高二少年班考試試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)的最小正周期是（）A.\(\frac{\pi}{2}\)B.\(\pi\)C.\(2\pi\)D.\(4\pi\)2.拋物線\(y^2=8x\)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A.\((2,0)\)B.\((-2,0)\)C.\((0,2)\)D.\((0,-2)\)3.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow=(-3,4)\)，則\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow\)的值為（）A.5B.-5C.11D.-114.若\(\cos\alpha=-\frac{4}{5}\)，\(\alpha\)是第三象限角，則\(\sin\alpha\)的值為（）A.\(\frac{3}{5}\)B.-\(\frac{3}{5}\)C.\(\frac{4}{5}\)D.-\(\frac{4}{5}\)5.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)中，\(a_{3}=5\)，\(a_{5}=9\)，則\(a_{7}\)的值為（）A.11B.12C.13D.146.函數(shù)\(f(x)=x^3-3x\)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A.\((-\infty,-1)\)和\((1,+\infty)\)B.\((-1,1)\)C.\((-\infty,-\sqrt{3})\)和\((\sqrt{3},+\infty)\)D.\((-\sqrt{3},\sqrt{3})\)7.已知\(a=\log_{3}2\)，\(b=\log_{5}3\)，\(c=\log_{7}4\)，則\(a\)，\(b\)，\(c\)的大小關(guān)系是（）A.\(a\ltb\ltc\)B.\(a\ltc\ltb\)C.\(c\lta\ltb\)D.\(c\ltb\lta\)8.圓\((x-1)^2+(y+2)^2=9\)的圓心坐標(biāo)和半徑分別是（）A.\((1,-2)\)，\(3\)B.\((-1,2)\)，\(3\)C.\((1,-2)\)，\(9\)D.\((-1,2)\)，\(9\)9.若直線\(l\)過點(diǎn)\((1,2)\)且與直線\(2x-y+1=0\)平行，則直線\(l\)的方程為（）A.\(2x-y=0\)B.\(2x-y-4=0\)C.\(x+2y-5=0\)D.\(x+2y-3=0\)10.已知\(x\)，\(y\)滿足約束條件\(\begin{cases}x+y\geq1\\x-y\leq1\\y\leq1\end{cases}\)，則\(z=3x-y\)的最大值為（）A.1B.2C.3D.4二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的有（）A.\(y=x^2+1\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=\ln|x|\)D.\(y=2^x\)2.已知\(a\)，\(b\)，\(c\)為實數(shù)，則下列命題正確的有（）A.若\(a\gtb\)，則\(ac^2\gtbc^2\)B.若\(a\gtb\)，\(c\gtd\)，則\(a+c\gtb+d\)C.若\(a\gtb\)，\(ab\gt0\)，則\(\frac{1}{a}\lt\frac{1}\)D.若\(a\gtb\)，\(c\ltd\)，則\(a-c\gtb-d\)3.關(guān)于橢圓\(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1\)，下列說法正確的有（）A.長軸長為\(10\)B.短軸長為\(6\)C.離心率為\(\frac{4}{5}\)D.焦點(diǎn)坐標(biāo)為\((\pm4,0)\)4.已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)的前\(n\)項和\(S_{n}=n^2\)，則（）A.\(a_{1}=1\)B.\(a_{n}=2n-1\)C.數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)是等差數(shù)列D.數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)是等比數(shù)列5.下列三角函數(shù)值為正的有（）A.\(\sin120^{\circ}\)B.\(\cos(-60^{\circ})\)C.\(\tan225^{\circ}\)D.\(\sin(-210^{\circ})\)6.已知直線\(l_{1}\)：\(A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0\)，\(l_{2}\)：\(A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0\)，則\(l_{1}\perpl_{2}\)的充要條件可以是（）A.\(A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}=0\)B.\(A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1}=0\)C.\(k_{1}k_{2}=-1\)（\(k_{1}\)，\(k_{2}\)分別為\(l_{1}\)，\(l_{2}\)的斜率）D.\(\frac{A_{1}}{A_{2}}\cdot\frac{B_{1}}{B_{2}}=-1\)（\(A_{2}\neq0\)，\(B_{2}\neq0\)）7.對于函數(shù)\(y=\sin(2x+\frac{\pi}{6})\)，以下說法正確的有（）A.函數(shù)圖象關(guān)于直線\(x=\frac{\pi}{6}\)對稱B.函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)\((\frac{5\pi}{12},0)\)對稱C.函數(shù)在\([-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}]\)上單調(diào)遞增D.