專題05相似三角形中的基本模型之對角互補(bǔ)模型相似三角形是中考數(shù)學(xué)中經(jīng)常出現(xiàn)壓軸大題的知識點(diǎn)，占據(jù)著重要地位；相似三角形與其它知識點(diǎn)結(jié)合以綜合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，難度大，是中考的常考題型。如果大家平時注重解題方法，熟練掌握基本解題模型，再遇到該類問題就信心更足了。本專題就對角互補(bǔ)模型進(jìn)行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。TOC\o"14"\h\z\u 1模型趣事 1真題現(xiàn)模型 2提煉模型 4模型運(yùn)用 5模型1.對角互補(bǔ)模型（相似模型） 5 17因結(jié)構(gòu)中存在“對角互補(bǔ)”的核心特征，模型被命名為“對角互補(bǔ)模型”?。2023年分類突破?：文獻(xiàn)明確劃分?全等型與?相似型?，確立模型框架?；?2025年深度整合?：將旋轉(zhuǎn)、垂線、四點(diǎn)共圓等技巧按“構(gòu)造→轉(zhuǎn)化→結(jié)論”流程標(biāo)準(zhǔn)化，成為中考壓軸題核心工具。模型在八年級首次出現(xiàn)于三角形全等證明，常與角平分線、等腰三角形結(jié)合，通過旋轉(zhuǎn)或垂線構(gòu)造全等形?。九年級擴(kuò)展至相似三角形領(lǐng)域，利用雙垂線法構(gòu)造相似三角形，適用于任意互補(bǔ)角，重點(diǎn)在于比例關(guān)系的推導(dǎo)。?(1)概念理解①在以下四種圖形中，一定是“等補(bǔ)四邊形”的是___________；A．平行四邊形

B．菱形C．矩形

D．正方形(2)探究發(fā)現(xiàn)(3)拓展應(yīng)用【答案】(1)①D；②【詳解】（1）解：①平行四邊形的對角相等，不一定互補(bǔ)，對邊相等，鄰邊不一定相等，平行四邊形不一定是等補(bǔ)四邊形；菱形四邊相等，對角相等，但不一定互補(bǔ)，菱形不一定是等補(bǔ)四邊形；矩形對角互補(bǔ)，但鄰邊不一定相等，矩形不一定是等補(bǔ)四邊形；正方形四個角是直角，四條邊相相等，正方形一定是等補(bǔ)四邊形，故選：D；（3）解：連接，【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的判定，“等補(bǔ)四邊形”的概念，正確引出輔助線解決問題是解題的關(guān)鍵．(1)①在以下四種圖形中，一定是“求同存異四邊形”的是______；A．平行四邊形

