專題2.9等腰三角形的證明及計(jì)算大題專項(xiàng)訓(xùn)練（50道）

【浙教版】

考卷信息：

本套訓(xùn)練卷共5（）題，題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可深化學(xué)生對等腰三角形工具的應(yīng)用及構(gòu)造等

腰三角形！

一.解答題（共50小題）

1.（2022秋?開福區(qū)校級期末）如圖，在四邊形ABCD中，BD所在的直線垂直平分線段AC,過點(diǎn)A作

4尸〃8C交CO于F,延長AB、0c交于點(diǎn)E.

（1）求證：AC平分NE4F；

（2）求證：NFAD=ZE；

（3）若/石八。=90°,AE=5,八f=3,求Cf的長.

【分析】（I）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到BA=BC,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到NBAC=NBCA,根

據(jù)平行線的性質(zhì)得到NCAF=/BCA,等量代換證明結(jié)論；

（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到DA=DC,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到NDAC=NDCA,再根據(jù)三角

形的外角性質(zhì)證明即可；

（3）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到NE+NADE=90°,由（2）知，ZFAD=ZE,求得NAFD=NAFE=

90°,根據(jù)勾股定理得到EF="AE2-AF2=4,設(shè)DF=x,求得DF=得到AD=V5笆二存二：,根

44

據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AD=CD-號,丁是得到結(jié)論.

【洋解】（I）證明：〈BD所在的直線垂直平分線段AC,

，BA=BC,

，NBAC=NBCA,

VBCZ/AF,

AZCAF=ZBCA,

.\ZCAF=ZBAC,

即AC平分NEAF；

(2)證明：???BD所在的直線垂直平分線段AC,

ADA=DC,

/.ZDAC=ZDCA,

VZDCA是AACE的一個外角，

AZDCA=ZE+ZEAC,

ZE+ZEAC=NFAD+NCAF,

VZCAF=ZEAC,

，NFAD=NE；

(3)解:VZEAD=90°,

AZE+ZADE=90°,

由(2)知，ZFAD=ZE,

/.ZDAF+ZADE=90°,

/.ZAFD=ZAFE=90°,

VAE=5,AF=3,

/.EF=VAE2—AF2=4,

設(shè)DF=x,

VDE2-AE2=AD2=AF2+DF2,

:.(4+x)2-52=32+x2,

解得x=

4

ADF=-,

4

ADE=Y，

AAD=VDE2-AE2=

4

VBD所在的直線垂直平分線段AC,

.\AD=CD=—,

4

??.Cr=-1-5-----9=-3?

A

【點(diǎn)睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線

段的兩個端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵.

2.（2022秋?鐵西區(qū)期末）如圖1,點(diǎn)4、8分別在射線OM、ON上運(yùn)動（不與點(diǎn)。重合），AC.BC分

別是NB4O和NABO的角平分線，BC延長線交OM于點(diǎn)G.

（1）若NMON=60°,則NACG=60度:

（2）若,則NACG=_00-^2_度；（用含”的代數(shù)式表示）

（3）如圖2,若NMON=72°,過點(diǎn)C作C尸〃04交A8于點(diǎn)F,求N8G。與NAC尸的數(shù)量關(guān)系.

圖1圖2

【分析】（1）先由NMON=60°求得NABO+NBAO=120°,然后由AC、BC分別是NBAO和NABO

的角平分線求得NCAB+NCBA=60°,最后結(jié)合三角形的外角性質(zhì)求得NACG的度數(shù)；

（2）根據(jù)（1）中的過程，用含有n的式子表示即可得到結(jié)果；

（3）先由CF〃OA得到NACF=/CAG,然后由NBGO是4ACG的外角得到NBGO-/ACF=NBGO?

ZCAG=ZACG,再由（2）得NACG=90°-1x72°=54°,最后得到NBGO和NACF的數(shù)量關(guān)系.

【詳解】解：（1）VZMON=60°,

.\ZABO+ZBAO=180°-60°=120°,

???AC、BC分別是NBAO和NABO的角平分線，

.\ZABC+ZBAC=2-（ZABO+ZBAO）=60°，

TNACG是aABC的外角，

/.ZACG=ZABC+ZBAC=60°,

故答案為：60.

(2)VZMON=n°,

/.ZABO+ZBAO=180°-n°,

「AC、BC分別是NBAO和NABO的角平分線，

AZABC+ZBAC=i(180°-n°)=(90-5)°,

,INACG是AABC的外角，

/.ZACG=ZABC+ZBAC=(90-^)°,

故答案為：(90-^).

(3)VCF/7OA,

???NACF=NCAG,

AZBGO-ZACF=ZBGO-ZCAG=ZACG,

由(2)得：ZACG=90°-1x72°=54°,

AZBGO-ZACF=54°.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和與外角和定理、角平分線的定義，整體思想的應(yīng)用是

解通的關(guān)鍵.

3.(2022秋?單縣期末)如圖，已知點(diǎn)A、C分別在NG8E的邊BG、BE上,RAB=AC,A。"BE,NGBE

的平分線與4。交于點(diǎn)。，連接CO.求證：①A/3=A。；②C、O平分NACE.

【分析】①由平行線的性質(zhì)得NADB=NDBC,再由角平分線的定義得NABD=NDBC,則NABD=N

ADB,然后由等腰三角形的判定即可得到AB=AD：

②由平行線的性質(zhì)得NADC=NDCE,再由①知AB=AD,則AC=AD,然后由等腰三角形的性質(zhì)得NACD

=ZADC,則NACD=NDCE,即可得到結(jié)論.

