一、基本技能練

1.(2022?金華模擬)已知5件產(chǎn)品中有2件次品，3件正品，檢驗員從中隨機抽取2

件進行檢測，記取到的正品數(shù)為。則數(shù)學期望反。為()

4c9

A-5B-10

6

C.lD.T

J

答案D

解析4可取0,1,2,

Pd)_eg_]()，Pif-2)-c?-10，

.,.E(<)=0X-^+I故選D.

2.(2022?海南模擬)已知隨機變量X-M3，/)，且P(XV0)?P(X>6)=0.04,貝JP(0

<X<3)=()

A.0.2B.0.3

C.0.4D.0.1

答案B

解析因為隨機變量X?N(3,a2),

所以曲線關于x=3對稱，

且令P(X<0)=P(X>6)=f,

???尸=0.04,???f=0.2,

即P(XV0)=P(X>6)=0.2,

P(0<X<3)=0.5-P(X<0)=0.3,故選B.

3.設隨機變量X,y滿足y=3X—1,X?8(2,p),若P(X21)=右則。⑺等于()

A.4B.5

C.6D.7

答案A

解析由題意可得，P(X21)=1-p(X=O)=1-CS(1-p)2=1,

解得〃=?

i?4

則O(X)=〃p(]_p)=2XgXq=§,

o(y)=32o(x)=4.故選A.

4.(2022?武漢模擬)己知隨機變量X?N(l，/)，且HXW())=P(X2Q),

展開式中常數(shù)項為(

A.-240B.-60

C.240

答案D

解析根據(jù)正態(tài)分布曲線關于直線x=l對稱，且P(X<0)=P(X>4),可得4=2,

通項為刀+1=。(也)6[—京|=(-2)W2,

若此項為常數(shù)項，則6—3r=0,解得〃=2,

所以常數(shù)項為(-2)2儀二60,故選D.

5.(2022?廣州二模)某種包裝的大米質(zhì)量以單位：kg)服從正態(tài)分布4?MI0,『)，

根據(jù)檢測結(jié)果可知P(9.9810.02)=0.98,某公司購買該種包裝的大米2000

袋，則大米質(zhì)量在10.02kg以上的袋數(shù)大約為()

A.IOB.20

C.30D.40

答案B

解析因為大米質(zhì)量^?M10,4)，且P(9.98W<<10.02)=0.98,

所以大米質(zhì)量在10.02kg以上的袋數(shù)大約為2000X0.01=20.故選B.

6.(多選)若隨機變量X服從兩點分布，其中P(X=0)=g,E(X),0(%)分別為隨機

變量X的均值與方差，則下列結(jié)論正確的是()

A.P(X=1)=|

B.E(3X+2)=4

4

C.O(3X+2)=2D.Q(X)=g

答案ABC

解析???隨機變量X服從兩點分布，其中P(X=0)={

.'.P(X=1)=|,

122

仇X)=0Xq+lX-=~,

2

22

2A

Q(X)=(O-§x|+-_X---

3J39

2

在

A中-

93

2

在B中，E(3X+2)=3E(X)+2=3Xg+2=4,故B正確;

2

在C中，D(3X+2)=9Q(X)=9Xg=2,故C正確；

2

-

9

7.（2022?杭州模擬）已知某小組7人中有4人未接種疫苗，3人接種了疫苗.從這7

人中隨機抽取3人，用X表示抽取的3人中未接種疫苗的人數(shù)，則隨機變量X的

數(shù)學期望為;記“抽取的3人中，既有接種疫苗的人，也有未接種疫苗

的人”為事件A,則P（A）=.

答案與專

解析由題意可得X的可能取值為0,1,2,3,

則P（X=O）=*卷

P(X—1)—-35,

P(X=2)=獸=￡

P(X=3)=M=2

IIO1Q

±=12

E(X)=OX—+1X—+2X—+3X35=T,

P(A)=P(X=1)+P(X=2)=有+y.

