浙教版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)3.6圓內(nèi)四邊形同步練習(xí)（提高版）

一、選擇題

1.如圖，在。。中，點(diǎn)A、B、C在圓上，點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上，已知々400=130。，則乙。8。二

B.65°C.50°D.70°

2.如圖，在△4BC中，4B=AC.。。是△4BC的外接圓，。為弧AC的中點(diǎn)，E為84延長(zhǎng)線上一點(diǎn).若

^DAE=114°,則乙乙4。6勺度數(shù)是（）

B.37°C.33°D.57°

3.如圖，在。。中，點(diǎn)C是4B上一點(diǎn)，若乙ACB=m,則乙1OB的度數(shù)為（)

A.mB.180°-mC.3600-mD.360°-2m

4.如圖，已知圓心角NAOB=140°,則圓周角NACB二（

A.40°B.70°C.1100D.120°

5.如圖，四邊形48co內(nèi)接于0。，AB=3,AD=5,Z-BCD=120°,點(diǎn)C為8。的中點(diǎn)，則線段AC的長(zhǎng)

為（）

A

6.如圖，AB是半圓0的直徑，點(diǎn)D是弧AC的中點(diǎn)，若NBAC=44°,則NDAC等于()

A0E

7.如圖，點(diǎn)力、B、C在O。上，AB//OC,/-A=70°,則/B的度數(shù)是()

C.135°D.165°

8.如圖，點(diǎn)4、B、C、D、E都是。。上的點(diǎn)，AC=AE,zD=130°,則4B的度數(shù)為()

A.130°B.128°0.115°D.116°

9.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于(DO,已知點(diǎn)C為80的中點(diǎn)，若NA=50°,則NCBD的度數(shù)為()

A.50°B.40°C.30cD.25°

10.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于。0,點(diǎn)I是AABC的角平分線的交點(diǎn)，NAIC=124°點(diǎn)E在AD的延長(zhǎng)線

C.68°D.78°

二、填空題

11.如圖，四邊形48C。的頂點(diǎn)4、B、C在。。上，若N4BC=130。，則41OC=.

12.如圖，在。0中，C是48的中點(diǎn)，作點(diǎn)C關(guān)于弦4B的對(duì)稱點(diǎn)O,連接40并延長(zhǎng)交。。于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)8

作BFJ.71E于點(diǎn)F,若=2NEBF,則，等于度.

13.如圖，在扇形408中，點(diǎn)C、D在上，連接40、BC交于點(diǎn)E,若440B=110。，CD的度數(shù)為

40°,則乙0E8=°.

14.在等邊△/WC中，以3c邊的中點(diǎn)0為圓心，鼻C長(zhǎng)為多徑畫圓，分別交A6,AC邊，于點(diǎn)D,E；P是

(2)若乙408=口。，乙BAD=伊,乙EBC=丫。,割斷a,8,y滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，AD=CD?請(qǐng)說(shuō)

明理由.

19.如圖，在AABC中，AB=AC,以AB為直徑的半圓0分別交BC,AC于點(diǎn)D,E,連接DE,0D.

(2)當(dāng)AE,8E的度數(shù)之比為4：5時(shí)，求四邊形ABDE四個(gè)內(nèi)角的度數(shù).

20.如圖，四邊形ABCO是。。的內(nèi)接四邊形，4ADC=2乙B,點(diǎn)。是AC的中點(diǎn).

(1)求48的度數(shù)；

(2)求證：四邊形71OC。是爰形.

21.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，0為原點(diǎn)，A(3,0),B(-3,0),D是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，ZADC=

90°(A、D、C按順時(shí)針?lè)较蚺帕?，BC與經(jīng)過(guò)A、B、D三點(diǎn)的0M交于點(diǎn)E,DE平分NADC,連結(jié)AE,

BDo

(1)求證：ZABC=45°：

(2)求證：ZDEC=DEA:

(3)若點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,9),求AE的長(zhǎng).

22.如圖，在半徑為6的扇形ABC中，乙408=120。，C是上的一個(gè)劫點(diǎn)(不與A,B重合)，0D1

AC,0E1BC,垂足分別為點(diǎn)D,E.

(1)求0E的長(zhǎng).

