2025年中考數(shù)學(xué)真題完全解讀（重慶卷）

本套“重慶市2025年初中學(xué)業(yè)水平暨高中招生考試”數(shù)學(xué)試卷（滿分分，時長分

鐘）共設(shè)四個大題。整體來看，試卷結(jié)構(gòu)與以往重慶地區(qū)中考形式保持一致1：50包括道選12擇0題、

道填空題、若干道解答題，涵蓋代數(shù)、幾何、統(tǒng)計與概率以及綜合應(yīng)用等基礎(chǔ)板塊10。就題量而

6言，題目數(shù)量適中，能夠在規(guī)定時間內(nèi)較好地完成，有助于考生平衡計算與思考的時間安排。這

些安排與《中考評價體系》的要求基本吻合，同時兼顧了新課程標準對于考查學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的綜

合要求。

相較于往年考試，本套試卷在題型多樣化和難度梯度上依舊延續(xù)了分層設(shè)計的思路。第一大

題（選擇題）與第二大題（填空題）以考核基本運算、概念理解和簡單的推理能力為主，部分填

空題會涉及一次函數(shù)、反比例函數(shù)以及簡單幾何性質(zhì)的應(yīng)用，如對中邊角關(guān)系的直接判定，

或?qū)@類代數(shù)表達式的簡化與求值，難度相對中等偏低；而△后?續(xù)?解?答題則逐步遞進，強

22

調(diào)對?幾何+綜?合、函數(shù)綜合以及統(tǒng)計推斷等能力的考查。例如，幾何折疊問題結(jié)合圓與正方形的性

質(zhì)，要求學(xué)生能靈活運用類似“垂徑定理”或“圓周角定理”進行解題；函數(shù)應(yīng)用題既涉及一次

函數(shù)、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，也結(jié)合了生活情境，如對年平均增長率的計算或?qū)?shù)據(jù)分組與估

計的分析，體現(xiàn)了對邏輯思維與實際應(yīng)用能力的高要求。

試卷對代數(shù)、幾何、函數(shù)與方程、統(tǒng)計與概率等模塊都有所涉及。無論是對基本運算能力的

檢測，還是對二次函數(shù)圖象性質(zhì)的把握，都緊扣新課標對于學(xué)生核心素養(yǎng)的要

2

求。統(tǒng)計與概率類題目?強=調(diào)?樣?本+、?普?+查?、抽樣調(diào)查等概念的理解和運用，能夠使學(xué)生體會數(shù)據(jù)分

析在現(xiàn)實生活中的重要價值。

全卷題目由易到難層層遞進：前半部分偏基礎(chǔ)的計算和概念題，目的在于保障大多數(shù)考生能

夠在短時間內(nèi)完成基本分數(shù)的獲取；中段題目，加大了對推理和模型建構(gòu)的要求，一些幾何或函

數(shù)綜合題往往涉及多步推導(dǎo)，需要合理運用的相互關(guān)系或利用幾何中補角等知識；最

°

后的壓軸題傾向于數(shù)形結(jié)合，既考查幾何作?圖+，?也融合了函數(shù)平移與最值問18題0等內(nèi)容，對學(xué)生的

觀察力、抽象思維能力及熟練度都有一定考驗。

試卷中的統(tǒng)計調(diào)查、年平均增長率及無人機巡視等題目均與現(xiàn)實生活密切相關(guān)，結(jié)合了區(qū)域

經(jīng)濟或社會發(fā)展背景，符合重慶當?shù)亍敖糖?、生情、區(qū)情”相結(jié)合的命題理念:一方面能激發(fā)學(xué)

生解決實際問題的興趣，另一方面也體現(xiàn)了中考命題對學(xué)生實踐素養(yǎng)和應(yīng)用能力的關(guān)注。

從圓與正方形折疊，到分段函數(shù)的性質(zhì)分析，再到拋物線與射線的結(jié)合，都需要學(xué)生具備良

好的合情推理與演繹推理能力。尤其是后段的大題，往往跨越多個知識點，如同時用到了矩形、

菱形或函數(shù)零點等概念，要求學(xué)生靈活運用幾何定理（如時的判定）、函數(shù)圖象或

°

坐標變換來解決問題。這樣的綜合度試題，充分呼應(yīng)了課∠程?標??準=中9強0調(diào)的跨學(xué)科思維與高階思維

培養(yǎng)的需求。

該卷強調(diào)整數(shù)運算、分式求值、幾何定理、一次與二次函數(shù)等主干內(nèi)容，教師需在日常教學(xué)

中確保學(xué)生對基礎(chǔ)概念和通用解題策略的熟練掌握，尤其要讓學(xué)生理解的估值方法、

22

類似式子的化簡技巧，以及幾何圖形的對稱性、軸對稱變換等。??+?