8.(2022?寧波二模)一個袋中裝有大小質(zhì)地完全相同的m個紅球和2m個白球

(〃z￡N*),從中任取3個球.記取出的白球個數(shù)為3若預=1)=9,則m=，

0

E?=.

答案22

解析根據(jù)題意，取出的三個球中恰好有一個白球的概率為PQ=1)=畸乎=?

解得機=2.

所以袋中有2個紅球，4個白球，

則取出的三個球中白球個數(shù)J的可能取值為1,2,3,

所以P(j=l)=],P(j=2)=^^=],P(f=3)=^=1,

I31

???E(②=1XW+2X4+3XA=2.

JJ?J

9.甲、乙兩個球隊進行籃球決賽，采取五局三勝制(共贏得三場比賽的隊伍獲勝，

最多比賽五局)，每場球賽無平局.根據(jù)前期比賽成績，甲隊的主場安排為“主客

主主客”.設中隊主場取勝的概率為0.6,客場取勝的概率為0.5,且各場比賽相互

獨立，則甲隊以3:2獲勝的概率為.

答案0.18

解析由題意知，甲隊以3：2獲勝，則甲隊第五場必勝，前四場“主客主主”中

勝兩局，

有兩種情況：一種為三個主場勝兩場，一種為客場勝一場主場勝一場，

其概率為C3x0.62X0.4X0.5X0.5+C1X0.6X0.42X0.5X0.5=0.18.

10.(2022?徐州模擬)在一次以“二項分布的性質(zhì)”為主題的數(shù)學探究活動中，立德

中學高三某小組的學生表現(xiàn)優(yōu)異，發(fā)現(xiàn)的正確結(jié)論得到老師和同學的一致好評.

設隨機變量X?8(小p),記/"=C!ip"(l—〃)"-&,&=0,1,2,…，，.在研究以的

最大值時，小組同學發(fā)現(xiàn):若(〃+1)〃為正整數(shù)，則攵=(〃+1)〃時，pq=pi,此

時這兩項概率均為最大值；若(〃+1)〃為非整數(shù)，當左取5+1)〃的整數(shù)部分時，

則是唯一的最大值.以此為理論基礎,有同學重復投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子并實

時記錄點數(shù)1出現(xiàn)的次數(shù).當投擲到第20次時，記錄到此時點數(shù)1出現(xiàn)5次，若

繼續(xù)再進行80次投擲試驗，則當投擲到第10()次時，點數(shù)1總共出現(xiàn)的次數(shù)為

的概率最大.

答案18

解析繼續(xù)再進行80次投擲試驗，出現(xiàn)點數(shù)為1的次數(shù)X服從二項分布X?

1?7

由2=(〃+l)p=81X2=13.5,

結(jié)合題中的結(jié)論可知，當々=13時，概率最大，

即后面80次中出現(xiàn)13次點數(shù)1的概率最大，加上前面2()次中的5次，

所以出現(xiàn)18次的概率最大.

11.(2022?唐山模擬)甲、乙兩支隊伍進行某項比賽，賽制分為兩種，一種是五局三

勝制，另一種是三局兩勝制.根據(jù)以往數(shù)據(jù)，在決勝局(在五局三勝制中指的是第

五局比賽，在三局兩勝制中指的是第三局比賽)中，甲、乙兩隊獲勝的概率均為

0.5；而在非決勝局中，甲隊獲勝的概率為0.6,乙隊獲勝的概率為0.4.

⑴若采用五局三勝制，直到比賽結(jié)束，共進行了：局比賽，求隨機變量4的分布

列，并指出進行幾局比賽的可能性最大：

(2)如果你是甲隊的領隊，你希望舉辦方采用五局三勝制還是三局兩勝制？

解(1)由題意知：4的可能取值為3,4,5.

則0(0=3)=0.63+0.43=0.28；

尸(。=4)=C3X0.4X0.63+cJX0.6X0.43=0.3744；

P4=5)=ex0.42X06=0.3456.

