專題1.3等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)(舉一反三講義)【全國(guó)通用】題型歸納題型歸納【題型1不等式性質(zhì)的應(yīng)用】 【題型2用不等式表示不等關(guān)系】 4【題型3比較數(shù)(式)的大小】 【題型6不等式的綜合問(wèn)題】 1【題型7糖水不等式】 考情分析考情分析(1)等式性質(zhì)能簡(jiǎn)單應(yīng)用個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容.知識(shí)梳理知識(shí)梳理知識(shí)點(diǎn)等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)性質(zhì)1對(duì)稱性：如果a=b,那么b=a;性質(zhì)2傳遞性：如果a=b,b=c,那么a=c;性質(zhì)3可加(減)性：如果a=b,那么a±c=b±c;性質(zhì)4可乘性：如果a=b,那么ac=bc;性質(zhì)5可除性：如果a=b,c≠0,那2.不等式的性質(zhì)(1)對(duì)稱性：如果a>b,那么b<a;如果b<a,那么a>b.即a>b?b<a.(4)可乘性：如果a>b,c>0,那么ac>bc;如果a>b,c<0,那么ac<bc.(5)同向可加性：如果a>b,c>d,那么a+c>b+d.(7)同正可乘方性：如果a>b>0,那么a">b"(n∈N,n≥2).3.不等式的兩類常用性質(zhì)若a>b>0,m>0,則②假分?jǐn)?shù)的性質(zhì)4.比較大小的基本方法關(guān)系【方法技巧與總結(jié)】有時(shí)可用特殊值驗(yàn)證法，以提高解題的效率.2.比較數(shù)(式)的大小常用的方法有作差法、作商法.、直接應(yīng)用不等式的性質(zhì)、基本不等式、利用函數(shù)的單調(diào)性，需要靈活運(yùn)用方法求解.舉一反三舉一反三【題型1不等式性質(zhì)的應(yīng)用】A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【解題思路】根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷條件間的推出關(guān)系，即可得.【解答過(guò)程】若x2+y2>0,如x=-1,y=1,但xy>0不成立，充分性不成立；若xy>0,顯然x,y同號(hào)且不為0,則x2+y2>0成立，必要性成立；A.a>b+cB.a2<bcC.ac>b2D.ab+bc>b2+ac【解題思路】利用賦值法來(lái)舉反例比較大小，利用作差法來(lái)比較大小，利用不等式的性質(zhì)來(lái)比較大小.ab+bc-(b2+ac)=(b-c)(a-b)>0,故D項(xiàng)正確.A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【解題思路】由不等式的性質(zhì)作差后分別證明充分性和必要性即可【解答過(guò)程】若ab>0,a>b,則b-a<0,A.a2<b2B.a+b<b+cC.D.【解題思路】根據(jù)不等式的性質(zhì)，即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.【解答過(guò)程】對(duì)于A,由于a<b<0,a2>b2,故A錯(cuò)誤，對(duì)于B,由于a,c關(guān)系不確定，故a+b<b+c不一定【題型2用不等式表示不等關(guān)系】A.5x+4y<100B.5x+4y≥100C.5x+4y>100【解題思路】根據(jù)已知列出不等式，化簡(jiǎn)即可得出答案.【解答過(guò)程】由已知可得，30x+24y≥600,所以有5x+4y≥100.【變式2-1】(2024-江西撫州·模擬預(yù)測(cè))2021年是中國(guó)共產(chǎn)黨成立100周年，為了慶祝建黨100周年，學(xué)校色，綠色多于黃色，黃色的兩倍多于紅色，則購(gòu)買(mǎi)的氣球最少有()個(gè)A.20B.22C.24出.