銳角三角函數(shù)

?考點聚焦

1．了解銳角三角函數(shù)的定義，并能通過畫圖找出直角三角形中邊、角關系，?這也是本節(jié)的重點和難點．

2．準確記憶30°、45°、60°的三角函數(shù)值．

3．會用計算器求出已知銳角的三角函數(shù)值．

4．已知三角函數(shù)值會求出相應銳角．

5．掌握三角函數(shù)與直角三角形的相關應用，這是本節(jié)的熱點．

?備考兵法

充分利用數(shù)形結合的思想，對本節(jié)知識加以理解記憶．

?識記鞏固

1．銳角三角函數(shù)的定義：

如圖，在Rt△ABC中，∠=90°，斜邊為c，a，b分別是∠A的對邊和鄰邊，則

sinA=______=_______；

cosA=______=_______；

tanA=______=_______．

2．填表：

30°45°

60°sincostan

注意：30°，45°，60°的三角函數(shù)值是中考的必考考點，其他數(shù)值是利用數(shù)形結合的方法推導的，要求在理解的基礎上進行識記．

3．銳角三角函數(shù)間的關系：

（1）互為余角的三角函數(shù)間的關系：

sin（90°-）=____，cos（90°-）=_____．

（2）同角三角函數(shù)的關系：

①平方關系：sin2+cos2=_______；

用心愛心專心1

②商數(shù)關系：sin=_______．cos

注意：對于互為余角的銳角三角函數(shù)關系，要求學生能利用定義，?結合圖形進行理解，并能靈活運用公式；對于同一銳角三角函數(shù)的關系，僅讓學生了解，不作中考要求．

4．銳角三角函數(shù)值的變化：

（1）當為銳角時，各三角函數(shù)值均為正數(shù)，且0<sin<1，0<cos<1，當0°≤≤45°時，sin，tan隨角度的增大而_______，cos隨角度的增大而_______．

（2）當0°<<45°時，sin_____cos；

當45°<<90°時，sin______cos．

識記鞏固參考答案

1．A的斜邊aA的鄰邊bA的對邊accA的鄰邊b斜邊鄰邊112

2

2．

3．（1）cossin（2）①1②tan4．（1）增大減小（2）<>

?典例解析

例1（2011廣東東莞，19，7分）如圖，直角梯形紙片ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，∠C=30°．折疊紙片使BC經(jīng)過點D．點C落在點E處，BF是折痕，且BF=CF=8．（l）求∠BDF的度數(shù)；

（2）求AB的長．

【解】（1）∵BF=CF，∠C=30，

∴∠FBC=30，∠BFC=120000

用心愛心專心2

又由折疊可知∠DBF=30

∴∠BDF=90

（2）在Rt△BDF中，

∵∠DBF=30，BF=8

∴

BD=∵AD∥BC，∠A=90

∴∠ABC=90

又∵∠FBC=∠DBF=30

∴∠ABD=30

在Rt△BDA中，

∵∠AVD=30，

BD=∴AB=6．

6.（2011湖北襄陽，19，6分）1x22x1先化簡再求值：(，其中xtan601.1)x2x2400000000

【答案】原式x1(x2)(x2)x2·················2分x2(x1)2x1

當xtan6011時，···················3分12

11333原式1.6分

例2已知為銳角，且tan

．

，令

b=2，則此時

2解析方法一：在Rt△ABC中，∠C=90°，tan

=

∴sin=acos

c

用心愛心專心3

∴原式

=sin=．cos

2方法二：∵tan=

∴2sin

又∵sin2．+cos2=1．

12．)22

方法三：∵tan=sin22=，sin+cos=1．cos

2

sincos∴原式

=||coscos

=|tan

答案

3，點D在BC邊上，且∠ADC=45°，DC=6，5例3如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB=

求∠BAD的正切值．

解析過點B作BE⊥AD，交AD延長線于E．

∵∠C=90°，

∴sinB=AC3=．BA5

∵∠ADC=45°，∴AC=DC=6，

∴AB=10，BC=8，

用心愛心專心4

∴BD=2．

∵∠ADC=45°，

∴∠BDE=45°，

∴

DE=BE=BD=2

又∵在Rt△ACD中，

∴

∴tan∠

BAD=BE1．點評要求∠BAD的正切值，首先得將∠BAD轉化到AE7

某一直角三角形中去，因此通過作垂線，構造直角三角形是解決這個問題的關鍵．

2011年真題

1.（2011甘肅蘭州，4，4分）如圖，A、B、C三點在正方形網(wǎng)格線的交點處，若將△ACB繞著點A逆時針旋轉得到△AC’B’，則tanB’的值為A．12B．13C．14D

【答案】B

2.（2011江蘇蘇州，9,3分）如圖，在四邊形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中點，若EF=2，BC=5，CD=3，則tanC等于A.3434

B.C.D.4355

【答案】B

用心愛心專心5

3.（2011四川4，則△ABC的面積為3C

．D

．B．15

E

BDC

【答案】C

4.（2011山東臨沂，13，3分）如圖，△ABC中，cosB＝

是（）

32，sinC＝，則△ABC的面積52

A．21B．12C．14D．212

【答案】A

5.（2011安徽蕪湖，8，4分）如圖，直徑為10的⊙A經(jīng)過點C(0,5)和點O(0,0)，B是y軸右側⊙A優(yōu)弧上一點,則∠OBC的余弦值為().