試卷多處將不同章節(jié)的知識進行假設(shè)、轉(zhuǎn)化與綜合，如把構(gòu)造相似三角形或旋轉(zhuǎn)折疊引入到

函數(shù)或概率題中。這要求學(xué)生在平時能進行專題訓(xùn)練，使其更好地掌握知識間的聯(lián)系，提高多角

度思考和跨知識點遷移的能力。

本試卷展現(xiàn)了對生活類情境、社會熱點以及生產(chǎn)實踐的考量。教師在教學(xué)中應(yīng)注重問題情境

的創(chuàng)設(shè)，結(jié)合城市經(jīng)濟發(fā)展、科技熱點等素材組織教學(xué)，讓學(xué)生真正理解數(shù)學(xué)在真實社會中的運

用價值，并養(yǎng)成獨立思考和解決實際問題的習(xí)慣。

綜上所述，本份“重慶市2025年初中學(xué)業(yè)水平暨高中招生考試”數(shù)學(xué)試卷命題合理、知識

覆蓋廣、難度梯度清晰，契合中考評價體系與新課程標準對思維深度、創(chuàng)新能力、實際應(yīng)用等

多維度素養(yǎng)的考查導(dǎo)向，對于指導(dǎo)未來教學(xué)過程、引導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)綜合素質(zhì)的提升均具有積極意

義。

1.題型整體穩(wěn)定，考查深度有所提升

本卷與往年同樣分為四大題，分別是：選擇題（10題）、填空題（6題）、中等解答題（2

題）和綜合解答題（7題），題量未變，整體結(jié)構(gòu)延續(xù)此前模式。但在考查深度與綜合性方面有

一定提升，部分大題對函數(shù)、幾何、統(tǒng)計等知識進行了融合，更側(cè)重學(xué)生對數(shù)學(xué)思維與應(yīng)用能力

的考查。

2.情境設(shè)計更貼近實際，突出數(shù)學(xué)應(yīng)用

如概率統(tǒng)計類與函數(shù)類題目結(jié)合真實背景材料（如調(diào)查統(tǒng)計、旅游開發(fā)增長率等），要求學(xué)

生能夠理解并運用所學(xué)知識解決實際問題，從而進一步考驗學(xué)生對數(shù)學(xué)信息的處理與判斷能力。

3.幾何融合度提高，注重多定理綜合運用

在幾何題目中常出現(xiàn)同時考查圓周角定理、相似三角形、菱形性質(zhì)、勾股定理等多個知識點

的問題，且伴隨“折疊”或“旋轉(zhuǎn)”等操作，考查學(xué)生對幾何問題的深度理解和綜合分析能力。

4.函數(shù)題型拓展模型探究，強調(diào)數(shù)形結(jié)合

涉及、二次函數(shù)等函數(shù)時，多在坐標系中探討線段最值與圖象變化

2

過程，或?在=幾?何/?情境下引入平?移=、??旋轉(zhuǎn)+等??操+作?，鼓勵學(xué)生用數(shù)形結(jié)合的方法分析并解決最值問題。

5.統(tǒng)計與概率持續(xù)穩(wěn)定，定量分析要求上升

試題在樣本估計總體、眾數(shù)與中位數(shù)、有理數(shù)與無理數(shù)估算等方面強調(diào)定量分析，要求學(xué)生

熟練應(yīng)用統(tǒng)計知識與估算方法，進一步凸顯數(shù)學(xué)在解釋客觀事實和進行預(yù)測時的工具價值。

綜上，本套試卷維持了四大題的傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)，但在命題細節(jié)與情境設(shè)置上更強調(diào)綜合性和探究

性，對學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)提出了更高要求。

本試卷共分四個大題，分別為：

?選擇題（共10小題，每小題4分，合計40分）

?填空題（共6小題，每小題4分，合計24分）

?解答題（Ⅰ）（共2小題，每小題8分，合計16分）

?解答題（Ⅱ）（共7小題，每小題10分，合計70分）

全卷滿分150分，考試時間120分鐘。試卷整體題型多樣，涵蓋基礎(chǔ)知識、綜合應(yīng)用與探究創(chuàng)新

等不同層次的考查，能夠全面檢驗學(xué)生初中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成果。

下面以表格形式呈現(xiàn)本套試卷各題的分值、題型、考查內(nèi)容和難易度分析（難度等級分為

“易”“中”“難”三檔）：

題號分值題型考查內(nèi)容難易分

析

1選擇題相反數(shù)的概念易

24選擇題軸對稱圖形的判定易

34選擇題抽樣與普查的應(yīng)用易

44選擇題圓周角定理（圓心角、圓周角的關(guān)系）易

54選擇題規(guī)律與猜想（圖形中的等差數(shù)列特征）中

64選擇題反比例函數(shù)的定義及圖象特征中

4

題號分值題型考查內(nèi)容難易分

析

7選擇題科學(xué)記數(shù)法與數(shù)的比較中

84選擇題增長率與一元二次方程的應(yīng)用中

4折疊與幾何性質(zhì)（正方形、勾股定理、三角形全等、角

9選擇題較難

平分線）

4

整式與配方法（多項式中系數(shù)取值的討論），二次三項

10選擇題較難

式恒非負的條件

4

11填空題概率的計算（摸球問題）易

124填空題平行線的性質(zhì)，同位角易

134填空題無理數(shù)的估算中

144填空題絕對值與一次方程、負整數(shù)指數(shù)冪中

4圓的有關(guān)性質(zhì)（垂徑定理、圓周角定理）、菱形性質(zhì)、

15填空題較難

解直角三角形

4

整式加減、高位數(shù)（“十全數(shù)”定義和構(gòu)造）、整式整

16填空題較難

除

4

17解答題(Ⅰ)不等式組求解及整數(shù)解易

8角平分線的幾何作圖和全等三角形證明（基礎(chǔ)作圖與幾

18解答題(Ⅰ)中

何推理）

8

數(shù)據(jù)統(tǒng)計與分析：扇形圖、眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、樣