則由題意得a≥c+1,c≥d+1,d≥b+1,2b≥a+1,可得b≥4,所以a≥7,c≥6,d≥5,即至少有4+5+6+7=22個(gè).負(fù)數(shù)的點(diǎn)多，縱坐標(biāo)為正數(shù)的點(diǎn)比縱坐標(biāo)為負(fù)數(shù)的點(diǎn)少，則下列對(duì)這些點(diǎn)的判斷一定正確的是()A.第一象限點(diǎn)比第二象限點(diǎn)多B.第二象限點(diǎn)比第三象限點(diǎn)多C.第一象限點(diǎn)比第三象限點(diǎn)少D.第二象限點(diǎn)比第四象限點(diǎn)少【解題思路】分別設(shè)出各象限內(nèi)橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)分別為正數(shù)、負(fù)數(shù)時(shí)點(diǎn)的個(gè)數(shù)，根據(jù)題意列不等式，結(jié)合不等式性質(zhì)求解即可.第四象限的點(diǎn)即橫坐標(biāo)為正數(shù)且縱坐標(biāo)為負(fù)數(shù)的所以x+w>y+z①,且z+w>x+y②,由不等式性質(zhì)可知，①+②可得w>y,即第二象限點(diǎn)比第四象限點(diǎn)少【變式2-3】(2024-浙江金華·一模)某高中高三(15)班打算下周開(kāi)展辯論賽活動(dòng)，現(xiàn)有辯題A、B可供選擇，每位學(xué)生都需根據(jù)自己的興趣選取其中一個(gè)作為自己的辯題進(jìn)行資料準(zhǔn)備，已知該班的女生人數(shù)多于A.選辯題A的女生人數(shù)多于選辯題B的男生人數(shù)B.選辯題A的男生人數(shù)多于選辯題B的男生人數(shù)C.選辯題A的女生人數(shù)多于選辯題A的男生人數(shù)D.選辯題A的男生人數(shù)多于選辯題B的女生人數(shù)【解題思路】根據(jù)不等式的性質(zhì)以及簡(jiǎn)單的邏輯推理，找出正確的選項(xiàng)即可.【解答過(guò)程】設(shè)選辯題A的男生有x人，選辯題A的女生有y人，選辯題B的男生有m人，選辯題B的女生已知該班女生人數(shù)多于男生人數(shù)，即y+n>x+m;又知選辯題A的人數(shù)多于選辯題B的人數(shù)，即x+y>將這兩個(gè)不等式相加得到：2y+x+n>2m+x+n,兩邊同時(shí)消去x+n得到2y這就意味著選辯題A的女生人數(shù)多于選辯題B的男生人數(shù).【題型3比較數(shù)(式)的大小】A.y>z>xB.x>y>ZC.y>x>Z果.又x2<yz,即,化簡(jiǎn)可得2x3-x2z-z3<0,,所以y>Z,【變式3-1】(2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè))已知x>y,則下列不等式正確的是()A.1-x<1-yB.x2>y2【解題思路】利用不等式的性質(zhì)可判斷A項(xiàng)正確，D項(xiàng)錯(cuò)誤，通過(guò)舉反例可說(shuō)明B,C兩項(xiàng)錯(cuò)誤.當(dāng)x=-1,y=-2時(shí)，滿足x>y,但x2=1,當(dāng)z<0時(shí)，由x>y可得xz<yz,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.A.N<PC.N<MD.M判斷正負(fù)即可比較出大小.少的資源，長(zhǎng)久以來(lái)也是一種投資工具.小李計(jì)劃投資黃金，根據(jù)自身實(shí)際情況，他決定分兩次進(jìn)行購(gòu)買(mǎi)，并且制定了兩種不同的方案：方案一是每次購(gòu)入一定數(shù)量的黃金：方案二是每次購(gòu)入一定金額的下列說(shuō)法正確的是()A.當(dāng)且僅當(dāng)a?>a?