【詳解】證明：①???AD〃BE,

??.NADB=NDBC,

???BD平分/ABC,

AZABD=ZDBC,

AZABD=ZADB,

AAB=AD；

②TAD〃BE,

.*.ZADC=ZDCE,

由①知，AB=AD,

XVAB=AC,

AAC=AD,

AZACD=ZADC,

???NACD=NDCE,

???CD平分NACE.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰二角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，平行線的性質(zhì)等知識，熟練掌握等腰二

角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

4.（2022秋?巴彥縣期末）如圖，在△48C中，點(diǎn)。是邊BC上一點(diǎn)，點(diǎn)E在邊AC上，且BD=CE,Z

BAD=NCDE,/ADE=NC.

（1）如圖I,求證：△AQE是等腰三角形；

（2）如圖2,若OE平分NAQC,在不添加輔助線的情況下，請直接寫出圖中所有與NCOE相等的角（N

除外）.

【分析】（1）根據(jù)平角的定義和三角形的內(nèi)角和定理得到NADB=NDEC,根據(jù)全等三角形的判定定理即

可得到結(jié)論；

（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到NC=NB,根據(jù)角平分線定義得到NADE=NCDE,等量代換得到結(jié)論.

【詳解】解：（1）VZADE=ZC,ZADB=180°-ZADE-ZCDE,ZDEC=180°-ZCDE-ZC,

???NADB=NDEC,

4AADB與ADEC中,

ZBAD=ZCDE

ZADB=ZDEC?

BD=CE

/.△ADB^ADEC(AAS),

，AD=DE,

???△ADE是等腰三角形：

(2)VAADB^ADEC,

???NC=NB,

「DE平分/ADC,

AZADE=ZCDE,

VZBAD=ZCDE,

???ZCDE=ZB=ZC=ZADE=ZCDE,

故圖中所有與/CDE相等的角有/B,ZC,ZADE,ZDAD.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線定義，證得4ADB也

△DEC是解題的關(guān)鍵.

5.(2022秋?石家莊期末)如圖，在△ABC中，AB=AC,點(diǎn)。為4c上一點(diǎn)，且滿足AO=8D=8C.點(diǎn)E

是/W的中點(diǎn)，連接EO并延長，交BC的延長線丁點(diǎn)尸，連接人E

(1)求/BAC和NAC8的度數(shù)；

(2)求證：△ACV是等腰三角形.

【分析】（1）設(shè)N'BAC=x0,由AD=BD=BC知/A=N'ABD=x°,/BDC=N'BCD=2x°,由/BAC+

ZABC+ZACB=1800列方程求脩可得；

（2）依據(jù)E是AB的中點(diǎn)，即可得到FE_LAB,AE=BE,可得FE垂直平分AB,進(jìn)而得出NBAF=NABF,

依據(jù)NABD=NBAD,即可得到NFAD=NFBD=36",再根據(jù)NAFC=NACB-NCAF=36°，可得N

CAF=ZAFC=36°,進(jìn)而得到AC=CF.

【詳解】解：（1）設(shè)/BAC=x°,

VAD=BD,

AZA=ZABD=x0,

/.ZBDC=2x°,

VBD=BC,

.*.ZBDC=ZBCD=2x°,

VAB=AC,

/.ZABC=ZACB=2x°,

由ZBAC+ZABC+ZACB=180°可得x+2x+2x=180,

解得:x=36,

則NBAC=36°,ZACB=72°；

(2)YE是AB的中點(diǎn)，AD=DD,

ADE1AB,HPFE1AB；

???AF=BF,

/.ZBAF=ZABF,

又1?NABD=NBAD,

???NFAD=NFBD=36°,

又???/ACB=72°,

AZAFC=ZACB-ZCAF=36°,

/.ZCAF=ZAFC=36°,

???AC=CF,即AACF為等腰三角形.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用等腰三角形的判定與性質(zhì)，線

段垂直平分線的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì).

6.(2022秋?思明區(qū)校級期末)婦圖，在△ABC中，NABC=3NC,人。平分N8AC,8凡LAO于E,求證:

\(AC-AB).(提示：延長BE交AC于點(diǎn)尸).

B

D

【分析】根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得NABF=NAFB,AB=AF,BE=EF,根據(jù)三角形外角的性

質(zhì)，可得NC+NCBF=NAFB=NABF,根據(jù)角的和差、等量代換，可得NCBF=NC,根據(jù)等腰三角形的

判定，可得BF=CF,根據(jù)線段的和差、等式的性質(zhì)，可得答案.

【詳解】證明：如圖：延長BE交AC于點(diǎn)F,

VBF1AD,

，NAEB=NAEF.

VAD平分/BAC,

AZBAE=ZFAE

在小ABE和AAFE中，

[zAEB=zAEF

AE=AE,

IzBAE=zFAE

.,.△ADE^AAFE(ASA)

???NABF=/AFB,AB=AF,BE=EF.

,/ZC+ZCBF=ZAFB=ZABF,

NABF+/CBF=NABC=3NC,

AZC+2ZCBF=3ZC,

.\ZCBF=ZC.

ABF=CF,

ABE=-BF=*F.

22

VCF=AC-AF=AC-AB,

???BE=；(AC-AB).

2

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，利用了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，等

量代換，等式的性質(zhì)，利用等量代換得出NCBF=NC是解題關(guān)鍵.

7.（2022秋?賽罕區(qū)校級期中）如圖，在△A8C中，8。平分/ABC,CO平分/AC8,過點(diǎn)。作8c的平

行線分別交A4、AC于點(diǎn)、M、N.

（1）求證：MO=MB；

（2）若A3=7,AC=6,求△AMN的周長.

【分析】（I）根據(jù)角平分線的定義可得NMBO=/OBC,根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得NOBC=N

MOB,然后求出NMBO=NMOB,再根據(jù)等角對等邊可得OM=BM；

（2）同理可得ON=CN,從而確定出等腰三角形，再求出AAMN的周長=AB+AC,然后代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)

算即可得解.