19解答題(Ⅱ)易～中

本估計總體

10

20解答題(Ⅱ)分式的化簡求值，零指數(shù)冪的應(yīng)用中

10一元一次方程、分式方程在生產(chǎn)問題中的應(yīng)用（生產(chǎn)數(shù)

21解答題(Ⅱ)中

量、生產(chǎn)效率）

10

矩形幾何性質(zhì)、勾股定理、函數(shù)圖象與一次函數(shù)、反比

22解答題(Ⅱ)較難

例函數(shù)

10

23解答題(Ⅱ)解直角三角形在實際應(yīng)用中的綜合（坐標、方位、相遇較難

10

題號分值題型考查內(nèi)容難易分

析

問題）

二次函數(shù)的綜合應(yīng)用（待定系數(shù)法、幾何最值、平移變

24解答題(Ⅱ)難

換）

10

25解答題(Ⅱ)旋轉(zhuǎn)、全等與相似綜合、等邊三角形、翻折與最值問題難

10

全卷試題覆蓋面廣，既包含基礎(chǔ)題，又有較高思維要求的綜合題。難度比例（約數(shù)）大致為：

?易：約占40%

?中：約占35%

?難：約占25%

?易：考察基礎(chǔ)概念或直接應(yīng)用，解題步驟少。例：第題（相反數(shù)概念）、第題（簡

單概率），幾乎只需直接列出公式或根據(jù)定義即可求解。111

?中：需要一定的計算或推理過程，往往結(jié)合多種基礎(chǔ)知識進行綜合。例：第題（圖形規(guī)

律中的數(shù)列特征），第題（生產(chǎn)數(shù)量及效率問題），先列出基本等量關(guān)系，再進5行方程求解。

?難：要求學(xué)生有較2強1的綜合分析能力，需要多步推理或構(gòu)造輔助線，包含一定的創(chuàng)新思維。

例：第題（拋物線最值結(jié)合幾何最短路問題），第題（旋轉(zhuǎn)、翻折、相似幾何綜合），

往往需要24數(shù)形結(jié)合，多次運用幾何定理，推理較為復(fù)雜2。5

本試卷結(jié)構(gòu)合理，知識點覆蓋全面，區(qū)分度較好，對于不同層次的學(xué)生都有相應(yīng)的考查與

挑戰(zhàn)。通過本套試題，能夠較為準確地評估學(xué)生在基礎(chǔ)知識掌握、運算能力、數(shù)學(xué)思維與應(yīng)用

創(chuàng)新等方面的綜合水平。

在最后的復(fù)習(xí)沖刺階段，同學(xué)們需要結(jié)合本套試卷的特點與命題重點，有針對性地進行查漏

補缺與綜合訓(xùn)練。下面從知識要點、易錯易混點、復(fù)習(xí)規(guī)劃、答題技巧、心理調(diào)適和命題趨勢六

個方面，為大家提供一些具體指導(dǎo)。

1.函數(shù)與圖象

本套試卷中涉及一次函數(shù)、二次函數(shù)以及反比例函數(shù)的應(yīng)用，尤其強調(diào)圖象的幾何意義，如

拋物線的對稱軸、反比例函數(shù)的整點坐標等。建議同學(xué)們繼續(xù)強化函數(shù)圖象與性質(zhì)的聯(lián)系，掌握

利用圖象求解幾何量或方程的方法。

2.幾何綜合

多道題目考查了圓、正方形、矩形、菱形等平面圖形之間的關(guān)系，且融合了勾股定理、四邊

形性質(zhì)、相似和全等的判定與性質(zhì)、角平分線、垂徑定理等多處知識。重點關(guān)注以下內(nèi)容：

?旋轉(zhuǎn)、平移、翻折等幾何變換；

?軸對稱圖形與圓周角定理、垂徑定理；

?復(fù)合幾何圖形的面積、邊長及角度分析。

3.代數(shù)運算與方程應(yīng)用

試卷中出現(xiàn)了一元一次方程、不等式組和分式方程，以及一元二次方程應(yīng)用。要著重掌握：

?不等式解法及整數(shù)解的判斷；

?分式化簡及求值（特別是零指數(shù)冪與負指數(shù)冪的混合運算）；

?整式的分組、配方法等技巧。

4.統(tǒng)計與概率

試題中考查了扇形統(tǒng)計圖、抽樣與普查、平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的應(yīng)用，也涉及利用樣本估

計總體的思想。要熟悉幾類統(tǒng)計圖表的應(yīng)用場景及計算方法，并靈活運用相關(guān)概念進行判斷和分

析。

1.函數(shù)圖象與坐標計算

在判斷反比例函數(shù)經(jīng)過哪一點或二次函數(shù)與坐標軸交點時，部分同學(xué)常在帶入檢驗時出錯；

或者在多次平移、旋轉(zhuǎn)后，忽視了頂點坐標變化的規(guī)律，造成失誤。

2.圓周角與圓心角

許多同學(xué)對“同弧所對的圓周角是圓心角的一半”記憶不牢，或者在區(qū)分弧長和對應(yīng)角度時

混淆，導(dǎo)致度數(shù)計算出現(xiàn)偏差。

3.三角形翻折與拼圖

對折疊后新構(gòu)成圖形的頂點位置和對應(yīng)線段關(guān)系處理不當，容易在“共點”“重合”等幾何

條件中弄錯對應(yīng)點或邊的關(guān)系。

4.不等式組整數(shù)解

解不等式組后忘記再篩選整數(shù)解，或沒有注意到不等式的兩邊是否能取等，最終漏解或多解。

5.統(tǒng)計量的判斷

對平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的計算方法和界定不夠準確，尤其在數(shù)據(jù)量較大的情況下，要求先