時(shí)，方案一的平均購(gòu)買(mǎi)成本比方案二更低B.當(dāng)且僅當(dāng)a?>a?時(shí)，方案二的平均購(gòu)買(mǎi)成本比方案一更低C.無(wú)論a?,a?的大小關(guān)系如何，方案一的平均購(gòu)買(mǎi)成本比方案二更低D.無(wú)論a?,a?的大小關(guān)系如何，方案二的平均購(gòu)買(mǎi)成本比方案一更低【解題思路】根據(jù)題意，分別計(jì)算出方案一與方案二的平均購(gòu)買(mǎi)成本，然后作差比較大小，即可判斷.【解答過(guò)程】方案一：設(shè)每次購(gòu)入的黃金數(shù)量為m,則平均購(gòu)買(mǎi)成本方案二：設(shè)每次購(gòu)入的黃金金額為n,則平均購(gòu)買(mǎi)成本為無(wú)論a?,a?的大小關(guān)系如何，方案二的平均購(gòu)買(mǎi)成本比方案一更低.【題型4利用不等式的性質(zhì)證明不等式】【解題思路】(1)由結(jié)合三角形兩邊之和大于第三邊的性質(zhì)可得答案.(2)利用作差法求證,同,結(jié)合不等式的性質(zhì)可得答案.【解答過(guò)程】(1)因?yàn)閍,b,c為三角形的三邊，所以a,b,c∈(0,+∞),且a+b>c,(關(guān)鍵：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得到a,b,c滿足的條件)(2)因?yàn)閏≥b≥a,【解題思路】由x+y+z>x+y,x+y+z>x+Z,x+y+z>y和【解題思路】(1)利用不等式的性質(zhì)證明即【解答過(guò)程】(1)由a>b>1,則a-1>0,b-1>0,故(a-1)(b-1)>0,所以(a-1)(b-1)(c+2)(d+2)>0,所以ac+bd-bc-ad=(c-d)(a-b)>0,即a(2)已知a>b,e>f,c>0,求證：f-ac<e-bc.【解題思路】(1)(2)利用不等式的性質(zhì)推理即得.【解答過(guò)程】(1)由a>b,得-a<-b,則c-a<c-b,又c>a,則c-a>0,【題型5利用不等式的性質(zhì)求目標(biāo)式的取值范圍】【例5】(2025·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè))已知?jiǎng)t2α-2β的取值范圍是()【解題思路】應(yīng)用不等式的性質(zhì)，線性運(yùn)算即可求出2α-2β的取值范圍.【解答過(guò)程】因,所,又α<β,所以2α-2β<0,故選：B.A.(4,9)B.(4,9)C.(5,8)【解題思路】由不等式的同向可加性得到結(jié)果.【解答過(guò)程】因?yàn)?<a≤4,-1<b≤0得4<2a≤8,0≤-b<1,【變式5-2】(2024·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè))設(shè)x,y為實(shí)數(shù)，滿貝的最大值為()A.27B.24【解題思路】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)計(jì)算即可求解.【解答過(guò)程】由3≤xy2≤8,,所以1則t的范圍是()【解答過(guò)程】由題可知：對(duì)于任意a∈[-4,t],總存在b,c∈[-4,t],所以a的取值范圍的子集即可，因?yàn)閠<0,所以【題型6不等式的綜合問(wèn)題】【例6】(24-25高一上云南·期中)回答下列問(wèn)題(2)已知1<a+b<3,-2<a-b<2,求2a+3b的取值范圍.【解題思路】(1)將相減并化簡(jiǎn)，分類討論判斷差的符號(hào)即可比較大??；(2)根據(jù)不等式的性質(zhì)求解即可.【解答過(guò)程】(1)因?yàn)閍,b都是正實(shí)數(shù)，所以ab>0,a+b>0,(a-b)2≥0,所,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立.