專題01數(shù)的整除（期中復(fù)習(xí)講義）核心考點(diǎn)復(fù)習(xí)目標(biāo)考情規(guī)律整除能準(zhǔn)確區(qū)分“整除”和“除盡”，能正確陳述“被整除”與“能整除”.結(jié)合2024年期中卷，共考查7次，多以填選考查為主，如“…表示整除”、“…能被…整除”、“…能整除…”等.特別注意易錯點(diǎn)“…能整除…”問題，如：12÷4＝3，可以說“12能被4整除”或“3能整除12”，整數(shù)前后邏輯順序要厘清.素數(shù)與合數(shù)、互素能牢記素數(shù)與合數(shù)的概念，能熟知幾種互素情況.結(jié)合2024年期中卷，共考查8次，高頻考點(diǎn)如合數(shù)、互素、偶數(shù)與合數(shù)關(guān)系等，易錯考點(diǎn)如確定最小素數(shù)或合數(shù)、因數(shù)與公有素因數(shù)區(qū)別等.分解素因數(shù)能準(zhǔn)確寫出一個合數(shù)分解素因數(shù)形式結(jié)合2024年期中卷，重點(diǎn)必考，基本以填空定向考查為主.短除法、最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)能準(zhǔn)確寫出短除法，能夠通過短除法求最大公因數(shù)或最小公倍數(shù)，能逆推原數(shù)或填充短除法中的數(shù)字.最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)為高頻考點(diǎn)，多以計算題和解答題為主；少數(shù)小題考查，如短除法求最大公因數(shù)或最小公倍數(shù)知識點(diǎn)01整除主要考査整除的條件,即被除數(shù)、除數(shù)、商都是整數(shù),且余數(shù)為零,以填空題、判斷題為主,屬基礎(chǔ)題1.概念：整數(shù)除以整數(shù)，如果除得的商是整數(shù)而余數(shù)為零，我們就說能被整除；或者說能整除.“除”和“除以”、“能”和“能被”的意義是相反的.2.整除的條件：(1)除數(shù)、被除數(shù)都是整數(shù)；(2)被除數(shù)除以除數(shù)，商是整數(shù)且余數(shù)為零.（簡記：“三整一零”，即被除數(shù)、除數(shù)和商為整數(shù)，余數(shù)為零）3.除盡數(shù)除以數(shù)時，所得的商是整數(shù)或有限小數(shù)，我們就說能被除盡，或者說能除盡.（2024?寶山區(qū)期中）在下列式子中，表示整除的是故選：．整除與除盡的區(qū)別整除中的被除數(shù)、除數(shù)都為整數(shù)，商是整數(shù)，余數(shù)為零.除盡中的被除數(shù)和除數(shù)不一定是整數(shù)，商是整數(shù)或有限小數(shù).整除一定是除盡，但除盡不一定是整除.知識點(diǎn)02因數(shù)與倍數(shù)求一個數(shù)的因數(shù)或倍數(shù),在考試中屬基礎(chǔ)題.多以選擇題或填空題形式出現(xiàn),較為簡單.1.因數(shù)和倍數(shù)整數(shù)能被整數(shù)整除，就叫做的倍數(shù)，就叫做的因數(shù)（也稱為約數(shù)）.我們僅在整除的前提下學(xué)習(xí)因數(shù)和倍數(shù)的概念.(1)倍數(shù)和因數(shù)是相互依存的，不能單獨(dú)存在.這里包含兩層意思：其一，在講倍數(shù)和因數(shù)時，只能說誰是誰的倍數(shù)，或者誰是誰的因數(shù)，不能說誰是倍數(shù)，誰是因數(shù).說是倍數(shù)，是因數(shù)都是錯誤的.其二，兩個整數(shù)存在倍數(shù)和因數(shù)關(guān)系是相互的，如果是的倍數(shù)，那么一定是的因數(shù)；反之，如果是的因數(shù)，那么一定是的倍數(shù).(2)在自然數(shù)中，是一個特殊的數(shù)，乘任何一個數(shù)都等于，所以說是任何一個非零自然數(shù)倍數(shù)，任何非零自然數(shù)都是的因數(shù).在研究因數(shù)和倍數(shù)的問題中，如果不排除，有時無法討論，因此在研究因數(shù)和倍數(shù)時，所指的數(shù)一般是不包括的自然數(shù)（即正整數(shù)）.2.求一個數(shù)的因數(shù)（1）求因數(shù)的方法：①列乘法算式法：一般要從自然數(shù)開始，依次尋找，這樣不容易遺漏.②列除法算式法用此數(shù)除以任意整數(shù)，所得的商是整數(shù)而余數(shù)為零，這些除數(shù)和商都是該數(shù)的因數(shù).（2）因數(shù)的表示法①列舉法把一個數(shù)的因數(shù)從小到大排列，每兩個因數(shù)之間用逗號隔開，全部寫完用句點(diǎn)表示結(jié)束.