B．菱形

C．矩形

D．正方形【答案】(1)①D；②130(2)見解析【分析】（1）①根據(jù)平行四邊形，菱形，矩形，正方形的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可；②根據(jù)“求同存異四邊形”的對角互補(bǔ)進(jìn)行解答即可；【詳解】（1）解：①平行四邊形中沒有一組鄰邊一定相等，菱形沒有一組對角一定互補(bǔ)，矩形沒有一組鄰邊一定相等，因此，平行四邊形，菱形，矩形不一定是“求同存異四邊形”；正方形有一組鄰邊一定相等，一組對角一定互補(bǔ)，因此正方形是“求同存異四邊形”；故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了特殊四邊形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，同弧或等弧所對的圓周角相等，直徑所對的圓周角是直角，線段垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)的判定和性質(zhì)，注意進(jìn)行分類討論．1）對角互補(bǔ)相似1條件：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝∠EOF＝90°，點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，證明：∵OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分別為D，H，∴∠EDO＝∠FHO＝90°，∵∠C＝90°，∴四邊形OHCD為矩形，∴∠DOH＝90°，DO＝CH∴∠DOF+∠HOF＝90°，2）對角互補(bǔ)相似 2條件：如圖，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝.證明：法1：∵CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分別為F，G；∴∠EGC＝∠DFC＝90°，∵∠AOB＝90°，∴四邊形OGCF為矩形，∴∠GCF＝90°，CF=OG，∴∠FCD+∠DCG＝90°，證明：法1：∵CF⊥OC，∴∠OCF＝90°，∴∠OCE+∠ECF＝90°，∵∠DCE＝90°，∴∠OCE+∠DCO＝90°，∴∠ECF＝∠DCO，∵∠AOB＝90°，∠OCF＝90°，∴∠COE+∠DOC＝90°，∴∠COE+∠CFO＝90°，3）對角互補(bǔ)相似3 條件：已知如圖，四邊形ABCD中，∠B+∠D=180°。結(jié)論：如圖，過點(diǎn)D作DE⊥BA，DF⊥BC，垂足分別為E、F；則：①△DAE～△DCF；②A、B、C、D四點(diǎn)共圓。證明：∵∠B+∠D=180°，∠A+∠C=180°，∴A、B、C、D四點(diǎn)共圓?！逥E⊥BA，DF⊥BC，∴∠AED=∠CFD=90°，∵∠BAD+∠C=180°，∠BAD+∠DAE=180°，∴∠C=∠DAE，∴△DAE～△DCF；模型1.對角互補(bǔ)模型（相似模型）例1（2425九年級下·廣東深圳·階段練習(xí)）在學(xué)習(xí)特殊四邊形的過程中，我們積累了一定的研究經(jīng)驗(yàn)．請運(yùn)用已有經(jīng)驗(yàn)，對“鄰等對補(bǔ)四邊形”進(jìn)行研究．【定義】至少有一組鄰邊相等且對角互補(bǔ)的四邊形叫做鄰等對補(bǔ)四邊形．(1)操作判斷用分別含有和角的直角三角形紙板拼出如圖1所示的4個四邊形，其中是鄰等對補(bǔ)四邊形的有______（填序號）①寫出圖2中相等的角，并說明理由；②當(dāng)該鄰等對補(bǔ)四邊形僅有一組鄰邊相等時，請直接寫出的長．【答案】(1)②④【分析】（1）根據(jù)鄰等對補(bǔ)四邊形的定義判斷即可；②分三種情況：【詳解】（1）解：觀察圖知，圖①和圖③中不存在對角互補(bǔ)，圖②和圖④中存在對角互補(bǔ)且鄰邊相等，故圖②和圖④中四邊形是鄰等對補(bǔ)四邊形．故答案為：②④；②分三種情況：【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理等知識，明確題意，理解新定義，添加合適輔助線，構(gòu)造全等三角形、相似三角形是解題的關(guān)鍵．例2（2425九年級下·陜西咸陽·期中）定義新知定義：至少有一組鄰邊相等且對角互補(bǔ)的四邊形叫做鄰等對補(bǔ)四邊形．初步探究（1）如圖1為的正方形網(wǎng)格，線段、的端點(diǎn)均在格點(diǎn)上，請在圖中標(biāo)出格點(diǎn)的位置，使得以、、、四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是鄰等對補(bǔ)四邊形；（標(biāo)出一個滿足條件的點(diǎn)，同時畫出這個四邊形）拓展應(yīng)用【分析】（1）根據(jù)鄰等對補(bǔ)四邊形的定義畫圖即可；【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握以上知識點(diǎn)并靈活運(yùn)用，采用分類討論的思想是解此題的關(guān)鍵．例3（2025·河南商丘·二模）綜合與實(shí)踐在學(xué)習(xí)特殊四邊形的過程中，我們積累了一定的研究經(jīng)驗(yàn)．請運(yùn)用已有經(jīng)驗(yàn)，對“損矩形”進(jìn)行研究．定義：只有一組對角是直角的四邊形叫做“損矩形”．

