初中數學全等三角形章節(jié)——截長補短類輔助線解題技巧與策略題集A版一、引言在初中數學全等三角形這一重要章節(jié)中，截長補短法是一種極為關鍵且實用的輔助線添加技巧。它主要用于解決線段的和差倍分問題，通過巧妙地對線段進行截取或延長，構造出全等三角形，從而將復雜的問題轉化為我們熟悉的全等三角形的證明和計算問題。掌握截長補短法的解題技巧與策略，對于提升學生解決幾何問題的能力和邏輯思維水平具有重要意義。下面我們將詳細介紹截長補短法的原理、常見類型，并通過一系列典型例題來深入探討其解題技巧與策略。二、截長補短法原理（一）定義截長補短法包含“截長”和“補短”兩種方法?！敖亻L”是指在較長的線段上截取一段與某一短邊相等的線段，然后證明剩下的線段與另一短邊相等；“補短”則是將較短的線段延長，使其與較長的線段相等，再通過證明全等三角形來得出相關結論。（二）理論依據截長補短法的理論依據是全等三角形的判定定理，如“邊角邊（SAS）”、“角邊角（ASA）”、“角角邊（AAS）”、“邊邊邊（SSS）”等。通過構造全等三角形，利用全等三角形的對應邊相等、對應角相等的性質來解決線段和角的問題。三、常見類型及解題策略（一）證明線段和差關系1.截長法解題策略當題目中出現要證明一條線段等于另外兩條線段之和時，可考慮使用截長法。具體步驟為：-在較長線段上截取一段等于其中一條較短線段；-證明截取后剩下的線段等于另一條較短線段，通常是通過證明三角形全等實現。例題1：已知在△ABC中，∠B=2∠C，AD平分∠BAC交BC于D。求證：AB+BD=AC。分析：在AC上截取AE=AB，連接DE。因為AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠EAD。在△ABD和△AED中，AB=AE（已截?。?，∠BAD=∠EAD（角平分線定義），AD=AD（公共邊），所以△ABD≌△AED（SAS）。則BD=ED，∠B=∠AED。又因為∠B=2∠C，且∠AED=∠C+∠EDC，所以2∠C=∠C+∠EDC，即∠C=∠EDC。所以EC=ED，又因為BD=ED，所以EC=BD。因為AC=AE+EC，AE=AB，EC=BD，所以AB+BD=AC。2.補短法解題策略同樣對于證明線段和差關系的問題，當截長法不易實施時，可嘗試補短法。具體步驟為：-延長較短的線段，使延長部分等于另一條較短線段；-證明延長后得到的新線段等于較長線段，一般也是通過證明全等三角形來完成。例題2：如圖，在正方形ABCD中，E為BC邊上一點，若AE=BE+DF，求∠EAF的度數。分析：延長CB到G，使BG=DF，連接AG。因為四邊形ABCD是正方形，所以AB=AD，∠D=∠ABG=90°。在△ABG和△ADF中，AB=AD，∠ABG=∠D，BG=DF，所以△ABG≌△ADF（SAS）。則AG=AF，∠BAG=∠DAF。因為AE=BE+DF，BG=DF，所以AE=BE+BG=EG。在△AEG和△AEF中，AG=AF（已證），AE=AE（公共邊），EG=AE（已證），所以△AEG≌△AEF（SSS）。所以∠EAG=∠EAF。又因為∠BAG=∠DAF，且∠BAD=90°，所以∠EAF=45°。（二）證明角度關系截長補短法也可用于證明角度之間的關系，通過構造全等三角形，將角度進行轉化。例題3：已知在△ABC中，∠BAC=60°，AB=AC，D為BC上一點，∠ADC=45°，求證：∠BAD=∠CAD。分析：在AC上截取AE=AD，連接DE。因為∠ADC=45°，AE=AD，所以∠AED=∠ADE=45°。則∠DAE=90°。又因為∠BAC=60°，所以∠BAD=∠DAE-∠BAC=90°-60°=30°?！螩AD=∠BAC-∠BAD=60°-30°=30°。所以∠BAD=∠CAD。四、題集A版（一）基礎題1.已知在△ABC中，∠C=2∠B，AD是∠BAC的平分線。求證：AB-AC=CD。提示：在AB上截取AE=AC，連接DE，證明△ACD≌△AED，再證明DE=CD。2.如圖，在△ABC中，AB＞AC，AD平分∠BAC，且BD=CD。求證：∠B+∠C=180°。提示：在AB上截取AE=AC，連接DE，證明△ACD≌△AED，再根據全等三角形的性質和已知條件進行推導。（二）提高題1.已知在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，∠BCD=120°。求證：BC+DC=AC。提示：延長BC到點E，使CE=CD，連接DE，先證明△CDE是等邊三角形，再證明△ACD≌△ADE，從而得出結論。2.如圖，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分別平分∠BAC、∠ACB。求證：AC=AE+CD。提示：在AC上截取AF=AE，連接OF，通過角平分線的性質和全等三角形的證明來求解。（三）拓展題1.已知在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D為BC上任意一點，DF⊥AB于F，DE⊥AC于E，M為BC中點。求證：ME=MF。提示：連接AM，通過截長補短或構造全等三角形的方法，證明△AME≌△BMF。2.如圖，在△ABC中，∠A=108°，AB=AC，BD平分∠ABC。求證：BC=AB+CD。提示：在BC上截取BE=BA，連接DE，證明△ABD≌△EBD，再證明△DEC是等腰三角形。五、總結截長補短法是初中數學全等三角形章節(jié)中解決線段和差倍分問題以及角度關系問題的重要方法。在解題時，要根據題目條件靈活選擇截長法或補短法，關鍵在于通過構造全等三角形將問題進行