專題07相似三角形中的基本模型之十字架模型幾何學(xué)是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，研究的是形狀、大小和相對(duì)位置等幾何對(duì)象的性質(zhì)和變換。在初中的幾何學(xué)中，十字模型就是綜合了上述知識(shí)的一個(gè)重要模型。本專題就十字模型相關(guān)的考點(diǎn)作梳理，幫助學(xué)生更好地理解和掌握，提高學(xué)生的做題效率。TOC\o"14"\h\z\u 1模型來(lái)源 1真題現(xiàn)模型 2提煉模型 4模型運(yùn)用 7模型1.矩形中的十字架模型（相似模型） 7模型2.等邊三角形中的斜十字模型（相似模型） 13模型3.直角三角形中的十字模型（相似模型） 16 21?十字模型在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中被系統(tǒng)化總結(jié)為“十字架模型”，成為解決中考?jí)狠S題的核心方法之一。其名稱來(lái)源于圖形中垂直相交的線段形似“十字架”，而實(shí)際應(yīng)用中常通過(guò)作輔助線（如垂線、連接對(duì)角線）構(gòu)造全等或相似三角形。十字架模型從規(guī)則圖形中的特殊結(jié)構(gòu)出發(fā)，通過(guò)幾何變換和相似性質(zhì)逐步抽象為通用方法，成為幾何證明與計(jì)算的重要工具?。該模型被系統(tǒng)化納入初中數(shù)學(xué)教學(xué)，用于培養(yǎng)空間推理能力，尤其在解決折疊問(wèn)題、動(dòng)態(tài)幾何題時(shí)具有高效性。?（2025·廣東·模擬預(yù)測(cè)）某班數(shù)學(xué)課題學(xué)習(xí)小組對(duì)矩形內(nèi)兩條互相垂直的線段與矩形兩鄰邊的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行探究，提出下列問(wèn)題．（2025·山東青島·模擬預(yù)測(cè)）【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】矩形里的有趣“十字架”【模型建立】如何證明這個(gè)猜想呢？在同學(xué)們陷入深思時(shí)，組長(zhǎng)小林提議道：“我們可以先找一種特殊情況探究它，然后再將探究方法推廣到一般情況呀！”于是，在他的提議下，同學(xué)們一致認(rèn)為可以先將F、G分別移動(dòng)到頂點(diǎn)A、D處，如圖②所示．（1）在圖②所示的情況下，你能幫小組成員們證明一下他們的猜想嗎？（2）你能在圖①中添加輔助線，并對(duì)輔助線進(jìn)行描述，以方便小組成員繼續(xù)證明一般性的規(guī)律嗎？【模型應(yīng)用】【拓廣延伸】1）矩形中的十字架模型2）等邊三角形中的斜十字模型條件：如圖1，已知等邊△ABC，BD=EC（或CD=AE），3）直角三角形中的十字模型1）等腰直角三角形中的十字模型（全等+相似）：證明：不妨把①②作為條件，來(lái)證明③⑦的五個(gè)結(jié)論。如圖1，過(guò)點(diǎn)C作BC的垂線交BF于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)A作AG垂直于CH，∴∠BCH=90°，∴∠CBH+∠CHB=90°∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°，∴∠BCH=∠ABC=90°，∵BF⊥AD，∴∠CBH+∠ADB=90°，∴∠CHB=∠ADB，∵AB=BC，AB⊥BC，∴∠BCA=45°，∵∠BCH=90°，∴∠BCA=∠GCA=45°，∴∠BDA=∠CDF，∵∠CFH=∠AFB，∴∠AFB=∠CFD，如圖2，過(guò)點(diǎn)C作CQ垂直于BF，∴∠BQC=90°，2）直角三角形中的十字模型：證明：不妨把①②作為條件，來(lái)證明③⑦的五個(gè)結(jié)論。由于該模型證明主要結(jié)合了前面矩形中的十字架模型和等腰直角三角形中的十字架模型，故此不再詳細(xì)證明，有興趣的同學(xué)可以自行證明即可。模型1.矩形中的十字架模型（相似模型）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)