【詳解】（1）證明：???BO平分NABC,

AZMBO=ZOBC,

VMN/7BC,

/.ZOBC=ZMOB,

.\ZMBO=ZMOB,

（2）解：由（1）知，OM=BM,

?「CO平分/ACB,

.\ZNCB=ZBCO,

VMN/7BC,

.,.ZBCO=ZNOC,

AZNOC=ZNCO,

AON=CN,

AAAMN的周長=AM+MN+AN,

=AM+OM+ON+AN,

=AM+BM+CN+AN,

=AB+AC,

VAB=7,AC=6,

???△人1*4?4的周長=7+6=13.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖是

解題的關(guān)鍵，用阿拉伯?dāng)?shù)字加弧線表示角更形象直觀.

8.（2022秋?建陽區(qū)期中）如圖所示，己知點(diǎn)A,C分別在NG8E的邊4G,4E上，且48=AC,AD//BE,

NG3E的平分線3。與AO交于點(diǎn)。，連接CD

（1）求證：AC=AD\

（2）猜想：N84C與NBOC之間有何數(shù)量關(guān)系，并對你的猜想加以證明.

【分析】（I）由平行線的性質(zhì)可得NADB=NCBD,再由角平分線的定義得NABD=NCBD,從而得N

ABD=ZADB,則有AB=AD,即可得證AC=AD；

（2）由（1）知AC=AD,有NACD=NADC,由平行線的性質(zhì)得NADC=/DCE,從而得NACD=NDCE,

再由角平分線的定義得NABC=2NDBC,利用三角形的外角性質(zhì)即可求解.

【詳解】（1）證明：VAD/7BE,

???NADB=NCBD,

VZGBE的平分線BD與AD交『點(diǎn)D,

.\ZABD=ZCBD,

AZABD=ZADB,

AAB=AD,

VAB=AC,

AAC=AD；

（2）解：ZBAC=2ZBDC,

證明如下：由（1）可知：AC=AD,

AZACD=ZADC,

VAD//BE,

.\ZADC=ZDCE,

,\ZACD=ZDCE,

???ZACE=ZACD+ZDCE=2ZDCE,

VZGBE的平分線BD與AD交于點(diǎn)D,

.\ZABC=2ZDBC,

??,ZDCE是ABCD的一個外角，

???ZDCE=ZDBC+ZBDC,

BPZBDC=ZDCE-ZDBC,

「NACE是AABC的一個外角，

:.ZACE=ZABC+ZBAC,

即NBAC=NACE?NABC=2NDCE-2NDBC=2（ZDCE-ZDBC）=2NBDC,

.\ZBAC=2ZBDC.

【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，角平分線，解答的關(guān)鍵是結(jié)合圖形

分析清楚角與角，邊與邊之間的關(guān)系.

9.（2022秋?微山縣期中）已知：如圖，在四邊形4BCO中，AB//DC,AC平分NBA。，AUL8C于點(diǎn)C.

（1）若N8=75°,求NO的度數(shù)；

（2）求證：AB=2CD.

【分析】（1）根據(jù)垂直的定義得到NACB=90°,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到NBAC=15°,根據(jù)角平

分線的定義得到NDAC=NRAC=15°,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到NDCA=NBAC=15°,于是得到答案：

（2）取AB的中點(diǎn)E,連接CE,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到CE=AE=：AB,得到NEAC=NACE,根據(jù)

平行線的性質(zhì)得到NBAC=NACD,由角平分線的定義得到NBAC=NDAC,推出AD〃CE,得到四邊形

AECD是平行四邊形，于是得到結(jié)論.

【詳解】（1）解：???AC_LBC,

.\ZACB=90°,

VZB=75°,

AZBAC=15°,

?「AC平分/BAD,

.,.ZDAC=ZBAC=15°,

VCD/7AB,

.\ZDCA=ZBAC=15°，

AZD=1800-ZCAD-ZDCA=150°；

(2)證明：取AB的中點(diǎn)E,連接CE,

VAC±BC,

???NACB=90°,

ACE=AE=-AB,

2

ZEAC=ZACE,

VAB/7CD,

AZBAC=ZACD,

?「AC平分/BAD,

AZBAC=ZDAC,

VZEAC=ZACE,ZDAC=ZEAC,

/.ZACE=ZCAD,

，AD〃CE,

???西邊形AECD是平行四邊形，

AAE=CD,

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，平行線的判

定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

10.(2022秋?高港區(qū)期中)如圖，ZVIBC中，是高，CE是中線，點(diǎn)G是CE的中點(diǎn)，DG1CE,點(diǎn)、G

為垂足.

(1)求證：DC=BE；

(2)若NAEC=75°,求N8CE的度數(shù).

【分析】(1)連接ED,先利用線段垂直平分線的性質(zhì)說明ED=DC,再在直角4ABD中，利用斜邊中線

與斜邊的關(guān)系得到BE=DE,從而問題得證；

(2)利用外角，用NBCE表示出NBDE,再在等腰AAED中，用NBCE和NAEC表示出NADE,根據(jù)直

角得方程，求解即可.

【詳解】(1)證明：連接ED.

???點(diǎn)G是CE的中點(diǎn)，DG1CE,

ADE=DC.

TAD是高，CE是中線,

.\DE=BE=AE.

.\BE=CD.

(2)解：VDE=BE=AE=DC,

.*.ZBCE=ZDEC,ZBAD=ZADE.

AZEDB=2ZBCE,

N/A.ADLE=-1-8-0--0---z-A-E--C---z--D-E-C-

_180°-75°-NBCE

2

_10S—BCE

-2,

TAD是高，

,\ZEDB+ZADE=90°.

