3.3探索與表達規(guī)律知識點、探索與表達規(guī)律的一般步驟（1）從具體的、實際的問題出發(fā)，觀察各個數(shù)量的特點及相互之間的變化規(guī)律；（2）由此及彼，合理聯(lián)想，大膽猜想；（3）善于類比，從不同事物中發(fā)現(xiàn)其相似點或相同點；（4）總結(jié)規(guī)律，得出結(jié)論，并驗證結(jié)論正確與否．【注意】在探索規(guī)律的過程中，要善于變換思維方式，達到事半功倍的效果?！練w納總結(jié)】探究數(shù)字中的變化規(guī)律的方法若是一列整數(shù),可考慮相鄰兩數(shù)的和、差、積、商等方面是否存在規(guī)律,也可以考慮奇、偶、平方等方面的規(guī)律；若是數(shù)字相關(guān)的等式（或表格），可將每個等式對應(yīng)寫好,然后比較每一行每一列數(shù)字之間的關(guān)系，從而找出規(guī)律；若數(shù)字為分數(shù)，可分別觀察分子、分母的變化規(guī)律及它們之間的聯(lián)系。探究圖形中的規(guī)律的方法探究圖形中的規(guī)律的方法通常有兩種：第一種是通過觀察，發(fā)現(xiàn)相鄰兩個圖形間的變化關(guān)系，用恰當?shù)拇鷶?shù)式表示規(guī)律并加以驗證。第二種是對圖形進行計數(shù)，找出相應(yīng)圖形對應(yīng)數(shù)據(jù)間的變化規(guī)律，同時探究這些數(shù)據(jù)與序號間的關(guān)系，此方法適用于較易計數(shù)的圖形規(guī)律探究問題?！绢}型精講】題型一、日歷中的規(guī)律探究在日歷圖中有許多奧秘，如圖是某月的日歷，請仔細觀察并思考下列問題：（1）課上我們探究了“3×3”型框架問題，如圖框住的九個數(shù)的和與正中間數(shù)的關(guān)系為；（2）我們還可以用如圖所示的“X”字型框架任意框住日歷中的5個數(shù)（如圖中的陰影部分），探究“X”字型框架中的五個數(shù)的和與正中間數(shù)的關(guān)系．例如圖中“X”字型框架框住的五個數(shù)的和為：2+4+10+16+18=50，5+7+13+19+21=65；設(shè)“X”字型框架中正中間數(shù)為m，探究“”字型框架中的五個數(shù)的和與正中間數(shù)的關(guān)系，請利用所學知識說明理由；（3）如圖所示的“”字型框架框住的五個數(shù)之和可以是120嗎？如果可以，請寫出正中間的數(shù)；如果不可以，請說明理由．【答案】（1）這九個數(shù)的和是正中間數(shù)的9倍；（2）這五個數(shù)的和是正中間數(shù)的5倍，理由見詳解；（3）五個數(shù)之和不可以是120，理由見解析【分析】本題主要考查了有理數(shù)加法計算，整式的加減計算，解題的關(guān)鍵是理解題意，列出代數(shù)式．（1）根據(jù)題意，表示出各數(shù)，列出代數(shù)式求解即可；（2）根據(jù)題意，表示出各數(shù)，列出代數(shù)式求解即可；（3）根據(jù)題意，求出正中間數(shù)，再求出最大的數(shù)進行判斷即可．所以，這九個數(shù)的和與是正中間數(shù)的9倍；（2）這五個數(shù)的和是正中間數(shù)的5倍，理由如下：所以，這五個數(shù)的和是正中間數(shù)的5倍；（3）五個數(shù)之和不可以是120，理由如下：(2)數(shù)學思考：小樂認為（1）中猜想正確，其說理的過程如下，請你將其補充完整．(3)拓廣探究：同學們利用小樂的方法，借助圖1中的日歷．繼續(xù)進行如下探究．請從下列A，B兩題中任選一題作答．我選擇__________題．【分析】本題考查有理數(shù)的混合運算，整式的加減等知識，解題的關(guān)鍵是學會利用參數(shù)解決問題．（1）先計算括號，再計算減法可得結(jié)論；【數(shù)學背景】幻方是一種中國傳統(tǒng)益智游戲，它的規(guī)則是將數(shù)字安排在正方形格子中，使每行、每列及對角線上的數(shù)字和都相等．【問題提出】（1）如圖1，將1，2，3，4，5，6，7，8，9九個數(shù)填入到3×3的方格內(nèi)，使每行、每列及每條對角線上的數(shù)字和都相等，則這個和是______；【問題探究】（2）在圖1中填入一種符合（1）要求的方法；【模型遷移】（3）圖2是顯示部分式子的幻方，用含的式子表示；（4）圖3是顯示部分式子的幻方，求的值．【分析】本題主要考查了列代數(shù)式及整式的加減，解題關(guān)鍵是理解幻方中每行、每列及對角線上的數(shù)字和都相等．（1）根據(jù)題意，先求出這幾個數(shù)的和，再把它平均分成3份，求出每份即可；（2）理解題意，進行作圖即可．（3）觀察幻方可知每行、每列及對角線上的數(shù)字和都相等，列出關(guān)于，的等式，并把用含的式子表示即可；（2）依題意，如圖所示：672159834∵幻方中每行、每列及對角線上的數(shù)字和都相等．題型二、與數(shù)式有關(guān)的規(guī)律探究A．1 B．7 C．5 D．9【答案】A【詳解】解：∵以為底的冪的末位數(shù)字是以，，，依次循環(huán)的，故選A．已知下列一組數(shù)：1，，，，，，用代數(shù)式表示第n個數(shù)，則第n個數(shù)是（

