第二十一章圓（上）【知識點01】圓的定義與性質(zhì)圓的定義：在一個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A所形成的圖形叫圓。這個固定的端點O叫做，線段OA叫做。圓的表示方法：以O(shè)點為圓心的圓記作⊙O，讀作圓O。圓的特點：在一個平面內(nèi)，所有到一個定點的距離等于的點組成的圖形。確定圓的條件：（1）；（2）。圓的對稱性：（1）圓是軸對稱圖形，經(jīng)過的每一條直線都是它的對稱軸；（2）圓是以圓心為對稱中心的?！局R點02】圓的有關(guān)概念弦的概念：連結(jié)圓上任意兩點的線段叫做(例如：下圖中的AB)。直徑的概念：經(jīng)過圓心的弦叫做（例如：下圖中的CD）。備注：（1）是同一圓中最長的弦。（2）直徑長度等于半徑長度的2倍?；〉母拍睿簣A上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱。以A、B為端點的弧記作AB，讀作圓弧AB或弧等弧的概念：或，能夠的弧叫做等弧。半圓的概念：圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。優(yōu)弧的概念：在一個圓中。劣弧的概念：。【知識點03】垂徑定理垂徑定理：于弦的直徑這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。推論1：（1）平分弦（）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條??；（2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條?。唬?）平分弦所對的一條弧的直徑垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧。推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧。常見輔助線做法（考點）：1）過圓心，作垂線，連半徑，造，用勾股，求長度；2）有弧中點，連中點和圓心，得垂直平分【知識點04】圓心角的概念與性質(zhì)圓心角概念：頂點在圓心的角叫做?；?、弦、弦心距、圓心角之間的關(guān)系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等。推論：在或中，如果兩個、兩條、兩條或兩條中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量分別相等?！局R點05】圓周角的概念與性質(zhì)圓周角概念：頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做。圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的。（即：圓周角=1推論1：同弧或等弧所對的。在同圓或等圓中，如果兩個圓周角相等，它們所對的弧一定相等。推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是，90°的圓周角所對的弦是。推論3：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形?！局R點06】圓內(nèi)接四邊形圓的內(nèi)接四邊形定理：圓的內(nèi)接四邊形的對角，外角等于它的．【知識點07】點和圓的位置關(guān)系設(shè)⊙O的半徑是r，點P到圓心O的距離為d，則有：d<r點P在⊙O內(nèi)；d=r點P在⊙O上；d>r點P在⊙O外?！局R點08】弧長和扇形面積1.扇形的弧長和面積計算：圓心角：扇形多對應(yīng)的圓的半徑：扇形弧長：扇形面積2.扇形與圓柱、圓錐之間聯(lián)系注意：圓錐的底周長=扇形的弧長注意：（2）公式中的ｎ表示1°圓心角的倍數(shù)，故ｎ和180都不帶單位，R為弧所在圓的半徑；（3）弧長公式所涉及的三個量：弧長、圓心角度數(shù)、弧所在圓的半徑，知道其中的兩個量就可以求出第三個量.