天津市四合莊中學(xué)2025年高二上數(shù)學(xué)期末質(zhì)量檢測試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知是橢圓上的一點，則點到兩焦點的距離之和是（）A.6 B.9C.14 D.102．（2017新課標(biāo)全國Ⅲ理科）已知圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為A. B.C. D.3．已知斜率為1的直線與橢圓相交于A、B兩點，O為坐標(biāo)原點，AB的中點為P，若直線OP的斜率為，則橢圓C的離心率為（）A. B.C. D.4．已知橢圓的左、右焦點分別為，點是橢圓上的一點，點是線段的中點，為坐標(biāo)原點，若，則（）A.3 B.4C.6 D.115．函數(shù)y＝ln（1﹣x）的圖象大致為（）A. B.C D.6．“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C充分必要條件 D.既不充分也不必要條件7．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，則的形狀為（）A.正三角形 B.等腰直角三角形C.直角三角形 D.等腰三角形8．已知在四棱錐中，平面，底面是邊長為4的正方形，，E為棱的中點，則直線與平面所成角的正弦值為（）A. B.C. D.9．圓心在直線上，且過點，并與直線相切的圓的方程為（）A. B.C. D.10．下列命題為真命題的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則11．在中國共產(chǎn)黨建黨100周年之際,廣安市某中學(xué)組織了“黨史知識競賽”活動,已知該校共有高中學(xué)生1000人,用分層抽樣的方法從該校高中學(xué)生中抽取一個容量為25的樣本參加活動,其中高二年級抽取了8人,則該校高二年級學(xué)生人數(shù)為()A.960 B.720C.640 D.32012．已知F是雙曲線的右焦點，過F且垂直于x軸的直線交E于A，B兩點，若E的漸近線上恰好存在四個點，，，，使得，則E的離心率的取值范圍是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)與是定義在同一區(qū)間上的兩個函數(shù)，若函數(shù)在上有兩個不同的零點，則稱與在上是“關(guān)聯(lián)函數(shù)”.若與在上是“關(guān)聯(lián)函數(shù)”，則實數(shù)的取值范圍是____________.14．已知拋物線上一橫坐標(biāo)為5的點到焦點的距離為6，且該拋物線的準(zhǔn)線與雙曲線：的兩條漸近線所圍成的三角形面積為，則雙曲線的離心率為__________.15．已知數(shù)列，點在函數(shù)的圖象上，則數(shù)列的前10項和是______16．已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，，且，，成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項和為，求.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）四棱錐，底面為矩形，面，且，點在線段上，且面.（1）求線段的長；（2）對于（1）中的，求直線與面所成角的正弦值.18．（12分）已知，其中.（1）若,求在處的切線方程；（2）若是函數(shù)的極小值點，求函數(shù)在區(qū)間上的最值；（3）討論函數(shù)的單調(diào)性.19．（12分）已知拋物線，直線與交于兩點且（為坐標(biāo)原點）（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)，若直線的傾斜角互補，求的值20．（12分）已知拋物線的焦點為F，以F和準(zhǔn)線上的兩點為頂點的三角形是邊長為的等邊三角形，過的直線交拋物線E于A，B兩點（1）求拋物線E的方程；（2）是否存在常數(shù)，使得，如果存在，求的值，如果不存在，請說明理由；（3）證明：內(nèi)切圓的面積小于21．（12分）設(shè)數(shù)列的前n項和為，且滿足.（1）證明為等比數(shù)列，并求數(shù)列通項公式；（2）在（1）的條件下，設(shè)，求數(shù)列的前項和.22．（10分）已知圓，直線過定點.（1）若與圓相切，求的方程；（2）若與圓相交于兩點，且，求此時直線的方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)橢圓的定義，可求得答案.【詳解】由可知：，由是橢圓上的一點，則點到兩焦點的距離之和為，故選：A2、B【解析】繪制圓柱的軸截面如圖所示，由題意可得：，結(jié)合勾股定理，底面半徑，由圓柱的體積公式，可得圓柱的體積是，故選B.【名師點睛】涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時，一般過球心及多面體中的特殊點(一般為接、切點)或線作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程(組)求解.3、B【解析】這是中點弦問題，注意斜率與橢圓a,b之間的關(guān)系.