排序或數(shù)頻次，卻常常操作不規(guī)范而出錯。

階段一：系統(tǒng)查漏補缺

?結(jié)合錯題：將前期做過的錯題進行分類反思，重點放在幾何綜合和函數(shù)綜合試題；

?梳理概念：利用思維導(dǎo)圖或知識結(jié)構(gòu)圖，將函數(shù)、幾何、代數(shù)和統(tǒng)計概率等模塊交叉點梳

理清晰。

階段二：專題強化訓(xùn)練

?函數(shù)綜合：多練習(xí)、、等不同函數(shù)在同一坐標系中的圖

?2

象綜合題；?=??+??=??=??+??+?

?幾何探究題：做一些涉及平移、旋轉(zhuǎn)、翻折的綜合幾何題，熟悉在圓、四邊形等圖形中的

應(yīng)用；

階段三：模擬實戰(zhàn)與限時訓(xùn)練

?限時做整套模擬，嚴格控制120分鐘并用黑色2B鉛筆畫圖；

?訓(xùn)練審題速度與書寫規(guī)范，盡量一次成型，以應(yīng)對考場時間與答題卡要求。

階段四：過程中及時總結(jié)

?每做完一份綜合卷，最好能進行深度反思，記錄新的思路。

?多關(guān)注在不同題型中出現(xiàn)的相似方法和規(guī)律。

1.選擇題

?利用排除法：如遇到四個選項中明顯有1～2個不符合題意，可快速剔除；

?快速檢驗：遇簡單數(shù)值代入驗證，以求穩(wěn)妥；若圖象或幾何關(guān)系明確，可先畫草圖判定。

2.填空題

?精確運算：注意分數(shù)化簡、根式估算避免隨意；

?書寫規(guī)整：在最終答案處只填寫結(jié)果，避免把過程寫入填空處。

3.解答題

?框架意識：先審題、再思路，列出“已知”“求證”“輔助線”這些要點；

?分段書寫：對幾何題，先作圖，再分條邏輯；對代數(shù)題，列方程后再做檢驗；

?注意格式：如需作輔助線，請用黑色2B鉛筆輕線勾勒，保證圖面效果清晰。

1.分配時間

在考前自測時建議將時間分配到位：前40～45分鐘完成選擇和填空，中后期70～75分鐘完

成大題，并留5分鐘左右核查。

2.平穩(wěn)心態(tài)

?考前適度放松：保持規(guī)律作息，放空大腦；

?進考場深呼吸：遇到稍難的題目先跳過，不要慌亂，做完簡單的再回頭處理難題。

1.轉(zhuǎn)化與建模

未來的中考卷中仍會重視將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題、或?qū)嶋H情境轉(zhuǎn)化為函數(shù)建模。建議

多做類似的例題來強化“數(shù)形結(jié)合”。

2.新情境與綜合素養(yǎng)

真題進一步關(guān)注現(xiàn)實情境，如環(huán)保、科技、城市發(fā)展等，題目中會出現(xiàn)曲線折射、統(tǒng)計調(diào)查

等創(chuàng)新情境，要留意能夠靈活遷移現(xiàn)有知識，培養(yǎng)建模思維與應(yīng)用意識。

3.綜合探究題型

大題部分往往將拋物線、旋轉(zhuǎn)折疊、相似變換與面積、體積估算結(jié)合在一起，今后的復(fù)習(xí)要

加強對這種“多知識點融合”的綜合能力訓(xùn)練。

在后續(xù)復(fù)習(xí)過程中，同學(xué)們要緊扣基礎(chǔ)概念與綜合應(yīng)用兼顧，保持從容、扎實的訓(xùn)練節(jié)奏，

相信只要循序漸進、堅持總結(jié)與反思，就能在考場上發(fā)揮出色、取得滿意的成績！祝大家備考

順利，穩(wěn)步提升！

重慶市2025年初中學(xué)業(yè)水平暨高中招生考試

數(shù)學(xué)試題

（全卷共四個大題，滿分150分，考試時間120分鐘）

注意事項：

1．試題的答案書寫在答．題．卡．上，不得在試題卷上直接作答；

2．作答前認真閱讀答．題．卡．上的注意事項；

3．作圖（包括作輔助線）請一律用黑．色．2．B．鉛筆完成：

4．考試結(jié)束，由監(jiān)考人員將試題卷和答．題．卡．一并收回．

b4acb2b

參考公式：拋物線yax2bxc(a0)的頂點坐標為(,)，對稱軸為x．

2a4a2a

一、選擇題：（本大題10個小題，每小題4分，共40分）在每個小題的下面，都給出了代號

為A、B、C、D的四個答案，其中只有一個是正確的，請將答．題．卡．上題號右側(cè)正確答案所對應(yīng)

的方框涂黑．

1.6的相反數(shù)是（）

11

A.6B.C.D.6

66

【答案】A

【分析】本題考查了相反數(shù)的概念，根據(jù)符號不同，絕對值相同的兩個數(shù)互為相反數(shù)即可求得答

案．掌握只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)是解答此題的關(guān)鍵．

【詳解】解：6的相反數(shù)是6．

故選：A．

2.下列圖案中，是軸對稱圖形的是（）

A.B.C.D.