(1)操作判斷(2)性質(zhì)探究(3)拓展應(yīng)用【答案】(1)(2)正確（2）解：結(jié)論：小明的發(fā)現(xiàn)正確，證明：連接，如圖1，∴小明的發(fā)現(xiàn)正確．例4（2025·河南洛陽·一模）綜合與實(shí)踐在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們發(fā)現(xiàn)除了已經(jīng)學(xué)過的四邊形外，還有很多比較特殊的四邊形．請結(jié)合已有經(jīng)驗(yàn)，對下列特殊四邊形進(jìn)行研究．定義：如果四邊形的一條對角線把該四邊形分割成兩個等腰三角形，且這條對角線是這兩個等腰三角形的腰，那么我們稱這個四邊形為雙等腰四邊形．(1)【初步探究】(2)【問題解決】(3)【拓展應(yīng)用】【答案】(1)是(3)或

綜上所述，的長為或．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，相似三角形的判定的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，一元二次方程的解法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形和相似三角形的判定和性質(zhì)．（1）的長為．【答案】912【分析】本題考查相似三角形的判定及性質(zhì)，理解并掌握相似三角形的判定方法是解決問題的關(guān)鍵．故答案為：9；故答案為：12．【答案】或【分析】此題主要考查了相似三角形的性質(zhì)及判定、勾股定理，理解“單鄰等對補(bǔ)四邊形”定義，熟練運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)及判定、勾股定理是解決問題的關(guān)鍵．綜上所述，的長為或．(1)概念理解①在以下四種圖形中，一定是“等補(bǔ)四邊形”的是___________；A．平行四邊形

B．菱形C．矩形

D．正方形(2)探究發(fā)現(xiàn)(3)拓展應(yīng)用【答案】(1)①D；②【詳解】（1）解：①平行四邊形的對角相等，不一定互補(bǔ)，對邊相等，鄰邊不一定相等，平行四邊形不一定是等補(bǔ)四邊形；菱形四邊相等，對角相等，但不一定互補(bǔ)，菱形不一定是等補(bǔ)四邊形；矩形對角互補(bǔ)，但鄰邊不一定相等，矩形不一定是等補(bǔ)四邊形；正方形四個角是直角，四條邊相相等，正方形一定是等補(bǔ)四邊形，故選：D；（3）解：連接，【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的判定，“等補(bǔ)四邊形”的概念，正確引出輔助線解決問題是解題的關(guān)鍵．(1)理解操作(2)理解應(yīng)用②判斷，，之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．(3)拓展延伸【答案】(1)見解析【詳解】（1）解：如圖（1）所示，的中點(diǎn)即為所求的點(diǎn)，理由如下：又為中點(diǎn)，應(yīng)為的中點(diǎn)；【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了新定義問題、平行線分線段成比例、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識點(diǎn)，熟練掌握以上知識點(diǎn)、會用分類討論的思想是解題的關(guān)鍵．4．（2425八年級下·新疆阿克蘇·期中）在學(xué)習(xí)特殊四邊形的過程中，我們積累了一定的研究經(jīng)驗(yàn)，請運(yùn)用已有經(jīng)驗(yàn)，對“鄰等對補(bǔ)四邊形”進(jìn)行研究．定義：至少有一組鄰邊相等且對角互補(bǔ)的四邊形叫做鄰等對補(bǔ)四邊形．(1)操作判斷用分別含有30°和45°角的直角三角形紙板拼出如圖（1）所示的4個四邊形，其中是鄰等對補(bǔ)四邊形的有（填序號）．(2)性質(zhì)探究(3)拓展應(yīng)用【答案】(1)②④【分析】（1）按照“鄰等對補(bǔ)四邊形”的定義逐個判斷即可；【詳解】（1）解：圖①和圖③沒有對角互補(bǔ)，不是鄰等對補(bǔ)四邊形，圖②和圖④對角互補(bǔ)且有一組鄰邊相等，是鄰等對補(bǔ)四邊形，故答案為：②④【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行推理證明．5．（2425九年級上·江蘇揚(yáng)州·期中）綜合與實(shí)踐在學(xué)習(xí)特殊四邊形的過程中，我們積累了一定的研究經(jīng)驗(yàn)，請運(yùn)用已有經(jīng)驗(yàn)，對“鄰等對補(bǔ)四邊形”進(jìn)行研究定義：至少有一組鄰邊相等且對角互補(bǔ)的四邊形叫做鄰等對補(bǔ)四邊形．(1)操作判斷用分別含有和角的直角三角形紙板拼出如圖1所示的4個四邊形，其中是鄰等對補(bǔ)四邊形的有________（填序號）．(2)性質(zhì)探究根據(jù)定義可得出鄰等對補(bǔ)四邊形的邊、角的性質(zhì)．下面研究與對角線相關(guān)的性質(zhì)．①寫出圖中相等的角，并說明理由；(3)拓展應(yīng)用【答案】(1)②④【分析】（1）根據(jù)鄰等對補(bǔ)四邊形的定義判斷即可；【詳解】（1）解：觀察圖知，圖①和圖③中不存在對角互補(bǔ)，圖2和圖4中存在對角互補(bǔ)且鄰邊相等，故圖②和圖④中四邊形是鄰等對補(bǔ)四邊形，故答案為：②④；【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，明確題意，理解新定義，添加合適輔助線，構(gòu)造全等三角形、相似三角形是解題的關(guān)鍵．6．（2425九年級下·湖南株洲·期末）我們定義：有一組對角相等而另一組對角不相等的凸四邊形叫做“等對角四邊形”．

