專題04等比數(shù)列培優(yōu)歸類題型1等比數(shù)列的判定一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比注意：(1)等比數(shù)列中不能有0項(2)常數(shù)列都是等差數(shù)列，但卻不一定是等比數(shù)列.如常數(shù)列是各項都為0的數(shù)列，它就不是等比數(shù)列；當常數(shù)列各項不為0時，是等比數(shù)列，對于含字母的數(shù)列應注意討論.(1)定義法：“欲證等比，直接作比”,即證的常數(shù))?數(shù)列{an}是等比數(shù)列；(2)等比中項法：即證a2+1=an·an+2(anan+1an+2≠0,n∈N*)→數(shù)列{an}是等比數(shù)列.A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【詳解】不妨設r=1,則ap+1=a反之若{a,}為等比數(shù)列，不妨設公比為9,ap+,=q?qP+-1=2qP+-1,apa,=a當q12時ap+r≠apa,,所以必要性不成立若證明某數(shù)列不是等比數(shù)列，則只要證明存在連續(xù)三項不成等比數(shù)列即可.(2)利用遞推關系時要注意對n=1時的情況進行驗證.2.(13-14高一下·江西吉安階段練習)已知等比數(shù)列{a,}的公比為9,記A.數(shù)列為等差數(shù)列，公差為q"B.數(shù)列為等比數(shù)列，公比為q2m【分析】求得b的表達式，然后對9分成q=1,q≠1兩類，根據(jù)等差、等比數(shù)列的定義，判斷出A,B兩個選時是常數(shù)列，A、B選項都可能正確.當q≠1時，此時選項B不正確，②等比數(shù)列{a,}的公比為9,am(u+1-)=aum(-)+m=am(n-n·q”,故C正確，D不正確.故選C.【點睛】本小題主要考查等差、等比數(shù)列的定義，考查分析問題的能力，考查運算求解能力，屬于中檔題.b?=a23?-(n∈N*),則數(shù)列{bn}的前n項和【詳解】因為a=3n,所以a≤3,若a=2,那么a?=a?=3×1=3成立，若a?=3,那a?=a=3×1=3=a矛盾，所以a?=b?=2,當a=3an=am,所以b?=a?3-1=32.3-2=3a?3-2=3b即數(shù)列{b.}是首項為2,公比為3的等比數(shù)列，【點睛】本題解題的關鍵是對于首項的確定，可以采用列舉法，就會發(fā)現(xiàn)a≤3,再令n=a后，利用公式巧妙變形為3an=a3n,這樣對數(shù)列{b.}的構造打下基礎，最后轉化為數(shù)列{b?}是等比數(shù)列求和.4.(24-25高二上全國·隨堂練習)已知等比數(shù)列{an}的前n項和S?=2”+r,則r的值是()【分析】根據(jù)a與S,之間的關系可得a?=2+r,再根據(jù)等比數(shù)列的定義運算求解.當n=1,可得a?=2+r;當n≥2,可得a?=S,-S?=(2”+r)-(2?1+r)=2”?1,則若數(shù)列{a}為等比數(shù)列，則解得r=-1.題型2等比數(shù)列基礎計算大題大題1.(25-26高三上北京豐臺·開學考試)已知等差數(shù)列{a,}的公差d>0,等比數(shù)列的公比q>1,且a?=b?=2,a?=b3.設S,為{a}的前n項和(n=1,2,3,…),則下列結論中正確的是()A.存在唯一的公比9,使得a?=b?B.存在n?∈N",使得an<b恒成立【分析】對于A,列出方程組求出d,q判斷；對于B,根據(jù)題意可知存在n∈N,使得an>bn?即可判斷；對于C,求得a=2n,S?=n(n+1),易得S?>b?即可判斷；對于D,根據(jù)題意，n≥5時，可證得b?