【詳解】如圖：依題意，假設(shè)斜率為1的直線方程為：，聯(lián)立方程：，解得：，代入得，故P點坐標(biāo)為，由題意，OP的斜率為，即，化簡得：，，，；故選：B.4、A【解析】利用橢圓的定義可得，再結(jié)合條件即求.【詳解】由橢圓的定義可知，因為，所以，因為點分別是線段，的中點，所以是的中位線，所以.故選：A.5、C【解析】根據(jù)函數(shù)的定義域和特殊點，判斷出正確選項.【詳解】由，解得，也即函數(shù)的定義域為，由此排除A,B選項.當(dāng)時，，由此排除D選項.所以正確的為C選項.故選：C【點睛】本小題主要考查函數(shù)圖像識別，屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義直接判斷即可.【詳解】若，則，即或，推不出；反過來，若，可推出.故“”是“”的充分不必要條件故選：A.7、C【解析】根據(jù)三角恒等變換結(jié)合正弦定理化簡求得，即可判定三角形形狀.【詳解】解：由題，得，即，由正弦定理可得：，所以，所以三角形中，所以，又，所以，即三角形為直角三角形.故選：C.8、B【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，以向量法去求直線與平面所成角的正弦值即可.【詳解】平面，底面是邊長為4的正方形，則有，而，故平面，以A為原點，分別以AB、AD、AP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖：則，，，設(shè)直線與平面所成角為，又由題可知為平面的一個法向量，則故選：B9、A【解析】設(shè)圓的圓心，表示出半徑，再由圓心到切線距離等于半徑即可列出方程求得參數(shù)及圓的方程.【詳解】∵圓的圓心在直線上，∴設(shè)圓心為(a，－a)，∵圓過，∴半徑r＝，又∵圓與相切，∴半徑r＝，則，解得a＝2，故圓心為(2，－2)，半徑為，故方程為.故選：A.10、D【解析】通過舉反列即可得ABC錯誤，利用不等式性質(zhì)可判斷D【詳解】A.當(dāng)時，，但，故A錯；B.當(dāng)時，，故B錯；C.當(dāng)時，，但，故C錯；D.若，則，D正確故選：D11、D【解析】由分層抽樣各層成比例計算即可【詳解】設(shè)高二年級學(xué)生人數(shù)為,則,解得故選:D12、D【解析】由題意以AB為直徑的圓M與雙曲線E的漸近線有四個不同的交點，則必有，又當(dāng)圓M經(jīng)過原點時此時以AB為直徑的圓M上與雙曲線E的漸近線有三個不同的交點，不滿足，從而得出答案.【詳解】由題意，由得，雙曲線的漸近線方程為所以，由，可知，，，在以AB為直徑的圓M上，圓的半徑為即以AB為直徑的圓M與雙曲線E的漸近線有四個不同的交點當(dāng)圓M與漸近線相切時，圓心到漸近線的距離，則必有，即，則雙曲線E的離心率，所以又當(dāng)圓M經(jīng)過原點時，，解得E的離心率為，此時以AB為直徑圓M與雙曲線E的漸近線有三個不同的交點，不滿足條件.所以E的離心率的取值范圍是.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】令得，設(shè)函數(shù)，則直線與函數(shù)在區(qū)間上的圖象有兩個交點，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，利用數(shù)形結(jié)合思想可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】令得，設(shè)函數(shù)，則直線與函數(shù)在區(qū)間上的圖象有兩個交點，，令，可得，列表如下：極小值，，如圖所示：由圖可知，當(dāng)時，直線與函數(shù)在區(qū)間上的圖象有兩個交點，因此，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.14、3【解析】由題意求得拋物線的準(zhǔn)線方程為，進而得到準(zhǔn)線與雙曲線C的漸近線圍成的三角形面積，求得，再結(jié)合和離心率的定義，即可求解.【詳解】由題意，拋物線上一橫坐標(biāo)為5的點到焦點的距離為6，根據(jù)拋物線定義，可得，即，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為，又由雙曲線C的兩條漸近線方程為，則拋物線的準(zhǔn)線與雙曲線C的兩條漸近線圍成的三角形面積為，解得，又由，可得，所以雙曲線C離心率.故答案為：3.15、【解析】將點代入可得，從而得，再由裂項相消法可求解.【詳解】由題意有，所以，所以數(shù)列的前10項和為：.故答案為：16、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)，且，，成等比數(shù)列，利用等比中項由，求得公差即可.（2）由（1）得到，再利用裂項相消法求解.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為d，因為，且，，成等比數(shù)列，所以，即，解得或（舍去），所以數(shù)列的通項公式；（2）由（1）知：，所以.