A．134B．C．

D．245

【答案】C

6.（2011山東日照，10，4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，把∠A的鄰邊與對邊的比叫做∠A的余切，記作cotA=b．則下列關系式中不成立的是（）．．．a(chǎn)

用心愛心專心6

（A）tanA·cotA=1（B）sinA=tanA·cosA

22（C）cosA=cotA·sinA（D）tanA+cotA=1

【答案】D

7.（2011山東煙臺，9,4分）如果△ABC中，sinA=cosB

，則下列最確切的結論是（）A.△ABC是直角三角形B.△ABC是等腰三角形

C.△ABC是等腰直角三角形D.△ABC是銳角三角形

【答案】C

8.(2011浙江湖州，4，3)如圖，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC=2，則tanA

的值為

A．2B．12C

D

【答案】B

9.（2011浙江溫州，5，4分）如圖，在△ABC中，∠C=90°，AB＝13，BC＝5，則sinA的值

是()

A．513B．1213C．512D．135

【答案】A

10．（2011四川樂山2，3分）如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中，tanα=

A．1B．2C．1D

．2

2

【答案】B

用心愛心專心

7

11.（2011安徽蕪湖，8,4分）如圖，直徑為10的⊙A經(jīng)過點C(0,5)和點O(0,0)，B是y軸右側⊙A優(yōu)弧上一點,則∠OBC的余弦值為().

A．134B．C．

D．245

【答案】B

12.（2011湖北黃岡，9，3分）cos30°=（）

A．12B

C

D

【答案】C

13.（2011廣東茂名，8，3分）如圖，已知：45A90，則下列各式成立的是

A．sinA＝cosAB．sinA>cosAC．sinA>tanAD．sinA<cosA

【答案】B

14.(20011江蘇鎮(zhèn)江,6,2分)如圖,在Rt△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足為D.若

則sin∠ACD的值為

()

23

用心愛心專心8

答案【A】

15.（2011湖北鄂州，9，3分）cos30°=（）

A．12B

C

D

【答案】C

16.（2011湖北荊州，8，3分）在△ABC中，∠A＝120°，AB＝4，AC＝2，則sinB的值是

A．572121B．C．D．145714

【答案】D

17.（2011湖北宜昌，11，3分）如圖是教學用直角三角板，邊AC=30cm，∠C=90°，tan∠BAC=則邊BC的長為().A.30cmB.203cmC.10cmD.5

cm,3

（第11題圖）【答案】C

18.

二、填空題

1.（2011江蘇揚州，13,3分）如圖，C島在A島的北偏東60°方向，在B島的北偏西45°方向，則從C島看A、B兩島的視角∠

ACB=

【答案】105°

2.（2011山東濱州，16，4分）在等腰△ABC中，∠C=90°則tanA=________.

【答案】1

3.（2011江蘇連云港，14，3分）如圖，△ABC的頂點都在方格紙的格點上，則sinA=_______.

用心愛心專心9

【答案】12

5·124.（2011重慶江津，15，4分）在Rt△ABC中,∠C=90o,BC=5,AB=12,sinA=_________.【答案】

5.（2011江蘇淮安，18，3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉15°后得到△AB1C1，B1C1交AC于點D，如果

AD=ABC的周長等于.

C1

【答案】6

6.(2011江蘇南京，11，2分)如圖，以O為圓心，任意長為半徑畫弧，與射線OM交于點A，

再以A為圓心，AO長為半徑畫弧，兩弧交于點B，畫射線OB，則cos∠AOB的值等于_________．

O(第11題)AM

【答案】12

7.（2011江蘇南通，17，3分）如圖，測量河寬AB（假設河的兩岸平行），在C點測得∠ACB＝30°，D點測得∠ADB＝60°，又CD＝60m，則河寬AB為▲m（結果保留根號）.

用心愛心專心

10

【答案】

8.（2011湖北武漢市，13，3分）sin30°的值為_____．12

9.(20011江蘇鎮(zhèn)江,11,2分)∠α的補角是120°,則∠α=______,sinα=______.【答案】答案:60

°，2

10．（2011貴州安順，14，4分）如圖，點E(0，4)，O(0，0)，C(5，0)在⊙A上，BE是⊙A上的一條弦，則tan∠OBE=．

第14題圖45

11.12.