即2NBCE+105；BCE=90°.

A3ZBCE=75°.

AZBCE=25°.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定、線段垂直平分線的性質(zhì)等知識點(diǎn)，掌握等腰三角形的

性質(zhì)和判定、線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的的距離相等、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

是解決本題的關(guān)鍵.

11.（2022秋?播州區(qū)期末）已知△A8C中，/ACB的平分線。。交A8于點(diǎn)。，DE//BC.

（1）如圖1,如果點(diǎn)E是邊AC的中點(diǎn)，AC=8,求。E的長；

（2）如圖2,若DE平分N4OC,NABC=30°,在BC邊上取點(diǎn)尸使8/=。尸，若BC=9,求。尸的長.

【分析】（I）根據(jù)角平分線定義得到NBCD=NACD,由于DE〃BC,根據(jù)平行線性質(zhì)得NEDC=NBCD,

則NEDC=/ACD,然后根據(jù)等腰三角形的判定得ED=EC,由點(diǎn)E是邊AC的中點(diǎn)，AC=8,得EC=4,

所以DE=4；

（2）作DGJ_BC于點(diǎn)G,易求GB、GF的長，再根據(jù)在直角三角形中30°的銳角所對的直角邊是斜邊的

一半即可求出DF的長.

【詳解】解：（1）?.?DC平分NACB,

AZBCD=ZACD,

,?，DE〃BC,

???NEDC=NBCD,

AZEDC=ZACD,

ED=EC,

???點(diǎn)E是邊AC的中點(diǎn)，AC=8,

?,.EC=：AC=4,

2

，DE=4；

(2)<DE〃BC,

AZADE=ZB,ZCDE=ZBCD,

〈DE平分NADC,

???NADE=NCDE,

/.ZB=ZBCD,

.\DB=DC.

如圖2,作DG_LBC于點(diǎn)G,

VDB=DC,DG1BC,

???GB=：BC=：x9=4.5,

22

VZABC=30°,BF=DF,

???NBDF=NB=30°,

/.ZDFG=ZB+ZBDF=60°,

AZFDG=30°,

???BF=DF=2FG,

,\GF=1.5,

??.DF=2FG=3.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)以及在直角三角形中30°的銳角所對的直角

邊是斜邊的一半的性質(zhì)，熟記各種幾何圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

12.(2022春?漢陽區(qū)校級期中)如圖，已知在AABC中，C/平分NAC8,且A凡LC/于點(diǎn)凡BE1平分△

ABC的一個外角，且于點(diǎn)￡

(1)求證：EF//BC.

(2)若BC=5,4C=4,EF=4,求48的長.

A

【分析】(1)延長AF交BCA于M,延長AE交CB的延長線與N,根據(jù)角平分線的定義得到NACF=N

MCF,根據(jù)全等三角形的選擇得到AF=NF,同理AE=NE,于是得到結(jié)論；

(2)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】(1)證明：延長AF交BCA于M,延長AE交CB的延長線與N,

VAF1CF,

AZAFC=ZMFC=90°,

???CF平分NACB,

，NACF=NMCF,

在Z\ACF和AMCF中，

(Z.AFC=4MFC

CF=CF，

(zACF=Z.MCF

AAACF^AMCF(ASA),

，AF=MF,

同理AE=NE,

，EF〃MN,

AEF/ZBC；

(2)解：VAF=MF,AE=NE,

???MN=2EF=2X4=8,

VAC=4,

ACM=AC=4,

ACN=MN+CM=12,

VBC=5,

AAB=BN=CN-BC=7.

A

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形的中位線定理，全等三角形的判定

和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

13.(2022春?桓臺縣期末)如圖，在△人BC中，AB=AC,NABC的平分線BE交AC于點(diǎn)。，A產(chǎn)_L/\B交

BE于點(diǎn)足

(1)如圖1,若N/MC=40°,求NAPE的度數(shù).

(2)如圖2,若BD_LAC,垂足為。，B尸=8,求。尸的長.

【分析】(I)由角平分線求出/ABF的度數(shù)，再利用外角的性質(zhì)即可;

(2)證出△ABDg/SCBD,得出AABC是等邊三角形即可解決問題.

【詳解】解：(J)VAB=AC,ZBAC=40°,

AZABC=70°,

〈BE平分NABC,

/.ZABF=35°,

VAF1AB,

AZBAF=90o,

/.ZAFE=I25°.

(2)〈BD平分NABC,

/.ZABD=ZCBD,

VBD±AC,

AZADB=CDB=90°,

AAABD^ACBD(ASA),

???AB=BC,

VAB=AC,

???三角形ABC是等邊三角形,

AZABF=30°,

AAF=4,

在Rt^ADF中，

DF=2.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角利定理和角平分線，以及全等三角形的判定和性質(zhì)，證出AABC是等邊三

角形是解決本題的關(guān)鍵，是一道中檔題.

14.（2022秋?新興縣期中）在△AKC中，是乙48c的平分線，ADLBD,垂足是。.

（1）求證：Z2=Z1+ZC；

（2）若ED〃BC,NA3D=28”,求/人?！甑亩葦?shù).

BC

【分析】（1）如圖延長AD交BC于H.證明△BDAgZ\BDH（ASA）即可解決問題.

（2）求出NAHC,再利用平行線的性質(zhì)即可解決問題.

【詳解】解：（1）如圖延長AD交BC于H.

VBD1AH,

/.ZBDA=ZBDH=90°,

VZABD=ZHBD,BD=BD,

/.△BDA^ABDH(ASA),

.\BA=BH,Z2=ZBHA,

VZBHA=Z1+ZC,

AZ2=Z1+ZC.

(2)VZABD=28°,ZBDA=90°,

r.Z2=62°,

AZAHB=Z2=62°,

/.ZAHC=18OC-620=118°,

VDE/7EB,

.,.ZADE=ZAHC=118°.