-b?1>a?-a?1,即b?-b??+(b?-b?2)+…+(b?-b?)>a,-a?1+(a?-a?2)+…+(a-a?),b?-b?>an-a?,再利用a?<b?即可判斷.【詳解】對于A,由題得解得不符合題意，故A錯誤；對于B,a=2+(n-1)d,b?=2q”?1,又a?=2+3d=b?=2q2,則當an>b時，即2+(n-1)d>2q?-1,解得又q>1,所以存在n∈N,使得故B錯誤；對于C,q=2,則a?=2n,b?=2”,S?=n(n+1),對于D,又q>1,所以當n≥5時，q-1>0,3q"?2-q-1≥3q3-q-1>3q2-q-1>3q-q即n≥5時，b?-b?-1>an-a-1,又a?=b?,q>1,則a?<b?q所以b?-b?1+(b??1-b?-2)+…+(b?-b?)>a-am-1+(a?1-a?-2)+…+(a?-a?),2.2.(24-25高三上湖北武漢階段練習)已知遞減的等比數(shù)列{a,}滿足：a?>0,aa?+2a?a?+a?a?=36,a?a?=8,若b?=log?a,則數(shù)列{b|}的前12項和T??=()前12項和T??.【詳解】設等比數(shù)列{a,}的公比為4,則a?a?=a?a?,a?a?=a?a?q2,,則對任意n∈N,下列結論恒成立的是()A.bn≥b?B.b?≥bC.b≤b?【分析】賦值得到數(shù)列的遞推關系，再構造等比數(shù)列求通項，進而得a,{b.}單調性，求出最小項，結合排除法即可判斷ABC選項，D項特殊項驗證可得.取p=n,q=1,得所以且所以當n=4時b,最小，排除AC;D項，因為b?>b?>b?,(b?-b?)(b?-b?)<0,即n=3時，D不成立.4.(2022浙江·模擬預測)已知數(shù)列{a}中，a2=2+a+1,記N=21令令【分析】由已知可得an>2,令則可得再由函數(shù)的單調性可得b+1=b2,從而可得數(shù)列{1gb}是公比為2的等比數(shù)列，則得b?=21,得從而得放縮法可求出T?o的范圍【詳解】解：因為則a2>4,故a?>2,依次類推有a>2,則b,=2,又因為在(1,+∞)上遞增，故b+1=b2,即1gbn+所以數(shù)列{1gb,}是公比為2的等比數(shù)列，又因為題型3等差等比“糾纏數(shù)列”計算大解題大解題等差等比“糾纏數(shù)列”:等差數(shù)列某些項成等比，或者等比數(shù)列某些項成等差。1.一般情況下，等差中“糾纏等比”,設等差首項和公差列方程。2.一般情況下，等比中“糾纏等比”,設等比首項和公比列方程。1.(23-24高二上·廣東深圳·期末)已知S,是公比不為1的等比數(shù)列{an}的前n項和，則“a?,a?,a?成等差數(shù)列”是“對任意k∈N”,S6+k,S?+k,Ss+k成等差數(shù)列”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【分析】利用等差等比數(shù)列的性質及充分必要條件即可求解.【詳解】由題意知{a}為等比數(shù)列，設其公比為q(q≠1),a≠0,充分性：若a?,a?,a?成等差數(shù)列，則2a?=a?+a3,即2a?q?=a?q+a?q?,得2q?=1+q,因為2q?=1+q,所以2S?+k=S6+k+Ss+k,所以S6+k,S+k,Ss+k成等差數(shù)列，故充分性滿足；必要性：若S6+k,S9+k,Ss+k成等差數(shù)列，即2S?+k=S6+k+Ss+k,化簡得則2q?=1+q,所以2a?q?=a?+a?q,即2a?=a?+a?,所以a?,a6,a?成等差數(shù)列，故必要性滿足；綜上，“a?,a?,a?成等差數(shù)列”是“對任意k∈N,S6+k,S?+k,Ss+k成等差數(shù)列”的充要條件，故C正確.