(2)求四邊形0DCE各內(nèi)角的度數(shù).

23.已知鈍角三角形4BC內(nèi)接于00,E、。分別為4C、BC的中點(diǎn)，連接0￡

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)A、D、。在同一條直線上時(shí),

(2)如圖2,當(dāng)力、D、。不在同一條直線上時(shí),取4。的中點(diǎn)廣，連接F。交AC于點(diǎn)G,當(dāng)力8+4C=

24G時(shí).

①求證：△DEG是等腰三角形;

②如圖3,連00并延長(zhǎng)交。。于點(diǎn)H,連接4從求證：AH||FG.

24.定義：若兩個(gè)三角形中，有兩組邊對(duì)應(yīng)相等且其中一組等邊所對(duì)的角對(duì)應(yīng)相等，但不是全等三角

形，我們就稱這兩個(gè)三角形為偏等三角形.

(1)如圖1,點(diǎn)C是孤B。的中點(diǎn)，NO/B是弧所對(duì)的圓周角，AD>ABf連接/C、DC,CBf試

說(shuō)明△AC8與△ACD是偏等三角形.

(2)如圖2,△4BC與△DEF是偏等三角形，其中乙4=z0,AC=DF,BC=EF,猜想結(jié)論：一對(duì)

偏等三角形中，一組等邊的對(duì)角相等，另一組等邊的對(duì)南請(qǐng)?zhí)顚懡Y(jié)論，并說(shuō)明理

由.（以△ABC與△/）￡1?為例說(shuō)明）；

（3）如圖3,△ABC內(nèi)接于0。，AC=6,44=30。，zC=45%若點(diǎn)0在0。上，且△4。。與4

ABC是偏等三角形，AD>CD,求4。的值.

1.【答案】B

【解析】【解答】解：如圖，在優(yōu)弧AC上取一點(diǎn)M,連接AM、CM,

-11

則44MC=^Z.AOC=1x130°=65°,

四邊形ABCM是O。的內(nèi)接四邊杉，

???LABC+Z.AMC=180°,

乙ABC=180°-Z.AMC=115°,

Z.C.RD=180°-AARC=66°,

故答案為：B.

【分析】根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半得NAMC的度數(shù)，進(jìn)而根據(jù)國(guó)內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)求

出NABC的度數(shù)，最后根據(jù)鄰補(bǔ)角定義即可算出ZCBD的度數(shù).

2.【答案】A

【解析】【解答】解：-Z,DAE=114°,

：?乙BAD=180°-^.DAE=180°-114°=66°,

???A8C0為。。的內(nèi)接四邊形，

：?々BCD+乙BAD=180°,

:.2BCD=114°,

???D為弧4c的中點(diǎn)，

???AD=CD,

???乙DAC=乙DCA,

3殳乙OAC=Z.DCA=%,

則乙8AC=匕BAD-4CAD=66°-%,^BCA=乙BCD-LACD=114°-x,

vAB=AC,

:.二ABC=乙BCA=114°-x,

在A4BC中，2（114。一工）+66。-%=180。，

解得：x=38°,

LCAD=38°,

故答案為：A.

【分析】由鄰補(bǔ)角的性質(zhì)可得NBAD=1800-NDAE=66°,由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得NBCD=180°-

ZBAD=114°,根據(jù)題意可得NDAC二NDCA,設(shè)NDAC二NDCA二x,則NBAC=660-x,ZBCA=114°-x,根據(jù)

等腰三角形的性質(zhì)可得NABC二NBCA=114°-x,然后根據(jù)內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算.

3.【答案】D

【解析】【解答】解：如圖，優(yōu)孤A8上找一點(diǎn)D,連接AD,DB

C

'：cACB=m

：,LD=180°-m,

;AB=ABf

：.LAOB=2zD=360°-2m,

故答案為：D.

【分析】?jī)?yōu)弧力8上找一點(diǎn)D,連接AD、DB,根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得ND=180°-m,由圓周角定理

可得NA0B=2ND,據(jù)此計(jì)算.

4.【答案】C

【解析】【解答】解：如圖，在優(yōu)弧AB上取一點(diǎn)D,連接AD、BD,

???ZA0B=140°,

/.ZADB=1ZA0B=70°,

VZADB+ZACB=180°,

AZACB=180°-ZADB=110°.