②集合法畫一個橢圓，在上面寫上“的因數(shù)”，把這個數(shù)的因數(shù)按從小到大的順序?qū)懺跈E圓內(nèi)，每兩個因數(shù)用逗（3）一個數(shù)的因數(shù)的特征一個數(shù)的因數(shù)的個數(shù)是有限的，其中最小的因數(shù)是，最大的因數(shù)是它本身.目前我們只限制在正整數(shù)范圍內(nèi)學(xué)習(xí)因數(shù)的概念.3.求一個數(shù)的倍數(shù)即按照這個數(shù)的1倍、2倍、3倍、…依次找下去，一個整數(shù)的倍數(shù)有無數(shù)個.（1）求倍數(shù)的方法①列乘法算式法求一個數(shù)的倍數(shù)，就是用這個數(shù)，依次與非零自然數(shù)相乘，所得的數(shù)就是這個數(shù)的倍數(shù).②列除法算式法根據(jù)倍數(shù)的意義，看哪個數(shù)除以這個數(shù)，商是整數(shù)且余數(shù)為零，則被除數(shù)就是這個數(shù)的倍數(shù).（2）倍數(shù)的表示法①列舉法一個數(shù)的倍數(shù)有無數(shù)個，列舉時從這個數(shù)的本身開始，依次寫出后面幾個，其余的用省略號表示，書寫時每兩個數(shù)之間用逗號隔開，省略號后用一個句點(diǎn)表示結(jié)束.例如：列舉2的倍數(shù)：2,4,6,8，…②集合法畫一個橢圓，在橢圓的上面寫上“××的倍數(shù)”，表示××的倍數(shù)的集合.把××的倍數(shù)按從小到大的順序?qū)懺诩侠铮績蓚€倍數(shù)之間用逗號隔開，不再書寫一個逗號，然后加三個圓點(diǎn)形式的省略號，不用加句點(diǎn).例如：2的倍數(shù)：{2,4,6,…}3.一個數(shù)的倍數(shù)的特點(diǎn)一個數(shù)的倍數(shù)的個數(shù)是無限的，它的最小倍數(shù)是它本身，沒有最大倍數(shù).1.我們也可以借助字母表示倍數(shù)，如2的倍數(shù)可以表示為2n（n為正整數(shù)）.2.幾倍是兩個同類數(shù)量相除的結(jié)果，可以是整數(shù)倍，也可以不是整數(shù)倍，如20是4的5倍，22是4的5.5倍.目前我們限制在正整數(shù)范圍內(nèi)學(xué)習(xí)倍數(shù)的概念.一個數(shù)的倍數(shù)有無限多個，所以無論用列舉法還是集合法，最后都要加上省略號.列舉時，也寫一個逗號，然后加三個圓點(diǎn)形式的省略號，不用加句點(diǎn).知識點(diǎn)03能被2和5整除的數(shù)能被2或5整除的數(shù)的特征,在期中、期末考試中經(jīng)?？疾?屬基礎(chǔ)題以選擇題、填空題為主,也會出現(xiàn)簡單的解答題1.能被2整除的數(shù)的特征：個位上是0、2、4、6、8的整數(shù)能被2整除。2.能被3整除的數(shù)的特征：一個數(shù)的各位數(shù)字之和能被3整除，這個數(shù)就能被3整除。示例：12，各位數(shù)字之和為1+2=3，3能被3整除，所以12能被3整除；再如369，各位數(shù)字之和為3+6+9=18，18能被3整除，所以369能被3整除。3.能被5整除的數(shù)的特征：個位上是0或5的整數(shù)能被5整除。4.能同時被2和5整除的數(shù)的特征：個位數(shù)字只能是0。5.能同時被2、3和5整除的數(shù)的特征：個位數(shù)字是0，且各位數(shù)字之和能被3整除。能被7整除的數(shù)的兩種方法①割尾法：去掉這個數(shù)的末位數(shù)字，用剩下的數(shù)字減去末位數(shù)字的2倍，若結(jié)果能被7整除（包括結(jié)果為0或負(fù)數(shù)），則原數(shù)能被7整除。示例：判斷147是否能被7整除。第一步：去掉末位“7”，剩下“14”；第二步：計算“147×2=0”，0能被7整除，所以147能被7整除。②倍數(shù)差法：找到與原數(shù)末幾位接近的7的倍數(shù)，用原數(shù)減去這個倍數(shù)，若差能被7整除，則原數(shù)能被7整除。示例：判斷252是否能被7整除。已知7×36=252，252252=0，0能被7整除，所以252能被7整除。能被9整除的數(shù)的特征核心特征：一個數(shù)的各位數(shù)字之和能被9整除，這個數(shù)就能被9整除。示例1：判斷324是否能被9整除。計算各位和：3+2+4=9，9能被9整除，所以324能被9整除（324÷9=36）。示例2：判斷1890是否能被9整除。計算各位和：1+8+9+0=18，18能被9整除，所以1890能被9整除（1890÷9=210）。若各位和大于9，可繼續(xù)相加直到得到個位數(shù)，若結(jié)果是9，則原數(shù)能被9整除（如198：1+9+8=18→1+8=9，故198能被9整除）。