【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈

活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型.

15.(2022秋?浦城縣期中)在RlZXABC中，N4CB=90°,CD_LA8于。，NB4c的平分線4尸交CQ于

點(diǎn)、E,交8c于F,CM_LA產(chǎn)于W,CM的延長線交于點(diǎn)M

(1)求證：EM=FM；

【分析】(1)由已知NACB=90',CD1AB,CM_LAF,從而證得三個直角三角形，即：ZAED+ZDAE

=90。，ZEFC+ZCAE=90°,再通過已知，NBAC的平分線AF和對頂角得NCEF=NCFE,即得4ECF

為等腰三角形，EM=FM.

(2)根據(jù)SAS證得△AMNgZ\AMC,即可證得AC=AN.

【詳解】(1)證明：VZACB=90°,CD±AB,

Z.ZADC=90°,

.\ZAED+ZDAE=90°,ZCFE+ZCAE=90°,

又???ZBAC的平分線AF交CD于E,

/.ZDAE=ZCAE,

AZAED=ZCFE,

又;?NAED=NCEF,

/.ZCEF=ZCFE,

又：CM_LAF,

???EM=FM.

(2)證明：VCN±AF,

/.ZAMC=ZAMN=900,

在aAMN和△AMC中，

(ZAMC=ZAMN

AM=AM,

(4CAM=匕NAM

AAAMN^AAMC(ASA),

AAC=AN.

【點(diǎn)睛】此題考查的知識點(diǎn)是等腰三角形的判定與性質(zhì)以及三角形全等的判定和性質(zhì)，熟練掌握等腰三角

形的性質(zhì)、定理是解題的關(guān)鍵.

16.(2022春?鳳翔縣期末)如圖，在△A8C中，BC=Scm,BP、CP分別是乙48C和NAC8的平分線，且

PD//AB,PE//AC.

(1)求△POE的周長；

(2)若N4=50°,求/8PC的度數(shù).

【分析】(1)分別利用角平分線的性質(zhì)和平行線的判定，求得aDEP和4ECP為等腰三角形，由等腰三角

形的性質(zhì)得BD=PD,CE=PE,那么4PDE的周長就轉(zhuǎn)化為BC邊的長，即為8cm.

(2)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和角平分線的性質(zhì)即可求得.

【詳解】解：(I)???BP、CP分別是NABC和NACB的角平分線,

AZABP=ZPBD,NACP=NPCE,

VPD//AB,PE〃AC,

???NABP=NBPD,NACP=NCPE,

???NPBD=NBPD,NPCE=NCPE,

???BD=PD,CE=PE,

???APDE的周長=PD+DE+PE=ED+DE+EC=BC=8cm.

(2)VZA=50°，

.,.ZABC+ZACB=130°,

/.-2ZABC+2-ZACB=65°,

VZPBC=-2ZABC,2ZPCB=-ZACB,

/.ZPBC+ZPCB=65°,

.\ZBPC=180o-65°=115°.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行線的判定，內(nèi)角和定理，角平分線的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)等知識點(diǎn).本

題的關(guān)鍵是將4PDE的周長就轉(zhuǎn)化為BC邊的長.

17.（2022春?宣漢縣期末）如圖，在等腰△A8C中，AB=AC,.4。是8c邊上的高，點(diǎn)石、尸分別是邊人仄

AC上的點(diǎn)，且七尸〃4c.

（1）試說明△/1￡“是等腰三角形；

（2）試比較OE與。尸的大小關(guān)系，并說明理由.

【分析】（1）首先利用等腰三角形的性質(zhì)得到NB=NC,再結(jié)合平行線的性質(zhì)得到NAEF=/AFE,利用

等角對等邊即可證得；

（2）根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)證得AD是線段EF的垂直平分線，然后根據(jù)線段的垂直平分線的性

質(zhì)即可證得.

【詳解】解：（1）???EF〃BC,

，NAEF=NB,ZAFE=ZC.

又,「AB=AC,

AZB=ZC,

NAEF=ZAFE,

???AE=AF,即AAEF是等腰三角形；

（2）DE=DF.理由如下：

VAD是等腰三角形ABC的底邊上的高,

???AD也是NBAC的平分線.

又???△AEF是等腰三角形，

???AG是底邊EF上的高和中線，

AAD1EF,GE=GF,

AAD是線段EF的垂直平分線，

，DE=DF.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，以及線段的垂直平分線的性質(zhì)，正確證明AD是線段EF的

垂直平分線是關(guān)鍵.

18.(2022春?未央?yún)^(qū)校級期末)如圖，在△A8C中，AB=AC=2,N8=NC=40°,點(diǎn)。在線段8c上

運(yùn)動(。不與4、。重合)，連接A。，作NA/9E=40",交線段AC于￡

(1)當(dāng)N8OA=115°時，ZEDC=250,ZDEC=1150；點(diǎn)。從8向。運(yùn)動時，NBQA逐

漸變小(填“大”或“小”);

(2)當(dāng)。。等于多少時，請說明理由；

(3)在點(diǎn)。的運(yùn)動過程中，△AOE的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請直接寫出N8DA的度數(shù).若

不可以，請說明理由.

【分析】(1)根據(jù)NBDA=U5°以及NADE=40°,即可得出NEDC=180。-ZADB-ZADE,進(jìn)而求

出NDEC的度數(shù)，

(2)當(dāng)DC=2時，利用NDEC+NEDC=I4O。,ZADB+ZEDC=140°,求出NADB=NDEC,再利用

AB=DC=2,即可得出△ABDgADCE,

(3)當(dāng)NBDA的度數(shù)為110°或80°時，Z\ADE的形狀是等腰三角形.