故答案為：C.

【分析】如圖，在優(yōu)弧AB上取一點(diǎn)D,連接AD、BD,根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半得

NADB二70",進(jìn)而根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)可算出NACB的度數(shù).

5.【答案】B

【解析】【解答】解：過(guò)C作CEJLAD于E,CFJLAB交AB延長(zhǎng)線于F,?']ZBFC=ZDEC=90°,

A

???點(diǎn)C為弧BD的中點(diǎn)，

；?弧CD=MBC,

AAC平分NBAD,

.\CF=CE,

由勾股定理得：AF2=AC7-CF2,AE2=AC2-CE2,

AAF=AE,

?:A、B、C、D四點(diǎn)共圓，

，NFBC=ND,ZBAD+ZBCD=180°,

VZBCD=120°,

AZBAD=60°,

???AC平分NBAD,

/.ZBAC=ZDAC=30°,

在AFBC和AEDC中，

ZFBC=ZD,ZBFC=ZDEC,CF=CE

/.△FBC^AEDC(AAS),

ABF=DE,

VAB=3,AD=5,

???AF+AE=AB+BF+AD-DE=3+BF+5-DE=3+5=8,

.?.AF=AE=4,

VZBAC=30°,ZAFC=90°,

AAC=2CF,

.-.CF2+42=(2CF)2,

解得：CF=1^

???AC=2CF="I

3

故答案為：B.

【分析】過(guò)C作CE_LAD于E,CF_LAB交AB延長(zhǎng)線于F,則NBFC=NDEC=90°,根據(jù)等弧所對(duì)的圓周角

相等得AC平分NBAD,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得CF=CE,根據(jù)勾股定理得AF二AE,由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)

求出NFBC=ND,ZBAD+ZBCD=180°,求出NBAC=30°,用AAS判斷出△FBC04EDC,根據(jù)全等求

出BF=DE,求出AF長(zhǎng)，根據(jù)含30度角直角三角形的性質(zhì)及勾股定理求出CF即可.

6.【答案】C

【解析】【解答】解：：AB是半圓0的直徑，

.,.ZACB=90°,

VZBAC=44°,

AZB=90°-ZBAC=46°,

???四邊形ABCD是半。0的內(nèi)接四邊形，

/.ZD=1800-ZB=134°,

???點(diǎn)D是弧AC的中點(diǎn)，

：.AD=DC,

AAD=DC,

AZDAC=ZDCA=1（180。-ZD）=23°,

故答案為：c.

【分析】由圓周角定理可得NACB=90°,則NB=90°-ZBAC=46°,由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得

ZD=180°-ZB=134°,由中點(diǎn)的概念以及弧、弦的關(guān)系可得AD=DC,接下來(lái)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以

及內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算即可.

7.【答案】B

【解析】【解答】解：如圖，

VAB//0C,

.?.NA+NA0C=1800,

AZA0C=180°-70°=110°,

???ND=55°,

VZB+ZD=180°,

AZB=180°-55°=125°.

故答案為：B.

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出NAOC=110°,從而得出ND=55°,再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得

NB+ND=1800,即可得出答案.

8.【答案】C

【解析】【解答】解：連接AC、CEf

?.?點(diǎn)力、c、。、/?浙;是G)。上的點(diǎn)、，

???LCAE4-ZD=180°,

vLD=130°,

???LCAE=180°-130°=50°,

V.4C=AE

LACE=^AEC=|x(180°-50°)=65°,

?:點(diǎn)A、B、C、E都是OO上的點(diǎn)，

???LAEC+LB=180°,

=180°-65°=115°

故答案為：C.

【分析】連接AC、CE,根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得NCAE+ND=180°,結(jié)合ND的度數(shù)可求出NCAE的

度數(shù)，然后根據(jù)圓周角定理以及內(nèi)角和定理可得NACE=NAEC=65°,根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得

NAEC+NB=1800,據(jù)此計(jì)算.

9.【答案】D

【解析】【解答】解：???四邊形ABCD內(nèi)接于。0,NA=50°,

.,.ZC=180°-ZA=180°-50°=130°,

???點(diǎn)C為弧BD的中點(diǎn)，

ACD=CB,

???NCBD=NCDB,

/.ZUBD=lx(180°730°)=25°.

