高考數(shù)學攻略_平面向量核心概念與坐標運算全解析一、引言在高考數(shù)學的龐大知識體系中，平面向量是一個極具特色且重要的板塊。它既有著獨特的幾何意義，又能與代數(shù)運算緊密結(jié)合，宛如一座溝通幾何與代數(shù)的橋梁。平面向量的相關(guān)知識在高考中占據(jù)著一定的比重，題型多樣，從選擇題、填空題到解答題都可能涉及。掌握好平面向量的核心概念與坐標運算，不僅能夠幫助考生在這部分題目中拿到分數(shù)，還能為解決其他綜合問題提供有力的工具。本文將深入剖析平面向量的核心概念和坐標運算，為考生提供一份全面的高考數(shù)學攻略。二、平面向量的核心概念（一）向量的定義向量是既有大小又有方向的量。這與我們之前學過的數(shù)量（只有大小）有著本質(zhì)的區(qū)別。在生活中，像位移、速度、力等都是向量的實際例子。例如，一個人從A點走到B點，他的位移就是一個向量，不僅有從A到B的方向，還有A、B兩點之間的距離大小。我們通常用有向線段來表示向量。有向線段的長度表示向量的大小，有向線段的方向表示向量的方向。以有向線段$\overrightarrow{AB}$為例，A為起點，B為終點，它就代表了一個從A指向B的向量。（二）向量的模向量的模是指向量的大小。對于向量$\overrightarrow{a}$，它的模記作$|\overrightarrow{a}|$。如果向量用有向線段$\overrightarrow{AB}$表示，那么$|\overrightarrow{AB}|$就是線段AB的長度。向量的模是一個非負實數(shù)。例如，在平面直角坐標系中，若向量$\overrightarrow{a}=(x,y)$，根據(jù)勾股定理，其模$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$。這是一個非常重要的公式，在很多關(guān)于向量長度的計算中都會用到。（三）零向量與單位向量1.零向量長度為0的向量叫做零向量，記作$\overrightarrow{0}$。零向量的方向是任意的。這一特性在很多向量運算和證明中需要特別注意。例如，在向量平行的判定中，規(guī)定零向量與任意向量平行。2.單位向量模等于1的向量叫做單位向量。對于任意非零向量$\overrightarrow{a}$，與它同方向的單位向量可以表示為$\frac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}$。這是因為$\frac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}$的模為$\left|\frac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}\right|=\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{a}|}=1$，且方向與$\overrightarrow{a}$相同。（四）平行向量（共線向量）方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共線向量。規(guī)定零向量與任意向量平行。向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$平行，記作$\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow$。平行向量的概念是向量共線定理的基礎(chǔ)。如果存在實數(shù)$\lambda$，使得$\overrightarrow{a}=\lambda\overrightarrow$（$\overrightarrow\neq\overrightarrow{0}$），那么$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$共線；反之，如果$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$共線（$\overrightarrow\neq\overrightarrow{0}$），那么存在唯一的實數(shù)$\lambda$，使得$\overrightarrow{a}=\lambda\overrightarrow$。（五）相等向量與相反向量1.相等向量長度相等且方向相同的向量叫做相等向量。若$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$相等，記作$\overrightarrow{a}=\overrightarrow$。相等向量經(jīng)過平移后可以完全重合。例如，在平行四邊形ABCD中，$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$，因為它們的長度相等且方向相同。2.相反向量長度相等且方向相反的向量叫做相反向量。向量$\overrightarrow{a}$的相反向量記作$-\overrightarrow{a}$。顯然，$\overrightarrow{a}+(-\overrightarrow{a})=\overrightarrow{0}$。三、平面向量的線性運算（一）向量的加法1.三角形法則已知非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，在平面內(nèi)任取一點A，作$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow$，則向量$\overrightarrow{AC}$叫做$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的和，記作$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$，即$\overrightarrow{a}+\overrightarrow=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$。這種求向量和的方法叫做向量加法的三角形法則。三角形法則的關(guān)鍵在于“首尾相連，首指向尾”。它適用于求任意兩個向量的和。