1120中的質(zhì)數(shù)倍數(shù)判斷方法表質(zhì)數(shù)倍數(shù)核心特征速判步驟舉例驗(yàn)證11奇位數(shù)字和與偶位數(shù)字和的差是11的倍數(shù)（包括0）1.分奇位、偶位，分別計算數(shù)字和；2.求兩者差值；3.若差值是11的倍數(shù)，則原數(shù)是11的倍數(shù)。判斷132：奇位1+2=3，偶位3，33=0（是11的倍數(shù)），132=11×12。13末位×4+剩余數(shù)，結(jié)果是13的倍數(shù)（包括0）1.取末位數(shù)字，乘4；2.與去掉末位的剩余數(shù)相加；3.若結(jié)果是13的倍數(shù)，重復(fù)操作直至可判斷。判斷273：末位3×4=12，27+12=39（13×3），273=13×21。17末位×5－剩余數(shù)（大減?。Y(jié)果是17的倍數(shù)（包括0）1.取末位數(shù)字，乘5；2.與去掉末位的剩余數(shù)相減（大減?。?.若結(jié)果是17的倍數(shù)，重復(fù)操作直至可判斷。判斷476：末位6×5=30，4730=17（17×1），476=17×28。19末位×2+剩余數(shù)，結(jié)果是19的倍數(shù)（包括0）1.取末位數(shù)字，乘2；2.與去掉末位的剩余數(shù)相加；3.若結(jié)果是19的倍數(shù)，重復(fù)操作直至可判斷。判斷361：末位1×2=2，36+2=38（19×2），361=19×19。兩者特征對比表整除對象核心判斷方法優(yōu)點(diǎn)缺點(diǎn)能被7整除割尾法、倍數(shù)差法適用于任意位數(shù)無直觀規(guī)律，需分步計算能被9整除各位數(shù)字之和能被9整除計算簡單，一步到位僅適用于9的整除判斷8.奇數(shù)和偶數(shù)（1）偶數(shù)的意義能被2整除的整數(shù)叫做偶數(shù)。如果a是整數(shù)，偶數(shù)可以用2a來表示。0是2的倍數(shù)，0也是偶數(shù)。整數(shù)的個數(shù)是無限的，偶數(shù)的個數(shù)也是無限的，沒有最大的偶數(shù)。（2）奇數(shù)的意義不能被2整除的整數(shù)叫做奇數(shù)。如果a是整數(shù)，奇數(shù)可以用（2a+1）來表示。奇數(shù)的個數(shù)是無限的，沒有最大的奇數(shù)。（3）整數(shù)按奇數(shù)、偶數(shù)分類整數(shù)分為奇數(shù)和偶數(shù)。奇數(shù)±奇數(shù)=偶數(shù)奇數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)奇數(shù)±偶數(shù)=奇數(shù)奇數(shù)×奇數(shù)=奇數(shù)知識點(diǎn)04分解素因數(shù)分解素因數(shù)是學(xué)習(xí)最小公倍數(shù)、最大公約數(shù)的基礎(chǔ),單獨(dú)命題比較簡單，以選擇題、填空題為主。1.素數(shù)與合數(shù)（1）一個正整數(shù)，如果只有1和它本身兩個因數(shù)，這樣的數(shù)叫做素數(shù)（也叫做質(zhì)數(shù)）。（2）一個正整數(shù)，如果除了1和它本身以外還有別的因數(shù)，這樣的數(shù)叫做合數(shù)。最小的素數(shù)是2，沒有最大的素數(shù)。最小的合數(shù)是4，沒有最大的合數(shù)素數(shù)只有2個因數(shù)，1和它本身；合數(shù)至少要有3個因數(shù)。1只有一個因數(shù)，因此它既不是素數(shù)，也不是合數(shù)。把正整數(shù)按照因數(shù)個數(shù)的多少分類，可以分為1、素數(shù)和合數(shù)三類。判斷合數(shù)的方法若一個數(shù)能被大于1且小于它本身的數(shù)整除，則這個數(shù)為合數(shù)。2.素因數(shù)與分解素因數(shù)（1）素因數(shù)每個合數(shù)都可以寫成幾個素數(shù)相乘的形式，其中每個素數(shù)都是這個合數(shù)的因數(shù)，叫做這個合數(shù)的素因數(shù)。6=2×3，28=2×2×7，30=2×3×5，…。其中2和32，3和5是30的素因數(shù)。①素因數(shù)是相對于某個合數(shù)而言的，不能單獨(dú)存在，如不能說2是素因數(shù)。②因數(shù)與素因數(shù)的關(guān)系：一個數(shù)的素因數(shù)一定是這個數(shù)的因數(shù)，但因數(shù)不一定是素因數(shù)。如30=2中，1，2，3，5，6，10，15，30是30的因數(shù)，但只有2，3，5是30的素因數(shù)。（2）分解素因數(shù)把一個合數(shù)用素因數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解素因數(shù)。