故答案為：D.

【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得NC=180°-ZA,求出NC的度數(shù)，再由點(diǎn)C為弧BD的中點(diǎn)得NCBD

=ZCDB,最后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)計(jì)算NCBD的度數(shù)即可.

10.【答案】C

【解析】【解答】解：???點(diǎn)I是AABC的角平分線交點(diǎn)，

AZBAC=2ZIAC,ZACB=2ZICA,

VZAIC=124<),

/.ZIAC+ZICA=180°-NAIC=56°,

.,.ZB=180°-(ZBAC+ZACB)=180°-2(ZIAC+ZICA)=180°-2X56°=68°,

又???四邊形ABCD內(nèi)接于。0,

AZCDE=ZB=68°.

故答案為：C.

【分析】由點(diǎn)I是AABC的角平分線交點(diǎn)得NBAC=2NIAC、ZACB=2ZICA,利用三角形內(nèi)角和定理求得

NIAC+NICA=560,從而求得/B=180°-(ZBAC+ZACB)=180°-2(ZIAC+ZICA)ZAIC),代入數(shù)

據(jù)求出NB的度數(shù)，最后利用圓內(nèi)接四邊形的外南等于內(nèi)對(duì)角即可求解.

11.【答案】100°

【解析】【解答】解：如圖，在優(yōu)弧4c上取一點(diǎn)D,連接/D、DC,

9：LABC+Z-ADC=180°,

又??ZBC=130°,

：.LADC=50°,

C.LAOC=2/-ADC=100°,

故答案為100°.

【分析】在優(yōu)弧AC上取一點(diǎn)D,連接AD、DC,由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得NADC=180°-/ABC=50°,由

圓周角定理可得NA0C=2NADC,據(jù)此計(jì)算.

12.【答案】18

【解析】【解答】解：如圖：連接AC、BC、DC

設(shè)NEBF=x,則NBAE=2x,

ABF±AE,

AZE=90°-x,

?；C點(diǎn)和D點(diǎn)關(guān)于AB對(duì)稱，

AAD=AC,AB垂直平分CD,

AAB平分NCAD,

ZCAB=NDAB=2x,

VC是AB的中點(diǎn)，

ZABC=ZCAB=2x,

.*.ZACB=180°-4x,

VZACB+ZAEB=180°,

.\1800-4x4-90°-x=180°,解得x=18°,

即NEBF等于18度.

故答案為：18.

【分析】設(shè)NEBF=x,則NBAE=2x,ZE=90°-x,根據(jù)玄稱的性質(zhì)得AD=AC,AB垂直平分CD,則可

判斷AB平分NCAD,?ZCAB=ZDAB=2x,根據(jù)圓周角定理得到NABC=NCAB=2x,根據(jù)三角形的內(nèi)角

和定理得NACB=180°-4x,利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得180°-4x+90°-x=180°,然后解方程即

可.

13.【答案】35

【解析】【解答】解：如圖，連接BD,

???四邊形AFBD是圓內(nèi)接四邊形，

.,.ZF+ZADB=180°,

/.ZADB=180°-1X110°=125°,

乙

???CO的度數(shù)為40°,

.,.ZCBD=20o,

.\ZDEB=1800-ZADB-ZCBD=180°-125°-20°=35°.

故答案為：35.

【分析】如圖，連接BD,根據(jù)國(guó)內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和圓周角定理得出NADB的度數(shù)，再根據(jù)CD的度數(shù)為

40°,得出NCBD的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出DEB=180°-ZADB-ZCBD,即可存出答案.

14,【答案】30°或150°

【解析】【解答】解：如圖，

是等邊三角形,

：.LABC=/-ACB=60°

連接00,0E,

則：0C=OE,OB=0D,

，48。0,4C0E均為等邊三角形：

—DOB=乙COE=60°,

:,乙DOE=60°,

，當(dāng)點(diǎn)P在優(yōu)弧DBE上時(shí)乙OPE=/乙OOE=30°,

當(dāng)點(diǎn)P在劣弧DE上時(shí)，NDPE=1800-30°=150°.

故答案為：30°或150°.