【答案】(1)，；(2)理由見解析；(3)線段的長為或．【分析】（）根據(jù)“等對角四邊形”的定義即可求解；故答案為：，；∵為斜邊邊上的中線，

綜上所述，線段的長為或．【點(diǎn)睛】本題是主要考查了四邊形內(nèi)角和定理，直角三角形和等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形和相似三角形的判定與性質(zhì)，余角的性質(zhì)，勾股定理，理解“等對角四邊形”的定義并且利用分類討論思想是解題的關(guān)鍵．7．（2025九年級上·湖南·專題練習(xí)）我們定義：有一組對角相等而另一組對角不相等的凸四邊形叫做“等對角四邊形”．【答案】(1)140，70(2)見解析(3)2或故答案為：，；（2）如圖：∵為斜邊邊上的中線，

綜上所述，線段的長為2或．【點(diǎn)睛】本題是四邊形的綜合題，主要考查了四邊形內(nèi)角和定理，直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理應(yīng)用等知識，理解“等對角四邊形”的定義并且利用分類討論思想是解題的關(guān)鍵．(1)概念理解①在以下四種圖形中，一定是“等補(bǔ)四邊形”的是（

）A．平行四邊形

B．菱形

C．矩形

D．正方形(2)探究發(fā)現(xiàn)(3)拓展應(yīng)用【答案】(1)①D；②；③見解析【詳解】（1）解：①平行四邊形的對角相等，不一定互補(bǔ)，對邊相等，鄰邊不一定相等，平行四邊形不一定是等補(bǔ)四邊形；菱形四邊相等，對角相等，但不一定互補(bǔ)，菱形不一定是等補(bǔ)四邊形；矩形對角互補(bǔ)，但鄰邊不一定相等，矩形不一定是等補(bǔ)四邊形；正方形四個角是直角，四條邊相相等，正方形一定是等補(bǔ)四邊形，故選：D；故答案為：；（3）解：連接，【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的判定，“等補(bǔ)四邊形”的概念，正確引出輔助線解決問題是解題的關(guān)鍵．9．（2425九年級上·山西晉中·階段練習(xí)）閱讀理解如果兩個三角形中有一組對應(yīng)角相等或互補(bǔ)，那么這兩個三角形叫做共角三角形，共角三角形的面積比等于對應(yīng)角(相等角或互補(bǔ)角)兩夾邊的乘積之比，證明：分別過點(diǎn)E，C作EG⊥AB于點(diǎn)G，CF⊥AB于點(diǎn)F，得到圖2，【答案】（1）見解析；（2）6【詳解】解：（1）如圖所示，過點(diǎn)C作CG⊥AB于G，過點(diǎn)E作EF⊥DA交DA延長線于F，∴∠EFA=∠CGA=90°，∵∠BAC+∠DAE=180°，∠DAE+∠EAF=180°，∴∠CAG=∠EAF，∴△CAG∽△EAF，故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵在于能夠準(zhǔn)確讀懂題意作出輔助線構(gòu)造相似三角形．10．