分解素因數(shù)與素因數(shù)的區(qū)別素因數(shù)是一個具體的素數(shù)，而分解素因數(shù)是把一個合數(shù)寫成幾個素數(shù)相乘的過程。（3）分解素因數(shù)的方法方法一：樹枝分解法把30分解素因數(shù)。30可分解為5和6，6又可分解為2和3；或30分解為2和15，15分解為3和5；或30分解為3和10，10分解為2和5。即30=5×2×3或30=2若一個合數(shù)能直接看出是兩個數(shù)的積，可用樹枝分解法分解素因數(shù)。方法二：短除法把96分解素因數(shù)。96=2用短除法分解素因數(shù)的步驟①先用一個能整除這個合數(shù)的素數(shù)（通常從最小的開始）去除。②得出的商如果是合數(shù)，再按照上面的方法繼續(xù)除下去，直到得出的商是素數(shù)為止。③然后把各個除數(shù)和最后的商按從小到大的順序?qū)懗蛇B乘的形式。短除法是除法的簡化，“”相當(dāng)于除法中的除號，左側(cè)寫除數(shù)，下方寫商。方法三：口算法把63分解素因數(shù)。63=7×9=7×3×①分解素因數(shù)，通常寫成“合數(shù)=素因數(shù)相乘”的形式。②一個整數(shù)分解素因數(shù)的形式是唯一的。③判斷分解素因數(shù)是否正確的關(guān)鍵是看每個因數(shù)是否為素數(shù)。④分解素因數(shù)一般采用短除法。⑤分解素因數(shù)時靈活運(yùn)用數(shù)的整除特征來判斷被哪些數(shù)整除，分解的結(jié)果一般按素數(shù)從小到大的順序排列起來。1.為什么說1既不是素數(shù)也不是合數(shù)？1既不是素數(shù)也不是合數(shù)，這是人為規(guī)定的，因?yàn)榇笥?的自然數(shù)或者是素數(shù)，或者是合數(shù)。如果是合數(shù)，那么就可以分解素因數(shù)，例如6=3×2，且形式唯一，若規(guī)定1是素數(shù)，則形式就不唯一了；若規(guī)定1是合數(shù)，可1無法分解素因數(shù)。這對研究與應(yīng)用帶來了很多不便，因此只有規(guī)定1既不是素數(shù)也不是合數(shù)才是合理的。2.為什么分解素因數(shù)時一般從最小的素數(shù)作為除數(shù)開始去試除？因?yàn)?是最小的素數(shù)，并且2是唯一的一個既是偶數(shù)，也是素數(shù)的數(shù)。分解素因數(shù)，一般從最小的素數(shù)作為除數(shù)開始去試除，直到找到第一個能整除這個合數(shù)的素數(shù)為止。3.素數(shù)、合數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)之間有什么區(qū)別？根據(jù)素數(shù)、合數(shù)、奇數(shù)和偶數(shù)的定義可知，是2的倍數(shù)的整數(shù)是偶數(shù)，不是2的倍數(shù)的整數(shù)是奇數(shù)，只有1和它本身兩個因數(shù)的正整數(shù)是素數(shù)，除了1和它本身以外還有其他因數(shù)的正整數(shù)是合數(shù)。20以內(nèi)的正整數(shù)中，既不是素數(shù)，也不是合數(shù)的數(shù)是1；最小的素數(shù)是2，它還是偶數(shù)；最小的合數(shù)是4；一個數(shù)既是合數(shù)，又是奇數(shù)，這個數(shù)最小是9。知識點(diǎn)05公因數(shù)與最大公因數(shù)求兩個數(shù)的最大公因數(shù),在中考中很少單獨(dú)出題,但在期中、期末考試中題型多樣化,屬基礎(chǔ)題1.公因數(shù)與最大公因數(shù)的概念（1）公因數(shù)幾個整數(shù)公有的因數(shù)叫做這幾個整數(shù)的公因數(shù)。（2）最大公因數(shù)幾個整數(shù)的公因數(shù)中最大的一個叫做這幾個整數(shù)的最大公因數(shù)。（3）公因數(shù)的表示法方法一：列舉法如12和8的公因數(shù)：1，2，4。方法二：集合法（此處有12的因數(shù)、8的因數(shù)及它們公因數(shù)的集合圖，12的因數(shù)有3，6，12；8的因數(shù)有8；12和8的公因數(shù)有1，2，4）每個數(shù)因數(shù)的個數(shù)是有限的，因此兩個數(shù)或多個數(shù)的公因數(shù)個數(shù)也是有限的，并且最大公因數(shù)只有一個。2.互素（1）互素如果兩個整數(shù)只有公因數(shù)1，那么稱這兩個數(shù)互素。5和7，7和9，15和16都是互素的，也叫互質(zhì)，兩個互素的數(shù)未必都是素數(shù)，如8和9都是合數(shù)。（2）互素的判定方法判斷兩個整數(shù)是不是互素，要看它們是不是只有公因數(shù)1?