【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得NABC二NACB二60°,連接0D、0E,易得aBOD與△為￡都是等邊三角

形，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及平角的定義可得ND0E=60°,再分當(dāng)點(diǎn)P在優(yōu)弧DBE上時(shí)和當(dāng)點(diǎn)P在劣

弧DE上時(shí)，分別求出NDPE即可.

15.【答案】64°或116°

【解析】【解答】解：如圖：連接0C、BC,在弧AC上取點(diǎn)E,并連接AE、CE,

9：0A=0C,

：.LAOC=180°-2x26°=128°,

,,,乙B==/x128。=64°,

，NE=1800-ZB=116°,

???弦AC所對(duì)的圓周角的度數(shù)為64°或116°.

故答案為：64°或116°.

【分析】根據(jù)等邊對(duì)等角及三角形的內(nèi)角和定理可得NA0C的度數(shù)，進(jìn)而根據(jù)同弧所對(duì)的圓心角等于圓周

角的2倍即可得出弦AC所對(duì)的優(yōu)弧上的圓周角NB的度數(shù)，進(jìn)而根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)即可得出ZE

的度數(shù)，從而即可得出答案.

16.【答案】60°或120°

【解析】【解答】解：過(guò)0作0H1A8,

則A"=貝43=孚

\90A=1,

-OH=>JOA2-AH2=JI2一造2=I,

：-0H=^0Af

：.LOAH=30°,Z.AOH=60°.

：.LAOB=120°,

：.LACB=^AAOB=60。，

又???四邊形4CB。是圓內(nèi)接四邊形，

：.LADB=180°-/.ACB=180°-60°=120°.

故這條弦所對(duì)的圓周角的度數(shù)等于60°或120°.

故答案為：60°或120°.

【分析】過(guò)0作0HJ_AB,由垂徑定理可得AH二;AB二學(xué)，利用勾股定理求出0H,推出N0AH=30°,

NAOH=60°,則NAOB=120°，根據(jù)圓周角定理可得NACB二^NAOB,根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得

NADB+NACB=1800,據(jù)此解答.

17,【答案】(1)證明：???四邊形48co內(nèi)接于。。，

：.LA4-/.BCD=180°,

'：LBCD+Z-DCE=180°,

?,?乙4=Z.DCEf

9：DC=DE

?"E=Z.DCE,

：.LA=Z.AEB

;乙EOC=90°,

???.4C是。。的直徑,

J.LABC=90°,

???乙A=Z.AEB

：.AB=BE

TAB=8,

：.BE=8,

?:點(diǎn)C為BE的中點(diǎn),

*'?BC=iBE=4,

在Rt△48c中，AC=7AB2+BC?=V82+42=4A/5,

???0。的半徑為2遍

【解析】【分析】(1)根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得NA+NBCD=180°,由鄰補(bǔ)角的性質(zhì)可得

ZBCD+ZDCE=180°,則NA=NDCE,由等腰三南形的性質(zhì)可得NE=NDCE,據(jù)此證明：

(2)連接AC,則AC為直徑，由圓周角定理可得NABC=90°,根據(jù)NA二NAEB可得AB=BE=8,由中點(diǎn)的概

念可得BC的值，然后利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可.

18?【答案】(1)解：=AB，D8=DB，

AZACB=ZADB=60°,NBCD二NBAD二10°,

/.ZACD=ZACB+ZBCD=600+10*=70°

(2)解：當(dāng)丫:2(a+B)時(shí)，AD=CD,

CCCC

,AB-AB，DB-DB，

AZACB=ZADB=a0,NBAD=/BCD=B°,

AZACD=ZACB+ZBCD=a0+B'，

VAD=CD,

AZACD=ZDAC,

7CD=CD，

AZCAD=ZCBD=ZACD,

VZDBA+ZACD=180°,NEBD+NDBA=1800,

AZACD=ZEBD,

???ZEBC=ZEBD+NDBC=2ZACD=Y°,

/.Y=2(a+B)

【解析】【分析】(1)利用同弧所對(duì)的圓周角相等，可求出NACB,NBCD的度數(shù)，再根據(jù)

ZACD=ZACB+ZBCD.代入計(jì)算求出ZACD的虎數(shù).