【詳解】解：(1)ZEDC=180°-ZADB-ZADE=180°-115°-40°=25°,

ZDEC=180°-ZEDC-ZC=180°-40°-25°=115°，

ZBDA逐漸變?。?/p>

故答案為:25°,為5°,小;

(2)當(dāng)DC=2時，AABD^ADCE,

理由：VZC=40",

AZDEC+ZEDC=140o，

又???NADE=40。，

AZADB+ZEDC=140°,

AZADB=ZDEC,

又?；AB=DC=2,

/.△ABD^ADCE(AAS),

(3)當(dāng)NBDA的度數(shù)為110°或80°時，4ADE的形狀是等腰三角形,

理由：VZBDA=110°時，

AZADC=70°,

VZC=40°,

/.ZDAC=70°,ZAED=ZC+ZEDC=30°+40°=70°,

AZDAC=ZAED,

???△ADE的形狀是等腰三角形；

???當(dāng)NBDA的度數(shù)為80°時，

.-.ZADC=100°,

VZC=40°,

AZDAC=40°,

.*.ZDAC=ZADE,

???△ADE的形狀是等腰三角形.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了等腰一:角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定等知識，熟練地應(yīng)用等腰三角形的性質(zhì)

是解決問題的關(guān)鍵.

19.（2022秋?雨花區(qū)校級月考）已知3c中，的平分線。。交A3于點(diǎn)。，OE平分NAQC,DE

.4

(1)如圖I,如果點(diǎn)七是邊AC■的中點(diǎn)，4C-W,求/比的長；

(2)在(1)的條件下，求證：△AOC是等腰三角形.

(3)如圖2,若乙48C=30°,在4C邊上取點(diǎn)/使4P=￡>F,若BC=18,求/?'的長.

【分析】由條件可證4EDC是等腰三角形可求DE長，構(gòu)造全等三角形可證aADC是等腰三角形，求出△

DFC是直角三角形可求DF長

【詳解】(I)解:DE平分NADC,CD平分NACB,

.\ZADE=ZCDE,ZACD=ZBCD,

VDE/7BC,

ZEDC=NDCB=NECD,

ADE=EC,

???E是AC中點(diǎn)，

(2)證明：延長DE到G使EG=DE,

VZAEG=ZDEC,AE=EC,

AAAEG^ACED(SAS),

AAG=DC,ZG=ZCDE,

〈DE平分/ADC,

/.ZADE=ZCDE,

???NG=NADE,

AAD=AG,

AAD=DC,

???△ADC是等腰三角形.

（3）VBF=DF,

???NBDF=NB=30°,

VDE/7BC,

AZADE=ZB=30°,

「DE平分NADC,

???NEDC=NADE=30",

.,.ZFDC=90°,

VZDCr=ZEDC=30°,

??.DF=1FC,

/.DF=^BC=1xl8=6.

【點(diǎn)睛】此題考查平行線的性質(zhì)，三角形全等，等腰三角形判定的知識點(diǎn)

20.（2022秋?莊浪縣期中）如圖，在中，ZC=90°,NA=60°,AB=\（）cm,若點(diǎn)M從點(diǎn)4

出發(fā)以2cmis的速度向點(diǎn)4運(yùn)動，點(diǎn)N從點(diǎn)4出發(fā)以1cmk的速度向點(diǎn)C運(yùn)動，設(shè)〃、N分別從點(diǎn)片、

A同時出發(fā)，運(yùn)動的時間為⑸

（1）用含■的式子表示線段AW、AN的長；

（2）當(dāng)/為何值時，△4MN是以MN為底邊的等腰三角形？

（3）當(dāng)，為何值時，MN〃BC?并求出此時CN的長.

【分析】（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到???AM=AN,列方程即可得到結(jié)論;

（3）根據(jù)題意列方程即可得到結(jié)論.

【詳解】解：（1）???2^=90°,ZA=60°,

AZB=30°,

VAB=10cm,

AM=AB-BM=10-2t,AN=t；

(2)???△AMN是以MN為底的等腰三角形，

AAM=AN,BP10-2t=t,

.?.當(dāng)t=學(xué)時，AAMN是以MN為底邊的等腰三角形;

(3)當(dāng)MN_LAC時，MN/7BC.

VZC=90°,ZA=60°,

/.ZB=30°

VMN77BC,

.\ZNMA=30°

AAN=-AM,

2

/.t=1(10-2t),解得t=“

???當(dāng)1=:時，MN〃BC,

CN=5-1xl=1.

【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰三角形的判定及平行線的判定與性質(zhì)，熟知等腰三角形的兩腰相等是解答此題

的關(guān)鍵.

21.(2022秋?蘭陵縣期中)如圖，在△ABC中，4。為NB4c的平分線，8P_LA。，垂足為P.已知A8=

5,30=2,AC=9.試說明NA8C=3NACB.

【分析】先延長BP,交AC于E,根據(jù)已知條件、結(jié)合ASA易證△ABPgZXAEP,從而有BP=PE,AE=

AB,ZAEB=ZABE,

易求BE=4,AE=5,那么CE=4,于是可知△BCE是等腰三角形，那么/EBC=NC,結(jié)合三角形外角性

質(zhì)可證

ZABE=2ZC,也就易得NBAC=3NC.

【詳解】證明：延長BP,交AC于E,

「AD平分NBAC,BP1AD,

/.ZBAP=ZEAP,NAPB=NAPE,

又?；AP=AP,

AAABP^AAEP,

???BP=PE,AE=AB,ZAEB=ZABE,

??.BE=BP+PE=4,AE=AB=5,

???CE=AC-AE=9-5=4,

，CE=BE,

???△BCE是等腰二角形，

.,.ZEBC=ZC,

XVZABE=ZAEB=ZC+ZEBC,

AZABE=2ZC,

AZABC=ZABE+ZEBC=3ZC.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì).關(guān)鍵是作

輔助線，求證ABCE是等腰三角形.

