第一章勾股定理1．1探索勾股定理第1課時探索勾股定理學習目標【知識與技能】經(jīng)歷勾股定理的發(fā)現(xiàn)過程，了解并掌握勾股定理的內(nèi)容?！具^程與方法】通過對勾股定理的探索，在探索實踐中理解并掌握勾股定理。學習重難點【重點】勾股定理的內(nèi)容及探究?！倦y點】勾股定理的探究。學習過程一、創(chuàng)設(shè)情境，引入新課目前世界上許多科學家正在試圖尋找其他星球的“人”，為此向宇宙發(fā)出了許多信號，如地球上人類的語言、音樂、各種圖形等。我國數(shù)學家華羅庚曾建議，發(fā)射一種反映勾股定理的圖形，如果宇宙人是“文明人”，那么他們一定會識別這種語言。這個事實說明了勾股定理的重大意義。尤其在兩千年前，這是非常了不起的成就。畫一個直角邊分別為3cm和4cm的Rt△ABC，用刻度尺量出斜邊的長。勾股定理是三千多年前我國古代一個叫商高的人發(fā)現(xiàn)的，他說：“將一把直尺折成直角，兩段連接得一直角三角形，勾廣三，股修四，徑隅五。”后面這句話的意思是說一個直角三角形較短直角邊(勾)的長是3，長的直角邊(股)的長是4，那么斜邊(弦)的長是5。再畫一個兩直角邊長分別為5和12的Rt△ABC，用刻度尺量出斜邊的長。你是否發(fā)現(xiàn)32＋42與52的關(guān)系，52＋122和132的關(guān)系，即32＋42＝52，52＋122＝132，那么就有勾2＋股2＝弦2。再畫出幾個三角形，分別測量它們的三條邊，看看它們是否也有這個性質(zhì)。二、學習新課1．觀察并思考：(1)圖①中三個正方形之間會有什么樣的關(guān)系？你是用什么方法得到的？試說一說你的方法。(2)以等腰直角三角形的兩直角邊為邊長的小正方形的面積與以斜邊為邊長的大正方形的面積之間有什么樣的關(guān)系？歸納：等腰直角三角形三邊之間的特殊關(guān)系：直角三角形斜邊的平方等于兩直角邊的平方和。思考：其他一般的直角三角形三邊之間是否也具備這種特殊關(guān)系呢？(3)計算圖②中三個正方形的面積，它們之間有什么關(guān)系？試說一說你的想法。用數(shù)格子的方法初步體驗結(jié)論。歸納驗證，得出定理：如果直角三角形的兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2＋b2＝c2。2．命名“勾股定理”，介紹“勾，股，弦”的含義，即在我國古代，人們將直角三角形中短的直角邊叫作勾，長的直角邊叫作股，斜邊叫作弦。三、例題學習【例1】勾股定理的具體內(nèi)容是：__________________。解：如果直角三角形的兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2＋b2＝c2【例2】已知△ABC的三邊長分別為a，b，c，若滿足b2＝a2＋c2，則________＝90°；若滿足b2>c2＋a2，則∠B是________角；若滿足b2<c2＋a2，則∠B是________角。解：∠B鈍銳【例3】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，它的主要性質(zhì)是：(用幾何語言表示)(1)兩銳角之間的關(guān)系：________；(2)三邊之間的關(guān)系是________。解：(1)∠A＋∠B＝90°(2)AC2＋BC2＝AB2【例4】已知在△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c。(1)若a＝6，b＝8，求c；(2)若a＝15，c＝17，求b。解：(1)根據(jù)勾股定理，得c2＝a2＋b2＝62＋82＝100。因為c>0，所以c＝10。(2)根據(jù)勾股定理，得b2＝c2－a2＝172－152＝64。因為b>0，所以b＝8。四、鞏固練習1．已知在Rt△ABC中，∠B＝90°，a，b，c是△ABC的三邊，則(1)c2＝________(已知a，b，求c)；(2)a2＝________(已知b，c，求a)；(3)b2＝________(已知a，c，求b)。解：(1)b2－a2(2)b2－c2(3)c2＋a22．如下表，表中所給的每行的三個數(shù)a，b，c，有a<b<c，試根據(jù)表中已有數(shù)的規(guī)律，寫出當a＝19時，b，c的值，并把b，c用含a的代數(shù)式表示出來。3，4，532＋42＝525，12，1352＋122＝1327，24，2572＋242＝2529，40，4192＋402＝412…………19，b，c192＋b2＝c2解：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝c2，,c＝b＋1，))則b＝eq\f(a2－1,2)，c＝eq\f(a2＋1,2)；當a＝19時，b＝180，c＝181。3．在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝10eq\r(3)cm，一動點P沿BC邊從B向C以每秒2cm的速度移動，則當P點移動多少秒時，PA與腰垂直？解：5s或10s。第2課時驗證勾股定理及簡單應用學習目標【知識與技能】勾股定理的面積證法；會用勾股定理進行簡單的計算?！