三、解答題

(1)1.（2011【答案】安徽蕪湖，17（1），6分）計算

：

15(1)2011()3(cos68)08sin60.2

【答案】

解：解:

原式1818??????“??????????4分

8?????????????6分

2.（2011四川南充市，19，8分）如圖，點E是矩形ABCD中CD邊上一點，⊿BCE沿BE折疊為⊿BFE,點F落在AD上.

(1)求證：⊿ABE∽⊿DFE;(2)若sin∠DFE=1,求tan∠EBC的值

.3

用心愛心專心

11

D

【答案】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形

∴∠A=∠D=∠C=90°

∵⊿BCE沿BE折疊為⊿BFE

∴∠BFE=∠C=90°

∴∠AFB+∠DFE=180°-∠BFE=90°

又∠AFB+∠ABF=90°

∴∠ABF=∠DFE

∴⊿ABE∽⊿DFE

(2)解：在Rt⊿DEF中，sin∠DFE=BCDE1=EF3

∴設DE=a,EF=3a,DF=EF2DE2=22a

∵⊿BCE沿BE折疊為⊿BFE∴CE=EF=3a,CD=DE+CE=4a,AB=4a,∠EBC=∠EBF

又由（1）⊿ABE∽⊿DFE，∴FEDF22a2===BFAB4a2

∴tan∠EBF=FE2=BF2

tan∠EBC=tan∠EBF=22

。

23.（2011甘肅蘭州，21，7分）已知α是銳角，且sin(α+15°

)=

114cos(3.14)tan的值。30

【答案】由sin(α+15°

α=45°原式

=411334.（2011甘肅蘭州，26，9分）通過學習三角函數(shù)，我們知道在直角三角形中，一個銳角的大小與兩條邊長的比值相互唯一確定，因此邊長與角的大小之間可以相互轉化。類似的，可

用心愛心專心12

以在等腰三角形中建立邊角之間的聯(lián)系。我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對（sad）.如圖①在△ABC中，AB=AC，頂角A的正對記作sadA，這時sadA底邊BC.腰AB容易知道一個角的大小與這個角的正對值也是相互唯一確定的。根據(jù)上述角的正對定義，解下列問題：

（1）sad60°=。

（2）對于0°<A<180°，∠A的正對值sadA的取值范圍是。

（3）如圖②，已知sinA3

5，其中∠A為銳角，試求sadA的值。AB圖①CCA

圖②

【答案】（1）1

（2）0<sadA<2

（3）

D

CE

設AB=5a，BC=3a，則AC=4a

如圖，在AB上取AD=AC=4a，作DE⊥AC于點E。

則DE=AD·sinA=4a·3

5=12

5a，AE=AD·cosA=4a·4

5=16

5a

CE=4a－16

5a=4

5a

CD∴

sadACD

AC5

5.

銳角三角形函數(shù)

用心愛心專心13

一、選擇題

A組

1、（2011年北京四中四模）計算：tan45°＋sin30°＝（）

（A）2（B）

答案：C

2、（2011年北京四中四模）在△ABC中,C90,sinA

（A）3231（C）（D）2223,則tanB（）53434（B）（C）（D）5543

答案：D

3、(2011浙江杭州模擬14)如圖折疊直角三角形紙片的直角，使點C落在斜邊AB上的點E處.已知AB=83,∠B=30°,則DE的長是().A.6B.4C.43D.2

答案：B

4、(2011浙江杭州模擬15)在直角坐標系xOy中,點P(4,y)在第四象限）

A．2B．8C．－2D．－8

答案：D

5、(2011山西陽泉盂縣月考)如圖3△ABC的頂點都是正方形網(wǎng)格中的格點，則sin∠ABC等于（）

A、5B、2525C、D、355

答案：C

6.（2011年北京四中中考全真模擬15）梯子跟地面的夾角為A，關于∠A的三角函數(shù)值與梯子的傾斜程度之間，敘述正確的是（）

A.sinA的值越小，梯子越陡。

B.cosA的值越小，梯子越陡。

C.tanA的值越小，梯子越陡。

用心愛心專心

14

D.陡緩程度與∠A的函數(shù)值無關。

答案：B

7.（2011年北京四中中考全真模擬16）如圖，O是△ABC的外心，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，則OD：OE：

OF=()

111A、a:b:cB、::、cosA:cosB:cosC;D、sinA:sinB:sinCabc

答案：C

8.（2011年江蘇鹽城）在△ABC中，∠C＝90，AB＝5，BC＝3，則sinB的值是()

3344B.C.D.5435

答案D

A.