【答案】B

【分析】本題主要考查了軸對稱圖形的定義，根據(jù)軸對稱圖形的定義解答即可．如果一個圖形沿

著某一條直線對折，直線兩旁的部分能夠完全重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫

做對稱軸．熟練掌握軸對稱圖形的定義是解題的關(guān)鍵．

【詳解】解：在四個選項的圖形中，只有選項B的圖形能找到一條直線，使圖形沿這條直線對

折后兩邊能完全重合，故選項B是軸對稱圖形，選項A、C、D不是軸對稱圖形．

故選：B．

3.下列調(diào)查中最適合采用全面調(diào)查（普查）的是（）

A.調(diào)查某種柑橘的甜度情況B.調(diào)查某品牌新能源汽車的抗撞能力

C.調(diào)查某市垃圾分類的情況D.調(diào)查全班觀看電影《哪吒2》的情況

【答案】D

【分析】本題考查的是抽樣調(diào)查和全面調(diào)查的區(qū)別，選擇普查還是抽樣調(diào)查要根據(jù)所要考查的對

象的特征靈活選用，一般來說，對于具有破壞性的調(diào)查、無法進行普查、普查的意義或價值不大，

應(yīng)選擇抽樣調(diào)查，對于精確度要求高的調(diào)查，事關(guān)重大的調(diào)查往往選用普查．根據(jù)普查得到的調(diào)

查結(jié)果比較準確，但所費人力、物力和時間較多，而抽樣調(diào)查得到的調(diào)查結(jié)果比較近似判斷即可．

【詳解】解：A中，調(diào)查某種柑橘的甜度情況，全面調(diào)查工作量大，且具有破壞性，適合抽樣調(diào)

查，故本選項不合題意；

B中，調(diào)查某品牌新能源汽車的抗撞能力，具有破壞性，適合抽樣調(diào)查，故本選項不合題意；

C中，了調(diào)查某市垃圾分類的情況，全面調(diào)查工作量大，適合抽樣調(diào)查，故本選項不合題意；

D中，調(diào)查全班觀看電影《哪吒2》的情況，范圍較小，適于全面調(diào)查，故本選項符合題意．

故選：D．

4.如圖，點A，B，C在O上，AOB100，C的度數(shù)是（）

A.40B.50C.80D.100

【答案】B

【分析】本題考查的是圓周角定理，根據(jù)同弧所對的圓周角是圓心角的一半，即可求解，熟練掌

握圓周角定理是解題的關(guān)鍵．

【詳解】解：根據(jù)圓周角定理，同弧所對的圓周角等于圓心角的一半，

1

CAOB50．

2

故選：B．

5.按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個圖中有4個圓點，第②個圖中有8個圓點，第③個圖中

有12個圓點，第④個圖中有16個圓點……按照這一規(guī)律，則第⑥個圖中圓點的個數(shù)是（）

A.32B.28C.24D.20

【答案】C

【分析】本題屬于規(guī)律猜想題型的圖形變化類，第①個圖案中有4個黑色圓點，第②個圖案中有

8個黑色圓點，第③個圖案中有12個黑色圓點，則可以總結(jié)出第n個圖形中黑色圓點的個數(shù)，

代入n6計算即可．解題的關(guān)鍵是通過圖形的變化得出圖形中圓點個數(shù)的數(shù)字變化規(guī)律．

【詳解】解：第①個圖案中有4個黑色圓點，

第②個圖案中有8個黑色圓點，

第③個圖案中有12個黑色圓點，

第④個圖案中有16個黑色圓點，

則第n個圖案中有4n個黑色圓點，

所以第⑥個圖中圓點的個數(shù)是4624個，

故選：C．

12

6.反比例函數(shù)y的圖象一定經(jīng)過的點是（）

x

A.(2,6)B.(4,3)C.(3,4)D.(6,2)

【答案】D

【分析】本題考查的是反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，熟知反比例函數(shù)圖象上各點的坐標一定

適合此函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點坐標特點進行判斷即可．

12

【詳解】解：反比例函數(shù)y的k12，

x

點(6,2)所在的反比例函數(shù)的k6212，

12

反比例函數(shù)y的圖象一定經(jīng)過的點是(6,2)，

x

故選：D．

7.下列四個數(shù)中，最大的是（）

A.6.18108B.6.28108C.6.18109D.6.28109

【答案】D

【分析】此題考查了科學(xué)記數(shù)法的應(yīng)用能力，運用科學(xué)記數(shù)法知識將各選項數(shù)字還原，再進行比

較、求解．關(guān)鍵是能準確理解并運用以上知識．

【詳解】解：6.18108618000000，6.28108628000000，6.181096180000000，

6.281096280000000，

6180000006280000006180000006280000000，

6.181086.281086.181096.28109，

∴四個數(shù)中，最大的是6.28109，

故選：D．

8.某景區(qū)2022年接待游客25萬人，經(jīng)過兩年加大旅游開發(fā)力度，該景區(qū)2024年接待游客達到

36萬人，那么該景區(qū)這兩年接待游客的年平均增長率為（）

A.10%B.20%C.22%D.44%

【答案】B

【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，設(shè)該景區(qū)這兩年接待游客的年平均增長率為x,利用該

景區(qū)2024年接待游客人次數(shù)該景區(qū)2022年接待游客人次數(shù)(1該景區(qū)這兩年接待游客的年平

均增長率)2，可列出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論．找準等量

關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．

【詳解】解：設(shè)年平均增長率為x，

可得方程25(1x)236，

解得x0.2或x2.2（舍去負值），

所以該景區(qū)這兩年接待游客的年平均增長率為20%，

故選：B

9.如圖，正方形ABCD的邊長為2，點E是BC邊的中點，連接DE，將△DCE沿直線DE翻折

到正方形ABCD所在的平面內(nèi)，得△DFE，延長DF交AB于點G．ADG和DAG的平分線

DH，AH相交于點H，連接GH，則DGH的面積為（）

555555

A.B.C.D.