2.平行四邊形法則以同一點O為起點的兩個已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$為鄰邊作平行四邊形OACB，則以O(shè)為起點的對角線$\overrightarrow{OC}$就是$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的和。這種求向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則。平行四邊形法則適用于求兩個不共線向量的和。3.加法運算律-交換律：$\overrightarrow{a}+\overrightarrow=\overrightarrow+\overrightarrow{a}$。這可以通過平行四邊形法則直觀地理解，在平行四邊形OACB中，$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OC}$。-結(jié)合律：$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow)+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+(\overrightarrow+\overrightarrow{c})$。結(jié)合律保證了多個向量相加時可以任意結(jié)合進行計算。（二）向量的減法向量$\overrightarrow{a}$減去向量$\overrightarrow$等于向量$\overrightarrow{a}$加上向量$\overrightarrow$的相反向量，即$\overrightarrow{a}-\overrightarrow=\overrightarrow{a}+(-\overrightarrow)$。在幾何上，已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，在平面內(nèi)任取一點O，作$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow$，則$\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow$。這就是向量減法的幾何意義，即“共起點，指向被減向量”。（三）向量的數(shù)乘1.定義實數(shù)$\lambda$與向量$\overrightarrow{a}$的積是一個向量，記作$\lambda\overrightarrow{a}$，它的長度與方向規(guī)定如下：-$|\lambda\overrightarrow{a}|=|\lambda|\cdot|\overrightarrow{a}|$；-當$\lambda>0$時，$\lambda\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{a}$的方向相同；當$\lambda<0$時，$\lambda\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{a}$的方向相反；當$\lambda=0$時，$\lambda\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}$。2.數(shù)乘運算律-結(jié)合律：$\lambda(\mu\overrightarrow{a})=(\lambda\mu)\overrightarrow{a}$。-第一分配律：$(\lambda+\mu)\overrightarrow{a}=\lambda\overrightarrow{a}+\mu\overrightarrow{a}$。-第二分配律：$\lambda(\overrightarrow{a}+\overrightarrow)=\lambda\overrightarrow{a}+\lambda\overrightarrow$。四、平面向量的坐標運算（一）平面向量的坐標表示在平面直角坐標系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量$\overrightarrow{i}$，$\overrightarrow{j}$作為基底。對于平面內(nèi)的一個向量$\overrightarrow{a}$，由平面向量基本定理可知，有且只有一對實數(shù)x，y，使得$\overrightarrow{a}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}$。我們把有序?qū)崝?shù)對(x,y)叫做向量$\overrightarrow{a}$的坐標，記作$\overrightarrow{a}=(x,y)$。這樣，平面內(nèi)的向量就與有序?qū)崝?shù)對建立了一一對應的關(guān)系。例如，向量$\overrightarrow{OA}=(3,4)$表示在平面直角坐標系中，從原點O到點A(3,4)的向量。（二）坐標運算1.向量加法與減法的坐標運算若$\overrightarrow{a}=(x_1,y_1)$，$\overrightarrow=(x_2,y_2)$，則$\overrightarrow{a}+\overrightarrow=(x_1+x_2,y_1+y_2)$，$\overrightarrow{a}-\overrightarrow=(x_1-x_2,y_1-y_2)$。這是因為$\overrightarrow{a}=x_1\overrightarrow{i}+y_1\overrightarrow{j}$，$\overrightarrow=x_2\overrightarrow{i}+y_2\overrightarrow{j}$，所以$\overrightarrow{a}+\overrightarrow=(x_1\overrightarrow{i}+y_1\overrightarrow{j})+(x_2\overrightarrow{i}+y_2\overrightarrow{j})=(x_1+x_2)\overrightarrow{i}+(y_1+y_2)\overrightarrow{j}$，其坐標就是$(x_1+x_2,y_1+y_2)$；同理可得向量減法的坐標運算。