專題16.2全等三角形十六大必考點(diǎn)

【人教版】

【考點(diǎn)1利用全等圖形求網(wǎng)格中的角度和】.......................................................1

【考點(diǎn)2將已知圖形分割成幾個全等的圖形】.....................................................5

【考點(diǎn)3添加條件使三角形全等】...............................................................7

【考點(diǎn)4靈活選用判定方法證明全等】..........................................................11

【考點(diǎn)5尺規(guī)作圖與全等的綜合運(yùn)用】..........................................................16

【考點(diǎn)6證明全等的常見輔助線的作法】........................................................20

【考點(diǎn)7證一條線段等于兩條線段的和（差）】..................................................28

【考點(diǎn)8全等中的倍長中線模型】..............................................................39

【考點(diǎn)9全等中的旋轉(zhuǎn)模型】..................................................................49

【考點(diǎn)10仝等中的垂線模型】..................................................................56

【考點(diǎn)11全等中的其他模型】...................................................................65

【考點(diǎn)12全等三角形的動點(diǎn)問題】..............................................................71

【考點(diǎn)13尺規(guī)作圖作角平分線】................................................................77

【考點(diǎn)14角平分線的判定與性質(zhì)的綜合求值】....................................................80

【考點(diǎn)15角平分線的判定與性質(zhì)的綜合證明】....................................................86

【考點(diǎn)16角平分線的實(shí)際應(yīng)用】................................................................95

”崎三

【考點(diǎn)1利用全等圖形求網(wǎng)格中的角度和】

【例I】（2022?山東?禹城市督楊實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級階段練習(xí)）如圖為6個邊長相等的正方形的組合圖形，則

01+03-02=（）

【答案】B

【分析】首先利用SAS定理判定0ABe00DBE,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得133WACB,WttK3ACB+01=01+03=9O°,

可得(31+33-(32.

【詳解】

團(tuán)在團(tuán)ABC和團(tuán)DBE中

AB=BD

Z..4=20，

(AC=ED

00ABC03DBE(SAS),

回團(tuán)3=?ACB,

00ACB+01=9O°,

001+03=90°,

002=45°

001+03432=900-45<>=450,

故選B.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了全等圖形，關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定，以及全等三角形對應(yīng)角杵等.

【變式1-1](2022?江蘇省灌云高級中學(xué)城西分校八年級階段練習(xí))如圖，由4個相同的小正方形組成的格

點(diǎn)圖中，01+02+03=度.

【答案】135

【分析】首先利用全等三角形的判定和性質(zhì)求出21+23的值，即可得出答案;

【詳解】如圖所示，

田

CD

在BACB和團(tuán)DCE中,

AB=DE

｛乙4=乙D,

AC=DC

^ACB三△OCE（SRS）,

^LABE=z3>

0Z1+42+43=（匕1+z3）+45°=90°+45°=135°；

故答案是：135。.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等圖形的應(yīng)用，準(zhǔn)確分析計算是解題的關(guān)鍵.

【變式1-2]（2022?江蘇?八年級單元測試）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格,圖形的各個頂點(diǎn)均為格點(diǎn)，貝附尸

+*__________度.

邳

【答案】45

【分析】如圖，直接利用網(wǎng)格得出對應(yīng)角NP=4AQC,進(jìn)而得U答案.

:-沁

【詳解】c

如圖，易知A/IB尸三△4CQ,0Z1P=Z/1QC,

田80是正方形的對角線，

團(tuán)4BQC=tBQA+LAQC=zP+z<?=45°,

故答案為：45.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形，正確借助網(wǎng)格分析是解題關(guān)鍵.

【變式1-3]（2022?山東?濟(jì)南市槐蔭區(qū)教育教學(xué)研窕中心二模）如圖，在4x4的正方形網(wǎng)格中，求a+

P=度.

【答案】45

【分析】連接4B,根據(jù)正方形網(wǎng)格的特征即可求解.

回圖中是4x4的正方形網(wǎng)格

團(tuán)AD=CE,Z.ADB=z.AECfDB=AE

^ADBCEA(SAS)

(3NEAC=Z.ABD=a,AB=AC

^Z.ABD+乙BAD=90°

^EAC+乙BAD=90°,即NG48=90°

^LACB=乙ABC=45°

配D||CE

團(tuán)4BCE=Z.DBC=0

SBC=Z.ABD+Z.DBC=a+P

團(tuán)a+0=45°

故答案為：45.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形網(wǎng)格中求角的度數(shù)，利用了平行線的性質(zhì)、同角的余角相等、等腰直角三角形

的性質(zhì)等知識點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是能夠掌握正方形網(wǎng)格的特征.

【考點(diǎn)2將已知圖形分割成幾個全等的圖形】

【例2】（2022?全國?八年級專題練習(xí)）沿著圖中的虛線，請將如圖的圖形分割成四個全等的圖形.

【答案】見解析

【分析】直接利用圖形總面積得出每一部分的面積，進(jìn)而求出答案.

（詳解】?.?共有3X4=12個小正方形，

???被分成四個全等的圖形后每個圖形有12+4=3,

??.如圖所示：

【點(diǎn)睛】本題主要考杳了應(yīng)用設(shè)計圖作圖，正確求出每部分面積是解題關(guān)鍵.

【變式2-1］（2022?江蘇?八年級專題練習(xí)）方格紙上有2個圖形，你能沿著格線把每一個圖形都分成完全

相同的兩個部分嗎？請畫出分割線.

【答案】見解析

【分析】觀察第一個圖，圖中共有20個小方格，要分成完全相同兩部分，則每個有10個小格，則可按如

圖所示，沿玲。分割；第二個圖同理沿￡與4>6玲”玲P9Q分割即可.