函數(shù)周期為\(\pi\)8.已知復(fù)數(shù)\(z=a+bi\)（\(a\)，\(b\inR\)），則下列說法正確的有（）A.若\(z=1+2i\)，則\(a=1\)，\(b=2\)B.若\(z\)為實數(shù)，則\(b=0\)C.若\(z\)為純虛數(shù)，則\(a=0\)且\(b\neq0\)D.\(|z|=\sqrt{a^2+b^2}\)9.已知\(x\)，\(y\)滿足\(x^2+y^2=1\)，則（）A.\(x+y\)的最大值為\(\sqrt{2}\)B.\(x-y\)的最小值為\(-\sqrt{2}\)C.\(x^2+y^2-2x\)的最大值為\(3\)D.\(xy\)的最大值為\(\frac{1}{2}\)10.以下關(guān)于導(dǎo)數(shù)的說法正確的有（）A.函數(shù)\(y=x^3\)的導(dǎo)數(shù)\(y^\prime=3x^2\)B.函數(shù)\(y=\sinx\)的導(dǎo)數(shù)\(y^\prime=\cosx\)C.函數(shù)\(y=e^x\)的導(dǎo)數(shù)\(y^\prime=e^x\)D.函數(shù)\(y=\lnx\)的導(dǎo)數(shù)\(y^\prime=\frac{1}{x}\)三、判斷題（每題2分，共10題）1.若\(a\)，\(b\)為實數(shù)，且\(a\gtb\)，則\(a^2\gtb^2\)。（）2.函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)。（）3.向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)與向量\(\overrightarrow=(2,4)\)共線。（）4.雙曲線\(\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1\)的漸近線方程為\(y=\pm\frac{3}{2}x\)。（）5.若\(\sin\alpha=\sin\beta\)，則\(\alpha=\beta\)。（）6.直線\(x+y+1=0\)與圓\((x-1)^2+y^2=1\)相切。（）7.數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)滿足\(a_{n+1}=2a_{n}\)，則\(\{a_{n}\}\)是等比數(shù)列。（）8.函數(shù)\(y=\cos^2x-\sin^2x\)的最小正周期是\(\pi\)。（）9.若\(z=3+4i\)，則\(\overline{z}=3-4i\)（\(\overline{z}\)為\(z\)的共軛復(fù)數(shù)）。（）10.已知\(f(x)\)是可導(dǎo)函數(shù)，若\(f^\prime(x_{0})=0\)，則\(x_{0}\)是\(f(x)\)的極值點(diǎn)。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)\(y=x^2-2x+3\)在區(qū)間\([0,3]\)上的最值。-答案：對\(y=x^2-2x+3\)配方得\(y=(x-1)^2+2\)。對稱軸為\(x=1\)，在區(qū)間\([0,3]\)內(nèi)。當(dāng)\(x=1\)時，\(y_{min}=2\)；當(dāng)\(x=3\)時，\(y_{max}=6\)。2.已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\)是第二象限角，求\(\cos\alpha\)和\(\tan\alpha\)的值。-答案：因為\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)，\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\)是第二象限角，所以\(\cos\alpha=-\sqrt{1-\sin^2\alpha}=-\frac{4}{5}\)，\(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=-\frac{3}{4}\)。3.求過點(diǎn)\((2,-1)\)且與直線\(2x-3y+1=0\)垂直的直線方程。-答案：直線\(2x-3y+1=0\)的斜率\(k=\frac{2}{3}\)，與其垂直直線斜率\(k^\prime=-\frac{3}{2}\)。由點(diǎn)斜式得\(y+1=-\frac{3}{2}(x-2)\)，整理得\(3x+2y-4=0\)。4.已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)中，\(a_{3}=7\)，\(a_{5}=11\)，求\(\{a_{n}\}\)的通項公式。-答案：設(shè)公差為\(d\)，則\(2d=a_{5}-a_{3}=4\)，\(d=2\)。又\(a_{3}=a_{1}+2d=7\)，可得\(a_{1}=3\)。所以\(a_{n}=a_{1}+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)\(y=\frac{1}{x-1}\)的單調(diào)性。-答案：函數(shù)\(y=\frac{1}{x-1}\)定義域為\(x\neq1\)。在\((-\infty,1)\)上，設(shè)\(x_{1}\ltx_{2}\lt1\)，\(y_{1}-y_{2}=\frac{1}{x_{1}-1}-\frac{1}{x_{2}-1}=\frac{x_{2}-x_{1}}{(x_{1}-1)(x_{2}-1)}\gt0\)，即\(y_{1}\gty_{2}\)，函數(shù)遞減；在\((1,+\infty)\)上同理可證也遞減。2.已知橢圓和雙曲線都有兩個焦點(diǎn)，討論它們在定義和性質(zhì)上的異同點(diǎn)。-答案：相同點(diǎn)：都有兩個焦點(diǎn)，都與平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離有關(guān)。不同點(diǎn)：橢圓是到兩定點(diǎn)距離之和為定值（大于兩定點(diǎn)距離）；雙曲線是到兩定點(diǎn)距離之差的絕對值為定值（小于兩定點(diǎn)距離）。性質(zhì)上，離心率范圍不同，橢圓\(0\lte\lt1