（2425九年級上·安徽蕪湖·階段練習(xí)）定義：我們知道，四邊形的一條對角線把這個四邊形分成了兩個三角形，如果這兩個三角形相似（不全等），我們就把這條對角線叫做這個四邊形的“相似對角線”．理解：運(yùn)用：【分析】（1）根據(jù)“相似對角線”的定義，利用方格紙的特點(diǎn)可找到D點(diǎn)的位置；理由如下：（3）如圖3，【點(diǎn)睛】本題是屬于四邊形綜合題，主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、認(rèn)識新定義、銳角三角函數(shù)等知識點(diǎn)，正確判定相似三角形是解答本題的關(guān)鍵．11．（2425九年級上·江蘇鹽城·階段練習(xí)）定義：在四邊形ABCD中，如果∠ABC+∠ADC＝90°，那么我們把這樣的四邊形稱為余對角四邊形．{問題探索}問題：如圖1，已知AC、BD是余對角四邊形ABCD的對角線，AC＝BC，∠ACB＝60°．求證：AD2+DC2＝BD2．探索：小明同學(xué)通過觀察、分析、思考，對上述問題形成了如下想法：因?yàn)锳C＝BC，∠ACB＝60°，所以ABC是等邊三角形，將CBD繞點(diǎn)C順時針方向旋轉(zhuǎn)60°，得CAE，連接DE．??請參考小明同學(xué)的想法，完成該問題的解答過程．{問題推廣}已知AC、BD是余對角四邊形ABCD的對角線，∠ABC+∠ADC＝90°，AC＝AB＝k?BC（k≠1），如圖2，類比前面問題的解決方法探究DA、DB、DC三者之間關(guān)系，并說明理由．{靈活運(yùn)用}如圖3，已知AC、BD是四邊形ABCD的對角線，∠ABC+∠ADC＝90°，若AC＝2，BC＝，∠ACB＝90°，∠ADB＝30°，則AD＝．如圖，在DC的右側(cè)作等腰ECD，使得EC＝ED＝kDC，連接AE，∵EC＝ED＝kDC，AC＝AB＝kBC，∴∠EDC+∠ADC＝90°，即∠ADE＝90°，又∵∠ABC+∠ADC＝90°，∴∠EDC+∠ADC＝90°，即：∠ADE＝90°，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，含30°的直角三角形的性質(zhì)等相關(guān)知識，用類比的方式作出輔助線是解題的關(guān)鍵．12．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D為BC邊的任意一點(diǎn)，以點(diǎn)D為頂點(diǎn)的∠EDF的兩邊分別與邊AB，AC交于點(diǎn)E、F，且∠EDF與∠A互補(bǔ)．（1）如圖1，若AB=AC，D為BC的中點(diǎn)時，則線段DE與DF有何數(shù)量關(guān)系？請直接寫出結(jié)論；（2）如圖2，若AB=kAC，D為BC的中點(diǎn)時，那么（1）中的結(jié)論是否還成立？若成立，請給出證明；若不成立，請寫出DE與DF的關(guān)系并說明理由；（3）如圖3，若=a，且=b，直接寫出=．【答案】(1)DF=DE;