8484

【答案】A

【分析】本題考查了正方形與折疊問題，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，

連接GE，證明Rt△EFG≌Rt△EBGHL，可得GFGB，設(shè)GBGFx，則

1

AG2x,DG2x，根據(jù)勾股定理可得x，再利用角平分線的性質(zhì)得到點H到

2

AD,AG,GD的距離相等，利用面積之比即可解答，正確作出輔助線，利用勾股定理列方程解得

1

GB是解題的關(guān)鍵．

2

【詳解】解：如圖，連接GE，

，

四邊形ABCD是正方形，

BCBACADC90，ABBCCDDA2，

點E是BC邊的中點，

BECE1,

將△DCE沿直線DE翻折得△DFE，

EFDC90,CEFEBE1，DCDF2,

GFEGBE90，

GEGE，

Rt△EFG≌Rt△EBGHL，

GFGB，

設(shè)GBGFx，則AG2x,DG2x，

根據(jù)勾股定理可得AG2AD2DG2,

22

即2x222x，

1

解得x，

2

53

DG,AG，

22

ADG和DAG的平分線DH，AH相交于點H，

點H到AD,AG,GD的距離相等，

5

GD135

SS22，

GDHADG53

GDAGAD2228

22

故選：A．

2n

10.已知整式M:a0a1xa2xanx，其中a0為自然數(shù)，n，a1，a2，…，an為正整數(shù)，且

a0a1an4．下列說法：

①滿足條件的所有整式M中有且僅有1個單項式；

②當n3時，滿足條件的所有整式M的和為4x34x24x1；

③滿足條件的所有二次三項式中，當x取任意實數(shù)時，其值一定為非負數(shù)的整式M共有3個．

其中正確的個數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】本題綜合考查了整式與配方法，根據(jù)題意逐項分析，對a0進行分類討論，即可求解，

理解題意，分類討論，找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．

【詳解】解：當n1時，a0a14，

當a00，a14時，整式M為4x，

當a00時，整式M不可能為單項式，

當n1時，

a1，a2，…，an為正整數(shù)，

整式M不可能為單項式，故滿足條件的所有整式M中有且僅有1個單項式，①正確；

當n3時，a0a1a2a34，

當a00時，a1a2a34，

2323

則a1,a2,a3中有一個可能為2，故會有三種情況，對應(yīng)的整式M為xx2x，x2xx，

,2xx2x3，

++=

當a01時，a1a2a33，

23

則a1a2a31故會有一種情況，對應(yīng)的整式M為1xxx，

當a01時，a1a2a33，與a1，a2，…，an為正整數(shù)矛盾，故不存在，

滿足條件的所有整式M的和為5x35x25x1，故②錯誤；

多項式為二次三項式，

n2，

a0a1a24，

因為多項式為三項式，故a00，

當a01時，a1a23，

則有1x2x2,12xx2兩種，

2

21722

1x2x2x0，12xxx10，

48

1x2x2,12xx2兩種都滿足條件，

當a02時，a1a22，

則有2xx2一種，

2

217

2xxx0，

24

2xx2滿足條件，

當a02時，a1a22，與a1，a2，…，an為正整數(shù)矛盾，故不存在，

所以其值一定為非負數(shù)的整式M共有3個，故③正確，

其中正確的個數(shù)是2個，

故選：C．

二、填空題：（本大題6個小題，每小題4分，共24分）請將每小題的答案直接填在答．題．卡．中

對應(yīng)的橫線上．

11.不透明袋子中有1個紅球、3個白球，這些球除顏色外無其他差別．從袋子中隨機摸出1個

球，則摸出紅球的概率是__________．

【答案】1

4

m

【分析】本題考查求概率，概率的計算公式是PA，其中PA表示事件A發(fā)生的概率，m

n

表示事件A發(fā)生的結(jié)果數(shù)，n表示所有可能的結(jié)果數(shù)．根據(jù)概率公式進行計算即可．

【詳解】解：袋子里一共有134個球，紅球有1個．

1

∴摸出紅球的概率P．

4

故答案為：1．

4

12.如圖，AB∥CD，直線EF分別與AB，CD交于點E，F(xiàn)．若∠170，則2的度數(shù)是

__________．

【答案】70

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)兩直線平行，同位角相等即可解答，熟知平行線的性質(zhì)