(2)利用同弧所對(duì)的圓周角相等，可證得NACB二NADB=a°,NBAD二NBCD=B°,可得到

NACD=a0+B°,利用等邊對(duì)等南可證得NACD=NDAC,再利用圓周甬定理可得到NCAD=NCBD=NACD,

利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得到NACD二NEBD,由此可推出NEBC二2NACD,即可證得結(jié)論.

19.【答案】(1)證明：如圖，連接AD,

VAB是直徑

AZADB=90o,

VAB=AC

/.ZBAD=ZCAD,

/.RD=ED.

(2)解：VAE+BE=180°,AE與BE的度數(shù)之比為4：5,

：.AE=80°,BE=100°,

:?BD=ED=50°,

：.AD=AE+ED=130°,

AZBAE=1BE=50°,NB=1AD=65°,

VZAED+ZB=180°,ZBDE+ZA=180°,

??,NAED=115°,ZBDE=130°,

AZBAE=50°,ZB=65°,ZBDE=130°,ZAED=115°.

【解析】【分析】(1)連接AD,利用直徑所對(duì)圓周角是直南，可證得NADB=90°,利用等腰三甬形的性質(zhì)

可證得NBAD二NCAD,利用在同一個(gè)圓中，相等的圓周角所好的弧相等，可證得結(jié)論.

(2)觀察圖形可知4E,8E的度數(shù)之和為180°,由此可分別求出AE,BE的度數(shù),同時(shí)可求出BO、

ED、AD的度數(shù)，利用圓周角定理求出NBAE,NB的度數(shù)；再利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可求出NAED和

ZEDB的度數(shù).

20.【答案】(1)解：,：z.ADC=2zF

'：LADC+LB=180°

：.LB=60°

(2)證明：連結(jié)。0

A

D

\

???點(diǎn)。為AC的中點(diǎn)

，弧AD=弧。

J.LAOD=Z.COD,

'：LB=60°,LAOC=120°,

J.LAOD=/.COD=60°,

'：AO=DO=CO,

:.bAOD,△C。。為等邊三角形，

：.AO=CO=AD=CD,

，四邊形40C0為菱形.

【解析】【分析】(1)根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)可得NADC+NB=180°,進(jìn)而結(jié)合NADC=2NB,可得NB

的度數(shù);

(2)連接0D,根據(jù)等弧所對(duì)的圓心角相等得NA0D=NC0D,根據(jù)同弧所對(duì)的圓心角等于圓周角的2倍可

得/40。二/00。=60°,然后判斷出△AOD、△COD是等邊三角形，從而得出A0=C0二AD=CD,根據(jù)四邊相等

的四邊形是菱形即可得出答案.

21.【答案】(1)證明：對(duì)應(yīng)圓周角分別為NABE和NADE

又/DE平分NADC且ZADC二90

AZABE=ZADE=45°

即NABC=45°

(2)證明：V0M±AB,OA=OB

，AD二BD

???NDAB二NDBA

VZDEB=ZDAB

AZDBA=ZDEB

VD.B、A、E四點(diǎn)共圓

AZDBA+ZDEA=180o

又二ZDEB+ZDEC=180°

AZDEA=ZDEC

(3)解：連結(jié)ME、MA

ID的坐標(biāo)為(0,9),則0M=9-R

又VOM2+OA2=MA2,則(9-R)2+32=R2

解得R=5即圓M的半徑為5

，NEMA=90°

.,.EA2=MA2+ME2=25+25=50

***EA=5V2

【解析】【分析】(1)利用NADC=90°及角平分線的性質(zhì)可求出NADE=45°,再利用同弧所對(duì)的圓周角相

等，可證得NABC-NADE,即可求出NABC的度數(shù).

(2)利用已知可證得D0垂直平分AB,利用垂直平分線的性質(zhì)可得到AD二BD,利用等邊對(duì)等角，可證得

NDAB二NDBA,利用同弧所對(duì)的圓周角相等，可推出NDBA二NDEB;再利用圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，可

證得NDBA+NDEA二180°,然后根據(jù)補(bǔ)角的性質(zhì)可證得結(jié)論.