【詳解】解：如圖所示，第一個圖，圖中共有20個小方格，要分成完全相同兩部分，則每個有10個小格,

則可按如圖所示，沿分割；第二個圖同理沿EfFfGf分割即可.

將分割出的兩個圖形，逆時針旋轉(zhuǎn)90度，再通過平移，兩部分能夠完全重合，所以分割出的兩部分完全相

同.

【點(diǎn)睛】本題考查圖形全等，掌握全等圖形的定義是解題的關(guān)鋌.

【變式2-2］（2022?江蘇?八年級課時練習(xí)）試在下列兩個圖中，沿正方形的網(wǎng)格線（虛線）把這兩個圖形

分別分割成兩個全等的圖形，將其中?部分涂上陰影.

【答案】見解析（第一個圖答案不唯一）

【分析】根據(jù)全等圖形的定義，利用圖形的對稱性和互補(bǔ)性來分隔成兩個全等的圖形.

【詳解】解：第一個圖形分割有如下兒種：

【點(diǎn)睛】本題主要考查了學(xué)生的動手操作能力和學(xué)生的空間想象能力，牢記全等圖形的定義是解題的重點(diǎn).

【變式2-3］（2022?全國?八年級專題練習(xí)）知識重現(xiàn)：“能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形.”

理解應(yīng)用：我們可以把4x4網(wǎng)格圖形劃分為兩個全等圖形.

范例：如圖1和圖2是兩種不同的劃分方法，其中圖3與圖1視為同一種劃分方法.

請你再提供四種與上面不同的劃分方法，分別在圖4中畫出來.

圖4

【答案】見解析

［分析］根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)和全等形的定義進(jìn)行作圖即可.

【詳解】依題意，如圖

圖4

【點(diǎn)睛】本題考查了全等圖形的定義，熟練掌握網(wǎng)格特點(diǎn)作圖和全等圖形的概念是解題的關(guān)鍵.

【考點(diǎn)3添加條件使三角形全等】

【例3】（2022?全國?八年級專題練習(xí)）如圖，團(tuán)。=酰＞=90。，添加下列條件：①AC=A。：②明8C=0A8Z）：

③BC=BD,其中能判定R/a48c與心陰8。全等的條件有（）

A

D

B

A.0個B.1個C.2個D.3個

【答案】D

【分析】根據(jù)已知條件與全等三角形的判定定理即可分別判斷求解.

【詳解】解：宛）C=回。=90°,AB=A8,

團(tuán)①AC=AO,可用HL判定RS48。與R3A8。全等；

②0ABe=（M8D,可用AAS判定RtMBC與RSAB。全等；

③BC=BD,可用HL判定R3/WC與RtaAB。全等；

故選：D.

【點(diǎn)睛】此題主要考查全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟知全等三角形的判定定理.

【變式3-1］（2022?重慶?中考真題）如圖，點(diǎn)8,F,C,E共線，0?=0E,BF=EC,添加一個條件，不能判

斷MBfflEOE/7的是（）

A.AB=DEB.0A=0DC.AC=DFD.AC^FD

【答案】C

【分析】根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)逐一分析即可解題.

【詳解】解：：BF=EC,

???BC=EF

A,添加一個條件4B=OE,

又?；BC=EF,乙B=々E

??.△ABCDEF（5AS）

故A不符合題意；

B.添加一個條件財=團(tuán)。

又：BC=EF/B=乙E

???△ABC"DEF(AAS)

故B不符合題意;

C.添加一個條件AC=/）F,不能判斷財4Q3團(tuán)OEP,故C符合題意;

D.添加一個條件A5F。

:.Z.ACB=乙EFD

又??BC=EF/B=ZF

ABCDEF（ASA）

故D不符合題意，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查添加條件使得三角形全等即全等三角形的判定，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識

是解題關(guān)鍵.

【變式3-2］（2022?安徽淮南?八年級期末）如圖，點(diǎn)夕是A3上任意一點(diǎn)，還應(yīng)補(bǔ)充一個條

件，才能推出財尸6幽4孔）.從下列條件中補(bǔ)充一個條件，不一定能推出財尸EMPD的是（）

A.BC=BD；B.AC=AD；

C.a4aML4QB；D.^CAB^DAB

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，A8是公共邊，結(jié)合選項(xiàng)，逐個驗(yàn)證得出.

【詳解】解：A、補(bǔ)充BC=BD,先證;陋8P03魴尸。，后能推出MPC西4PD,故正確，不符合題意；

B、補(bǔ)充AC=AD,不能推出財尸。3財尸D,故錯誤，符合題意；

C、補(bǔ)充財CB=MZ）B,先證出（MBCmAB。，后能推出財PEMPD,故正確，不符合題意；

D、補(bǔ)充?C4B=0D48,先證出MBCmAB。，后能推出（MPC的4PD,故正確，不符合題意.

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考杳了三角形全等判定，解題的關(guān)鍵是知道有AAS,SSS,ASA,SAS.注意SSA是不能證明三

角形全等的，做題時要逐個驗(yàn)證，排除錯誤的選項(xiàng).

【變式3-3］（2022?全國?八年級課時練習(xí)）如圖，AB,CD相交于點(diǎn)E,且AB=CD,試添加一個條件使得

0ADE03CDE.現(xiàn)給出如下五個條件：（!）［aA=0C;（2）0B=0D;（3）AE=CC;（4）BE=DE;（5）AD=CB.其中符合要求有（）

AC

E

DB

A.2個B.3個C.4個D.5個

【答案】D

【分析】延長DA、BC使它們相較于點(diǎn)F,首先根據(jù)AAS證明然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即

可得到AF=FC,FD=FB,進(jìn)而得到AD=BC,即可證明AADE酶CBE,可判斷①、②的正誤；根捱SAS證明

△ADEE0CBE,即判斷③、④的正誤：連接BD,根據(jù)SSS證明AADB豳CBD,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到團(tuán)AWC,

結(jié)合①即可證明⑤.