具^程與方法】1．數(shù)形結(jié)合，鼓勵運用數(shù)形結(jié)合的方法進一步探究勾股定理，并在做題時，盡量畫出圖形，逐漸做到靈活運用。2．分類討論，畫好圖后進行標示，從不同角度考慮條件和圖形，考慮問題要全面，在討論的過程中提高靈活應用的能力。學習重難點【重點】勾股定理的面積證法?！倦y點】勾股定理的靈活運用。學習過程一、創(chuàng)設(shè)情境，引入新課1．復習勾股定理的文字敘述、勾股定理的符號語言及變形。2．用割補法驗證勾股定理。前面用測量和數(shù)方格的方法驗證了勾股定理，實際上對于勾股定理的證明，到目前為止，已有幾百種之多，下面看一看我國數(shù)學家趙爽是怎樣證明這個定理的。a．以Rt△ABC的兩條直角邊a，b為邊作兩個正方形，你能通過剪、拼把它拼成下圖的樣子嗎？b．它們的面積分別怎樣表示？它們之間有什么關(guān)系？c．利用自己準備的紙張拼一拼，擺一擺，體驗古人趙爽的證法。想一想：還有什么方法？3．學習勾股定理重在應用。(1)在解決問題時，需知道每個直角三角形的幾個條件？(2)直角三角形中哪條邊最長？(3)在長方形ABCD中，寬AB為1m，長BC為2m，求AC的長。在長方形ABCD中，AB，BC，AC之間的大小關(guān)系是怎樣的？(4)Rt△ABC的三邊a，b，c滿足a2＋b2＋c2＋50＝6a＋8b＋10c，求Rt△ABC斜邊上的高；(5)已知△ABC的三邊分別為a，b，c且a＋b＝4，ab＝1，求斜邊c的長度。二、例題學習【例1】填空題。(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝8，b＝15，則c＝________；(2)在Rt△ABC中，∠B＝90°，a＝3，b＝5，則c＝________；(3)在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝10，a∶b＝3∶4，則a＝________，b＝________；(4)一個直角三角形的三邊長為三個連續(xù)偶數(shù)，則它的三邊長分別為________。解：(1)17(2)4(3)68(4)6，8，10【例2】已知，在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c。試說明a2＋b2＝c2。分析：(1)準備多個三角形模型，最好是有顏色的紙，拼擺不同的形狀，利用面積相等進行證明。(2)拼圖如圖所示，其等量關(guān)系為4S三角形＋S小正方形＝S大正方形，(a＋b)2－4×eq\f(1,2)ab＝c2，化簡可證。解：略。【例3】在Rt△ABC中，∠C＝90°。(1)已知a＝b＝5，求c2；(2)已知a＝1，c＝2，求b2；(3)已知c＝17，b＝8，求a；(4)已知a∶b＝1∶2，c＝5，求a2。解：(1)50。(2)3。(3)15。(4)5?！纠?】已知直角三角形的兩邊長分別為5和12，求第三邊的長的平方。分析：已知兩邊中較大邊12可能是直角邊，也可能是斜邊，因此應分兩種情況分別進行計算?？紤]問題要全面，體會分類討論思想。解：119或169。【例5】已知等腰三角形的腰長是10，底邊長是16，求這個等腰三角形的面積。解：設(shè)等腰三角形底邊上的高為h，由題意得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,2)))eq\s\up12(2)＋h2＝102，所以h＝6。所以該等腰三角形的面積為eq\f(1,2)×16×6＝48?！纠?】如圖，一個5m長的梯子AB，斜著靠在豎直的墻AO上，這時AO的距離為eq\f(60,13)m。(1)求梯子的底端B到墻角O的距離；(2)如果梯子的頂端A沿墻下滑eq\f(8,13)m至C。算一算底端滑動的距離。解：(1)OB＝eq\f(25,13)(m)。(2)BD＝eq\f(14,13)(m)?！纠?】我方偵察員小王在距離東西向公路400m處偵察，發(fā)現(xiàn)一輛敵方汽車在公路上疾駛。他趕緊拿出紅外測距儀，測得汽車與他相距400m，10s后，汽車與他相距500m，你能幫小王計算敵方汽車的速度嗎？分析：根據(jù)題意，可以畫出示意圖，其中點A表示小王所在位置，點C、點B表示兩個時刻敵方汽車的位置。由于小王距離公路400m，因此∠C是直角，這樣就可以由勾股定理來解決這個問題了。解：畫示意圖如圖所示，由勾股定理，可以得到AB2＝BC2＋AC2，也就是5002＝BC2＋4002，所以BC＝300。敵方汽車10s行駛了300m，那么它1h行駛的距離為300×6×60＝108000(m)，即它行駛的速度為108km/h?！纠?】根據(jù)下圖，利用面積法證明勾股定理。解：因為S梯形ABCD＝S△ABE＋S△BCE＋S△EDA，又因為S梯形ABCD＝eq\f(1,2)(a＋b)2，S△BCE＝S△EDA＝eq\f(1,2)ab，S△ABE＝eq\f(1,2)c2，所以eq\f(1,2)(a＋b)2＝2×eq\f(1,2)ab＋eq\f(1,2)c2，所以a2＋b2＝c2，所以勾股定理得證。三、鞏固練習1．填空題。在Rt△ABC中，∠C＝90°。(1)如果a＝7，c＝25，則b＝________；(2