；ニ嘏c素數(shù)的區(qū)別素數(shù)是一類數(shù)，是只有1和它本身兩個因數(shù)的數(shù)；互素是對兩個數(shù)的關(guān)系而言的，公因數(shù)只有1的兩個數(shù)是互素的。一般判斷兩個數(shù)是否互素可用直接觀察的方法，得出是否屬于幾種特定情況，也可用數(shù)的整除特征來判斷。3.求最大公因數(shù)的方法（1）列舉法：分別列出兩個數(shù)的因數(shù)，從公因數(shù)中找出它們的最大公因數(shù)。（2）分解素因數(shù)法：把兩個數(shù)分解素因數(shù)，最大公因數(shù)就是它們公有素因數(shù)的乘積。（3）短除法：用兩個數(shù)的公因數(shù)去除，除到商互素為止，所有除數(shù)的乘積就是這兩個數(shù)的最大公因數(shù)。書寫格式更簡便。（4）特征法：如果兩個數(shù)互素，那么它們的最大公因數(shù)是1；如果較小數(shù)是較大數(shù)的因數(shù)，那么較小數(shù)就是這兩個數(shù)的最大公因數(shù)。求72和54的最大公因數(shù)解法一：列舉法72的因數(shù)有1，2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72；54的因數(shù)有1，2，3，6，9，18，27，54。所以72和54的公因數(shù)有1，2，3，6，9，18，最大公因數(shù)是18。解法二：分解素因數(shù)法解法三：短除法求兩個整數(shù)最大公因數(shù)的方法——篩選法篩選法：先找出兩個數(shù)中較小數(shù)的因數(shù)，再看這些因數(shù)哪些是較大數(shù)的因數(shù)，找出其中最大的一個即為這兩個數(shù)的最大公因數(shù)。如求72和54的最大公因數(shù)。54的因數(shù)有1，2，3，6，9，18，27，54，從大到小看54，27不是72的因數(shù)，18是72的因數(shù)，所以18是72和54的最大公因數(shù)。求兩個數(shù)的最大公因數(shù)速解大招(1)當(dāng)兩個數(shù)成倍數(shù)關(guān)系時,較小數(shù)就是它們的最大公因數(shù)；(2)當(dāng)兩個數(shù)的公因數(shù)只有1時，它們的最大公因數(shù)就是1；(3)當(dāng)兩個數(shù)既不是倍數(shù)關(guān)系，公因數(shù)也不只是1時，可用一般方法求最大公因數(shù).知識點(diǎn)06公倍數(shù)與最小公倍數(shù)求兩個數(shù)的最小公倍數(shù)的應(yīng)用,在考試中單獨(dú)命題較為簡單,選擇題、填空題、解答題均有考查.1.公倍數(shù)與最小公倍數(shù)（1）定義幾個整數(shù)公有的倍數(shù)叫做這幾個整數(shù)的公倍數(shù)，其中最小的一個叫做這幾個整數(shù)的最小公倍數(shù)。幾個整數(shù)的公倍數(shù)的素因數(shù)一定含有這幾個整數(shù)的所有的素因數(shù)，而最小公倍數(shù)的素因數(shù)只包含它們公有的素因數(shù)和各自剩余的素因數(shù)。兩個數(shù)的公倍數(shù)的個數(shù)是無限的，但最小公倍數(shù)只有一個，沒有最大公倍數(shù)。（2）公倍數(shù)的表示法①列舉法如2和3的公倍數(shù)：6，12，18，24，…。公倍數(shù)的書寫格式：書寫公倍數(shù)時，各倍數(shù)之間用逗號隔開，末尾加省略號。3，93，9，15，21，…2，4，8，10，14，16，…6，12，18，…2和3的公倍數(shù)公倍數(shù)和最小公倍數(shù)的關(guān)系公倍數(shù)是最小公倍數(shù)的倍數(shù)，最小公倍數(shù)是公倍數(shù)的因數(shù)，如2和3的最小公倍數(shù)是6，2和3的公倍數(shù)有6，12，18，24，…，其中6是6，12，18，24，…的因數(shù)，而6，12，18，24，…都是6的倍數(shù)。分析：兩個數(shù)的最小公倍數(shù)必須包含這兩個數(shù)全部公有的素因數(shù)和各自剩余的素因數(shù)。解：因?yàn)楣械乃匾驍?shù)是2和3，剩余的素因數(shù)是3和5，剩余的素因數(shù)是2和7，所求，的最小最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)的區(qū)別類別最大公因數(shù)最小公倍數(shù)兩數(shù)互素最大公因數(shù)是1最小公倍數(shù)是兩數(shù)的乘積兩數(shù)成倍數(shù)最大公因數(shù)是較小數(shù)最小公倍數(shù)是較大數(shù)既不互素也不成倍數(shù)兩個數(shù)公有素因數(shù)的積兩個數(shù)公有素因數(shù)及各自剩余因數(shù)的積在求兩個數(shù)的最小公倍數(shù)時，不能把兩個數(shù)所有的素因數(shù)相乘。