考研線性代數(shù)真題及答案

一、單項(xiàng)選擇題，(總共10題，每題2分)。1.設(shè)向量組α1，α2，α3線性無關(guān)，則下列向量組中線性相關(guān)的是A.α1+α2，α2+α3，α3+α1B.α1-α2，α2-α3，α3-α1C.α1+2α2，α2+2α3，α3+2α1D.α1+α2+α3，2α1+3α2+4α3，3α1+5α2+7α3答案：B2.設(shè)A為n階可逆矩陣，則下列說法正確的是A.A的伴隨矩陣A也是可逆的B.A的轉(zhuǎn)置矩陣A^T也是可逆的C.A的轉(zhuǎn)置伴隨矩陣(A^T)也是可逆的D.A的逆矩陣A^-1也是可逆的答案：B3.設(shè)A為n階矩陣，B為n階可逆矩陣，若AB=0，則A.A=0B.B=0C.A+B=0D.A或B中至少有一個是零矩陣答案：A4.設(shè)A為n階矩陣，B為n階矩陣，且AB=BA，則下列說法正確的是A.A和B都可以對角化B.A和B中至少有一個可以對角化C.A和B都不可以對角化D.A和B的秩相等答案：A5.設(shè)A為n階矩陣，且A^2=A，則下列說法正確的是A.A是可逆矩陣B.A是不可逆矩陣C.A是對角矩陣D.A的秩為n答案：B6.設(shè)A為n階矩陣，且A^3=0，則下列說法正確的是A.A是可逆矩陣B.A是不可逆矩陣C.A是對角矩陣D.A的秩為n答案：B7.設(shè)A為n階矩陣，B為n階矩陣，且AB=0，則下列說法正確的是A.A=0B.B=0C.A+B=0D.A或B中至少有一個是零矩陣答案：B8.設(shè)A為n階矩陣，且A的秩為n-1，則下列說法正確的是A.A是可逆矩陣B.A是不可逆矩陣C.A是對角矩陣D.A的秩為n答案：B9.設(shè)A為n階矩陣，B為n階矩陣，且AB=BA，則下列說法正確的是A.A和B都可以對角化B.A和B中至少有一個可以對角化C.A和B都不可以對角化D.A和B的秩相等答案：A10.設(shè)A為n階矩陣，且A^2=A，則下列說法正確的是A.A是可逆矩陣B.A是不可逆矩陣C.A是對角矩陣D.A的秩為n答案：B二、多項(xiàng)選擇題，(總共10題，每題2分)。1.設(shè)向量組α1，α2，α3線性無關(guān)，則下列向量組中線性無關(guān)的是A.α1+α2，α2+α3，α3+α1B.α1-α2，α2-α3，α3-α1C.α1+2α2，α2+2α3，α3+2α1D.α1+α2+α3，2α1+3α2+4α3，3α1+5α2+7α3答案：A，C2.設(shè)A為n階可逆矩陣，則下列說法正確的是A.A的伴隨矩陣A也是可逆的B.A的轉(zhuǎn)置矩陣A^T也是可逆的C.A的轉(zhuǎn)置伴隨矩陣(A^T)也是可逆的D.A的逆矩陣A^-1也是可逆的答案：A，B，C，D3.設(shè)A為n階矩陣，B為n階可逆矩陣，若AB=0，則A.A=0B.B=0C.A+B=0D.A或B中至少有一個是零矩陣答案：A4.設(shè)A為n階矩陣，B為n階矩陣，且AB=BA，則下列說法正確的是A.A和B都可以對角化B.A和B中至少有一個可以對角化C.A和B都不可以對角化D.A和B的秩相等答案：A，D5.設(shè)A為n階矩陣，且A^2=A，則下列說法正確的是A.A是可逆矩陣B.A是不可逆矩陣C.A是對角矩陣D.A的秩為n答案：B，D6.設(shè)A為n階矩陣，且A^3=0，則下列說法正確的是A.A是可逆矩陣B.A是不可逆矩陣C.A是對角矩陣D.A的秩為n答案：B7.設(shè)A為n階矩陣，B為n階矩陣，且AB=0，則下列說法正確的是A.A=0B.B=0C.A+B=0D.A或B中至少有一個是零矩陣答案：B8.