【點睛】方法點睛：求數(shù)列的前n項和的方法(1)公式法：①等差數(shù)列的前n項和公式，②等比數(shù)列的前n項和公式；(2)分組轉(zhuǎn)化法：把數(shù)列的每一項分成兩項或幾項，使其轉(zhuǎn)化為幾個等差、等比數(shù)列，再求解(3)裂項相消法：把數(shù)列的通項拆成兩項之差求和，正負相消剩下首尾若干項(4)倒序相加法：把數(shù)列分別正著寫和倒著寫再相加，即等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程的推廣(5)錯位相減法：如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應(yīng)項之積構(gòu)成的，則這個數(shù)列的前n項和用錯位相減法求解.(6)并項求和法：一個數(shù)列的前n項和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項求和．形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩項合并求解三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）1（2）【解析】（1）根據(jù)線面垂直得到，再由相似比得方程可求解；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求平面的法向量，運用夾角公式先求線面角的余弦值，再轉(zhuǎn)化為正弦值即可.小問1詳解】面，在矩形中，易得：；【小問2詳解】如四建立空間直角坐標(biāo)系：則，，由題意可知：為平面的一個法向量，，，直線與面所成角的正弦值為.18、（1）；（2）最大值為5，最小值為；（3）答案見解析.【解析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，進而根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，然后求出切線方程；（2）根據(jù)求出a，進而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后求出函數(shù)的最值；（3）先求出導(dǎo)函數(shù)，然后討論a的取值范圍，進而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【小問1詳解】當(dāng)時，，，切點坐標(biāo)為，，切線的斜率為，切線方程為，即.【小問2詳解】，是函數(shù)的極小值點，，即，，令，得或，令，得，的單調(diào)遞增區(qū)間為，，的單調(diào)遞減區(qū)間為，，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為5，最小值為.【小問3詳解】函數(shù)的定義域為，，令得，.①當(dāng)時，，函數(shù)在R上單調(diào)遞增；②當(dāng)時，，令，得或，令，得，的單調(diào)遞增區(qū)間為，，的單調(diào)遞減區(qū)間為；③當(dāng)時，，令，得或，令，得，的單調(diào)遞增區(qū)間為，，的單調(diào)遞減區(qū)間為.綜上：時，，函數(shù)R上單調(diào)遞增；時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為；時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為.19、（1）；（2）.【解析】（1）利用韋達定理法即求；（2）由題可求，，再結(jié)合條件即得.【小問1詳解】設(shè)，，由，得，故，由，可得，即，∴，故拋物線的方程為：；【小問2詳解】設(shè)的傾斜角為，則的傾斜角為，∴由，得，∴，∴，同理，由，得，∴，即，故.20、（1）；（2）存在，1；（3）證明見解析.【解析】(1)根據(jù)幾何關(guān)系即可求p；(2)求解為定值1，即可求λ＝1；(3)先求的面積，再由(為三角周長)可求內(nèi)切圓半徑r.【小問1詳解】由題意焦點到準(zhǔn)線的距離等于該正三角形一條邊上的高線，因此，∴拋物線E的方程為【小問2詳解】設(shè)直線的斜率為，直線方程為，記，，消去，得由，得且，，，，因此，即存在實數(shù)滿足要求【小問3詳解】由(2)知，，點F到直線AB的距離，∴的面積記的內(nèi)切圓半徑為r，∵，∴∴內(nèi)切圓的面積小于21、（1）證明見解析，；（2）.【解析】（1）利用與的關(guān)系求數(shù)列的遞推關(guān)系，即得證明結(jié)論，并根據(jù)等比數(shù)列求通項公式；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果求出，再分和，求.【詳解】（1）當(dāng)時，，，當(dāng)時，，與已知式作差得，即，又，∴，∴，故數(shù)列是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以（2）由（1）知，∴，若，，若，，∴.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是第二問弄清楚數(shù)列與的前項和的關(guān)系，在分段求數(shù)列的前項和.22、（1）或；（2）或.【解析】（1）由