9、（2011杭州模擬25）如圖1，四個邊長為1的小正方形拼成一個大正方形，A、B、O是小正方形頂點，⊙O的半徑為1，P是⊙O上的點，且位于右上方的小正方形）（09河北中考試題第5題改編）

(A)1

1(D)2

3

答案：A

10、（2011杭州模擬26）如圖，A、B、C三點在正方形網(wǎng)格線的交點處.若將△ACB繞著點A逆時針旋轉得到△AC’B’，則tanB’的值為?????????????()A.111B.C.D.432

4

答案：B

用心愛心專心15

11、（2011杭州模擬26）如圖，△ABC中，∠A、∠B、∠C所對的三邊分別記為a，b，c，O是△ABC的外心，OD⊥BC,OE⊥AC,OF⊥AB,則OD:OE:OF=????()

A.a：b：cB.111::C.cosA:cosB：

cosCD.sinA:sinB:sinCabc

答案：C

12、（2011年北京四中模擬26）

在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=1，則sinA的值是（）A．

答案：B

13、（2011年浙江省杭州市中考數(shù)學模擬22)如圖，△ABC的頂點都是正方形網(wǎng)格中的格點，則cos∠ABC等于（）

A、

答案：B

14、（2011年浙江杭州二模）如圖，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cosA

的值是（）（第13題）1C.1D.2222B、C、5D、3553，BE=2，則tan∠DBE5

A．

1B．2C

2

第14題用心愛心專心

16

答案：B

15、（2011年浙江杭州五模）sin30的倒數(shù)是（）

A、0.5B、

答案：C

16、（2011年浙江杭州五模）如圖，正方形ABCD中，E是BC邊上一點，以E為圓心，EC為半

徑的半圓與以A為圓心，AB為半徑的圓弧外切，則sinEAB的值為（）

A、2o1C、4D、-443434B、C、D、5345

答案：D

第16題圖

17、（2011年浙江杭州七模）如圖，已知⊙O的兩條弦AC，BD相交于點E，∠A=75，∠C=45，

那么sin∠AEB的值為（）

A.1B.3C.2D.3222

答案：D

oo（第17題圖）

，sinAB組1．（2011年杭州三月月考）已知在Rt△ABC中，C90°

為（）

(A)3，則tanB的值544(B)35(C)53(D)44

答案：A

2．（2011年三門峽實驗中學3月模擬）計算2sin45°的結果等于（）

A、2

答案：B

3．（2011年安徽省巢湖市七中模擬）如圖，一個小球由地面沿著坡度i=1∶2的坡面向上前進

了10m，此時小球距離地面的高度為()

用心愛心專心

B、1C、22D、12(第3題圖)17

A．5mB．2mC．45mD．10m3

答案：B

4.（浙江杭州靖江2011模擬）如圖，A、B、C、三點在正方形網(wǎng)格線的交點處.若將△ACB繞著點A逆時針旋轉到如圖位置，得到△AC′B′，使A、

C、B′三點共線。則tan∠B′CB的值為()（原創(chuàng)）A.1B.

答案：D

5.（河南新鄉(xiāng)2011模擬）如圖，菱形ABCD的周長為40cm，DEAB，32C.D.223

垂足為E，sinA35，則下列結論正確的有（）

2①DE6cm②BE2cm④BD

Ｃ．3個Ｄ．4個③菱形面積為60cm

Ａ．1個

答案：C

Ｂ．2個

6．（2011年深圳二模）sin30°的值為（）

A．132B．C．D．2232

答案：A

7、（2011深圳市三模）已知α為等邊三角形的一個）

答案：A

8（2011湖北省崇陽縣城關中學模擬）如圖，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cosAtan∠DBE的值是（▲）

A．3，BE=2，則51B．2C

．

．225

用心愛心專心18

第8題

答案：B

9（北京四中2011中考模擬12）在△ABC中，∠C＝90°，如果AB＝2，BC＝1，那么sinA的值是().1(A)(B)25

(C)3(D)23

答案：A

010、（北京四中2011中考模擬14）在△ABC中，∠C=90tanA=1,那么cosB等于（）

A、答案：D

11．（2011年杭州市上城區(qū)一模）Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對邊，那么c等于（）

A.acosAbsinBB.asinAbsinBababC.D.sinAsinBcosAsinB

答案：B

12．（2011年浙江省杭州市模2）如圖，在菱形ABCD中，DE⊥

AB，cosA

A．B、2C、1D、223，BE=2，則tan∠DBE的值是（）51B．22

C

答案：B

13、（2011年浙江杭州27模）如圖，A、B、C、三點在正方形網(wǎng)格線的交點

處.若將△ACB繞著點A逆時針旋轉到如圖位置，得到△AC′B′，使A、C

、

用心愛心專心19

B′三點共線。則tan∠B′CB的值為()A.1B.