(2)設(shè)2a+3b=m(a+b)+n(a-b),因?yàn)?<a+b<3,-2<a-b<2,所【變式6-1】(24-25高一上·上海寶山階段練習(xí))(1)已知x∈R,比較2x2+3x-1與7x-3的大小；【解題思路】(1)運(yùn)用作差比較法，結(jié)合配方法進(jìn)行比較大小即可；(2)用反證法，假推出a+b≤4矛盾，即得證.【解答過(guò)程】(1)∵(2x2+3x-1)-(7x-3)=2x2-4x+2=2(x-1)2≥0,兩式相加得，a+b≤4,這與a+b>4矛盾，所以假設(shè)錯(cuò)誤.【變式6-2】(24-25高一上·四川南充·階段練習(xí))(1)已知-1≤x+y≤4,2≤x-y<3,求x+2y的取值求證：【解題思路】(1)根據(jù)不等式的同向可加性結(jié)合待定系數(shù)法即可求x+2y的取值范圍；(2)根據(jù)不等式的性質(zhì)結(jié)合逐步判斷即可得結(jié)論.【解答過(guò)程】(1)設(shè)x+2y=m(x+y)+n(x-y)=(m+n)x+(m-n)y,(2)證明：∵-c>-d>0,a>b>0,【解題思路】(1)利用作差比較即可判斷；(2)利用反證法即可證明.【解答過(guò)程】(1)因?yàn)閍>b>0,(2)假設(shè)a,b,c,d都不小于1,即a≥1,b≥1,c≥1,d≥1,不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn).如糖水在日常生活中經(jīng)常見(jiàn)到，可以說(shuō)大部分人都喝過(guò)糖水.如果a克糖水中含有b克糖(a>b>0),再添加n克糖(n>0)(假設(shè)全部溶解),糖水變甜了，將這一事實(shí)表示為不等式正確【解題思路】根據(jù)加糖前后糖水濃度的變化即可得答案.【解答過(guò)程】解：由題意可知，加入n克糖(n>0)后糖水變甜了，即糖水的濃度增加了，b加糖之前，糖水的濃度為：a;加糖之后，糖水的濃度為：b【變式7-1】(24-25高一上·福建莆田·期末)a克糖水中含有b克糖，糖的質(zhì)量與糖水的質(zhì)量比,這個(gè)質(zhì)量比決定了糖水的甜度，如果再添加m克糖(假設(shè)全部溶解),生活經(jīng)驗(yàn)告訴我們糖水會(huì)變甜，對(duì)應(yīng)的不等式(a>b>0,m>0),這個(gè)不等式趣稱為糖水不等式.根據(jù)糖水不等式，下列不等式正確的是()【解題思路】根據(jù)給定的信息，利用不等式的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即得.【解答過(guò)程】對(duì)于A,√11>√7>2,,A錯(cuò)誤；貝對(duì)于B,√5>√3,2>0,,B錯(cuò)誤.貝對(duì)于D,D錯(cuò)誤；故選：C.【變式7-2】(2025高二·全國(guó)·專題練習(xí))下列關(guān)于糖水濃度的問(wèn)題，能提煉出怎樣的不等關(guān)系呢?寫(xiě)出式子并證明.(1)如果向一杯糖水里加糖，糖水變甜了；(2)把原來(lái)的糖水(淡)與加糖后的糖水(濃)混合到一起，得到的糖水一定比淡的濃、比濃的淡；(3)如果向一杯糖水里加水，糖水變淡了.【解題思路】(1)首先根據(jù)濃度關(guān)系，建立不等式，再作差比較大??；(2)首先由濃糖水喝淡糖水表示不等關(guān)再證明混合后的糖水的濃度關(guān)系，即可證明(3)根據(jù)條件建立不等式，再作差證明.【解答過(guò)程】(1)設(shè)糖水b克，含糖a克，糖水濃度為,加入m克糖，求證：不等式(其中a,b,m不妨用作差比較法，證明如下：∵a,b,m為正實(shí)數(shù)，且a<b,∴b+m>0,b-a>0,(2)設(shè)原糖水b克，含糖a克，糖水濃度為另一份糖水d克，含糖c克，糖水濃度為,且求證：(其中b>a>0,d>c>0).證明：且b>a>0,d>c>0,即(3)設(shè)原糖水b克，含糖a克，糖水濃度,加入m克水，求證：(其中b>a>0,m>0).