【點睛】關鍵點睛：本題解決的關鍵是熟練掌握等比數(shù)列的求和公式及其變形，從而得解.2.(24-25高二上重慶沙坪壩·期末)設{a}是公比不為1的等比數(shù)列，其前n項和為S?,設甲：Sn+2,S,Sn+1成等差數(shù)列；乙：a+2,an,an+1)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義可得選項.【詳解】設等比數(shù)列{a,}的公比為q(q≠1).①∵S?+2,S,S+1成等差數(shù)列，∴an+2+a?+1=anq2+a,q=2an,故a+2,an,an+1成等差數(shù)列，充分性成立.②∵a+2,an,an+1成等差數(shù)列，∴a?+2+an+1=2an,故q2+q=2,解得q=-2,∴Sn+2,S,S?+1成等差數(shù)列，必要性成立.綜上得，甲是乙的充要條件.3.(2025·福建·模擬預測)已知a,a?,a?,a?是等差數(shù)列，b,b?,b?,b?是公比為9的等比數(shù)列，{k∈{1,2,3,4}Ia=b}為3元集集合，則)A.或-2C.-2【分析】因等差數(shù)列a,a?,a?,a?與等比數(shù)列b?,b?,b?,b?行分類討論即可.即(2a?-a?)a?=a3,(a?-a?)2=0,則a?=a?.則可得q=1,d=0,a?=b,與題設矛盾，故舍去.即(2a?-a)a?=a2,(a?-a?)2=0,則a?=a?,此時可得q=1,d=0,a?=b?,與題設矛盾，故舍去.③若a?=b,a?≠b?,a?=b?,a?=b則2q3-3q2+1=0,,整理得(2q2-q-1)(q-1)=0,,解得,或q=1,當時，,此時符合題意；④若a?=b,a?=b?,a?≠b?,a?=b?,消去d,可得2a?=3a?q-a?q3,顯然a?=b?≠0,則q3-3q+2=0,整理得((q2+q-2)(q-1)=0,此時，a?=a?+2d=-5a≠b?,符合題意；滿足am·bm>1的數(shù)值m()A.有且僅有1個值B.有且僅有2個值C.有且僅有3個值D.有無數(shù)多個值判斷.【詳解】設等差數(shù)列{a,}的公差為d,等比數(shù)列{b?}的公比為9,則有解得可得C?=16,c?=-4,c?=0,此時滿足cm>1的只有m=1成立；①若m是奇數(shù)，則顯然不滿足cm>1;即Cm+2<cm,可得1=c?>C?>C?>…,即cm>1不成立；綜上所述：滿足am·bm>1的數(shù)值m有且僅有1個值，即m=1.【點睛】關鍵點點睛：本題主要考查擺動數(shù)列的單調性應用，屬于難題.對于擺動數(shù)列通項的處理，一般考慮對負底數(shù)的冪指數(shù)按照為奇為偶進行分類討論，有賦值求值判斷，再綜合考慮即可.列，實數(shù)λ滿足1-b=a√a,則λ取值范圍為()【分析】根據(jù)2a,b,2c成等比數(shù)列用a和c表示出b,代入a+b+c=1求得a和c的關系，用a表示c,代入1-b=λ√a即可得λ的表達式，根據(jù)基本不等式即可求解其范圍.【詳解】由已知2a,b,2c成等比數(shù)列得，b2=4ac,當且僅當時，即時等號成立，2.(23-24高三黑龍江齊齊哈爾·階段練習)S,是公比不為1的等比數(shù)列{a?}的前n項和，S?是S?和S?的【詳解】設{a?}的公比為4,由于q≠1,又S?是S?和S?的等差中項，所以2S?=S?+S?,即化簡得q3(q3-1)(2q3+1)=由于q≠1,所以2q3+1=0,【點睛】本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合應用，考查學生的轉化求解能力和運算能力，屬中檔題.3.