(3)連結(jié)ME、MA,設(shè)圓M的半徑為R,利用點(diǎn)D的坐標(biāo)，可表示出0M的長(zhǎng)，利用勾股定理可得到關(guān)于R

的方程，解方程求出R的長(zhǎng)；再利用圓周角定理可證得NEMA二900,利用勾股定理求出AE的長(zhǎng).

22.【答案】(1)解：如圖所示，連接A8,過(guò)點(diǎn)。作。尸_L/W于F,

180。一乙4OB

：.LOAB=Z.OBA==30°,

2

.\OF=^OA=3,

在/中，由勾股定理得4F=70A2一OF2=3/5,

??.由垂徑定理得：AB=2AF=6百,

?：0DLAC,OE1BC,

???D、E分別是AC、BC的中點(diǎn),

.??D￡1是△ABC的中位線，

1?DE=鼻8=3V3;

(2)解：如圖所示，在優(yōu)弧4B上取一點(diǎn)H,連接力〃、BH,

1

=*4。8=60°,

,?,四邊形ACB"是圓內(nèi)接四邊形，

:?乙DCE=180°-乙AHB=120°,

,：ODLAC,OE1BC,

：.LODC=Z-OEC=90°,

:,3BOD=360°-乙ODC-乙OEC-乙DCE=60°;

【解柄】【分新】(1)連接AB,過(guò)點(diǎn)0作OF_LAB于點(diǎn)F,由等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和得

ZAB0=30°,由含30°直角三角形的性質(zhì)得0F=3,在RtZkAOF中，利用勾股定理算出AF,根據(jù)垂徑定理

得AB=2AF,據(jù)此求出AB的長(zhǎng)，再根據(jù)垂徑定理得D、E分別是AC、BC的中點(diǎn)，根據(jù)三南形的中位線定

理求出ED;

(2)在優(yōu)弧AB上取一點(diǎn)H,連接AH、BH,根據(jù)圓周角定理得NH二60°,根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得

NC的度數(shù)，根據(jù)垂直定義得N0DC二N0EC二90°,最后根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理即可算出ND0E的度數(shù).

23.【答案】(1)證明：???。是8c的中點(diǎn)，點(diǎn)4、D,。在同一條直線上,

A

；?0D1BC,

：.AB=AC,

：.AB=ACf

?；E、。分別為4C、8c的中點(diǎn)，

???DE是△ABC的中位線,

?'?DEAB,

=^AC.

（2）證明：①???￡、0分別為AC、BC的中點(diǎn),

------、

圖2

--AB=20E,AC=24E,

9

：AB+AC=2AGt

；?ZDE+2AE=2AG,

：.DE+AE=AGt

TAE+EG=AG,

：.DE=EG,

???ADEG是等腰三角形.

②延長(zhǎng)H。交。。于點(diǎn)N,連接。8,OC,BN,CN,

圖3

*：DE=EG,

：.LEDG=乙EGD,

：,LAED=Z-EDG+乙EGD=2LEGD,

：.LEGD=^AAED,

〈DE||AB,

：.LBAC+Z.AED=180°,

■:乙BAC+乙BNC=180°,

J.LAED=乙BNC,

,：HO1BC,

工乙BOC=2乙COH,

?:乙BOC=2乙BNC,

J.LCOH=乙BNC,

*：LCAH=^COH=3乙BNC,

：.LCAH=乙EGD,

：.AH||FG.

【解析】【分析】(1)先根據(jù)垂徑定理證明AB=AC,然后根據(jù)三角形的中位線解答即可；

(2)①由中位線的性質(zhì)和中點(diǎn)的定義可得AB=2DE,AC=2AE,從而得到AE+DE=AG,由圖知：AE+EG

=AG,可證DE=EG;

②延長(zhǎng)H0交。0于點(diǎn)N,連接CB,0C,BN,CN,由等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)可得NEGD=

izAED,由平行線的性質(zhì)和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可證NAED=NBNC,進(jìn)而可證NCAH=NEGD,利用平行

線判定定理即可證得結(jié)論.

24.【答案】(1)解：:點(diǎn)C是弧8。的中點(diǎn)，

二?BC二CD,Z.BAC=/-DAC,

又?.?AC=AC,

與△ACO是偏等三角形

(2)解：互補(bǔ)：

如圖，在線段DE上取點(diǎn)G,使DG二AB,連接FG.