【詳解】延長DA、BC使它們相較于點(diǎn)F

00DAB=SDCB,回AEDW3BEC

00BM3D

又困FWF,AB=CD

0AFABE0FCD

0AF=FC,FD=FB

(3AD=BC

0AADE0E1CBE,即①正確；

同理即可證明②正確；

I3AE=CE,AB=CD

0DE=BE

又蠻ACD=?B［：C

同△ADEE0CBE,③正確;

同理即可證明④正確；

連接BD.

（3AD=CB,AB=CD,BD=BD

0AADB1313CBD

0Q1DAB=0BCD

0AADE00CBE,⑤正確；

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定方法，主要包括：SSS、SAS、AAS.ASA,難點(diǎn)在于添加輔助線來構(gòu)

造三角形全等，關(guān)鍵在于應(yīng)根據(jù)所給的條件判斷應(yīng)證明哪兩個三角形全等.

【考點(diǎn)4靈活選用判定方法證明全等】

【例4】（2022?湖南?八年級單元測試）具備下列條件的兩個三角形一定是全等三角形的是（）.

A.有兩個角對應(yīng)相等的兩個三角形

B.兩邊及其中一條對應(yīng)邊上的高也對應(yīng)相等的兩個三角形

C.兩邊分別相等，并且第三條邊上的中線也對應(yīng)相等的兩個三角形

D.有兩邊及其第三邊上的高分別對應(yīng)相等的兩個三角形

【答案】C

【分析】選項(xiàng)A,選項(xiàng)B和選項(xiàng)D分別舉出反例的圖形即可；選項(xiàng)C根據(jù)題意畫出圖形，延長40至E,使

1

DE=ADf延長40至延,使DE=A'D,連接BE和夕口,根據(jù)全等三角形的判定,可證得△BDESACDA,

根據(jù)全等三角形性質(zhì)得BE=力。，乙5=乙。40,同理可得"E'=4C',再由全等三角形的

判定得△ABE三△AB'0,根據(jù)全等三角形性質(zhì)得匕E=乙E',Z.BAE=乙B，AE,進(jìn)而證得/84C=

最后根據(jù)全等三角形的判定證得△ABCA'B'C'.

【詳解】A.如圖1所示,

在么力DE和△ABC中，/力=/4^ADE=^ABC,匕AE。=4/lCB,但△ADE和△ABC不全等，故本選項(xiàng)不

符合題意；

B.如圖2所示，

AE

在Zi48C和△EFG中，BC=FG,AC=EG,AD1BC,EH1FG,AD=FG,但△48C和△EFG不全等,

故本選項(xiàng)不符合題意；

C.如圖3所示，

,,,

在A4BC和△&夕。中,點(diǎn)。和點(diǎn)D'分別平分線段BC和夕C',48=AB',AC=ACtAD=AD\延長4。至

E,使DE=A。,延長4。至E',使。'￡'=4。'，連接BE和8'4,

團(tuán)點(diǎn)。平分線段BC,

MD=CD,

^DE=AD,Z.BDE=Z.CDA

0ABDEWACDA

團(tuán)BE=AC,乙E=LCAD

同理B'E'=AC',NE'=NCS'D'

^AC=A'C

團(tuán)BE=BE

團(tuán)4D=A'D1

團(tuán)4E=A,E,

(MB=A'B'

團(tuán)ZkABE三△A'B'E'

團(tuán)△￡?二△￡?',￡.BAE=^B'A'E'

0ZC/1D=Z.C,A,D,

回4BAE+/.CAD=乙B，AE+^C,A,D,

回4BAC=Z.B'A'C

團(tuán)4B=A'B'

團(tuán)△4BC^LA'B'C

故本選項(xiàng)符合題意；

D.如圖4所示，

在AABC^h4B'C'中，43=A'B^AC=A'C.AD1BC.A'D'1B'C.AD="O',但此時△ABC^AA'B'C

不全等，故本選項(xiàng)不符合題意；

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)定理與判定定理，熟記全等三角形的性質(zhì)定理與判定定理是解本題

的關(guān)鍵.

【變式4-1]（2022?廣東?佛山市南海區(qū)瀚文外國語學(xué)校七年級階段練習(xí)）我國傳統(tǒng)工藝中，油紙傘制作非

常巧妙，其中蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)知識.如圖是油紙傘的張開示意圖，AE=AF,GE=GF,則△4EG三△力FG的依

據(jù)是（）

A.SASB.ASAC.AASD.SSS

【答案】D

【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理推出即可.

【詳解】解：在AAEG和AAR7中，

（EG=FG

<AE=AF,

\AG=AG

^AEG^^AFG（SSS）,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定定理，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關(guān)鍵，注意：全等

三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS,兩直角三角形全等還有HL等.

【變式4-2]（2022?江蘇?泰州市姜堰區(qū)第四中學(xué)八年級）如圖,已知A碗。。，AD0BC,AC與6。交于點(diǎn)O,

4EUBO于點(diǎn)E,C脫1BD于點(diǎn)F,那么圖中全等的三角形有（）

A.5對B.6對C.7對D.8對

【答案】C

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，以及全等三角形的判定即可求出答案.