(21-22重慶·模擬)若a是1+2b與1-2b的等比中項，則的最大值為()【詳解】:a是1+2b與1-2b的等比中項，則a2=1-4b2→a2+4b2=1≥4|ab|.4.4.(2025高三·全國·專題練習)已知等比數(shù)列{a,}的公比為9,前n項和為S?,已知2S?、S1?、S??-S10構成等比數(shù)列，則S?、S?5、S??構成的數(shù)列是A.等差數(shù)列B.公比q≠1時構成等差數(shù)列，q=1時不構成等差數(shù)列C.等比數(shù)列D.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列【分析】根據(jù)等比數(shù)列{a?}的公比9是否等于1進行分類討論，得出q=1時，S?、S??、S1?不構成等差數(shù)列；在q≠1時，由2S?、S10、S?0-S10構成等比數(shù)列，借助于等比數(shù)列的求和公式化簡求得再計算驗證S?+S1?=2S?5成立，即得S?、S15、S10構成等差數(shù)列確定選項.【詳解】①當q=1時，S?=5a,S??=15a,S??=10a,此時S?+S?=15a?,2S1?=30a,即S?、S?5、S1?不構成等差數(shù)列；②當q≠1時，因2S?、S1?、S?0-S1?構成等比數(shù)列，故有S2=2S?·(S??-S1?),即化簡計算得又因故S?、S1?、S1?構成等差數(shù)列.綜上可得，公比q≠1時構成等差數(shù)列，q=1時不構成等差數(shù)列.題型5an與sn:求通項公式解解an與sn:求通項公式(1)已知等比數(shù)列{a}的首項為a,公比為q(q≠0),則數(shù)列{a,}的通項公式為a?=a?q"-1.(2)第n項與第m項的關系為an=amq"-",變形得列，且aa+=λS?+1(n∈N,λ≠-1),則a?=()A.2”-1B.2”-1C.(1+λ)”?1-1D.(1+2)”【分析】由an+1=λSn+1,利用數(shù)列通項與前n項和的關系求解.【詳解】由已知，a+1=λS?+1,則a?=AS??1+1(n≥2),∴{a,}是等比數(shù)列【分析】先求出a,a?,a?,根據(jù){an}為等比數(shù)列，求出2a+b=1,利用基本不等式求出最小值.【詳解】因為{a,}的前n項和為S?=a-2?+1+b-1,所以a=S=a·22+b-1=4a+b-1,因為{a}為等比數(shù)列，所以a2=aa?,即(4a)2=(4a+b-1)8a,因為a≠0,所以2a+b-1=0,即2a+b=1.所以4°+2?=22+2?≥2√2×2?=2√22a+b=2√2.當且僅當即取等號.【分析】由bn=S,-S??1(n≥2)求得bn,即得an,把不等式分離變量變形后轉化為求新數(shù)列的最大項.所以c?是{c,}中的最大值，4.4.(21-22高二上·江西九江開學考試)已知等比數(shù)列{an}前n項和S?=(x+2y+1)2”+(x-y-3)(其中x>0,y>0)則的最小值是()A.3B.2+2√2【分析】由題可得2x+y=2,再利用基本不等式可求.a?=S?-S?=9x+15y+5-5x-7y解題解題若{an}為等比數(shù)列，公比為q,前n項和為Sn,則有：(2)隔項等差：數(shù)列an,an+k,an+2k,an+3k…為等比數(shù)列，公比為q:【分析】設公比為9,由韋達定理得列的性質得到a?a?=4,a?=-2,從而得到答案.【詳解】{a}為等比數(shù)列，設公比為9,并判斷a?5,a?同為負數(shù)，根據(jù)等比數(shù)f(x)=x(x-a)(x-a?)…(x-a?025),則f'(O)=()A.2025!B.-2025!C.1【分析】設g(x)=(x-a)(x-a?)(x-a2o?5),則f(x)=xg(x),可得f'(0)=8(0),而8(0)=(0-a)(0-a?)