22.（2022春?浦東新區(qū)期末）已知△A/C41,/A=70°,弓產(chǎn)是NAHC的平分線，C■尸是NACO的平分線.

（1）如圖1,求/。的度數(shù)；

（2）過點(diǎn)。作￡/〃8c與邊/AAC分別交于點(diǎn)小點(diǎn)”（如圖2）,判斷線段4￡、EF、C廠之間的數(shù)

量關(guān)系，并說明理由.

BD

【分析】（1）BP是NABC的平分線，CP是/ACD的平分線，可得NPBC=[/ABC,ZPCD=^ZACD,

然后由三角形外角的性質(zhì)求得NP=；NA；

（2）由BP是NABC的平分線，CP是NACD的平分線與EF〃BC,易證得4PEB與APFC是等腰三角形,

繼而得到線段BE、EF、CF之間的數(shù)量關(guān)系.

【詳解】解：（1）VBP是NABC的平分線，CP是/ACD的平分線，

.\ZPBC=|ZABC,ZPCD=1/ACD,

AZP=ZPCD-ZPBD=iZACD--ZABC=（NACD-NABC）=-ZA=ix70°=35°；

22222

（2）BE=EF+CF.

理由：?.?BP是NABC的平分線，CP是NACD的平分線，

???NABP=NPBD,NACP=NPCD,

VEF/7BC,

/.ZEPB=ZPBD,ZEPC=ZPCD,

.\ZABP=ZEPB,ZACP=ZEPC,

???BE=PE,CF=PF,

VPE=EF+PF,

，BE=EF+CF.

【點(diǎn)睛】此題考查了角平分線的定義、平行線的性質(zhì)以及等腰三角形的判定與性質(zhì).此題難度適中，注意

掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

23.（2022秋?天心區(qū)校級期中）如圖，△44C中，AC=I3C,N4CB=120°,點(diǎn)。在A8邊上運(yùn)動（。不

與4、8重合），連接CD作NCO￡=30°,DE交AC于點(diǎn)E.

（1）當(dāng)OE〃灰?時，△AC1的形狀按角分類是直角三角形；

（2）在點(diǎn)。的運(yùn)動過程中，AEC。的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請求出NAED的度數(shù)；若不

可以，請說明理由.

E

ADB

【分析】（l）由DE〃BC得到NBCD=/CDE=30°,再由NACB=120°,得到NACD=120°-30°=

90°,則AACD是直角三角形.

（2）分類討論：當(dāng)/CDE=NECD時，EC=DE；當(dāng)NECD=NCED時，CD=DE；當(dāng)NCED=/CDE時,

EC=CD；然后利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算.

【詳解】解：（1）?.?△ABC中，AC=BC,

180~ACB180°-123°

AZA=ZB==30°，

22

VDE/7BC,

.,.ZADE=ZB=30°,

XVZCDE=30°,

AZADC=ZADE+ZCDE=30°+30°=60°,

.\ZACD=1800-ZA-ZADC=180°-30°-60°=90°,

???△ACD是直角三角形；

故答案為：直角三角形；

（2）Z\ECD可以是等腰三角形.理由如下:

①當(dāng)NCDE=NECD時，EC=DE,

/.ZECD=ZCDE=30°,

ZAED=ZECD+ZCDE,

.\ZAED=60°,

②當(dāng)NECD=/CED時，CD=DE,

VZECD+ZCED+ZCDE=180°,

.,.ZCEcD=-1-8-0-0----z-C--D-E=-1-8-0-0---3-0-°-=7r5u。,

22

AZAED=180c-ZCED=IO50,

③當(dāng)NCED=/CDE時，EC=CD,

ZACD=180°-ZCED-ZCDE=180°-30°-30°=120°，

VZACB=120°,

???此時，點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，不合題意.

綜上，4ECD可以是等腰三角形，此時NAED的度數(shù)為60。或105°.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和為1800.也考查了分類討論思想的運(yùn)用以及等腰三

角形的判定與性質(zhì).

24.(2022秋?香坊區(qū)校級月考)已知8。是△ABC的角平分線，OE〃BC,交4B于點(diǎn)E.

(2)如圖2,在過點(diǎn)。作。尸〃月8,連接E凡過點(diǎn)E作EG_L8C,若EG=3,BF=5,在不添加任何輔

助線的情況下，請直接寫出面積等于冷的所有三角形.

【分析】(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義可得結(jié)論；

(2)先證明四邊形EBFD是平行四邊形，求得口EBFD的面積=15,根據(jù)平行四邊形的對■角線平分面積可

得結(jié)論.

【詳解】(1)證明:VDE/7BC,

???NEDB=NDBC,

???BD是AABC的角平分線，

/.ZEBD=ZDBC,

AZEBD=ZEDB,

Z.BE=DE；

(2)；ED〃BF,DF〃BE,

???四邊形EBFD是平行四邊形，

VEG1BC,且EG=3,

???SuEBFD=BF?EG=3X5=15,

ASAEFD=SABEF=SABED=SABFD=—.

2

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定、平行線的性質(zhì)、三角形和平行四邊形的面積，屬于基礎(chǔ)題，熟練

學(xué)握這些性質(zhì)是關(guān)鍵.

25.（2022春?萊州市期末）己知，如圖，在△ABC中，過點(diǎn)4作AO平分N8AC,交BC于點(diǎn)、F,過點(diǎn)C

作CO_LAQ,垂足為O,在AC上取一點(diǎn)￡使DE=CE,求證：DE//AB.

【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和等腰三角形的判定證明即可.