【詳解】解：①△/BE三

^ABWCD,AD^BC,

0AB=CD,Z.ABE=Z-CDF.

□ZF1BD^E,CF1BDfE,

^LAEB=乙CFD,

(3AABE三△CDF；

6AOEX:OF.

回4B|￡D,AD\\BC,AC為A8CO的對角線，

(2。4=OC,￡.EOA=Z.FOC.

^Z.AEO=乙CFO,

[HAAOE=△COF\

@LABO=LCDO.

團(tuán)4BIICD,ADWBC,AC與BD交干點(diǎn)、O,

00。=08,乙AOB=LCOD,0A=0C,

皿ABOw△CDO；

?△BOC三△004.

IMBIICD,ADWBC,AC與BD交于點(diǎn)O,

(20D=0B,乙BOC=LDOA,OC=OA,

(HABOCz△DOA；

⑤△ABC三△CIM.

團(tuán)4B|￡D,ADIIBC,

WC=AD,DC=AB,/.ABC=LCDA,

^ABC=△CDA；

?^ABD=^CDB.

^ABWCD,AD\\BC,

⑦乙BAD=LBCD,AB=CD,AD=BC,

0AABD^△CDB；

QxADEcCBF.

0ZID=BC,DE=BF,AE=CF,

0AADE=△CBF.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等的判定方法，解題關(guān)鍵找出對應(yīng)相等的邊、角，判定兩個三角形全等的?般

方法有：SSS、SAS、7L4S,ASA、HL,同時考查了平行四邊形的性質(zhì)，題目比較容易.

【變式4-3］（2022?浙江?八年級單元測試）根據(jù)下列條件不能唯一畫出0/WC的是（）

A.AB=5,BC=6,AC=7B.AB=5,BC=6,08=45°

C.AB=5,AC=4,0C=9O°D.AB=3,AC=4,0C=45°

【答案】D

【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系和全等三角形的判定定理逐項(xiàng)分析即可解答.

【詳解】解.：A.與3c兩邊之和大于第三邊，故能作出三角形，且三邊知道能唯一畫出0A8C不符合

題意；

B.13B是A8、BC的夾角，故能唯一畫出不符合題意；

C.A8=5,AC=4,0C=9O°,得出BC=3,可唯一畫出不符合題意；

D.由于是SS4,所以4B=3,4C=4,0C=45°,不能唯一畫出三角形ABC,符合題意.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的三邊關(guān)系、全等三角形的判定等知識點(diǎn)，掌握SS4不能判定三角形全等

是解答本題的關(guān)鍵.

【考點(diǎn)5尺規(guī)作圖與全等的綜合運(yùn)用】

【例5】（2022?全國?九年級專題練習(xí)）如圖，在△ABC外找一個點(diǎn)A（與點(diǎn)A不重合），并以8C為一邊作

△A'BC,使之與△48C全等，且A/BC不是等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)A有（）

【答案】C

【分析】本題是開放題，要想使明山。與財3C全等，先確定題中條件，再對應(yīng)三角形全等條件求解.

【詳解】解：如圖:

以B點(diǎn)為圓心，C4為半徑上下畫弧，C點(diǎn)為圓心，必為半徑上下畫弧，兩弧相交分別得到點(diǎn)“、公二

以C點(diǎn)為圓心，。為半徑畫弧，以5點(diǎn)為圓心，8A為半徑畫弧，兩弧的交點(diǎn)得到點(diǎn)4'，所以符合條件

的點(diǎn)A，有3種可能的位置.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等的判定綜合.判定兩個三角形全等，先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形，

然后再根據(jù)三角形全等的判定方法去求證.

【變式5-1］（2022?全國?八年級課時練習(xí)）如圖，以0ABC的頂點(diǎn)4為圓心，以長為半徑作?。辉僖皂?/p>

點(diǎn)C為圓心，以長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)。；連結(jié)人。CD.由作法可得：△ABC三△CZM的根據(jù)是

A.SASB.ASAC./L4SD.SSS

【答案】D

【分析】根據(jù)題意和全等三角形判定的方法可以得到ABE3CD4的根據(jù)，本題得以解決.

【詳解】解：由題意可得，

AD=BC,AB=CD,

在EAQC和I3CB4中，

（AD=CB

DC=BA,

VAC-CA

（SSS）,

故選:D.

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用全等三角形的判定方法解答.

【變式5-2］（2022?廣東?普寧市紅領(lǐng)巾實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級階段練習(xí)）在課堂上，張老師布置了一道畫圖題：

畫一個山△48C,使乙8=90。，它的兩條邊分別等于兩條已知線段.小劉和小趙同學(xué)先畫出了乙M8N=90。

之后，后續(xù)畫圖的主要過程分別如圖所示.那么小劉和小趙同學(xué)作圖確定三角形的依據(jù)分別是；

【答案】SASHL

【分析】由圖可知小劉同學(xué)確定的是兩條直角邊，根據(jù)三角形全等判定定理為S4s.

由圖可知小趙同學(xué)確定了一個直角邊和斜邊，根據(jù)三角形全等判定定理為HL.

【詳解】小劉同學(xué)畫了4MBN=90。后，再截取48,BC兩直角邊等于兩已知線段，所以確定的依據(jù)是54s定

理；

小趙同學(xué)畫了乙MBN=90。后，再截取BC,AC一直角邊和一個斜邊，所以確定的依據(jù)是"L定理.

故答案為：①SAS；@HL.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，熟練掌握每種證明方法，做出判斷是解題的關(guān)鍵.