(0-a2025)=(-1)2?2.qa?…202【詳解】設g(x)=(x-a)(x-a?)·(x-a2025),則f(x)=xg(x),f'(x)=g(x)+xg'(x),所以f'(O)=g(0),故8()=(0-a)(0-a?)…(0-a?025)=(-1)2?25a?a?…42025=-1,所以f'(O)=g(0)=-1.【分析】根據(jù)等差數(shù)列性質，aan=a?an-2=81,解得a和a的取值，再求公比，利用前n項和求得n的取【詳解】因為{a,}是等比數(shù)列，所以qan=a3a?2=81,又a+an=82,所以a和a是方程，x2-82x+81=0的兩根，解得x=1或81,若{a,}遞增數(shù)列，則a=1,an=81,因為S?=121,所以所以解得q=3,因為S?=121,所以解得綜上，數(shù)列的項數(shù)n等于5.故選：B【分析】根據(jù)等比數(shù)列的定義可得數(shù)列{a,}為等比數(shù)列，則aa?=72,在根據(jù)分式通分運算可得解.又a?a?=72,所以aa?=72,則(1)若等比數(shù)列的項數(shù)為(2)若等比數(shù)列的項數(shù)為則1.(2019高二全國·學業(yè)考試)已知一個項數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列{a?},所有項之和為所有偶數(shù)項之和的4倍，前3項之積為64,則a=()【分析】求出等比數(shù)列{【分析】求出等比數(shù)列{a}的公比，結合等比中項的性質求出a?,即可求得a的值.【詳解】由題意可得所有項之和S奇+S偶是所有偶數(shù)項之和S偶的4倍設等比數(shù)列{a?}的公比為9,設該等比數(shù)列共有2k(k∈N*)項，因為a3=a?a?a?=64,可得a?=4,因此，3倍，前2項之積為8,則a?=()A.2B.-2C.-1D.2或-2【分析】設數(shù)列共有2n項，設所有奇數(shù)項之和為T,由題意表求出S?n和T?,利用求出公比9,再結合a·a?=8求出a即可.【詳解】設首項為q,公比為9,數(shù)列共有2n項，則{a?m?1}滿足首項為a,公比為q2,項數(shù)為n項，設所因為所有項之和是奇數(shù)項之和的3倍，所以q≠1,故滿足解得q=2,又a·a?=a2·q=8,所以a=±2.故選：D,偶數(shù)項之和為,這個等比數(shù)列前n項的積為T,(n≥2),則T的最大值為()【分析】結合等比數(shù)列的前n項和公式求出公比，進而求出等比數(shù)列的前n項的積即可求出結果.解得所以所以當n=1或n=2時，T,有最大值2.4.(20-21高二上·河南·階段練習)已知等比數(shù)列{an}共有32項，其公比q=3之和少60,則數(shù)列{a,}的所有項之和是()【解析】設等比數(shù)列{an}的奇數(shù)項之和為S,偶數(shù)項之和為S?,則S?=3S?,S?+60=S?,則可求出S?,S?,值，從而得出答案.【詳解】設等比數(shù)列{a?}的奇數(shù)項之和為S?,偶數(shù)項之和為則S?=a?+a?+a?+…+a?1,S?=a?+a?+a?+…+a??=q(a?+a?+又S?+60=S?,則S?+60=3S?,解得S?=30,S?=90,故數(shù)列{a,}的所有項之和是30+90=120.題型8an與sn:等距和比值型1.(24-25高三·遼寧階段練習)設等比數(shù)列{a。的前項和為【詳解】試題分析：因為a為等比數(shù)列，由設S=3a,S=,所以S?,S?-S?S-S?為等比數(shù)考點：1.等比數(shù)列的性質；2.計算.【解析】由已知求出公比9,然后由等比數(shù)列前n項和公式表示出和，再求比值.