答案：D

二、填空題

A組

1、（浙江省杭州市2011年中考數(shù)學模擬）如圖，在把易拉罐中水倒入一個圓水杯的過程中，

若水杯中的水在點P與易拉罐剛好接觸，則此時水杯中的水深為cm.

(用根式表示)【原創(chuàng)】

答案：1032C.D.223

10

2、(中江縣2011年初中畢業(yè)生診斷考試)小蘭想測量南塔的高度.她在A處仰望塔頂，測得

仰角為30°，再往塔的方向前進50m至B處，測得仰角為60°，那么塔高約為m.（小蘭身高忽略不計，取31.732）

答案：43.33、（2011北京四中模擬7）若tan，則銳角α=_________度

答案：60

4．（淮安市啟明外國語學校2010－2011學年度第二學期初三數(shù)學期中試卷）計算：

+2sin60°=答案：

用心愛心專心20

5．（2010－2011學年度河北省三河市九年級數(shù)學第一次教學質量檢測試題）如圖所示，邊長

為1的小正方形構成的網(wǎng)格中，半徑為1的⊙O的圓心O在格點上，則∠AED的正切值等于．

第5題圖

答案：

126．（2011年江蘇連云港）在Rt△ABC中，C90，AC5，BC4，則

tanA答案45

7、（2011年浙江杭州七模）如圖，在ABC中，AB為⊙O的直徑，B50,C70，則sinODB=___________答案：

8．(2011年寧夏銀川)若∠A是銳角，cosA＝

答案：30°

9、(2011浙江杭州模擬14)如圖，AB是⊙O的直徑，C、D是圓上的兩點（不與A、B重合），已知BC＝2，tan∠ADC＝1，則AB＝__________．

答案：

12（第7題）3，則∠A＝．210、（2011杭州模擬）如圖，正方形ABCD的邊長為4，點M在邊DC上，N是M關于對角線AC的對稱點，若DM=2，則說sin∠AND=▲。

用心愛心專心

21

答案：45

1，則BC等411.（2011灌南縣新集中學一模）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝20，cosB＝

于.

答案：5

12.（浙江杭州進化2011一模）如圖，AB是⊙O的直徑，C、D是圓上的兩點（不與A、B重合），已知BC＝2，tan∠ADC＝1，則AB＝__________．

答案：13、（2011年黃岡浠水模擬2）計算：cos60°=________答案：12

14、（2011年北京四中33模）如果∠α是等腰直角三角形的一個銳角，則tanα的值為答案：1

三、解答題A組

1、（2011重慶市纂江縣趕水鎮(zhèn)）據(jù)交管部門統(tǒng)計，高速公路超速行駛是引發(fā)交通事故的主要原因．我縣某校數(shù)學課外小組的幾個同學想嘗試用自己所學的知識檢測車速，渝黔高速公路某路段的限速是：每小時80千米（即最高時速不超過80千米），如圖，他們將觀測點設在到公路l的距離為0.1千米的P處．這時，一輛轎車由綦江向重慶勻速直線駛來，測得此車從A處行駛到B處所用的時間為3秒（注：3秒＝1小時），并測得∠APO＝59°，1200

∠BPO＝45°．試計算AB并判斷此車是否超速？（精確到0.001）．

（參考數(shù)據(jù)：sin59°≈0.8572，cos59°≈0.5150，

tan59°≈1.6643）

答案：解：設該轎車的速度為每小時v千米

∵AB＝AO－BO，∠BPO＝45°

用心愛心專心

P重慶lOBA綦江22

∴BO＝PO＝0.1千米

又AO＝OP×tan59°＝0.1×1.6643

∴AB＝AO－BO＝0.1×1.6643－0.1＝0.1×0.6643＝0.06643

即AB≈0.0066千米

而3秒＝1小時1200

∴v＝0.06643×1200≈79.716千米/小時

∵79.716＜80

∴該轎車沒有超速．

2、（重慶一中初2011級10—11學年度下期3月月考）如圖，某天然氣公司的主輸氣管道從A市的北偏東60°方向直線延伸，測繪員在A處測得要安裝天然氣的M小區(qū)在A市北偏東30°方向，測繪員沿主輸氣管道步行2000米到達C處，測得小區(qū)M位于C的北偏西60°方向，請你在主輸氣管道上尋找支管道連接點N，使到該小區(qū)鋪設的管道最短，并求AN的長．(結果保留根號

)

答案：解：過M作MN⊥AC交

N,設MN=x．?????1分

由題意∠EAM=300,∠EAC=600

∴∠MAC=∠EAC－∠EAM=600－300=300

∠MCA=1800－600－600=600

∴在△AMC中，∠M=1800－∠MAC－∠ACM=900?????2分

MNx3AN3在Rt△AMN中，tan∠MAN=tan300=AN

AN=x?????3分

MNx3CNCN在Rt△MCN中，tan∠MCN=tan600=

3x3CN=?????4分

43x6000

∴AC=AN+NCx1500?????5分N

23用心愛心專心

∴AN的長為1500?????6分

3．（2011年上海市盧灣區(qū)初中畢業(yè)數(shù)學模擬試題）已知：如圖，AB是O的直徑，C是O

上一點，CD⊥AB，垂足為點D，F(xiàn)是AC的中點，OF與AC相交于點E，AC8cm，EF2cm.

