專題03勾股定理（5知識&11題型&4易錯清單）【清單01】基本定義與術(shù)語勾股定理相關(guān)術(shù)語：1.勾：直角三角形中較短的直角邊。2.股：直角三角形中較長的直角邊。3.弦：直角三角形的斜邊?！厩鍐?2】勾股定理核心內(nèi)容1.定理表述：直角三角形中，兩直角邊（勾與股）的平方和等于斜邊（弦）的平方。符號表示：若直角三角形兩直角邊為a、b，斜邊為c，則a2+b2=c2。2.定理驗(yàn)證方法：（1）趙爽弦圖法：通過四個全等直角三角形拼合正方形，利用面積關(guān)系推導(dǎo)。（2）歐幾里得證明法：基于幾何圖形分割與面積等式推導(dǎo)。（3）畢達(dá)哥拉斯拼圖法：通過正方形面積差驗(yàn)證定理?！厩鍐?3】勾股定理的逆定理1.定理內(nèi)容：若三角形三邊滿足a2+b2=c2（c為最長邊），則該三角形為直角三角形，且c所對角為直角。2.應(yīng)用場景：判斷三角形形狀（銳角/直角/鈍角）。構(gòu)造直角三角形解決實(shí)際問題?！厩鍐?4】勾股數(shù)與常見組合1.勾股數(shù)定義：滿足a2+b2=c2的三個正整數(shù)稱為勾股數(shù)。2.常見勾股數(shù)組：（1）基礎(chǔ)型：3,4,5；6,8,10；9,12,15。（2）擴(kuò)展型：5,12,13；8,15,17；7,24,25。（3）規(guī)律型：勾為奇數(shù)時，弦與股相差1（如3,4,5）。勾為偶數(shù)時，弦與股相差2（如6,8,10）?！厩鍐?5】勾股定理的應(yīng)用1.邊長計(jì)算：已知兩邊求第三邊（如直角邊或斜邊）。2.幾何證明：證明線段平方關(guān)系（如垂直線段長度）。驗(yàn)證圖形性質(zhì)（如矩形對角線長度）。3.面積計(jì)算：直角三角形面積：S=?ab。組合圖形面積（如通過勾股定理求斜邊后計(jì)算外圍圖形面積）。4.實(shí)際問題建模：測量高度（如梯子靠墻問題）。路徑優(yōu)化（如最短距離問題）。工程應(yīng)用（如建筑結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性分析）?！绢}型一】勾股數(shù)（樹）【例1】下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（

）【變式11】下列屬于勾股數(shù)的是（

）A．3，4，5 B．0.3，0.4，0.5 C．1，2，3 D．，2，【變式12】有一個邊長為1的正方形，以它的一條邊為斜邊，向外作一個直角三角形，再分別以直角三角形的兩條直角邊為邊，向外各作一個正方形，稱為第一次“生長”；如果繼續(xù)“生長”下去，它將變得“枝繁葉茂”，請你算出“生長”了2025次后形成的圖形中所有的正方形的面積和是．【題型二】組成直角三角形的是【例2】下列長度的三條線段能組成直角三角形的是（

）A．2，2，4 B．3，4，5 C．1，2，3 D．2，3，6【題型三】趙爽弦圖【變式31】如圖，“趙爽弦圖”是用4個全等的直角三角形與1個小正方形鑲嵌而成的正方形圖案．若“弦圖”中的大正方形的面積為81，小正方形的面積為9．則一個直角三角形的面積為（）A．18 B．24 C．36 D．72【題型四】網(wǎng)格問題【例4】如圖，在數(shù)軸上作一個的正方形網(wǎng)格，以原點(diǎn)為圓心，陰影正方形的邊長為半徑畫弧，交數(shù)軸于點(diǎn)，則點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)為（

）【變式42】如圖，網(wǎng)格中每個小方格的邊長均為1，以數(shù)軸上表示數(shù)1的點(diǎn)為圓心，陰影正方形邊長為半徑畫圓，交數(shù)軸于點(diǎn)和點(diǎn)，則點(diǎn)表示的數(shù)為．【題型五】最值問題A． B． C． D．A． B．4 C． D．2【題型六】勾股定理的應(yīng)用【例6】《九章算術(shù)》中有個“折竹抵地”的問題，其大意為：如圖，一根竹子，原來高一丈，后來竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離原竹子根部三尺遠(yuǎn)，問原處還有多高的竹子（1丈尺）？設(shè)原處的竹子還有x尺，則可列方程為（

）【變式62】如圖，一架梯子的長度為15米，斜靠在墻上，梯子底部離墻底端為9米．(1)這個梯子頂端離地面有幾米；(2)如果梯子的底部沿水平方向向外滑動了4米，那么梯子的頂端下滑了幾米？（結(jié)果用二次根式表示）【題型七】折疊問題

A．2 B． C． D．4【變式72】【初步感知】【深入探究】【題型八】等腰三角形的動點(diǎn)求t(1)出發(fā)1秒后，求的長；(1)出發(fā)秒后，求的長；【題型九】直角三角形的動點(diǎn)求t(1)若點(diǎn)P運(yùn)動到的中點(diǎn)時，t的值是；(1)當(dāng)t為何值時，點(diǎn)A在的垂直平分線上？【題型十】勾股定理的新定義②在以下四種圖形中，一定是“等補(bǔ)四邊形”的是（

）A．平行四邊形

B．菱形

C．矩形

D．正方形【題型十一】無刻度尺作圖(1)在圖1中，畫出邊上的高；(2)在圖2中，畫出邊上的中線；【題型一】直角邊與斜邊未明確【例1】若一直角三角形的兩邊長分別是，，則第三邊長為（

）【變式11】若一直角三角形兩邊長分別為12和5，則第三邊長為（

）【變式12】若一直角三角形兩邊長分別為6和8，則這個三角形的第三邊長為．【題型二】三角形形狀不明A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形【題型三】立體圖形最短路徑路線不全

【變式31】如圖，長方體的棱長為3，棱長為5，棱長為2，P為中點(diǎn)，一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，在長方體表面沿如圖所示的路徑到點(diǎn)P處吃食物，則它爬行的最短路程是．【變式32】綜合與實(shí)踐【主題】自制環(huán)保筆筒【實(shí)踐操作】步驟1：在包裝紙上用剪刀裁剪出一張剛好能與紙筒卷外表面緊密貼合的紙；步驟2：用固體膠把包裝紙緊密地貼在紙筒卷外表面；步驟3：用固體膠把裝飾用的繩子粘在紙筒外面；步驟4：用固體膠把小正方形紙板粘在紙筒卷的底部，得到一個形如圖2所示的環(huán)保筆筒．【實(shí)踐探索