【詳解】設數(shù)列{a,}公比為9,則【點睛】本題考查等比數(shù)列的前n項和，考查等比數(shù)列的通項公式，屬于基礎題.【點睛】關鍵點點睛：本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質，解題時由已知兩項相等得出公差d和公比q的關系，考慮到方程a=b有兩解，把此方程變形為An+B=q”,引入函數(shù)f(x)=Ax+B,g(x)=q*,通過函數(shù)圖象觀察得到f(x)和g(x)的關系，從而由數(shù)形結合思想得出結論.a4=b?>0,則下列說法正確的是()【解析】推導出a2+as=ar+a=b?+b=b,(1+q3)=b,(1+4)(1-q+q2),b?+b=biQ(1+9),從而az+as>b?+b?.因為q2-q+1-q=q2-2q+1=(q-1)2>0,,所以a?+a?>b?+b.【點睛】本題考查等差數(shù)列的兩項和與等比數(shù)列兩項和的大小的判斷，考查等差數(shù)列基礎知識，考查了推理能力與計算能力，是基礎題.2.如果等比數(shù)列是正項遞增數(shù)列，則若p+q>m+n,則ap·aq>am以下四個結論：①公差d>0;②a??+a?<0;③S??>0;④當n=18時，S取得最小正值.A.①②B.①④可得a?>0,a?<0,∴a?>-a,a1?+a?>0,故②錯誤；,③錯誤；Xa>1,a?a?>1,(a?-1)(a?-1)<0,則下列結論正確的是()A.a?a?>1B.0<q<1C.a?+a?<a?+a?若q≥1,Qa>1,故B正確；∴a?a?=a2∈(0,1),故A錯誤；a?>1,a?a100-1>0,.給出下列結論：①0<q<1;②T??8<1;③a?a1?1<1;④使T,<1成立的最小的自然數(shù)n等于199.其中正確結論的編號是()A.①②③B.①④【分析】利用等比數(shù)列的性質及等比數(shù)列的通項公式判斷①;利用等比數(shù)列的性質及不等式的性質判斷②;利用下標和定理判斷③;利用等比數(shù)列的性質判斷④,從而得出結論.∴0<q<1,故①正確；對于②:,故②錯誤；對于③:1,故③正確；對于④:Tqg?=a?·a?…q18=(a·a?g?)(a?·q197)…(a9q1oo)=(a·100)>1,T?9=a?·a?…9=(a·a?99)(a?·9?o?)..(aq??)a1?o<1,故④正確.a?>1,a202442025>1,則下列結論正確的是()A.q>1B.數(shù)列{Tn}無最大值C.T?025是數(shù)列{T}中的最大值D.S2024S2025>20242值，最大值為T2024,S2024>2024,S2025>S2024>2024,得到D正確，ABC錯誤.錯誤；又a20242025>1,故a2024>1,0<a?025<1滿足要求，故{T}有最大值，最大值為T?024,BC錯誤；D選項，當1≤n≤2024時，a>1,當n≥2025時，0<a<1,故S2024>2024,S?025>S2024>2024,所以S2024S2025>20242,D正確.題型12等比數(shù)列最值范圍型(3)借助函數(shù)性質(或者不等式均值等性質)求等比數(shù)列最值時，要注意自變量n是離散型1.(2022安徽合肥模擬預測)在正項等比數(shù)列{a?}中，a?a?=9,記數(shù)列{an}的前n項積為T?,【分析】根據(jù)已知條件求出通項a=3"-2,再求出T的表達式，結合T,>9即可求解.【詳解】設正項等比數(shù)列{an}公比為q,則a>0,q>0.因所以解得q=3,由T>9,得>32,從而得即n2-3n-4>0,解得n>4或n<-1,而n>0,故n>4,又n∈N+,則n的最小值為5.故答案為：52.2.