（5）在扇形面積公式中，涉及三個量：扇形面積S、扇形半徑R、扇形的圓心角，知道其中的兩個量就可以求出第三個量. 一、圓的有關(guān)概念與有關(guān)性質(zhì)錯誤：忽視概念或性質(zhì)中的前提條件致錯注意：圓中概念與性質(zhì)成立的前提條件。如只有“在同圓或等圓中”，弧、弦、圓心角之間的關(guān)系才能成立，只有“在同圓或等圓中”能夠互相重合的弧叫做等弧．只有不在同一直線上三點才能確定圓，平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條??；1．下列說法正確的是（）A．劣弧一定比優(yōu)弧短B．面積相等的圓是等圓C．長度相等的弧是等弧D．如果兩個圓心角相等，那么它們所對的弧也相等二.垂徑定理1垂徑定理理解和運用錯誤：對垂徑定理理解和運用不熟練致誤注意：垂徑定理及其推論實質(zhì)是指一條直線滿足：（1）過圓心；（2）垂直于弦；（3）平分弦（被平分的弦不是直徑）；（4）平分弦所對的優(yōu)弧；（5）平分弦所對的劣弧。若已知五個條件中的兩個，那么可推出其中三個，簡稱“知二得三”，解題過程中經(jīng)常通過做輔助線使半徑、弦心距、弦的一半構(gòu)成直角三角形來解決問題。2.綜合與實踐：測量如圖（1）所示的圓口水杯的杯口直徑．小亮的測量方法：如圖（3），將硬紙板緊貼在杯口上，紙板的一邊與杯口相切，切點為A，另一邊與杯口相交于B，C兩點，利用刻度尺測得的長為．(2)請根據(jù)小亮的測量方法和所得數(shù)據(jù)，計算出杯口的直徑（結(jié)果用含字母l的式子表示）．2.平行弦距離問題錯誤：未對平行弦距離問題分類討論致誤注意：求兩條弦間的距離時要分類討論兩條弦與圓心的相對位置：兩弦在圓心的同側(cè)，兩弦在圓心的異側(cè)。三.圓周角及性質(zhì)1.弦所對的圓周角錯誤：弦所對的圓周角沒有分類討論注意：弧所對的圓周角是唯一的，弦所對的圓周角有兩種情況要特別注意，在圓中，非直徑的弦所對的圓周角有兩個，且兩個圓周角互補。四.弧長與扇形的面積1.立體圖形圓錐與平面圖形扇形間的轉(zhuǎn)化錯誤：立體圖形圓錐與平面圖形扇形間的轉(zhuǎn)化關(guān)系混亂致誤，注意：1）搞清母線、底面半徑與高的關(guān)系；2）理解弧長與底面周長的對應(yīng)關(guān)系。如圖，圓錐的底面半徑為r，底面周長為C，母線為a，高為h；扇形的圓心角為n°，半徑為R，弧長為l。重要關(guān)系：①圓錐的底面周長=扇形的弧長，即C=l；②圓錐的母線=扇形的半徑，即a=R。5．綜合與實踐主題：制作無底圓錐步驟1：將圓形紙板對折，如圖2，得出兩個相同的半圓，并剪去一個半圓；步驟2：如圖3，在剪好的半圓紙板中，圓心為，直徑為，使與重合，制作成一個無底的圓錐．猜想與計算：(1)直接寫出圓形紙板的周長與圓錐的底面周長的大小關(guān)系；2.求不規(guī)則圖形的面積錯誤：易錯誤拆分或組合圖形，導(dǎo)致對各部分形狀和尺寸判斷失誤，進而使面積計算出錯；也常因忽略圖形間的重疊、空缺部分，造成面積多算或少算。注意：仔細分析圖形結(jié)構(gòu)，合理拆分或補全為規(guī)則圖形，明確各部分的形狀、尺寸及相互關(guān)系，計算時留意重疊、空缺部分的處理。1．下列說法中，正確的是（）A．過圓心的直線是圓的直徑B．直徑是圓中最長的弦C．相等長度的兩條弧是等弧D．頂點在圓上的角是圓周角A．1 B．7 C．1或7 D．3或47．（2425九年級上·浙江杭州·期中）的一條弦分圓周長為兩部分，則弦所對的圓周角的度數(shù)是（

）8.（2024·廣東佛山·一模）數(shù)學(xué)活動課要求用一張正方形紙片制作圓錐，同學(xué)們分別剪出一個扇形和一個小圓作為圓錐的側(cè)面和底面，下列圖示中的剪法恰好能構(gòu)成一個圓錐的是（

）A．B．C．D．9．【綜合與實踐】主題：制作圓錐形生日帽．素材：一張圓形紙板、裝飾彩帶．步驟1：如圖1，將一個底面半徑