【變式7-3】(24-25高一上·黑龍江黑河·階段練習(xí))已知b克糖水中有a克糖(b>a>0),往糖水中加入m克糖(m>0),(假設(shè)全部溶解)糖水更甜了.(1)請(qǐng)將這個(gè)事實(shí)表示為一個(gè)不等式，并證明這個(gè)不等式；(2)利用(1)的結(jié)論比較的大?。?3)證明命題：設(shè)x>0,y>0,z>0,,(m>0),,(m>0),結(jié)合作差比較法，即可得證；利用上述結(jié)論，即可求解；,證,再由,證,再由(3)由(1)中的結(jié)論，得到,進(jìn)而證,即可得證.,進(jìn)而證【解答過(guò)程】(1)由題意，可得不等,(m>0).【解答過(guò)程】(1)由題意，可得不等因?yàn)閎>a>0,m>0,可得a-b<0,b+m>0,(2)由由(1)中的結(jié)論，可得(3)證明：因?yàn)閤>0,y>0,z>0,由(1)中的結(jié)論，可得同理可一、單選題1.(2024·青海西寧.一模)下列命題中，正確的是()C.若a>b,c>d,則ac>bdD.若a>b,則a+c>b+c【解題思路】利用特殊值法和不等式的性質(zhì)即可求解.【解答過(guò)程】對(duì)于A選項(xiàng)，令則所不成立，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，令a=-1,b=-2,則(-1)2<(-2)2,所以a2>b2不成立，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，令a=-1,b=-2,c=3,d=1,則(-1)×3<(-2)×1,所以ac>bd不成立，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，由a>b及不等式的可加性可得a+c>b+c,故D正確.A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【解題思路】依次分析充分性和必要性即可得解.【解答過(guò)程】若|a|+|b|≤1,則a2+b2≤a2+b2+2|a||b|=(la|+|b|)2≤1,充分性成立；C.2a>b+c【解題思路】利用特殊值法可判斷ABD選項(xiàng)，利用不等式的性質(zhì)可判斷C選項(xiàng)【解答過(guò)程】對(duì)于A選項(xiàng)，不妨取a=2,b=1,,A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，不妨設(shè)a=-1,b=-2,c=-6,,B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)閍>b>c,由不等式的基本性質(zhì)可得2a>b+c,C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，不妨設(shè)a=-1,b=-2,c=-2.5,則a+b=-3<-2.5=c,D錯(cuò).A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【解題思路】利用舉反例的方法及不等式的性質(zhì)，結(jié)合必要不充分條件的定義即可判斷.【解答過(guò)程】因?yàn)閤,y為實(shí)數(shù)，當(dāng)x=-2<0,y=1時(shí)，滿足x<y,但是|x|=2>y=1,所以若p則q是假命題；而由0≤|x|<y,當(dāng)x≥0時(shí)，得x<y;所以若q則p是真命題；所以p是q的必要不充分條件.5.(2025·山西臨汾·二模)若3≤a≤5,-2≤b≤1,則2a-b的范圍是()A.[8,9]B.[4,8]C.[5,8]D.[5,12]【解題思路】根據(jù)不等式的性質(zhì)即可求解.【解答過(guò)程】由3≤a≤5,-2≤b≤1可得6≤2a≤10,-1≤-b≤2,故5≤2a-b≤12,A.a-c<bB.a+b>cC.