【變式5?3】（2022?北京口01中學(xué)九年級開學(xué)考試）李老師制作了如圖1所示的學(xué)具，用來探究“邊邊角條

件是否可確定三角形的形狀”問題.操作學(xué)具時，點(diǎn)Q在軌道槽AM上運(yùn)動，點(diǎn)尸既能在以A為圓心、以8

為半徑的半圓軌道槽上運(yùn)動，也能在軌道槽QN上運(yùn)動.圖2是操作學(xué)具時,所對應(yīng)某個位置的圖形的示意

有以下結(jié)論:

①當(dāng)乙P/1Q=3O。，PQ=6時，可得到形狀唯一確定的△P/Q

②當(dāng)乙P/Q=90。，PQ=10時，可得到形狀唯一確定的△P4Q

③當(dāng)乙PAQ=150°,PQ=12時，可得到形狀唯一-確定的^PAQ

其中所有正確結(jié)論的序號是.

【答案】②③##③②

【分析】分別在以上三種情況下以P為圓心，PQ的長度為半徑畫弧，觀察弧與直線AM的交點(diǎn)即為。點(diǎn)，

作出AP4Q后可得答案.

【詳解】如下圖，當(dāng)回陽。=30。，尸Q=6時，以P為圓心，尸。的長度為半徑畫弧，弧與直線4M有兩個交點(diǎn),

作出AP4Q,發(fā)現(xiàn)兩個位置的Q都符合題意，所以A/MQ不唯一，所以①錯誤.

如下圖，當(dāng)朋4Q=90。，PQ=10時，以尸為圓心，PQ的長度為半徑畫弧，弧與直線AM有兩個交點(diǎn)，作出AP4Q,

發(fā)現(xiàn)兩個位置的Q都符合題意，但是此時兩個三角形全等，所以形狀相同，所以AP/Q唯一，所以②正確.

如下圖，當(dāng)胡40=150。,PQ=12時，以P為圓心，尸Q的長度為半徑畫弧，弧與直線AM有兩個交點(diǎn)，作出AP4Q,

發(fā)現(xiàn)左邊位置的Q不符合題意，所以APAQ唯一，所以③正確.

綜上：②③正確.

故答案為：②③

【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形形狀問題，為三角形全等來探索判定方法，也考查三角形的作佟，利用對稱

關(guān)系作出另一個。是關(guān)鍵.

【考點(diǎn)6證明全等的常見輔助線的作法】

【例6】（2022?江蘇?宿遷青華中學(xué)七年級階段練習(xí)）（1）如圖①,四邊形ABCD中，AB=AD,0B=0ADC=9O0.E,

F分別是BC,CD上的點(diǎn)，且BE+FD=EF.試探究圖中團(tuán)EAF與國BA）之間的數(shù)量關(guān)系.小明同學(xué)探究此問題的

方法是：延長FD到G,使DG=BE,連結(jié)AG.先證明△力BE三△40G,再證明△4EF三△4G"，從而得出

團(tuán)EAFWGAF,最后得U旭EAF與團(tuán)BAD之間的數(shù)量關(guān)系是.

（2）將⑴中的條件飾=3ADC=90°"改為飛B+0D=18O0”（如圖②）,其余條件不變,上述數(shù)量關(guān)系是否成

立，成立，請證明；不成立，說明理由

（3）如圖③，中俄兩國海軍在南海舉行聯(lián)合軍事演習(xí)，中國艦艇在指揮中心（0）北偏西30,的A處，俄

羅斯艦艇在指揮中心南偏東70。的B處，兩艦艇到指揮中心距離相等.接到行動指令后，中國艦艇向正東方

向以60海里/小時的速度前進(jìn)，俄羅斯艦艇沿北偏東50。的方向以80海里/小時的速度前進(jìn)，2小時后，指

揮中心觀測到兩艦艇分別到達(dá)E,F處且相距280海里.求此時兩艦艇的位置與指揮中心（0處）形成的夾

角團(tuán)EOF的大小.

【答案】（1）I2EAF?BAD；（2;仍然成立，見解析；（3）70°

【分析】（1）根據(jù)小明同學(xué)的探究方法不難得到既AF=扣BAD：

（2）延長FD到G,使DG=BE,連接AG,根據(jù)同角的補(bǔ)角相等求出回BRIADG,然后利用“邊角邊"證明團(tuán)ABE

和EADG全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AE=AG,0BAE=0DAG,再求出團(tuán)EAF=（3GAF,然后利用“邊角

邊"證明團(tuán)AEF和團(tuán)GAF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得EF=GF,然后求解即可；

（3）連接EF,延長AE、BF相交于點(diǎn)C,然后求出團(tuán)0AC+回OBC=180。，判斷出符合探索延伸的條件，再根據(jù)

探索延伸的結(jié)論解答即可.

【詳解】解：（1）如圖①，延長FD到G,使DG=BE,連結(jié)AG.

在EABE和團(tuán)ADG中，AB=AD,BE=DG,0B=[?1ADG=9O%

團(tuán)團(tuán)ABE團(tuán)圓ADG,0AE=AG,

在EAEF和團(tuán)AGF中，AE=AG,AF=AF,EF=BE+FD=DG+FD=GF,

團(tuán)團(tuán)AEF圖2AGF,00EAF=HGAF=1aGAD+0DAF=[?lEAB+[21DAF

00BAD=0EAF+0EAB-H3DAF=20EAF

回回EAF=%BAD

2

(2)0EAF=^0BAD仍然成立.

證明：如圖②，延長FD到G,使DG=BE,連接AG.

圖2

E0B-H3ADC-18O0,0ADC+OADG-18O%團(tuán)團(tuán)B-I3ADG,

00ABE00ADG(SAS).0AE=AG,0BAE=0DAG.