則4的分布列為

345

P0.280.37440.3456

V0.3744>0.3456>0.28,

???進行四局比賽的可能性最大.

(2)作為甲隊領隊，希望甲隊最終獲勝；

若采用五局三勝制，甲隊獲勝的概率為

pi=0.63+C4X0.4X0.63+點X0.42X0.62X().5=0.648；

若采用三局兩勝制，甲隊獲勝的概率為

P2=0.62+aX0.4X0.6X().5=0.6；

,:P>P2，

???作為甲隊領隊，希望采用五局三勝制.

12.(2022?濟寧模擬)血液檢測是診斷是否患疾病的重要依據(jù)，通過提取病人的血液

樣本進行檢測，樣本的某一指標會呈現(xiàn)陽性或陰性.若樣本指標呈陽性，說明該樣

本攜帶病毒；若樣本指標呈陰性，說明該樣本不攜帶病毒.根據(jù)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，每個

疑似病例的樣本呈陽性(即樣本攜帶病毒)的概率均為p(0〈pV1).現(xiàn)有4例疑似病

例，分別對其進行血液樣本檢測.多個樣本檢測時，既可以逐個化驗，也可以將若

干個樣本混合在一起化驗，混合樣本中只要攜帶病毒，則混合樣本化驗結(jié)果就會

呈陽性.若混合樣本呈陽性，則將該組中各個樣本再逐個化驗；若混合樣本呈陰性,

則該組各個樣本均為陰性.現(xiàn)有以下兩種方案：

方案一：逐個化驗；

方案二：平均分成兩組化驗.

在該疾病爆發(fā)初期，由于檢測能力不足，化驗次數(shù)的期望值越小，則方案越“優(yōu)”.

⑴若〃=/求這4例疑似病例中呈陽性的病例個數(shù)X的分布列；

⑵若將該4例疑似病例樣本進行化驗，且方案二比方案一更“優(yōu)”，求〃的取值

范圍.

解(1)由題意知，X?B(4,

4

則P(x=o)=c/l-￡|=祟

尸(X=2)=C4X(；)x(T)=11吟

尸(X=3)=CSxg)X(l—仁3

4

P(X=4)=C｛？$

則這4例疑似病例中呈陽性的病例個數(shù)X的分布列為

X01234

1632881

p

8181278181

⑵方案一中，逐個化驗，化驗次數(shù)為4,期望為4.

方案二中，設化驗次數(shù)為匕則y的所有可能取值為2,4,6.

每組兩個樣本化驗呈陰性的概率為設人=(1一〃)).

則尸(丫=2)=/；

P(y=4)=Ck(l-x)；

p(y=6)=(i-%)2.

所以E(y)=2Xf+4XCiXl—x)+6X(l—?2=6—4x.

若方案二比方案一更“優(yōu)”，則E(D=6—4xV4,解得

即x=(I—p)2>；,解得OVpVl一孚.

所以當OVpVi—乎時，方案二比方案一更“優(yōu)”.

二、創(chuàng)新拓展練

13.(多選)(2022?蘇州模擬)已知隨機變量X服從二項分布8(4,〃)，其數(shù)學期望E(X)

-2,隨機變量丫服從正態(tài)分布My34),旦尸(X—3)十P(Y<。)一1,貝ij()

A.p=；B.p=；

13

c.p(r>i-〃)=wD.p(y>i-)=j

答案BD

解析由題意知E(X)=〃p=4p=2,

即p=；,

,3,、4-3

尸3=3)=弟調(diào)=；,

：.P(Y<a)=l，

由于y?4),對稱軸x=g,

3

所以尸(y>i—a)=p(yv〃)=木

故選BD.