|a|<|b|+|c|【解題思路】對(duì)A,B,根據(jù)題意可得-b||<a-c<|b|,當(dāng)b<0時(shí)易判斷；對(duì)C,根據(jù)條件結(jié)合絕對(duì)值三角不等式求解判斷；對(duì)D,舉反例說(shuō)明.【解答過(guò)程】因?yàn)閍,b,c為均不為零的實(shí)數(shù)，且|a-c|<|b|,對(duì)于D,舉反例，如a=c=2,b=1,滿足條件，但|2|+|2|>|1|,故D錯(cuò)誤.A.y>z>xB.x>y>ZC.y>x>Z【解題思路】易得x2+z2≥2xz,再結(jié)合已知可得y>z,由x2-2xy+z2=0,得x2-2xy+y2=y2-z2,即可比較x,y,利用作差法即可比較x,z,即可得解.【解答過(guò)程】由x2-2xy+z2=0,得x2+z2=2xy,所以2xy≥2xz,又因?yàn)閤>0,z>0,所以x-z<0,所以x<Z,【解題思路】舉反例即可推出A,B,C錯(cuò)誤，D利用反比例函數(shù)單調(diào)性和不等式可加性即可證得.二、多選題A.B.ab2>cb2C.a+b>cD.a2+c2>b2【解題思路】對(duì)于A,可以用作差法判斷，對(duì)于BC,舉反例判斷即可，對(duì)于D,分b>0,b=0,b<0三種情況討論即可判斷.【解答過(guò)程】對(duì)于A,因?yàn)閍>b>c,對(duì)于B,取a>b=0>c,此時(shí)ab2=cb2=0,故B錯(cuò)誤；對(duì)于C,取a=-1>b=-2>c=-3,則a+b=c=-3,故C錯(cuò)誤，則a2+c2>a2>b2綜上所述，只要a>b>c,就一定有a2+c2>b2,故D正確.B.若a<b<0,則b2<ab<a2【解題思路】舉出反例即可判斷A,由不等式的性質(zhì)代入計(jì)算即可判斷BD,由作差法即可判斷C.【解答過(guò)程】對(duì)于A,取a=1,b=-2,滿足a>b,但是a2<b2,故A錯(cuò)誤；對(duì)于B,因?yàn)閍<b<0,不等式兩邊同時(shí)乘以負(fù)數(shù)a,不等式方向改變，所以a2>ab,不等式兩邊同時(shí)乘以負(fù)數(shù)b,不等式方向改變，所以ab>b2,又因而a>b>0,即b-a<0,m(a+m)<0,對(duì)于D,設(shè)3a+b=x(a+b)+y(a-b),即3a+b=(x+y)a+(x-y)b,則解得x=2,y=1,所以3aA.c2<cdB.a-c<b-dC.ac<bdD.【解題思路】根據(jù)不等式的相關(guān)性質(zhì)可得A,D項(xiàng)正確；通過(guò)舉反例可說(shuō)明B,C項(xiàng)錯(cuò)誤.【解答過(guò)程】對(duì)于A,由0>c>d和不等式性質(zhì)可得c2<cd,故A正確；對(duì)于B,因a>b>0>c>d,若取a=2,b=1,c=-1,d=-2,對(duì)于C,因a>b>0>c>d,若取a=2,b=1,C=-1,d=-2,則ac=-2,bd=-2,所以ac=bd,故C錯(cuò)誤；12.(2025·吉林長(zhǎng)春·二模)正整數(shù)a,b滿足3<a<b<9,則的最大值為【解題思路】當(dāng)a,b取最小的正整數(shù)時(shí)，所求最大.【解答過(guò)程】要使其最大，則a,b都最小即可，因?yàn)?<a<b<9,且a,b為正整數(shù)，故取a=4,b=5,故答案為：13.(2024-河北石家莊·二模)若實(shí)數(shù)x,y,z≥0,且x+y+z=4,2x-y+z=5,則的【解題思路】先得到,并根據(jù)x,y,z≥0得到0≤z≤3,從而求出故答案為：[15,19].【解題思路】分a是否大于進(jìn)行討論，由此即可簡(jiǎn)化表達(dá)式，,則可以得到min,并即可得解.所以a和3b中至少有一個(gè)小于等于2,所以min的最大值為2.若則ab>1,此時(shí)mi因,所中至少有一個(gè)小于2,綜上，的最大值為2.故答案為：2.【解題思路】(1)取c=0即