2.向量數(shù)乘的坐標運算若$\overrightarrow{a}=(x,y)$，則$\lambda\overrightarrow{a}=\lambda(x,y)=(\lambdax,\lambday)$。這是根據(jù)向量數(shù)乘的定義和向量的坐標表示推導出來的。3.向量的坐標與點的坐標的關(guān)系設(shè)點A的坐標為$(x_1,y_1)$，點B的坐標為$(x_2,y_2)$，則$\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1)$。這是因為$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$，其中$\overrightarrow{OA}=(x_1,y_1)$，$\overrightarrow{OB}=(x_2,y_2)$，所以$\overrightarrow{AB}=(x_2,y_2)-(x_1,y_1)=(x_2-x_1,y_2-y_1)$。（三）向量平行的坐標表示設(shè)$\overrightarrow{a}=(x_1,y_1)$，$\overrightarrow=(x_2,y_2)$，且$\overrightarrow\neq\overrightarrow{0}$，則$\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow$的充要條件是$x_1y_2-x_2y_1=0$。證明如下：因為$\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow$，且$\overrightarrow\neq\overrightarrow{0}$，所以存在實數(shù)$\lambda$，使得$\overrightarrow{a}=\lambda\overrightarrow$，即$(x_1,y_1)=\lambda(x_2,y_2)=(\lambdax_2,\lambday_2)$，則$\begin{cases}x_1=\lambdax_2\\y_1=\lambday_2\end{cases}$，消去$\lambda$可得$x_1y_2-x_2y_1=0$；反之，若$x_1y_2-x_2y_1=0$，當$x_2\neq0$時，$\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}=\lambda$，則$\overrightarrow{a}=\lambda\overrightarrow$，所以$\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow$。五、平面向量核心概念與坐標運算在高考中的應用（一）選擇題與填空題在高考的選擇題和填空題中，經(jīng)常會直接考查平面向量的核心概念和坐標運算。例如，已知向量的坐標，求向量的模、向量的和或差、判斷向量是否平行等。例1：已知向量$\overrightarrow{a}=(1,2)$，$\overrightarrow=(3,-1)$，則$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|$的值為（）A.$\sqrt{26}$B.5C.$\sqrt{10}$D.2首先，根據(jù)向量加法的坐標運算，$\overrightarrow{a}+\overrightarrow=(1+3,2+(-1))=(4,1)$。然后，根據(jù)向量模的計算公式，$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|=\sqrt{4^{2}+1^{2}}=\sqrt{17}$，本題無正確選項。（二）解答題在解答題中，平面向量通常會與三角函數(shù)、解析幾何等知識結(jié)合考查。例2：已知向量$\overrightarrow{m}=(\sinx,1)$，$\overrightarrow{n}=(\sqrt{3}\cosx,\frac{1}{2})$，函數(shù)$f(x)=(\overrightarrow{m}+\overrightarrow{n})\cdot\overrightarrow{m}$。（1）求函數(shù)$f(x)$的最小正周期；（2）求函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$上的最大值和最小值。解：（1）首先，計算$\overrightarrow{m}+\overrightarrow{n}=(\sinx+\sqrt{3}\cosx,1+\frac{1}{2})=(\sinx+\sqrt{3}\cosx,\frac{3}{2})$。然后，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標運算，$f(x)=(\overrightarrow{m}+\overrightarrow{n})\cdot\overrightarrow{m}=(\sinx+\sqrt{3}\cosx)\sinx+\frac{3}{2}$$=\sin^{2}x+\sqrt{3}\sinx\cosx+\frac{3}{2}$根據(jù)二倍角公式$\sin^{2}x=\frac{1-\cos2x}{2}$，$\sin2x=2\sinx\cosx$，可得：$f(x)=\frac{1-\cos2x}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin2x+\frac{3}{2}$$=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin2x-\frac{1}{2}\cos2x+2$$=\sin(2x-\frac{\pi}{6})+2$根據(jù)正弦函數(shù)的周期公式$T=\frac{2\pi}{\omega}$（其中$\omega$是$x$前面的系數(shù)），可得$T=\frac{2\pi}{2}=\pi$。（2）因為$x\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$，所以