是解題的關(guān)鍵．

【詳解】解：ABCD，

2170，

故答案為：70．

13.若n為正整數(shù)，且滿足n26n1，則n__________．

【答案】5

【分析】本題考查無理數(shù)的估算，熟練掌握無理數(shù)的估算方法是解題的關(guān)鍵．先估算26的取

值范圍，得出5266，又因為n為正整數(shù)，且滿足n26n1，即可得出n5．

【詳解】解：∵252636，

∴252636，

∴5266，

∵n為正整數(shù)，且滿足n26n1，

∴n5，

故答案為：5．

14.若實數(shù)x，y同時滿足xy2，xy4，則xy的值為__________．

1

【答案】

3

【分析】本題考查絕對值的非負性，解一元一次方程，負整數(shù)指數(shù)冪，根據(jù)絕對值的非負性，得

到xy20，xy40，進而得到y(tǒng)4，進而得到關(guān)于y的一元一次方程，求出y的值，

進而求出x的值，再根據(jù)負整數(shù)指數(shù)冪的法則，進行計算即可．

【詳解】解：∵xy2，xy4，

∴xy20，xy40，

∴y4，

∴xxy2y4，

當y0時，方程無解，

當4y0時，y2y4，

∴y1，

∴xy23，

1

∴xy31；

3

1

故答案為：．

3

15.如圖，AB是O的直徑，點C在O上，連接AC．以AC為邊作菱形ACDE，CD交O于

點F，ABCD，垂足為G．連接AD，交O于點H，連接EH．若AG12，GF5，則

DF的長度為__________，EH的長度為__________．

13

【答案】①.3②.13

4

【分析】本題主要考查了垂徑定理、圓周角定理、菱形的性質(zhì)、解直角三角形等知識點，正確作

出輔助線、運用解直角三角形解決問題成為解題的關(guān)鍵．

由垂徑定理以及勾股定理可得CGGF5，即CF2CG10、AC13，由菱形的性質(zhì)可得

CDAC13，進而得到GD8、DF3、AD413；如圖：連接BC,BH，由圓周角定理

16913

可得ACB90、AHB90，再解直角三角形可得AB、AH13；由菱形的性質(zhì)

124

以及平行線的性質(zhì)可得DAECDA，如圖：過H作HFAE于F，解直角三角形可得

391313

FH、AF，易得FE，最后運用勾股定理求解即可．

422

【詳解】解：∵ABCD，AG12，GF5，

∴CGGF5，即CF2CG10，

∴ACAG2CG21225213，

∵菱形ACDE，

∴CDAC13，

∴GDCDGC1358，DFCDCF13103；

∴ADAG2GD212282413

如圖：連接BC,BH，

∵AB是O的直徑，

∴ACB90，AHB90

AGAC1213169

∴cosCAB，即，解得：AB；

ACAB13AB12

12AH

AGAH13

cosDAB，即413169，解得：AH13；

ADAB4

12

∵菱形ACDE，

∴CD∥AE，

∴DAECDA，

如圖：過H作HFAE于F，

∴sinDAEsinGDA,cosDAEcosGDA，

FHAGAFGD

∴,，

AHADAHAD

FH12AF8

,

∴1313，

1341313413

44

3913

∴FH，AF，

42

1313

∴FEAEAF13，

22

22

22133913

∴FHEFFH13

244

13

故答案為：3，13．

4

16.我們規(guī)定：一個四位數(shù)Mabcd，若滿足abcd10，則稱這個四位數(shù)為“十全

數(shù)”．例如：四位數(shù)1928，因為192810，所以1928是“十全數(shù)”．按照這個規(guī)定，最

小的“十全數(shù)”是__________：一個“十全數(shù)”Mabcd，將其千位數(shù)字與個位數(shù)字調(diào)換位

MM

置，百位數(shù)字與十位數(shù)字調(diào)換位置，得到一個新的數(shù)Mdcba，記F(M)，

909

MM4F(M)G(M)15abcd

G(M)．若與均是整數(shù)，則滿足條件的M的值是

111317

__________．

【答案】①.1919②.3782

【分析】此題考查了整式的加減的應(yīng)用，根據(jù)要求最小的“十全數(shù)”，得到a1，c1，然后求

出b1019，d1019，即可得到最小的“十全數(shù)”是1919；根據(jù)題意表示出

MM

M900a9c1010，M9a900c10100，然后表示出F(M)ac10，

909

MM4F(M)G(M)157ac3

G(M)81a81c1010，然后表示出6a6c76，

111313

abcd8a8c37ac38a8c3

ac1，然后根據(jù)題意得到與均是整數(shù)，得到

17171317

7ac3能被13整除，8a8c3能被17整除，然后由1a9，1c9求出57ac369，

進而求解即可．

【詳解】解：設(shè)四位數(shù)Mabcd

∵要求最小的“十全數(shù)”，

∴a1，c1

∴b1019，d1019

∴最小的“十全數(shù)”是1919；

∵一個“十全數(shù)”Mabcd，

∴abcd10

∴b10a，d10c

∴Mabcd1000a10010a10c10c900a9c1010

∴Mdcba100010c100c1010aa9a900c10100

MM900a9c10109a900c10100

∴F(M)ac10

909909

MM900a9c10109a900c10100

∴G(M)81a81c1010

1111

4F(M)G(M)15

∴

13

4ac1081a81c101015

13

85a77c985

13

7ac3

6a6c76

13

abcd10a10a10c10c9a9c208a8c3

∴ac1

17171717

4F(M)G(M)15

∵與abcd均是整數(shù)

1317

7ac38a8c3

∴與均是整數(shù)

1317

∴7ac3能被13整除，8a8c3能被17整除

∵1a9，1c9

∴77a63，2c36

∴57ac369

∴7ac3的值可以為13，26，39，52，65

7ac38a8c3

∴依次代入可得，當a3，c8時，2，5均是整數(shù)，符合題意

1317

∴b10a7，d10c2

∴滿足條件的M的值是3782．

故答案為：1919，3782．

三、解答題：（本大題2個小題，每小題8分，共16分）解答時每小題必須給出必要的演算過

程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請將解答過程書寫在答．題．卡．中對應(yīng)的位置