(2)

DE：DF=1：k;

(3)【詳解】試題分析：（1）如圖1，連接AD，作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，則∠EMD=∠FND=90°，只要證明△DEM≌△DFN即可．（2）結(jié)論DE：DF=1：k．如圖2，過點(diǎn)D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，連接AD，則∠EMD=∠FND=90°，由?AB?DM=?AC?DN，AB=kAC，推出DN=kDM，再證明△DME∽△DNF，即可．（3）結(jié)論DE：DF=1：k．如圖3，過點(diǎn)D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，連接AD，同（2）可證∠EDM=∠FDN，由?AB?DM：?AC?DN=b，AB：AC=a，推出DM：DN=，再證明△DEM∽△DFN即可．試題解析：（1）結(jié)論：DF=DE，理由：如圖1，連接AD，作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，則∠EMD=∠FND=90°，∵AB=AC，點(diǎn)D為BC中點(diǎn)，∴AD平分∠BAC，∴DM=DN，∵在四邊形AMDN中．，∠DMA=∠DNA=90°，∴∠MAN+∠MDN=180°，又∵∠EDF與∠MAN互補(bǔ)，∴∠MDN=∠EDF，∴∠EDM=∠FDN，在△DEM與△DFN中，∴△DEM≌△DFN，∴DE=DF．（2）結(jié)論DE：DF=1：k．理由：如圖2，過點(diǎn)D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，連接AD，則∠EMD=∠FND=90°，∵BD=DC，∴S△ABD=S△ADC，∴?AB?DM=?AC?DN，∵AB=kAC，∴DN=kDM，由（2）可知，∠EDM=∠FDN，∠DEM=∠DFN=90°，∴△DME∽△DNF，理由：如圖3，過點(diǎn)D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，連接AD，同（2）可證∠EDM=∠FDN，又∵∠EMD=∠FND=90°，∴△DEM∽△DFN，∵=b，∴S△ABD：S△ADC=b，∴?AB?DM：?AC?DN=b，∵AB：AC=a，∴DM：DN=，13．（2025九年級·新疆烏魯木齊·專題練習(xí)）【課本再現(xiàn)】【類比探究】【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，掌握正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，并能添加恰當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)建全等三角形和相似三角形是解題的關(guān)鍵．【答案】(1)見解析(2)成立．理由見解析（2）解：成立．理由如下：【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，本題屬四邊形綜合題目，熟練掌握特殊四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．（2425九年級上·陜西西安·階段練習(xí)）定義：若四邊形有一組對角互補(bǔ)，一組鄰邊相等，且相等鄰邊的夾角為直角，像這樣的圖形稱為“直角等鄰對補(bǔ)”四邊形，簡稱“直等補(bǔ)”四邊形，根據(jù)以上定義，解決下列問題：【答案】(1)是

因?yàn)辄c(diǎn)D到所在直線的距離為，【點(diǎn)睛】本題是四邊形的一個綜合題，主要考查新定義，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，第（2）①題關(guān)鍵在證明全等三角形，第（2）②題關(guān)鍵確定M、N的位置．16．（2425九年級上·湖南邵陽·期末）定義：有一組對角互補(bǔ)的四邊形叫做互補(bǔ)四邊形．(1)概念理解：【答案】(1)①90；②見解析；(2)見解析∵互補(bǔ)四邊形ABCD中，∠A與∠C是一組對角故答案為：90②證明：∵BE?BC＝AB?BD，又∵∠B＝∠B，∴△BDE∽△BCA，∴∠BED＝∠A，∴∠A＋∠CED＝∠BED＋∠CED＝180°，∴四邊形ADEC是互補(bǔ)四邊形．（2）證明：∵AE＝BE，AD＝BC，∴ED＝EC，∴△EAC≌△EBD（SAS），∴∠EBD＝∠EAC．∵AE＝BE，∴∠EAB＝∠EBA，∴∠ABD＝∠BAC，∵四邊形CEDH是互補(bǔ)四邊形，∴∠E＋∠DHC＝180°，∵∠AHB＝∠DHC，∴∠E＋∠AHB＝180°，又∠ABD+∠BAC+∠AHB=180°，∴∠ABD＋∠BAC＝∠E，【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，互補(bǔ)四邊形的定義，等腰三角形的性質(zhì)等知識，綜合性較強(qiáng)，熟練掌握互補(bǔ)四邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．17．（2425九年級上·江蘇淮安·期中）定義：有一組對角互補(bǔ)的四邊形叫做互補(bǔ)四邊形．