模型2.等邊三角形中的斜十字模型（相似模型）(2)如圖2，若點(diǎn)E是的中點(diǎn)，求的值．②求的長(zhǎng)．模型3.直角三角形中的十字模型（相似模型）例1（2425·合肥·階段練習(xí)）如圖，在RtABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，AE是BC邊上的中線，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AE于點(diǎn)H，交AC于點(diǎn)D，則AD的長(zhǎng)為（

）例3（2025·湖北武漢·?？级＃┤鐖D，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D，E分別是邊BC，AB上的點(diǎn)，∠ADC＝∠EDB，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AD，垂足為F，交AC于點(diǎn)G．(1)如圖（1），求證：△AGE∽△BDE；(2)如圖（2），若點(diǎn)G恰好與頂點(diǎn)C重合，求證：BD＝CD；(3)如圖（1），若＝，直接寫出的值．例4（2425九年級(jí)下·四川內(nèi)江·開學(xué)考試）初識(shí)圖形(1)計(jì)算及的長(zhǎng)；(2)求的值．①求的長(zhǎng)；4．（2526八年級(jí)上·廣東湛江·期中）綜合與實(shí)踐【探究課題】三角形重心的性質(zhì)①求的值；②求的值；(2)如圖（1），請(qǐng)直接寫出的值（用含n的式子表示）．（1）請(qǐng)你幫助同學(xué)們解決上述問(wèn)題，并說(shuō)明理由．【初步運(yùn)用】【靈活運(yùn)用】

求證：14．（2526九年級(jí)上·吉林長(zhǎng)春·階段練習(xí)）【教材呈現(xiàn)】下面是華師版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材第76頁(yè)的部分內(nèi)容.結(jié)合圖①，完成解答過(guò)程.（1）在圖①的基礎(chǔ)上，延長(zhǎng)線段交邊于點(diǎn)G，如圖②，則的長(zhǎng)為；16．（2425九年級(jí)上·四川資陽(yáng)·期中）【基礎(chǔ)鞏固】【嘗試應(yīng)用】【拓展提高】17．（2425九年級(jí)下·山東青島·自主招生）【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】矩形里的有趣“十字架”【模型建立】如何證明這個(gè)猜想呢？在同學(xué)們陷入深思時(shí)，組長(zhǎng)小林提議道：“我們可以先找一種特殊情況探究它，然后再將探究方法推廣到一般情況呀！”于是，在他的提議下，同學(xué)們一致認(rèn)為可以先將F、G分別移動(dòng)到頂點(diǎn)A、D處，如圖②所示．（1）在圖②所示的情況下，你能幫小組成員們證明一下他們的猜想嗎？（2）你能在圖①中添加輔助線，并對(duì)輔助線進(jìn)行描述，以方便小組成員繼續(xù)證明一般性的規(guī)律嗎？【模型應(yīng)用】【拓廣延伸】18．（2025九年級(jí)下·海南·專題練習(xí)）數(shù)學(xué)模型可以用來(lái)解決一類問(wèn)題，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本途徑．通過(guò)探究圖形的變化規(guī)律，再結(jié)合其他數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，最終可以獲得寶貴的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，并將其運(yùn)用到更廣闊的數(shù)學(xué)天地．某數(shù)學(xué)興趣小組在數(shù)學(xué)課外活動(dòng)中，對(duì)十字模型做了如下探究：【基本模型】【類比探究】【拓展應(yīng)用】19．（2025九年級(jí)下·四川資陽(yáng)·學(xué)業(yè)考試）教材深挖．華東師大版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)教材第121頁(yè)上，習(xí)題19．3第2題及參考答案如下：某數(shù)學(xué)興趣小組順利完成了以上解答后，覺(jué)得意猶未盡，決定對(duì)該問(wèn)題做進(jìn)一步的探究，于是有了下面的問(wèn)題．請(qǐng)你幫他們解答．【問(wèn)題探究】【知識(shí)遷移】【拓