上．

2x2x①

17.求不等式組：x12x1的所有整數(shù)解．

②

23

【答案】1，0，1

【分析】本題考查解不等式組及不等式組的整數(shù)解，熟練掌握解不等式組的步驟是解題的關(guān)

鍵．利用解不等式組的步驟求解，再得出其整數(shù)解即可．

2x2x①

【詳解】解：x12x1，

②

23

解不等式①，得：x2；

解不等式②，得：x1；

∴不等式組的解集為1x2．

所以該不等式組的所有整數(shù)解是1，0，1．

18.學(xué)習(xí)了角平分線和尺規(guī)作圖后，小紅進行了拓展性研究，她發(fā)現(xiàn)了角平分線的另一種作法，

并與她的同伴進行交流．現(xiàn)在你作為她的同伴，請根據(jù)她的想法與思路，完成以下作圖和填空：

第一步：構(gòu)造角平分線．

小紅在AOB的邊OA上任取一點E，并過點E作了OA的垂線（如圖）．請你利用尺規(guī)作圖，

在OB邊上截取OFOE，過點F作OB的垂線與小紅所作的垂線交于點P，作射線OP，OP即

為AOB的平分線（不寫作法，保留作圖痕跡）．

第二步：利用三角形全等證明她的猜想．

證明：PEOA，PFOB，

OEPOFP90．

在Rt△OEP和RtOFP中，

①

，

②

Rt△OEP≌Rt△OFP(HL)．

③．

∴OP平分AOB．

【答案】第一步：作圖見解析；第二步：①POPO；②OEOF；③EOPFOP

【分析】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識解

決問題．

第一步：根據(jù)題意作出圖形即可；

第二步：利用HL證明Rt△OEP≌Rt△OFP(HL)，得出EOPFOP即可解答．

【詳解】解：第一步：作圖如下：

；

第二步：證明：PEOA，PFOB，

OEPOFP90．

在Rt△OEP和RtOFP中，

POPO

，

OEOF

Rt△OEP≌Rt△OFP(HL)．

EOPFOP,

∴OP平分AOB．

四、解答題：（本大題7個小題，每小題10分，共70分）解答時每小題必須給出必要的演算

過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請將解答過程書寫在答．題．卡．中對應(yīng)的位置

上．

19.學(xué)校開展了航天知識競賽活動，從七、八年級學(xué)生中各隨機抽取20名學(xué)生的競賽成績（成績

為百分制且為整數(shù)）進行整理、描述和分析（成績均不低于60分，用x表示，共分四組：

A．90x100；B．80x90；C．70x80；D．60x70），下面給出了部分信息：

七年級20名學(xué)生競賽成績在B組中的數(shù)據(jù)是：83，84，84，84，85，87，88．

八年級20名學(xué)生競賽成績是：62，63，65，71，72，72，75，78，81，82，84，86，

86，86，89，96，97，98，98，99．

七年級所抽取學(xué)生競賽成績扇形統(tǒng)計圖

七、八年級所抽取學(xué)生競賽成績統(tǒng)計表

七年八年

年級

級級

平均

8282

數(shù)

中位

a83

數(shù)

眾數(shù)84b

根據(jù)以上信息，解答下列問題：

（1）上述圖表中a__________，b__________，m__________；

（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認為該校七、八年級中哪個年級學(xué)生航天知識競賽的成績較好？請說明

理由（寫出一條理由即可）；

（3）該校七年級有學(xué)生560人，八年級有學(xué)生500人，請估計該校七、八年級參加此次競賽成績

不低于90分的學(xué)生人數(shù)共是多少？

【答案】（1）84，86，30

（2）七年級成績較好，理由見解析（答案不唯一）

（3）293人

【分析】本題主要考查扇形統(tǒng)計圖，中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)，樣本估計總體，熟練掌握扇形統(tǒng)計

圖及中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)是解題的關(guān)鍵．

（1）利用扇形統(tǒng)計圖即可求出C組和D組的人數(shù)，再利用中位數(shù)定義和B組數(shù)據(jù)即可求出a，

再利用眾數(shù)定義即可求出b，最后利用扇形和B組人數(shù)即可求出m；

（2）根據(jù)平均分、中位數(shù)及眾數(shù)分析即可得出結(jié)果；

（3）利用樣本估計總體進行求解即可．

【小問1詳解】

解：七年級20名學(xué)生競賽成績在D組中的數(shù)據(jù)有2010%2（人），在C組中的數(shù)據(jù)有

2025%5（人），

∵七年級競賽成績的中位數(shù)a是數(shù)據(jù)從小到排列后的第10和11個數(shù)據(jù)，且數(shù)據(jù)從小到排列后的

第10和11個數(shù)據(jù)是84，84，

8484

∴a84，

2

∵八年級20名學(xué)生競賽成績中出現(xiàn)次數(shù)最多的是86，

∴b86，

∵七年級20名學(xué)生競賽成績在B組中的數(shù)據(jù)共7個，

7

∴m%110%25%30%，

20

∴m30，

故答案為：84，86，30；

【小問2詳解】

解：該校七年級學(xué)生航天知識競賽的成績較好，理由：因為該校七、八年級學(xué)生航天知識競賽的

成績的平均數(shù)相同都是82，但七年級競賽的成績的中位數(shù)84大于八年級競賽的成績的中位數(shù)83