2.求兩個數(shù)最小公倍數(shù)的方法（1）列舉法分別列出兩個數(shù)的倍數(shù)，找出它們的公有倍數(shù)，其中最小的數(shù)就是這兩個數(shù)的最小公倍數(shù)。（2）分解素因數(shù)法兩個數(shù)分解素因數(shù)，把它們公有素因數(shù)和它們各自剩余的素因數(shù)連乘，所得的積就是它們的最小公倍數(shù)。（3）短除法用兩個數(shù)的公因數(shù)去除，除到商互素為止，所有除數(shù)和商的乘積就是這兩個數(shù)的最小公倍數(shù)。（4）特征法如果兩個數(shù)互素，它們的最小公倍數(shù)是它們的乘積。如果較大數(shù)是較小數(shù)的倍數(shù)，那么較大數(shù)就是這兩個數(shù)的最小公倍數(shù)。求24和42的最小公倍數(shù)。解法一：列舉法24的倍數(shù)有24，48，72，96，120，144，168，…，42的倍數(shù)有42，84，126，168，210，…，所以24和42的最小公倍數(shù)是168。解法二：分解素因數(shù)法用短除法求72和54的最小公倍數(shù).（1）列舉法求最小公倍數(shù)適合求較小兩數(shù)的最小公倍數(shù)；（2）分解素因數(shù)法必須把公有的素因數(shù)只計算一次，不能重復(fù)計算.求三個數(shù)的最小公倍數(shù)（1）分解素因數(shù)法三個數(shù)分解素因數(shù)，把這三個數(shù)公有的素因數(shù)，每兩個數(shù)公有的素因數(shù)，以及各自剩余的素因數(shù)相乘，所得的積是這三個數(shù)的最小公倍數(shù)。（2）短除法用短除法求三個數(shù)的最小公倍數(shù)的步驟：先用三個數(shù)的公因數(shù)去除，除到三個數(shù)的商互素為止；再用每兩個數(shù)的公因數(shù)去除，除到三個數(shù)的商成為兩兩互素（任意的兩個商都互素）為止；把這些除數(shù)和商相乘，所得的積就是所求的最小公倍數(shù)。求兩個整數(shù)的最小公倍數(shù)，每次都用公有的素因數(shù)去除，除到兩個商互素為止。求三個整數(shù)的最小公倍數(shù)，先用三個數(shù)的公有素因數(shù)去除，然后每兩個數(shù)如果有公有素因數(shù)，再用每兩個數(shù)公有的素因數(shù)去除，一直除到每兩個商都互素為止。(1)如果兩個數(shù)互素，那么它們的乘積就是它們的最小公倍數(shù)，如8和9，8和15互素，所以它們各組的乘積即是它們各組的最小公倍數(shù)。(2)當(dāng)兩個整數(shù)中，一個是另一個的倍數(shù)時，較大數(shù)是它們的最小公倍數(shù)，如15是3的倍數(shù)，36是18的倍數(shù)，所以它們的最小公倍數(shù)分別為15和36。題型1整除問題（易錯）易｜錯｜點(diǎn)｜撥1....能被...整除，大數(shù)在前，小數(shù)在后，如：12÷3＝4，則有12能被3整除2....能整除...，小數(shù)在前，大數(shù)在后，如上，3能整除12.3.除盡可以是小數(shù)，整除必須是整數(shù).【典例1】[被...整除（不換位置），易]（2024?青浦區(qū)校級期中）下列各組數(shù)中，第一個數(shù)能被第二個數(shù)整除的是A．10和7 B．5和2.5 C．21和6 D．91和13【變式1】[被...整除（不換位置）]（2024?浦東新區(qū)校級期中）下列各選項(xiàng)中，第一個數(shù)能被第二個數(shù)整除的是A．3和6 B．2和 C．1.4和0.7 D．42和3【變式2】[能...整除（換位置），中，易錯]（2024?虹口區(qū)期中）如果能整除18，那么一定是A．18 B．1 C．18的倍數(shù) D．18的因數(shù)題型22、3和5的倍數(shù)（易錯）易｜錯｜點(diǎn)｜撥①2和5的倍數(shù)易忽略＂0＂的特殊性，要記住個位是0的數(shù)（如10、20）既是2的倍數(shù)也是5的倍數(shù)；②3的倍數(shù)最容易和2、5的倍數(shù)特征混淆，3的倍數(shù)要看＂所有數(shù)位數(shù)字之和＂是否為3的倍數(shù)，計算數(shù)字和時還要避免漏加或錯加數(shù)位；③2、3和5的倍數(shù)時，容易只看個位是0而忽略數(shù)字和，正確的做法是分兩步，先確認(rèn)個位是0（滿足2和5的倍數(shù)特征），再檢查所有數(shù)位數(shù)字之和是否為3的倍數(shù)，比如20個位是0但2+0=2不是3的倍數(shù)，所以不是三者的公倍數(shù)，而30、60這類個位是0且數(shù)字和是3的倍數(shù)的數(shù)，才符合要求。