（1）求AO的長；

（2）求sinC的值.

（第3題圖）

，又OF是半徑，答案：（1）∵F是AC的中點，∴AFCF

∴OFAC，AECE，

∵AC8cm，∴AE4cm，

在RtAEO中，AE2EO2AO2，

又∵EF2cm，∴42AO2AO2，解得AO5，∴AO5cm.

（2）∵OEAC，∴AAOE90，

∵CD⊥AB，∴AC90，

∴AOEC，∴sinCsinAOE，∵sinAOE2AE44，∴sinC.AO55

4、(2011浙江杭州模擬14)學習過三角函數(shù)，我們知道在直角三角形中，一個銳角的大小與兩條邊長的比值相互唯一確定，因此邊長與角的大小之間可以相互轉化.

類似的，可以在等腰三角形中建立邊角之間的聯(lián)系，我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對（sad）.如圖，在△ABC中，AB=AC，頂角A的正對記作sadA，這時sadA=底邊BC.容易知道一個角的大小與這個角的正對值也是相互唯一確定的.腰AB

根據(jù)上述對角的正對定義，解下列問題：

（1）sad60的值為（）A.1D.22

（2）對于0A180，∠A的正對值sadA的取值范圍是.

用心愛心專心

24C

（3）已知sin3，其中為銳角，試求sad的值.5

答案：（1）B；?????????2分（2）0sadA2；?????????3分3(3)如圖，在△ABC中，∠ACB=90，sin∠A.5

在AB上取點D，使AD=AC，

作DH⊥AC，H為垂足，令BC=3k，AB=5k，

則AD=AC

HA=4k，?????????2分

又在△ADH中，∠AHD=90，sin∠A

∴DHADsinA3.51216k

，AHk.55

4k，CD.?????2分5則在△CDH中，CHACAH

于是在△ACD中，AD=

AC=4k，CD.

由正對定義可得：sadA=CD，即sad?????????1分

AD

5、（北京四中模擬）計算：2sin45sin235sin255解原式

=21)

sin235cos235

2

106、（北京四中模擬）計算：3tan30+(4)(．

10解：3tan30+(4)(121

2

23123

1

7、（2011年江蘇鹽都中考模擬）2tan30(2010)

用心愛心專心25

（1）解：原式=41（4分）3

8.(2011年江蘇省東臺市聯(lián)考試卷）(1)

45sin60)答案：2

9．(浙江省杭州市黨山鎮(zhèn)中2011年中考數(shù)學模擬試卷)

計算：（1

45+202

答案：22

B組

1．（2011天一實驗學校二模）安裝在屋頂?shù)奶柲軣崴鞯臋M截面示意圖如圖所示.已知集熱管AE與支架BF所在直線相交于水箱橫截面⊙O的圓心O,⊙O的半徑為0.2m，AO與屋面AB的夾角為32°，與鉛垂線OD的夾角為40°，BF⊥AB于B，OD⊥AD于D，AB＝2m,求屋面AB的坡度和支架BF的長.(參考數(shù)據(jù)：tan18

答案：

解：∵OD⊥AD

∴∠AOD+∠OAC+∠CAD=90°

∵∠OAC=32°，∠AOD=40°

∴∠CAD=18°13121,tan32,tan40)35025（第1題圖）CD=tan18°=1：3ADOB在Rt△OAB中，=tan32°AB

31∴OB=AB·tan32°=2×=1.2450∴i=∴BF=OB-OF=1.24-0.2=1.04(m)

2（2011浙江慈吉模擬）在數(shù)學活動課上，九年級（1）班數(shù)學興趣小組的同學們測量校園(1)在大樹前的平地上選擇一點A，測得由點A看大樹頂端C的仰角為35°；

(2)在點A和大樹之間選擇一點B（A、B、D在同一直線上），測得由點

B看大樹頂端C的仰角恰好為45°；

(3)量出A、B兩點間的距離為4.5米.

請你根據(jù)以上數(shù)據(jù)求出大樹CD的高度.(結果保留3個有效數(shù)字)

答案：∠CDB=90°,∠CBD=45°

CD=BD

AB=4.5

用心愛心專心DBA26

AD=BD+4.5

設高CD=x

則BD=x，AD=x+4.5

∠CAD=35°

tan∠CAD=tan35°=xx4.5

4.5tan35整理后得x≈10.51tan35

故大樹CD的高約為10.5米

3．（2011年三門峽實驗中學3月模擬）如圖，熱氣球的探測器顯示，

從熱氣球A看一棟大樓頂部B的俯角為30°，看這棟大樓底部C的俯

角為60°，熱氣球A的高度為240米，求這棟大樓的高度．

答案：

解：過點A作直線BC的垂線，垂足為D.