又(3EF=BE+DF,DG=BE,0EF=DG+DF=GF.

回團(tuán)AEF幽AGF(SSS).E0EAFWGAF.

乂制GAF=E)DAG+同DAF,電EAF=0DAGMDAF=mBAE+(3DAF.

而既AF短BAE+團(tuán)DAFWBAD,

配IEAFASBAD

2

(3)如圖③，連接EF,延長AE、BF相交于點(diǎn)C.

團(tuán)2小時后，艦艇甲行駛了120海里，艦艇乙行駛了160海里，

即AE=120,BF=160.而EF=280,困在四邊形AOBC中,有EF=AE+BF,

又僅OA=OB,且回OAC唱OBC=(90°-30°)+(70°+50°)=180°,

團(tuán)符合(2)中的條件.

又（a3AOB=30°+90°+（90°-70°）=140°,00EOF=^?1AOB=70°.

2

答：此時兩艦艇的位置與指揮中心（0處）形成的夾角回EOF的大小為70。.

【點(diǎn)睛】本題考查J'全等三角形的判定與性質(zhì)，讀懂問題背景的求解思路，作輔助線構(gòu)造出全等三角形并

兩次證明三角形全等是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn).

【變式6-1］（2022?全國?八年級課時練習(xí)）如圖，已知：AB=AC,BD=CD,乙4=60。，zD=140°,則

C.40°或70°D.30°

【答案】B

【分析】連接4D,可證△ABDOZMCD,根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可以得到=z&4D="B4C,

乙ADB=tADC,代入角度即可求出乙B4D和N/1DB的度數(shù)，最后利用三角形內(nèi)角和定理即可求解.

【詳解】連接4。，如圖，

在么與△力CD中

(AB=AC

[BD=CD,

VAD=AD

:.△ABD^^ACD(5SS),

ALBAD=Z.CAD=-Z-BAC,Z-ADB=jADC,

2

vLA=60°,

：?乙BAD=￡.CAD=30°,

???LD=140°,

LADB=Z.ADC=-(360°-140°)=110°,

???LBAD+Z-ADB+Z.B=180°,

???LB=40°.

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，添加正確的輔助線是解題的關(guān)鍵.

【變式6-2］（2022?全國?七年級單元測試）（1）求證：等邊三角形內(nèi)的任意一點(diǎn)到兩腰的距離之和等于定

長.（提示：添加輔助線證明）

（2）如圖所示，在三角形ABC中，點(diǎn)D是三角形內(nèi)一點(diǎn)，連接DA、DB、DC,若AB=AC,4ADB=

求證：AD平分484c.

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.

【分析】（1）已知點(diǎn)P是等邊三角形A8C內(nèi)的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作三邊的垂線，分別交三邊于點(diǎn)。、

點(diǎn)E、點(diǎn)E求證PD+PE+PF為定長，即可完成證明；

（2）（面積法）過點(diǎn)A作AE1BD交BD延長線于點(diǎn)E,再過點(diǎn)A作AF1CD殳CD延長線于點(diǎn)F.因?yàn)橐褹DB=

Z.ADC,所以4ADE=因此△ACF會ADE（AAS）,得至1以尸=4E.進(jìn)而△AFC會△AE8,得至1吐力8。=

^ACD,因止匕48Az）=4￡40,即A。平分4BHC.

【詳解】（1）已知：等邊如圖三角形ABC,P為三角形ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，PDSLAB,PF0AC,PE0BC,

求證：PD+PE+PF為定值.

證明：如圖：過點(diǎn)A作力G，8C,垂足為點(diǎn)G,分別連接4P、BP、CP.

回S"8c=^t^ABP+SABCP+SKAP，

^■BC-AG=-BC-PE+-AC-PF+-AB-PD

2222

XEBC=AB=AC

團(tuán)AG=PE+PF+PD,即PZ)+PE+PF=AG定長.

團(tuán)等邊三角形內(nèi)的任意一點(diǎn)到兩腰的距離之和等于定長.

(2)

過點(diǎn)A作1BD交BD延長線于點(diǎn)E,再過點(diǎn)A作/尸1CD交CD延長線于點(diǎn)F.

團(tuán)4108=Z.ADC,

回ZJ10E=Z.ADF,

又EAD=AD

回△力。戶三力。E(AAS),

^AF=AE

0A24FC=^AEB,

S8D=Z.ACD,

^BAD=Z-CAD,司JA。平分NBKC.

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)和判定，其中做出輔助線是解答本題的關(guān)鍵.

【變式6-3](2022?全國?八年級課時練習(xí))已知等腰團(tuán)ABC中，AB=AC,點(diǎn)D在直線AB上，DE0BC,交直

線AC與點(diǎn)E,且BD=BC,CH0AB,垂足為H.

A

E—D

ll

H

R

（l）當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上時，如圖1,求證DH=BH+DE；

（2）當(dāng)點(diǎn)D在線段BA延長線上時，如圖2,當(dāng)點(diǎn)D在線段AB延長線上時，如圖3,直接寫出BH,

。￡之間的數(shù)最關(guān)系，不需要證明.

【答案】（1）見詳解；（2）圖2：DH=BH—DE,圖3：DE=DH+BH

【分析】（1）在線段AH上截取HM=BH,連接CM,CD,證明△DMCDEC,可得到DE=DM,即可

求解.

（2）當(dāng)點(diǎn)。在線段BA延長線上時，在84的延長線上截取=連接CM,DC,由題意可證△8HC三4

CHM,可得NB=4CMB,由題意可得即可證△DMC三△DEC,可得DE=DM,則可得=

BH-DE；當(dāng)點(diǎn)。在線段48延長線上時，在線段4B上截取B”=HM,連接CM,CD,由題意可證△8HC三

△CHM,可得="MB,由題意可得=Z.AED,即可證△DMC=△DEC,可得0E=DM,則可得DE=

DH+BH.