【典例2】[2,3,5的倍數(shù)，中]（2024?普陀區(qū)校級期中）一個兩位數(shù)既是奇數(shù)又是合數(shù)，如果它能同時被3和5整除，那么這個數(shù)最大的是．【變式1】（浦東新區(qū)期末）能同時被2和5整除的最小兩位數(shù)是．【變式2】[2,3,5的倍數(shù)，中]（2024?閔行區(qū)校級期中）將217至少加上，才能同時被2，5整除．題型3因數(shù)、素因數(shù)的區(qū)別（易錯）易｜錯｜點(diǎn)｜撥說一個數(shù)的因數(shù)時，不能重復(fù)；說一個數(shù)的素因數(shù)時，可以重復(fù).【典例3】[因數(shù)與倍數(shù)，易]（2024?奉賢區(qū)期中）3是15的A．素數(shù) B．因數(shù) C．合數(shù) D．倍數(shù)A．素數(shù) B．素因數(shù) C．公因數(shù) D．倍數(shù)【變式3】[素因數(shù)，易]（2024?普陀區(qū)校級期中）一個數(shù)的最小倍數(shù)是18，這個數(shù)的素因數(shù)有．題型4互素（易錯）互素的6種常見情況①1和任意正整數(shù)互素；②2和任意奇數(shù)互素；③相鄰正整數(shù)互素；④相鄰兩個奇數(shù)互素；⑤任意兩個素數(shù)互素；⑥合數(shù)與素數(shù)（合數(shù)不是素數(shù)的倍數(shù)）互素。【典例4】[互素，易]（2024?上海期中）下列各組數(shù)中，不是互素的有A．13和15 B．27和28 C．1和20 D．21和49【變式1】[互素，易]（2024?普陀區(qū)期中）在2、4、5、8中，與2互素的數(shù)是．題型5分解素因數(shù)的應(yīng)用（易錯）答｜題｜模｜板一、求最大公因數(shù)(含字母)核心思路:最大公因數(shù)是幾個數(shù)都有的素因數(shù)(包括字母)，并且每個素因數(shù)(包括字母)取在各個數(shù)里出現(xiàn)次數(shù)最少的那個，然后把這些取出來的素因數(shù)(包括字母)相乘。二、求最小公倍數(shù)(含字母)核心思路:最小公倍數(shù)是把幾個數(shù)所有的素因數(shù)(包括字母)都包含進(jìn)來，并且每個素因數(shù)(包括字母)取在各個數(shù)里出現(xiàn)次數(shù)最多的那個，然后把這些取出來的素因數(shù)(包括字母)相乘。題型6奇數(shù)、偶數(shù)、素數(shù)與合數(shù)綜合（拉分）易｜錯｜點(diǎn)｜撥2是一個特殊的存在，它是唯一的偶素數(shù)，因?yàn)樗囊驍?shù)只有1和2本身，如果多個素數(shù)相加結(jié)果為奇數(shù)時，要注意其中可能有偶素數(shù)2（偶數(shù)±奇數(shù)＝奇數(shù)，奇數(shù)±奇數(shù)＝偶數(shù)）【典例6】[素數(shù)]（2024?浦東新區(qū)期中）將36寫成兩個素數(shù)相加的形式：．（寫出一種即可）【變式1】[素數(shù)的性質(zhì)]（2024?浦東新區(qū)校級期中）兩個素數(shù)相乘的積是A．合數(shù) B．偶數(shù) C．奇數(shù) D．仍是素數(shù)【變式2】[素數(shù)與合數(shù)最值問題，中]（2023秋?閔行區(qū)期中）最小的素數(shù)與最小的合數(shù)的和是．【變式3】（2024?浦東新區(qū)校級期中）有一個素數(shù)，它既是兩個素數(shù)的和，又是兩個素數(shù)的差，這個素數(shù)是．題型7三個數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)問題（拉分）解｜題｜錦｜囊1.求三個數(shù)的最大公因數(shù)方法：先分別找出這三個數(shù)的因數(shù)，再找出它們共有的因數(shù)，其中最大的那個就是最大公因數(shù)。也可以用分解質(zhì)因數(shù)法，把三個數(shù)分解質(zhì)因數(shù)后，取它們公有的質(zhì)因數(shù)的最低次冪相乘，結(jié)果就是最大公因數(shù)。2.求三個數(shù)的最小公倍數(shù)方法：用分解質(zhì)因數(shù)法，把三個數(shù)分解質(zhì)因數(shù)后，取公有的質(zhì)因數(shù)的最低次冪以及各自獨(dú)有的質(zhì)因數(shù)的最高次冪相乘，結(jié)果就是最小公倍數(shù)?！镜淅?】（2024·上海·期中）求34，68，136三個數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)．【變式1】（2023·上海楊浦·期中）計算以下兩數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)(1)10001和20075(2)144、360和540題型8利用推理解決素數(shù)積問題（拉分）答｜題｜模｜板審題干：關(guān)鍵詞“幾個數(shù)”、“連續(xù)”、“乘積”等。