【詳解】證明：???CD_LAD,

AZDAC+ZACD=ZADE+ZEDC=900,

AZEDC=ZACD,

.*.ZDAC=ZADE,

TAD平分NBAC,

AZBAD=ZDAC,

AZBAD=ZADE,

ADE//AB.

【點(diǎn)睛】此題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和等腰三角形的判定解答.

26.（2022春?蓮池區(qū)期中）如圖①，△48C中，NABC、N4C8的平分線交于。點(diǎn)，過。點(diǎn)作8c平行

線交力8、4c于￡、F.試說明：EO=BE

探究一：請寫出圖①中線段E尸與5￡、C尸間的關(guān)系，并說明理由.

探究二：如圖②，XNBC若NA8C的平分線與△ABC的外角平分線交于O,過點(diǎn)O作BC的平行線交

AB于E,交AC于F.這時E尸與8E、C尸的關(guān)系又如何？清直接寫出關(guān)系式，不需要說明理由.

【分析】由O平分/ABC與EF/BC,易證得NABO=NEOB,即可證得EO=BE；

探究一：同上題，可得OE=BE,OF=CF,繼而可證得EF=BE+CF.

探究二：同理可證得：OE=BE,OF=CF,繼而可證得EF=BE-CF.

【詳解】證明：:OB平分NABC,

.\ZABO=ZOBC,

VEFZ/BC,

AZEOB=ZOBC,

,\ZABO=ZEOB,

.*.EO=BE；

探究一：EF=BE+CF.

理由：VEO=BE,

同理可證：or=cr,

，EF=BE+CF；

探究二：EF=BE-CF.

理由：???OB平分/ABC,

AZABO=ZOBC,

VEF/7BC,

AZEOB=ZOBC,

.,.ZABO=ZEOB,

???EO=BE；

同理可得：OF=CF,

，EF=OE-OF=BE-CF.

【點(diǎn)睛】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定以及平行線的性質(zhì).此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想

的應(yīng)用.

27.（2022秋?鼓樓區(qū)校級期末）如圖，△48C中，ZC=90°,AB=5cm,BC=3cm,若動點(diǎn)夕從點(diǎn)。開

始，按C-AfBfC的路徑運(yùn)動，且速度為每秒設(shè)出發(fā)的時間為/秒.

（1）出發(fā)2秒后，求AA3P的周長.

（2）問，為何值時，△8CP為等腰三角形？

（3）另有一點(diǎn)Q，從點(diǎn)。開始，按C-BfA-C的路徑運(yùn)動，且速度為每秒2cm,若P、0兩點(diǎn)同時出

發(fā)，當(dāng)P、Q中有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動.當(dāng)/為何值時，直線。。把△A8C的周長分成相

等的兩部分？

A

【分析】（1）根據(jù)速度為每秒1cm,求出出發(fā)2秒后CP的長，然后就知AP的長，利用勾股定理求得PB

的長，最后即可求得周長.

（2）因?yàn)锳B與CB,由勾股定理得AC=4因?yàn)锳B為5cm,所以必須使AC=CB,或CB=AB,所以必

須使AC或AB等于3,有兩種情況，4BCP為等腰三角形.

（3）分類討論：當(dāng)P點(diǎn)在AC上，Q在AB上，貝"PC=t,DQ=2t-3,t+2t-3=6；當(dāng)P點(diǎn)在AB上，Q

在AC上,則AC=t-4,AQ=2t-8,t-4+2l-8=6.

【詳解】解：（I）如圖1,由NC=90°,AB=5cm,BC=3cm,

AAC=4,動點(diǎn)P從點(diǎn)C開始，按C-A-B-C的路徑運(yùn)動，且速度為每秒Icm,

工出發(fā)2秒后，則CP=2,

VZC=90°,

PB=V22+32=V13（cm）,

???△ABP的周長為：AP+PB+AB=2+5+g=（7+/13）cm.

（2）①如圖2,若P在邊AC上時，BC=CP=3cm,

此時用的時間為3s,4BCP為等腰三角形;

②若P在AB邊上時，有三種情況：

i）如圖3,若使BP=CB=3cm,此時AP=2cm,P運(yùn)動的路程為2+4=6cm,

所以用的時間為6s,ZXBCP為等腰三角形；

ii)如圖4,若CP=BC=3cm,過C作斜邊AB的高，根據(jù)面機(jī)法求得高為2.4cm,

作CD_LAB于點(diǎn)D,

在RtZ\PCD中，PD=VPC2-CD2=V32-2.42=1.8(cm),

所以BP=2PD=3.6cm,

所以P運(yùn)動的路程為9-3.6=5.4cm,

則用的時間為5.4s,ABCP為等腰三角形；

iii)如圖5,若BP=CP,此時P應(yīng)該為斜邊AB的中點(diǎn)，P運(yùn)動的路程為4+2.5=6.5cm

則所用的時間為6.5s,4BCP為等腰三角形；

綜上所述，當(dāng)(為3s、5.4s、6s、6.5s時，ZXBCP為等腰三角形

(3)如圖6,當(dāng)P點(diǎn)在AC上，Q在AB上，則PC=t,BQ=2t-3,

???直線PQ把4ABC的周長分成相等的兩部分，

，t+2t-3=3,

t=2；

如圖7,當(dāng)P點(diǎn)在AB上，Q在AC上，則AP=t-4,AQ=2t-8,

???直線PQ把4ABC的周長分成相等的兩部分，

At-4+2t-8=6,

???t=6,

???當(dāng)t為2或6秒時，直線PQ把a(bǔ)ABC的周長分成相等的兩部分.

B

圖1

【點(diǎn)睛】此題考查學(xué)生對等腰三角形的判定與性質(zhì)的理解和掌握，但是此題涉及