則∠CDA=90°，∠CAD=60°，∠BAD=30°，CD=240米

在Rt△ACD中，tan∠CAD=CD，AD

∴AD

=CDtan60BD，AD在Rt△ABD中，tan∠BAD=

∴BD=AD

803

∴BC=CD－BD=240－80=160

答：這棟大樓的高為160米．

4．（2011年三門峽實驗中學3月模擬）已知線段OA⊥OB，C為OB上中點，D為AO上一點，連AC、BD交于P點．

（1）如圖1，當OA=OB且D為AO中點時，求

（2）如圖2，當OA=OB，

PDPDAP的值；PCAD1=時，求tan∠BPC；AO4AA

BC用心愛心專心OBCO27

圖1

答案：

（1）過C作CE∥OA交BD于E，則△BCE∽△BOD得CE=

再由△ECP∽△DAP得11OD=AD；22APAD2；PCCE

（2）過C作CE∥OA交BD于E，設AD=x，AO=OB=4x，則OD=3x，

13OD=x，22

PDAD2；再由△ECP∽△DAP得PECE3

5PD2，可得PD=AD=x，由勾股定理可知BD=5x，DE=x，則2DEPD3

CO1。則∠BPC=∠DPA=∠A，tan∠BPC=tan∠A=AO2由△BCE∽△BOD得CE=

5.（2011杭州上城區(qū)一模）計算：()1

224sin30(1)2009+(2)0;

答案：原式=4–2–1+1

=2

6.（2011浙江杭州義蓬一模）(本小題滿分6分)每

年的5月15日是‘世界助殘日’.我區(qū)時代超市門

前的臺階共高出地面1.2米，為幫助殘疾人,便于輪椅行走，準備拆除臺階換成斜坡，又考慮安全，輪椅行走斜坡的坡角不得超過9，已知此商場門前的人行道距門前垂直距離為8米(斜坡不能修在人行道上)，問此商場能否把臺階換成斜坡?(參考數(shù)據(jù)sin90.1564，0

cos90.9877，tan9=0.1584)

答案：1.2/8=0.15＜tan9°(3)

這與坡角小于9°相符（2）

答：能（1）

7．（安徽蕪湖2011模擬）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD，BD⊥CD．

用心愛心專心28

（1）求sin∠DBC的值；

（2）若BC長度為4cm，求梯形ABCD的面積．

AB

答案:解：(1)∵AD=AB∴∠ADB=∠ABD

∵AD∥CB∴∠DBC=∠ADB=∠ABD?????（1分）∵在梯形ABCD中，AB=CD，∴∠ABD+∠DBC=∠C=2∠DBC

∵BD⊥CD∴3∠DBC=90∴∠DBC=30o??（3分）

1∴sin∠DBC=????????（4分）2

ADo

B（第7題圖）

（2）過D作DF⊥BC于F??????????（5分）

在Rt△CDB中，BD=BC×cos∠DBC=23（cm）???????（6分）

在Rt△BDF中，DF=BD×sin∠3（cm）???????（7分）

12∴S梯3=33（cm）?????????????“?（8分）2

8.（河南新鄉(xiāng)2011模擬）.如圖，在直角坐標系中放入一個邊長OC為9的矩形紙片ABCO．將紙片翻折后，點B恰好落在x軸上，記為B′，折痕為CE，已知tan∠OB′C＝

（1）求B′點的坐標；

（2）求折痕CE所在直線的解析式．

3．4

用心愛心專心29

答案：解：（1）在Rt△B′OC中，tan∠OB′C＝3

4，OC＝9，

93

∴OB4．????????????????????“??????３分解得OB′＝12，即點B′的坐標為（12，0）．???????????????４分

（2）將紙片翻折后，點B恰好落在x軸上的B′點，CE為折痕，

∴△CBE≌△CB′E，故BE＝B′E，CB′＝CB＝OA．

由勾股定理，得CB

15．??????????????５分設AE＝a，則EB′＝EB＝9－a，AB′＝AO－OB′＝15－12=3．

由勾股定理，得a2+32＝(9－a)2，解得a＝4．

∴點E的坐標為（15，4），點C的坐標為（0，9）．５分

9b,

設直線CE的解析式為y＝kx+b，根據(jù)題意，得415kb.?????８分

b9,

k1

解得3.

