，\((x-1)^{2}=1\)，解得\(x=2\)或\(x=0\)。當(dāng)\(x=2\)時，\(y=2\times2-1=3\)；當(dāng)\(x=0\)時，\(y=2\times0-1=-1\)。所以\(B(2,3)\)或\(B(0,-1)\)。（二）利用向量坐標(biāo)運算解決最值問題在一些實際問題中，我們可以通過建立向量坐標(biāo)，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題。例如，已知向量\(\vec{a}=(x,y)\)滿足\(\vert\vec{a}\vert=1\)，設(shè)\(\vec=(2,1)\)，求\(\vec{a}\cdot\vec\)的最大值。因為\(\vert\vec{a}\vert=1\)，所以\(x^{2}+y^{2}=1\)，設(shè)\(x=\cos\theta\)，\(y=\sin\theta\)，則\(\vec{a}=(\cos\theta,\sin\theta)\)。\(\vec{a}\cdot\vec=2\cos\theta+\sin\theta=\sqrt{5}(\frac{2}{\sqrt{5}}\cos\theta+\frac{1}{\sqrt{5}}\sin\theta)\)，令\(\cos\varphi=\frac{2}{\sqrt{5}}\)，\(\sin\varphi=\frac{1}{\sqrt{5}}\)，則\(\vec{a}\cdot\vec=\sqrt{5}\sin(\theta+\varphi)\)。因為正弦函數(shù)的值域是\([-1,1]\)，所以\(\vec{a}\cdot\vec\)的最大值為\(\sqrt{5}\)。（三）結(jié)合其他知識綜合運用平面向量坐標(biāo)運算常常與三角函數(shù)、解析幾何等知識結(jié)合考查。1.與三角函數(shù)結(jié)合例如，已知向量\(\vec{m}=(\sin\alpha,\cos\alpha)\)，\(\vec{n}=(\cos\beta,\sin\beta)\)，\(\vec{m}\)與\(\vec{n}\)的夾角為\(\theta\)，且\(\theta\in[0,\frac{\pi}{2}]\)，\(\alpha+\beta=\frac{\pi}{3}\)，求\(\cos\theta\)的值。根據(jù)向量夾角公式\(\cos\theta=\frac{\vec{m}\cdot\vec{n}}{\vert\vec{m}\vert\vert\vec{n}\vert}\)，\(\vert\vec{m}\vert=\sqrt{\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha}=1\)，\(\vert\vec{n}\vert=\sqrt{\cos^{2}\beta+\sin^{2}\beta}=1\)，\(\vec{m}\cdot\vec{n}=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta=\sin(\alpha+\beta)\)。因為\(\alpha+\beta=\frac{\pi}{3}\)，所以\(\vec{m}\cdot\vec{n}=\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，則\(\cos\t