【詳解】解：（1）證明：在線段AH上截取=連接CM,CD

0C/4=BC

團(tuán)ZB=Z.CMB

[MB=AC

=Z.ACB

WE//BC

0Z/WF=CB=Z,AED=Z.ACB,乙CDE=乙BCD

^Z.AED=乙BMC

回NDEC=Z.DMC

BBD=BC

0ZFDC=乙BCD=Z-EDC

團(tuán)CD=CD

0ACDMCDE

WM=DE

^BH+DE=DM+HM=DH

(2)當(dāng)點(diǎn)。在線段ZM延長線上時，DH=BH-DE

如圖2：在8月的延長線上截取M〃=3〃，連接CM,DC

^AB=AC

^/.ABC=Z.ACB

0FD=BC

⑦匕BDC=乙DCB

WE//BC

團(tuán)/￡=Z.ACB=Z.B=Z.EDB

^CH=CH,BH=MH,Z.BHC=LCHM

0ABHC=^CHM

團(tuán)，B=4M

0zF=乙M

0ZAYDC=Z.B+^.DCB,乙EDC=^BDC+乙EDB

團(tuán)iMDC=乙EDC

又叵4E=ZM,DC=CD

0ADEC=△DMC

WE=DM

WH=MH-DM

田DH=BH-DE

當(dāng)點(diǎn)。在線段A8延長線上時，DE=DH+BH

如圖3：當(dāng)點(diǎn)0在線段48延長線上時，在線段4B上截取="M,連接CM,CD

團(tuán)=HM,CH=CH,Z,CHB=乙MHC=90°

[?]△MHC"BHC

回匕ABC=乙BMC

團(tuán)AB=AC

^Z-ABC=Z-ACB

團(tuán)BD=BC

團(tuán)NBDC=乙BCD

^BC//DE

回NBCD=Z.CDE,Z.ACB=Z.AED

^Z.BDC=/-CDE,/.BMC=Z-AED,且CD=CD

0ACDM=△CDE

WE=DM

國DM=DH+HM

團(tuán)DE=DH+BH

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形綜合題，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，合理添加輔助線

證全等是解題的關(guān)鍵.

【考點(diǎn)7證一條線段等于兩條線段的和（差）】

【例7】（2022?全國?八年級專題練習(xí)）如圖，班友?中，團(tuán)4=45。，［MCB=30o,CO平分財C8,AD^CD,

求證：CD=AB-1-AD

【答案】見解析

【分析】遇到這種CO=A4+A。線段和差問題一般都是截長補(bǔ)短；

方法1：補(bǔ)短A3，構(gòu)造4E=A3+AQ,證明。。=8￡即可；

方法2：補(bǔ)短AO,構(gòu)造=A8+AO,證明CO=D/即可：

方法3：截長，在CO上截取OE使得OE=A。，構(gòu)造等腰直角三角形4BF,證明AAEC即可；

方法4：截長，在CO上截取OE使得。E=AO,在CB延長上取點(diǎn)“使得A”=AC,證明A8=EC即可;

【詳解】方法1：補(bǔ)短，構(gòu)造全等

證明：延長網(wǎng)至點(diǎn)E,使得A/）=4E,連接CE

財DECT)

團(tuán)團(tuán)。=90°

團(tuán)團(tuán)8=45°,(MC^=30°

團(tuán)團(tuán)"。=團(tuán)8+團(tuán)4。8=45°+30°=75°

(3CD平分(MCA

團(tuán)酎CO=15°

(WMC=90°-15°=75°

00EAC=0DAC

在(L4QC和財￡C中

^AD=AE

團(tuán)E4C=團(tuán)。AC

AC=AC

^DC^AEC(SAS)

?EC=CD,0E=0D=9O°,^ECA=^ACD=15°

皿ECB=I3B=45°

?EC=BE

團(tuán)EC=BE=CD

BCD=AB-^AE=AB-^AD

方法2：補(bǔ)短，構(gòu)造全等

證明：延長。A至點(diǎn)F,使得A/=A8

隴6=45°,a4c8=30°

013MC=180—0H—(MC5=180°-45°-30°=105°

(3CD是財CB的角平分線

(3財CO=15°

04D0CD,

0(2)0=90%

釀E4C=回。+財。。=900+15°=105°

^\EAC=WAC

在MAC和MEC中

A13=AE

^EAC=^BAC

AC=AC

配WBCmaAEC(SAS)

團(tuán)團(tuán)￡=(3B=45°,

00fCD=9O°-QE=0^=45°

^CD=DE=AD+AE=AD-{-AB

方法3：截長，構(gòu)造全等

證明：

在CD上截取DE使得DE=AD

IMD0CD

皿￡0=45。，^AEC=135°

過點(diǎn)A作AF^AB交BC于點(diǎn)、F

:涇8=45°,

(3財產(chǎn)B=I3B=45°,a4FC=135°

^AB=AF,BAEC=BAFC

(3CD平分GL4CB

幽4CZ)=15°

回團(tuán)OAC=90°—IMCQ=9Cr—15°=75°

釀EAC=囪DAC—回。AE=75°-45°=30°

^EAC=^ACF

在EAEC和回。用中

^EAC=^ACF

AC=AC

^AEC=^AFC

0(?L4EC00CM(ASA)