(24-25高三下·湖南長沙階段練習)等比數(shù)列{a}中，an>0,q,a┐滿足：P點在直線AB上),則a4的最大值為.又a?>0,有所以a?的最大值為故答案為：小值為.【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質可得s+t=10,再根據(jù)基本不等式結合對勾函數(shù)性質求解即可.【詳解】在等比數(shù)列{a?}中，由a,a,=a2,得a?q?-1aq?1=(a?當且僅當,即s=2t時取等號，此時而s,t∈N,所以當s=7,t=3時，取得最小值為故答案為：4.(24-25高三·河南三門峽階段練習)已知公比為9的等比數(shù)列{an}滿足a?+q2=3,且Vn∈N°,an+1>an,則a?的取值范圍為.【分析】先判斷a。的符號和公比9的關系，求得a1?關于9的表達式，求出9的取值范圍，結合二次函數(shù)的基本性質可求得a??的取值范圍.【詳解】由a+1>a?,得an>0時，q>1;a?<0時，0<q<1,由a?+q2=3,得,所以a?=q2(3-q2),若an<0,則0<q<1,此時，a?=3-q2∈(2,3),矛盾.綜上所述，a1?的取值范圍是故答案為：【點睛】方法點睛：在求解關于等比數(shù)列有關的取值數(shù)的取值范圍，這種方法可以有效地處理涉及不等式與單調性的范圍問題.題型13等比數(shù)列與導數(shù)大【分析】利用倒序相加法，結合函數(shù)的對稱性以及等比數(shù)列的性質求得正確答案.【詳解】用倒序相加法：令f(lna)+f(lna?)+…+f(lna2023)=S①,2.(25-26高三河南階段練習)正項等比數(shù)列{a,}中的a?,a4037是函數(shù)的極值點，則【分析】對函數(shù)求導，由于a?,a4037是函數(shù)f(x)的極值點，可得a?*a4037,由等比數(shù)列的性質得a2019,利用對數(shù)運算即可得到答案.∵a?,a4037是函數(shù)的極值點，故選A.【點睛】本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的極值、考查等比數(shù)列的性質、對數(shù)的運算性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.3.(24-25高三下山東菏澤·階段練習)等比數(shù)列{a,}中的a?,a?是函數(shù)f(x)=(x2-12x+21)e的極值【分析】先根據(jù)函數(shù)f(x)極值的情況確定a?·a24的值，再根據(jù)等比數(shù)列的性質進行計算即可.【詳解】由f(x)=(x2-12x+21)e求導得f'(x)=(x2-10x+9)e.所以函數(shù)f(x)在(-∞,1)和(9,+∞)上單調遞增，在(1,9)上單調遞減.所以函數(shù)f(x)的極大值點為x=1,極小值點為x=9.f(x)=e-ax+e3,對于數(shù)列{f(x。)}(n=1,2,3,4),若x<x?<x?<x4,下列說法不正確的是()C.Va∈R,均不存在等比數(shù)列{xe+5+e3+x+e3+5-a(xge+xe?+則e?+x3+e3+*+e3+-a(x?e?+xe?+x?e3+xe3)=e22+2e3+x2-所以e-ax?+e3+e-ax?+e3=2(e-ax?+e3),則e?+e?=2e,C:若存在等比數(shù)列{x}且公比為9,使得{f(x)}為等差數(shù)列，則f(x)+f(x?)=2f(x?),不妨設x?>0,q>1,只需f(x?)+f(x?)=2f(x?),只需則q(e?+e?-2e)=e+e-2e,令t=e>1,則q(t+t2-2t?)=t?+t?-212,所以q(t+t2-2t9)=t?+t3-21?