∴CE所在直線的解析式為y＝－1

3x+9．

9．（2011年杭州市上城區(qū)一模）

（1）計算：(1)2

24sin30(1)2009+(2)0;

答案：(1)原式=4–2–1+1

=2

10．（2011年海寧市鹽官片一模）計算：(2)03tan302.答案：(2)03tan302

12

1

用心愛心專心30

《銳角三角函數(shù)》單元試卷

滿分：100分

一、選擇題（本大題共10小題，每小題３分，共30分）

1．一段公路的坡度為1︰3，某人沿這段公路路面前進100米，那么他上升的最大高度是（D）

A.30米B.10米C.米D.米

2．如圖，坡角為30的斜坡上兩樹間的水平距離AC為2m，則兩樹間的坡面距離AB為（C）

Ａ．4m

Ｄ．

3.如圖，小雅家（圖中點Ｏ處）門前有一條東西走向的公路，經(jīng)測得有一水塔（圖中點Ａ處）在她家北偏東60度500m處，那么水塔所在的位置到公路的距離AB是（A）

Ａ.250ｍ

Ｂ．

ｍ

Ｄ．4．如圖，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的中線，已知CD＝2，AC＝3，則sinB的值是（C）

2334Ａ．B.C.D.3243

A北東BBC

（第2題）（第3題）（第4題）

5．如果∠A是銳角，且sinAcosA，那么∠A=（B）

A.30°B.45°C.60°D.90°

6.等腰三角形的一腰長為6cm，底邊長為63cm，則其底角為（A）

A.30B.60C.90D.120

用心愛心專心310000

7．若平行四邊形相鄰兩邊的長分別為10和15，它們的夾角為60°，則平行四邊形的面積

是（B）

A．150B．3C．9D．7

8．在△ABC中，∠C=90°，BC=2，sinAA

B．32，則邊AC的長是（A）34C．D

3

9．如圖，兩條寬度均為40m的公路相交成α角，那么這兩條公路在相交處的公共部分(圖

中陰影部分)的路面面積是（A）A.160021600222(m)B.(m)C.1600sinα(m)D.1600cosα(m)sincos

1，則tanA＝310.如圖，延長Rt△ABC斜邊AB到D點，使BD＝AB，連結CD，若tan∠BCD＝

（C）A.1B.132

C.D.323

A

CD

第4題圖

（第9題）（第10題）

二、填空題（本大題共4小題，每小題３分，共12分）

11．已知為銳角,sin(900)=0.625,則cos=

12．如圖，一架梯子斜靠在墻上，若梯子底端到墻的距離AC=3米，cos∠BAC=

AB=4米。

13．一棵樹因雪災于A處折斷，如圖所示，測得樹梢觸地點B到樹根C處的距離為4米，

∠ABC約45°，樹干AC垂直于地面，那么此樹在未折斷之前的高度約為(442)米（答案可保留根號）。

14．如圖，張華同學在學校某建筑物的C點處測得旗桿頂部A點的仰角為30，旗桿底部3，則梯子長4

B點的俯角為45．若旗桿底部B點到建筑物的水平距離BE=9米，旗桿臺階高1米，則旗桿頂點A離地面的高度為(103)米（結果保留根號）。

用心愛心專心32

(第12題)(第13題)(第14題)

三、（本題共2小題，每小題5分，滿分10分）

15．如圖所示，某超市在一樓至二樓之間安裝有電梯，天花板與地面平行，請你根據(jù)圖中數(shù)

據(jù)計算回答：小敏身高1.78米，她乘電梯會有碰頭危險嗎？

（可能用到的參考數(shù)值：sin27°=0.45，cos27°=0.89，tan27°=0.51）

4m二樓AC

4m

27°一樓

15．作CD⊥AC交AB于D，則∠CAB=27°,在Rt△ACD中，

CD=AC·tan∠CAB=4×0.51=2.04（米）

所以小敏不會有碰頭危險。4mB

16．已知：如圖，在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，AB=6。求BC的長（結果保留根

號）。

16．解：過點A作AD⊥BC于點D。

在Rt△ABD中，∠B=45°，

∴AD=BD=ABsinB=32。

在Rt△ACD中，∠ACD=60°，

∴tan60°=AD32，即3，解得

CDCD

∴

BC=BD+DC=

四、（本題共2小題，每小題5分，滿分10分）

17．如圖，在某建筑物AC上，掛著“美麗家園”的宣傳條幅BC，小明站在點F處，看條幅

用心愛心專心

33

頂端B，測的仰角為30，再往條幅方向前行20米到達點E處，看到條幅頂端B，測的仰角為60，求宣傳條幅BC的長，（小明的身高不計，結果精確到0.1米）

17．解：∵∠BFC=30，∠BEC=60，∠BCF=90

∴∠EBF=∠EBC=30，∴BE=EF=20

在Rt⊿BCE中，000000

BCBEsin6