2025年高數(shù)期中測(cè)試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題1.函數(shù)$y=\frac{1}{\ln(x-1)}$的定義域是（）A.$(1,+\infty)$B.$(1,2)\cup(2,+\infty)$C.$(2,+\infty)$D.$[2,+\infty)$2.當(dāng)$x\to0$時(shí)，下列函數(shù)中與$x$等價(jià)的無窮小是（）A.$\sin2x$B.$1-\cosx$C.$\ln(1+x)$D.$e^x-1$3.設(shè)函數(shù)$f(x)$在點(diǎn)$x_0$處可導(dǎo)，則$\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{h}=（）$A.$f^\prime(x_0)$B.$2f^\prime(x_0)$C.$0$D.$f^\prime(2x_0)$4.函數(shù)$y=x^3-3x$的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A.$(-\infty,-1)$B.$(1,+\infty)$C.$(-1,1)$D.$(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$5.曲線$y=x^2+\frac{1}{x}$在點(diǎn)$(1,2)$處切線的斜率為（）A.$1$B.$-1$C.$2$D.$-2$6.若$\intf(x)dx=F(x)+C$，則$\intf(2x+1)dx=（）$A.$F(2x+1)+C$B.$\frac{1}{2}F(2x+1)+C$C.$2F(2x+1)+C$D.$F(x)+C$7.定積分$\int_{0}^{1}x^2dx=（）$A.$\frac{1}{3}$B.$\frac{1}{2}$C.$1$D.$0$8.下列級(jí)數(shù)中，收斂的是（）A.$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$B.$\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{n}$C.$\sum\limits_{n=1}^{\infty}n$D.$\sum\limits_{n=1}^{\infty}2^n$9.已知向量$\vec{a}=(1,2,3)$，$\vec=(2,-1,1)$，則$\vec{a}\cdot\vec=（）$A.$2$B.$3$C.$4$D.$5$10.空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)$(1,-2,3)$到原點(diǎn)的距離為（）A.$\sqrt{14}$B.$\sqrt{13}$C.$\sqrt{15}$D.$\sqrt{17}$答案：1.B2.C3.B4.D5.A6.B7.A8.B9.C10.A二、多項(xiàng)選擇題1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)連續(xù)的是（）A.$y=\frac{1}{x}$B.$y=\lnx$C.$y=\sinx$D.$y=e^x$2.下列極限存在的是（）A.$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}$B.$\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x$C.$\lim\limits_{x\to0}(1+x)^{\frac{1}{x}}$D.$\lim\limits_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}$3.函數(shù)$y=f(x)$在點(diǎn)$x_0$處可導(dǎo)的充分必要條件是（）A.函數(shù)$y=f(x)$在點(diǎn)$x_0$處連續(xù)B.函數(shù)$y=f(x)$在點(diǎn)$x_0$處左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)都存在C.$\lim\limits_{x\tox_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$存在D.函數(shù)$y=f(x)$在點(diǎn)$x_0$處有切線4.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)的是（）A.$y=x^3\sinx$B.$y=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$C.$y=\ln(x+\sqrt{x^2+1})$D.$y=x^2\cosx$5.下列積分計(jì)算正確的是（）A.$\int_{-1}^{1}x^3dx=0$B.$\int_{0}^{\pi}\sinxdx=2$C.$\int_{0}^{1}e^xdx=e-1$D.$\int_{-1}^{1}\frac{1}{1+x^2}dx=\frac{\pi}{2}$6.下列級(jí)數(shù)中，發(fā)散的是（）A.$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$B.$\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{n^2}$C.$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}$D.$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+1}$7.已知向量$\vec{a}=(1,1,0)$，$\vec=(0,1,1)$，則（）A.$\vec{a}+\vec=(1,2,1)$B.$\vec{a}-\vec=(1,0,-1)$C.$\vec{a}\times\vec=(1,-1,1)$D.$\vec{a}\cdot\vec=1$8.空間直線$\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-2}{3}$與平面$2x-y+3z=1$的位置關(guān)系是（）A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.直線在平面內(nèi)9.下列函數(shù)中，有極值的是（）A.$y=x^3$B.$y=x^2+1$C.$y=\frac{1}{x}$D.$y=x^4$10.已知函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上連續(xù)，且$f(a)f(b)\lt0$，則在$(a,b)$內(nèi)（）A.函數(shù)$f(x)$必有零點(diǎn)B.函數(shù)$f(x)$必有最大值和最小值C.函數(shù)$f(x)$必單調(diào)遞增D.函數(shù)$f(x)$必單調(diào)遞減答案：1.CD2.ABCD3.BC4.BC5.AD6.CD7.AB8.A9.BD10.AB三、判斷題1.若函數(shù)$f(x)$在點(diǎn)$x_0$處無定義，則$f(x)$在點(diǎn)$x_0$處一定不連續(xù)。（）2.當(dāng)$x\to0$時(shí)，$x^2$是比$x$高階的無窮小。（）3.