14.(多選)(2022?南京模擬)下列命題中，正確的命題的選項為()

2

A.已知隨機變量X服從二項分布〃)，若E(X)=30,￡>(X)=20,則p=Q

B.將一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)都加上同一個常數(shù)后，方差恒不變

c.設隨機變量4服從正態(tài)分布MO，1)，若PQ>I)=P，則P(—I<4WO)=3一〃

D.某人在10次射擊中，擊中目標的次數(shù)為X,X?8(10,0.8),則當X=8時概率

最大

答案BCD

E(X)=叩=30,

解析對于A,,

I)(X)=np(］一〃)=20,

〃=孑，

解得3A錯誤；

解=90,

對于B,方差反映的是數(shù)據(jù)與均值的偏移程度，因此每個數(shù)據(jù)都加上同一個常數(shù)

后，每個新數(shù)據(jù)與新均值的偏移不變，方差恒不變，B正確；

對于C*服從正態(tài)分布N(()，1)，P(—1弋&0)=尸(0<4<1)=義一。01)=寺一〃，

C正確；

對于D,X?3(10,0.8),則P(X=A)=GoO.8AXO.2i°r,

CtoO.8AXO.2lo-^C!5,O.8A-,XO.2l,-A,

由.

IcWO.濟X02°r2C?0.8內(nèi)|X0.29-A；

解得3手9WZW447,因為所以A=8.D正確.

JJ

15.(多選)(2022?福州模擬)在某獨立重復試驗中，事件A,8相互獨立，且在一次

試驗中，事件4發(fā)生的概率為p,事件B發(fā)生的概率為1一〃，其中〃￡(0,1).若

進行〃次試驗，記事件A發(fā)生的次數(shù)為X,事件B發(fā)生的次數(shù)為K事件4B發(fā)

生的次數(shù)為Z,則下列說法正確的是()

A.E(X)=E(Y)B.D(X)=D(Y)

C.E(Z)=D(X)D.〃Q(Z)=D(X)D(Y)

答案BC

解析因為E(X)="，E(r)=n(l-p),即A錯誤；

因為。(X)=〃p(l—p),D(Y)=n(］—p)p,即B正確；

因為A,8相互獨立，所以P(AB)=p(1—p),

所以E(Z)=〃p(l—p)=D(X),即C正確；

因為nD(Z)=rrp(1—p)\1—p(1—p)l,

Q(X)Q(y)=〃2p2(i_〃)2,即D錯誤.故選BC.

16.(2022.日照模擬)春節(jié)期間，我國高速公路繼續(xù)執(zhí)行“節(jié)假日高速免費政策”.

某路橋公司為了解春節(jié)期間車輛出行的高峰情況，在某高速收費點發(fā)現(xiàn)大年初三

上午9：20-10：40這一時間段內(nèi)有600輛車通過，將其通過該收費點的時刻繪

成頻率分布直方圖.其中時間段9：20?9：40記作區(qū)間［20,40),9：40?10：00

記作［40,60),10：00?10：20記作［60,80),10：20?10：40記作［80,100］,

例如：10點04分，記作時刻64.

⑴估計這600輛車在9：20?10：40時間段內(nèi)通過該收費點的時刻的平均值(同一

組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表)；

⑵為了對數(shù)據(jù)進行分析，現(xiàn)采用分層隨機抽樣的方法從這600輛車中抽取10輛，

再從這10輛車中隨機抽取4輛,記X為9：20?10：00之間通過的車輛數(shù),求X

的分布列與數(shù)學期望；

(3)由大數(shù)據(jù)分析可知，車輛在春節(jié)期間每天通過該收費點的時刻T服從正態(tài)分布

N@,『)，其中〃可用這60()輛車在9：2()?1()：40之間通過該收費點的時刻的

平均值近似代替，『可用樣本的方差近似代替(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點

值代表)，已知大年初五全天共有1000輛車通過該收費點，估計在9：46?10：

40之間通過的車輛數(shù)(結(jié)果保留到整數(shù)).

參考數(shù)據(jù)：若T?N"(T2),JlJlJ+<7)=0.6827,P3一2WTJi+詞

=0.9545,。3—3。<7<"+3。)=0.9973.

解（