無解，對；令x?=-3d,x?=-d,x?=d,x?=3d,則f(-d)f(3d)=-f(d)f(3d)=[f(d)]2,故a的最小值不為錯.【點睛】關鍵點點睛：等差、等比性質得到方程有解，應用反證思想得到矛盾結論判斷A、B;對于C,問題型14等比數(shù)列第19題題型“中項隨機變動數(shù)列”,(3)若數(shù)列{a?}前3項均為正項，且a大值.【分析】(1)根據(jù)已知條件列方程，求得a?的可能取值，利用已知條件確定a?的值.(2)根據(jù)已知條件求得從而證得a?,a?,a?成等比數(shù)列.(3)利用累乘法以及數(shù)列的最值，求得【詳解】(1)因為a?=6,a?=4,所以2a?=a?+a?或2a?=a?+a?,所以a?=2或5,所以a?=2.(2)因為a?=a?=a?=0,其余項均為正項，所以2a=a?或2a?=a3,若a?=2a?時，對于a?,a?,as,因為a?=0,2a≠a?+a?且2a?≠a?+a?,故舍去，所以所以a?,a?,a9成等比數(shù)列.(3)由題意am=a=a=0,其余項為正項，不妨設3<m<s<t,則p=t,又am=0,可得設這m-3個因式中恰有i個因式的值為有m-3-i個因式的值為1,所以，,i≤m-3因為am=a?=a,=0,且不可能s=m+1,故s≥m+2,同理，t≥s+2,設等式右側有恰有j個因式的值為,有s-2-j個因式的值為1,其中0≤j≤s-2-m,j∈N,定義中的概念、原理、方法，解決題中需要解決的問題，也即是將新定義的問題，轉化為學過的知識來進行求解.(2)若從{a}中抽取一個公比為q的等比數(shù)列{ak,},其中k?=1,且k?<k?<…<kn<…,kn∈N”①當q取最小值時，求數(shù)列{k,}的通項公式②若關于n(n∈N)的不等式6S?>kn+1+2有解，求q的值.【分析】(1)解等差數(shù)列問題，主要從待定系數(shù)對應關系出發(fā).由等差數(shù)列前n項和公式求出公差d即可(2)①利用等比數(shù)列{an}每一項都為等差數(shù)列{a,}中項這一限制條件，對公比逐步進行驗證、取舍，直到滿足.因為研究的是q取最小值時的通項比9,②由①易得kn與9的函數(shù)關系kn=3×2”?1-2,并由kn為正整數(shù)初步限制4取值范圍，當q>1且q∈N時適合題意，當q>1且q?N時，不合題意.再由不等式6S,>k+1+2有解，歸納猜想并證明9取值范圍為2,3,本題難點是如何說明當，q≥4時不等式6S,>kn+1+2即無解，可借助研究數(shù)列單調性的方法進行說明.【詳解】(1)解：設等差數(shù)列的公差為d,則解得,所以(2)①∵數(shù)列{an}是正項遞增等差數(shù)列，所以數(shù)列{ak,}的公比q>1∴若k?=2,則由,得,此時由解得所以k?>2,同理k?>3;若k?=4,則由a?=4,得q=2,此時ak?=2×2”?1,又所以即二對任何正整數(shù)n,ak。是數(shù)列{a}的第3×2”?1-2項.所以最小的公比q=2.所以kn=3×2?1-2.所以當q>1且q∈N時，所有的kn+2=3q”?1均為正整數(shù)，適合題意；當q>1且q?N時，kn+2=3q”?1∈N不全是正整數(shù)，而6S,>kn+1+2有解，所以有解，經(jīng)檢驗，當q=2合題意；又因為f(1)<0,所以f(n)<0恒成立，所以b-1-b<0,所以b≤綜上所述，9的取值為2,3【點睛】本題利用了歸納法和數(shù)列的單調性法則進行證明，綜合性比較強.算定義如下：(2)由二階行列式的計算可得T,根據(jù)前n項和與通項的關系可求得bn,由此可得cn,采用錯位相減法(3)分別令x+4=a和x=a,結合函數(shù)奇偶性定義可推導得到f(【詳解】(1)設等比數(shù)列