若函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$(a,b)$內(nèi)可導(dǎo)，且$f^\prime(x)\gt0$，則$f(x)$在$(a,b)$內(nèi)單調(diào)遞增。（）4.函數(shù)$y=\sinx$的導(dǎo)數(shù)是$y^\prime=\cosx$。（）5.定積分的值與積分變量的選取無關(guān)。（）6.若級(jí)數(shù)$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$收斂，則$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0$。（）7.向量$\vec{a}=(x_1,y_1,z_1)$，$\vec=(x_2,y_2,z_2)$，則$\vec{a}\parallel\vec$的充要條件是$\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}=\frac{z_1}{z_2}$。（）8.函數(shù)$y=x^3$在$(-\infty,+\infty)$上是凸函數(shù)。（）9.若$f(x)$是奇函數(shù)，則$\int_{-a}^{a}f(x)dx=0$。（）10.空間曲線在某點(diǎn)處的切線向量就是該曲線在這點(diǎn)處的切向量。（）答案：1.√2.√3.√4.√5.√6.√7.×8.×9.√10.√四、簡答題1.簡述函數(shù)極限的定義。函數(shù)極限的定義：設(shè)函數(shù)$f(x)$在點(diǎn)$x_0$的某一去心鄰域內(nèi)有定義，如果存在常數(shù)$A$，對(duì)于任意給定的正數(shù)$\varepsilon$（無論它多么小），總存在正數(shù)$\delta$，使得當(dāng)$x$滿足不等式$0\lt|x-x_0|\lt\delta$時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值$f(x)$都滿足不等式$|f(x)-A|\lt\varepsilon$，那么常數(shù)$A$就叫做函數(shù)$f(x)$當(dāng)$x\tox_0$時(shí)的極限，記作$\lim\limits_{x\tox_0}f(x)=A$。2.求函數(shù)$y=x^3-6x^2+9x-4$的極值。先求導(dǎo)$y^\prime=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)$。令$y^\prime=0$，得$x=1$或$x=3$。當(dāng)$x\lt1$時(shí)，$y^\prime\gt0$，函數(shù)遞增；當(dāng)$1\ltx\lt3$時(shí)，$y^\prime\lt0$，函數(shù)遞減；當(dāng)$x\gt3$時(shí)，$y^\prime\gt0$，函數(shù)遞增。所以極大值為$y(1)=1-6+9-4=0$，極小值為$y(3)=27-54+27-4=-4$。3.計(jì)算定積分$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^2xdx$。利用半角公式$\sin^2x=\frac{1-\cos2x}{2}$，則$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^2xdx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1-\cos2x}{2}dx=\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(1-\cos2x)dx=\frac{1}{2}(x-\frac{1}{2}\sin2x)\big|_{0}^{\frac{\pi}{2}}=\frac{\pi}{4}$。4.已知向量$\vec{a}=(1,-2,3)$，$\vec=(3,1,-2)$，求$\vec{a}\cdot\vec$及$\vec{a}$與$\vec$夾角的余弦值。$\vec{a}\cdot\vec=1\times3+(-2)\times1+3\times(-2)=3-2-6=-5$。$|\vec{a}|=\sqrt{1+4+9}=\sqrt{14}$，$|\vec|=\sqrt{9+1+4}=\sqrt{14}$。則夾角余弦值為$\cos\langle\vec{a},\vec\rangle=\frac{\vec{a}\cdot\vec}{|\vec{a}||\vec|}=\frac{-5}{14}$。五、討論題1.討論函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，并舉例說明。函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)密切相關(guān)。當(dāng)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)大于0時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)導(dǎo)數(shù)小于0時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減。比如$y=x^2$，其導(dǎo)數(shù)$y^\prime=2x$。當(dāng)$x\gt0$時(shí)，$y^\prime\gt0$，函數(shù)在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞增；當(dāng)$x\lt0$時(shí)，$y^\prime\lt0$，函數(shù)在$(-\infty,0)$上單調(diào)遞減。導(dǎo)數(shù)反映了函數(shù)的變化率，通過導(dǎo)數(shù)的正負(fù)可以判斷函數(shù)的單調(diào)性變化。2.談?wù)勀銓?duì)級(jí)數(shù)收斂與發(fā)散概念的理解。級(jí)數(shù)收斂意味著級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列有極限，即隨著項(xiàng)數(shù)的無限增加，部分和越來越趨近于一個(gè)確定的值。例如$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$是收斂的。而發(fā)散則是部分和數(shù)列沒有極限，可能趨于無窮大，或者沒有穩(wěn)定的趨近值，像$\sum\limits_{n=1}^{\infty}n$就是發(fā)散的。收斂的級(jí)數(shù)有很多良好的性質(zhì)，在數(shù)學(xué)分析等領(lǐng)域有重要應(yīng)用，理解收斂與發(fā)散概念對(duì)研究級(jí)數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用至關(guān)重要。3.討論定積分在幾何和物理中的應(yīng)用。在幾何中，定積分可用于求平面圖形的面積，如由曲線$y=f(x)$，$x=a$，$x=b$及$x$軸圍成的圖形面積為$\int_{a}^|f(x)|dx$。還能求旋轉(zhuǎn)體體積等。在物理中，可求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程，若速度函數(shù)為$v(t)$，則在時(shí)間段$[a,b]$內(nèi)的路程為$\i