【答案】（1）90；（2）見解析【詳解】（1）∵四邊形ABCD是互補(bǔ)四邊形，且與是一組對角，故答案是：90；∴四邊形ADEC是互補(bǔ)四邊形．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的性質(zhì)和判定．（1）求證：是邊的逆平行線．【分析】（1）由條件可證得∠B＝∠ACB，則∠BDE＋∠B＝180．∠BDE＋∠ACB＝180，結(jié)論得證；②由①知G點(diǎn)與D點(diǎn)重合，故可得到AD＋BG＝AB．【詳解】（1）證明理由如下：（2）如圖1，連接，BO∴△ABO≌△ACO（3）如圖2，作AQ⊥BC∵AB=AC，∴AQ⊥BC，BQ=CQ=3∵∠FEC＝∠B，∠FCE＝∠ACB，∴△FEC∽△ABC．同理可得∠BGF＝∠C，∠FBG＝∠ABC∴△FBG∽△ABC∴CF＝BF＝3，如圖3，連接DF，∵BF＝CF，∠B＝∠C，BD＝CE，∴△BDF≌△CEF（SAS），∴∠BDF＝∠CEF，∠BFD＝∠EFC，∴∠BFE＝∠DFC，∠AEF＝∠ADF．∵∠AEF＋∠B＝180，∠A＋∠BFE＝180，∴∠C＋∠ADF＝180，∠A＋∠DFC＝180．∴FD為邊AC的逆平行線，由題意可知D與G點(diǎn)重合，過D點(diǎn)作DH⊥BC，∴BF×DH=，故×3×DH=解得DH=∵AF∥DH∴△BDH∽△BAF，設(shè)AD=a∴BD=5a解得a=②由①可得D與G點(diǎn)重合，∴AD＋BG＝AB，故答案為：＝．【點(diǎn)睛】本題是新定義結(jié)合圓的綜合題，綜合考查了等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、外心的定義、二次函數(shù)的性質(zhì)等知識，關(guān)鍵是讀懂定義并根據(jù)圖形的性質(zhì)解答．19．定義：若四邊形有一組對角互補(bǔ)，一組鄰邊相等，且相等鄰邊的夾角為直角，像這樣的圖形稱為“直角等鄰對補(bǔ)”四邊形，簡稱“直等補(bǔ)”四邊形，根據(jù)以上定義，解決下列問題：①求的長．（2）如圖2，將△ABE繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△CBF，可證得四邊形EBFD是正方形，則有BE=FD,設(shè)BE=x，則FC=x1，由勾股定理列方程解之即可；（3）如圖3，延長CD到P，使DP=CD=1，延長CB到T，使TB=BC=5，則NP=NC，MT=MC,由△MNC的周長=MC+MN+NC=MT+MN+NP≥PT知，當(dāng)T、M、N、P共線時，△MNC的周長取得最小值PT，過P作PH⊥BC交BC延長線于H，易證△BFC∽△PHC，求得CH、PH，進(jìn)而求得TH，在Rt△PHT中，由勾股定理求得PT，即可求得周長的最小值．【詳解】（1）如圖1由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：∠F=∠B