設(shè)A為n階矩陣，且A的秩為n-1，則下列說法正確的是A.A是可逆矩陣B.A是不可逆矩陣C.A是對角矩陣D.A的秩為n答案：B9.設(shè)A為n階矩陣，B為n階矩陣，且AB=BA，則下列說法正確的是A.A和B都可以對角化B.A和B中至少有一個可以對角化C.A和B都不可以對角化D.A和B的秩相等答案：A，D10.設(shè)A為n階矩陣，且A^2=A，則下列說法正確的是A.A是可逆矩陣B.A是不可逆矩陣C.A是對角矩陣D.A的秩為n答案：B，D三、判斷題，(總共10題，每題2分)。1.設(shè)向量組α1，α2，α3線性無關(guān)，則α1+α2，α2+α3，α3+α1也線性無關(guān)。答案：正確2.設(shè)A為n階可逆矩陣，則A的伴隨矩陣A也是可逆的。答案：正確3.設(shè)A為n階矩陣，B為n階矩陣，且AB=0，則A=0或B=0。答案：錯誤4.設(shè)A為n階矩陣，B為n階矩陣，且AB=BA，則A和B都可以對角化。答案：正確5.設(shè)A為n階矩陣，且A^2=A，則A是不可逆矩陣。答案：正確6.設(shè)A為n階矩陣，且A^3=0，則A是不可逆矩陣。答案：正確7.設(shè)A為n階矩陣，B為n階矩陣，且AB=0，則A或B中至少有一個是零矩陣。答案：錯誤8.設(shè)A為n階矩陣，且A的秩為n-1，則A是不可逆矩陣。答案：正確9.設(shè)A為n階矩陣，B為n階矩陣，且AB=BA，則A和B的秩相等。答案：正確10.設(shè)A為n階矩陣，且A^2=A，則A的秩為n。答案：錯誤四、簡答題，(總共4題，每題5分)。1.設(shè)向量組α1，α2，α3線性無關(guān)，證明向量組α1+α2，α2+α3，α3+α1也線性無關(guān)。答案：設(shè)k1(α1+α2)+k2(α2+α3)+k3(α3+α1)=0，則(k1+k3)α1+(k1+k2)α2+(k2+k3)α3=0。由于α1，α2，α3線性無關(guān)，所以k1+k3=0，k1+k2=0，k2+k3=0。解得k1=k2=k3=0，因此α1+α2，α2+α3，α3+α1線性無關(guān)。2.設(shè)A為n階矩陣，且A^2=A，證明A是對角矩陣。答案：由于A^2=A，所以A(A-I)=0。由于A可逆，所以A-I=0，即A=I。因此A是對角矩陣。3.設(shè)A為n階矩陣，且A的秩為n-1，證明A不可逆。答案：由于A的秩為n-1，所以A中存在n-1階非零子式。因此A的行列式為0，所以A不可逆。4.設(shè)A為n階矩陣，B為n階矩陣，且AB=BA，證明A和B的秩相等。答案：由于AB=BA，所以A和B可以同時對角化。因此A和B的秩相等。五、討論題，(總共4題，每題5分)。1.設(shè)向量組α1，α2，α3線性無關(guān)，討論向量組α1+α2，α2+α3，α3+α1的線性相關(guān)性。答案：向量組α1+α2，α2+α3，α3+α1線性無關(guān)。設(shè)k1(α1+α2)+k2(α2+α3)+k3(α3+α1)=0，則(k1+k3)α1+(k1+k2)α2+(k2+k3)α3=0。由于α1，α2，α3線性無關(guān)，所以k1+k3=0，k1+k2=0，k2+k3=0。解得k1=k2=k3=0，因此α1+α2，α2+α3，α3+α1線性無關(guān)。2.設(shè)A為n階矩陣，且A^2=A，討論A的可逆性。答案：A可能是可逆的，也可能是不可逆的。例如，當(dāng)A=I時，A是可逆的；當(dāng)A=0時，A是不可逆的。3.設(shè)A為n階矩陣，B為n階矩陣，且AB=