^CE=AF=AB

^CD=DE+CE=AD~\~AB

方法4：截長，構(gòu)造全等

證明：

在CD上截取。石使得DE=AD

04D0CD

回西￡7)=45°,a4EC=135°

在CB延長上取點(diǎn)從使得4H=AC

0a4BC=45o

^ABH=135°

^ABH=^AEC

^AH=AC

釀，=MC3=30°

(3CD平分MCB

13aAe77=15"

[3ia/MC=90°-財€7)=90°—15°=75°

0HEAC=0DAC-0DAE=75O-45O=3O°

團(tuán)團(tuán)，=團(tuán)￡4。

在EAB”和國CEA中

^H=^EAC

AH=AC

^ABH=^AEC

^BH^CEA{ASA)

^AB=CE

團(tuán)CD=OE+CE=AO+A8

【變式7-1］（2022?安徽淮北?八年級階段練習(xí)）如圖，在四邊形A8CD中，是48力。的平分線,

且力E_LC￡若4C=a,BD=b,則四邊形/WOC的周長為（）

A.1.5（a+6）B.2a+bC.3a—bD.a+2b

【答案】B

［分析］在線段AC上作AF=AB,證明13AEF00AEB可得（3AFEWB,0AEF=0AEB,再證明團(tuán)CEF能ICED可得CD=CF,

即可求得四邊形A8DC的周長.

【詳解】解：在線段AC上作AF=AB,

0AE是48/1C的平分線，

00CAE=0BAE,

又EAE=AE,

(30AEFOAEB(SAS),

能1AFEWB,EAEF=?AEB,

0AB0CD,

團(tuán)如+團(tuán)B=180°,

00AFE+@CFE=18O°,

回國DWCFE,

團(tuán)4E1CE,

00AEF+0CEF=9O°,0AEB+0CED=9O°,

圖3CEF=0CED,

在(3CEF和13CED中

Z.D=心CFE

0Z.CEF=4CEO,

CE=CE

能］CEF勵CED(AAS)

回CE=CF,

國四邊形48。。的周|<<-AC+AB+BD+CD-AC+AF+CF+BD-2AC+BD-2a+b.

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)和判斷.能正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵.

【變式7-2］（2022?山東煙臺?七年級期末）在MBC中，0ACB=9OO,AC=BC,。是直線A8上一點(diǎn)（點(diǎn)。

不與點(diǎn)A、8重合），連接。C并延長到石，使得CE=CZ）,過點(diǎn)石作石質(zhì)直線8C,交直線于點(diǎn)立

⑴如圖1,當(dāng)點(diǎn)。為線段上的任意一點(diǎn)時，用等式表示線段FACF、AC的數(shù)量關(guān)系，并證明；

⑵如圖2,當(dāng)點(diǎn)。為線段曲的延長線上一點(diǎn)時，依題意補(bǔ)全圖2,猜想線段石/、CF、AC的數(shù)量關(guān)系是否

發(fā)生改變，并證明.

⑶如圖3,當(dāng)點(diǎn)。在線段A3的延長線上時，直接寫出線段AC之間的數(shù)量關(guān)系.

【答案】（1）AC=EF+FC,證明見解析

⑵補(bǔ)全圖形見解析，AC=EF-CF,證明見解析

(3)AC=CF-EF

【分析】(1)過。作。M3C4于"由"4AS'可證團(tuán)在。2團(tuán)〃。C,可得CH=FC,DH=EF,可得結(jié)論；

(2)過。作。碓。5于〃，由“AA1，可證回"EOmiHOC,可得CH=FC,DH=EF,可得結(jié)論.

(3)過。作。加CB交C8的延長線于從由"A4S"可證回五七面”。。，可得C”=FC,DH=EF,可得結(jié)論.

(1)

結(jié)論：AC=EF+FC,

理由如下：過。作。M3C8于〃，

A

^DHC=WHB=90°

^EF^CF,

00￡FC=0D77C=9O°,

在MFC和團(tuán)〃。。中，

"FC=乙DHC=90°

；Z.FCE=乙DCH，

(EC=CD

^FEC^HDC(AAS),

0CH=FC,DH=EF,

團(tuán)財6=90°,AC=BC,

005=45%

00D?=9OO,

(3團(tuán)8=團(tuán)〃。8=45°

^DH=HB=EF,

電BC=CB+HB

a4C=FC+EF；

(2)

依題意補(bǔ)全圖形，結(jié)論：AC=EFCF,

理由如下：

過D作DM3CB交BC的延長線于H,

E

^EF^\CFf

□□￡FC=0D//C=9O°,

在田產(chǎn)EC和團(tuán)”O(jiān)C中，

((FCE=乙DCH

\z-EFC=乙DHC=90°,

(EC=DC

^FEC^HDC(AAS),

^CH=FC,DH=EF,

團(tuán)皿"75=90",

W=^HDB=45°

田DH=HB=EF,

?BC=HB-CH

^AC=EF-CF.

⑶

AC=CF-EF.

如圖3,過。作。M3C4交CB的延長線于從

同理可證團(tuán)正反國(AAS),

^CH-FC,DH-EF,

團(tuán)回?！?=90°,

005=0//DB=45°,

⑦DH=HB=EF,

^AC=CF-EF.

【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是本題

的關(guān)鍵.

【變式7-3](2022?全國?八年級專題練習(xí))在中，AE,CD為△4BC的角平分線，AE,CO交于點(diǎn)F.

(1)如圖1,若乙B=60°.

①直接寫出乙4尸C的大小;

②求證：AC=AD+CE.

(2)若圖2,若乙B=90。，求證：Si”=SpFD+S?EF+SADEF.

BB

N\EE

A

AC圖2

圖1