思考向：分解素因數(shù)（本單元只有分解素因數(shù)才能將數(shù)字串聯(lián)起來相乘）定個數(shù)：根據(jù)題目要求的個數(shù)，將分解的素因數(shù)重新組合相乘變成規(guī)定的個數(shù)【典例8】（2024?黃浦區(qū)校級期中）三個素數(shù)的積是110，這三個素數(shù)中，最大的是A．2 B．3 C．5 D．11【變式1】（2024?黃浦區(qū)校級期中）三個素數(shù)的積是110，這三個素數(shù)中，最大的是A．2 B．3 C．5 D．11【變式2】（2024·上?！て谥校┯腥齻€小朋友，他們的年齡恰好一個比一個大1歲，并且他們?nèi)齻€年齡數(shù)的乘積是，這三個小朋友的年齡分別是多少？題型9逆推法在大公因和小公倍中的運(yùn)用（拉分）易｜錯｜點(diǎn)｜撥常用二級結(jié)論1.兩數(shù)的乘積=最大公因數(shù)×最小公倍數(shù)2.最小公倍數(shù)÷最大公因數(shù)＝兩數(shù)對應(yīng)的互素的因數(shù)（如短除法中最后互素的一組數(shù)）3.若兩數(shù)分別為A和B，兩數(shù)對應(yīng)的互素的因數(shù)（如短除法中最后互素的一組數(shù)）為a和b，則有：A=最大公因數(shù)×a，B＝最大公因數(shù)×b【典例9】（兩數(shù)的乘積=最大公因數(shù)×最小公倍數(shù)，中）（2024?黃浦區(qū)校級期中）甲、乙兩數(shù)的最大公因數(shù)是3，最小公倍數(shù)是90，如果甲數(shù)為6，則乙數(shù)是多少？【變式1】（最小公倍數(shù)÷最大公因數(shù)＝兩數(shù)對應(yīng)的互素的因數(shù)）（2024?楊浦區(qū)期中）如果兩個正整數(shù)的最大公因數(shù)是18，最小公倍數(shù)是108，請問這兩個正整數(shù)是．【變式2】[利用最大公因數(shù)求原數(shù)，易錯]（2024?浦東新區(qū)期中）兩數(shù)最大公因數(shù)為6，這兩數(shù)之積為216，則這兩個數(shù)為．題型10最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的應(yīng)用（綜合）【典例10】[最大公因數(shù)的應(yīng)用]（2024·上海松江·期中）有一張長方形紙片，長為60厘米，寬為48厘米，如果要把這張紙片裁剪成大小相等的正方形紙片，而且沒有剩余．裁出的正方形紙片最少是多少張？【變式1】（2023·上海靜安·期中）綠化工人在長為1200米的公路兩旁等距離種樹（兩端都種），開始每隔6米種一棵樹，現(xiàn)要改為每隔4米種一棵樹，那么將可以有多少棵樹不用移植？【變式2】（2023·上海青浦·期中）一個長方形操場，長90米，寬70米，在四角和四周種上樹苗，使得相鄰的兩棵樹苗間的距離都相等，問最遠(yuǎn)應(yīng)每隔多少米種一棵？一共需要多少棵樹苗．【變式3】[最小公倍數(shù)的應(yīng)用]（2024·上海崇明·期中）“學(xué)生藝術(shù)節(jié)”快到了，六年級學(xué)生排練舞蹈．舞蹈老師要求除了領(lǐng)舞的1人外，其余的人要作隊(duì)形變換，既要能平均分成4組，又要能平均分成6組．那么至少要選拔多少名學(xué)生參加跳舞？【變式4】[最小公倍數(shù)的應(yīng)用]（2024·上海楊浦·期中）為了迎接國慶節(jié)的到來，需要在筆直的公路一側(cè)插上彩旗，原來每米插一面彩旗，現(xiàn)在改成每米插一面彩旗．在施工過程中發(fā)現(xiàn)，包括兩端的彩旗在內(nèi)，一共有面彩旗不需要移動，這條路長多少米？【變式5】（2024秋?松江區(qū)期中）有一張長方形紙片，長為60厘米，寬為48厘米，如果要把這張紙片裁剪成大小相等的正方形紙片，而且沒有剩余．裁出的正方形紙片最少是多少張？題型11新定義（綜合）易｜錯｜點(diǎn)｜撥新定義的題目解題步驟第一步：要先讀懂題意，明確解題法則；第二步：代入數(shù)字，按照新定義運(yùn)算；第三步：比對結(jié)果是否符合題意。【典例11】（2024?普陀區(qū)校級期中）著名的“哥德巴赫猜想”被喻為“數(shù)學(xué)皇冠上的明珠”，猜想認(rèn)為：任何大于2的偶數(shù)都等于兩個素數(shù)之和．下列4個算式中，符合這個猜想的是【變式1】（2024?浦東新區(qū)校級期中）著名的哥德巴赫猜想：“任意一個大于4的偶數(shù)都可以表示成兩個期中基礎(chǔ)通關(guān)練（測試時間：10分鐘）1．[整除的概念，易]（2024?寶山區(qū)期中）在下列式子中，表示整除的是2．[被...整除（不換位置），易