）【答案】B【分析】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，由分子、分母分別與序數(shù)的關(guān)系得出規(guī)律是關(guān)鍵．根據(jù)數(shù)列中所列的數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)分子是從1開始的連續(xù)奇數(shù)，分母是序號的平方．將連續(xù)正整數(shù)按如圖所示的位置順序排列，根據(jù)排列規(guī)律，則2025應(yīng)在（

）A．A處 B．B處 C．C處 D．D處【答案】D【分析】本題主要考查了探究規(guī)律的類型，解題的關(guān)鍵是明確數(shù)的位置的變化規(guī)律．觀察題目信息與圖形信息，根據(jù)圖象規(guī)律可知，5、6、7、8所占的位置正好分別是1、2、3、4的位置，也就是以4個數(shù)為一組循環(huán)；接下來再用2025除以4，最后再根據(jù)余數(shù)來確定2025的位置即可．【答案】A【分析】本題主要考查了數(shù)字類規(guī)律題．根據(jù)題意求出前5次“對調(diào)變換”的結(jié)果，可得到規(guī)律，即可求解．【答案】【分析】根據(jù)和1負倒數(shù)的定義分別計算出，，，，則得到從開始每3個值一循環(huán)，據(jù)此求解可得．本題考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化類：通過從一些特殊的數(shù)字變化中發(fā)現(xiàn)不變的因素或按規(guī)律變化的因素，然后推廣到一般情況．【答案】36閱讀理解：如圖，從左邊第一個格子開始向右數(shù)，在每個格子中都填入一個整數(shù)，使得其中任意三個相鄰格子中所填整數(shù)之和都相等．1●○7…（1）可知，，○=．（2）試判斷第2025個格子中的數(shù)是多少，并給出相應(yīng)的理由．（3）判斷：前n個格子中所填整數(shù)之和能否為2025？若能，求出n的值；若不能，請說明理由．【分析】本題主要考查了數(shù)字變化規(guī)律型、絕對值、有理數(shù)的四則混合運算等知識點，弄清題中的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)任意三個相鄰格子中所填整數(shù)之和都相等，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，進行轉(zhuǎn)化求解即可；（2）寫出前幾個數(shù)，找出規(guī)律，然后利用規(guī)律求解即可；（3）找出相加的規(guī)律進行計算即可判斷；（4）求出前三項的累差值，并求出前十項的累差值即可得出答案．（2）解：第2025個格子中的數(shù)是；理由如下：這一列數(shù)為：1，7，，1，7，……，（3）解：前n個格子中所填整數(shù)之和能為2025；理由如下：由于前10個數(shù)中1出現(xiàn)了4次，而7與各出現(xiàn)了3次，探究有規(guī)律分數(shù)的求和方法——裂項相消應(yīng)用【規(guī)律探尋】觀察一組數(shù)，，，，，…，嘗試分析其規(guī)律并解決相關(guān)問題．（1）根據(jù)規(guī)律，第8個數(shù)是______，是第______個數(shù)；【方法應(yīng)用】【分析】本題考查了數(shù)字類規(guī)律探索，有理數(shù)四則混合運算，解題關(guān)鍵是掌握上述知識點并能運用求解．（1）將分母寫成兩個連續(xù)整數(shù)的積的形式即可找出規(guī)律；（2）從前面幾個式子中找出規(guī)律，用n表示即可；（3）利用拆項求求解．觀察下列等式：請回答下列問題：（1）按以上規(guī)律寫出第個等式：；【分析】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，有理數(shù)的混合運算，解答的關(guān)鍵是由所給的等式總結(jié)出存在規(guī)律．（1）根據(jù)所給的等式的形式進行求解即可；（2）對所求的式子提取公因式，從而可求解．觀察下面的雪花圖和相應(yīng)的等式，探究其中的規(guī)律．（1）完成④和⑤后面的填空：（2）參照上面的等式寫出第10個等式；【分析】本題考查了規(guī)律型：圖形的變化類以及有理數(shù)的混合運算，根據(jù)各等式的變化，找出變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)有理數(shù)的加法運算法則直接計算即可；（2）由部分點陣圖對應(yīng)的等式，得出規(guī)律，即可得出第10個點陣圖對應(yīng)的等式；探究問題：為解決上面的數(shù)學問題，小明請教了老師，老師對小明說了兩句話：一、從特殊到一般；二、靈活運用數(shù)形結(jié)合的思想方法”．小明突然靈機一動，想了如下辦法：通過不斷地分割一個面積為1的正方形，把數(shù)量關(guān)系和幾何圖形巧妙地結(jié)合起來，并采取一般問題特殊化的策略來進行探究．（1）仿照上述方法，只畫出第n次分割圖，在圖上標注陰影部分面積，并填寫探究過程和結(jié)果．第n次分割，所有陰影部分的面積之和為；最后的空白部分的面積是；根據(jù)第n次分割圖可得等式；兩邊同除以，得；【分析】本題主要考查了規(guī)律探索，理解題意，數(shù)形結(jié)合，從特殊到一般，是解題的關(guān)鍵．（1）模仿例題，畫出圖形即可，根據(jù)正方形面積為1，構(gòu)建關(guān)系式，可得結(jié)論；（2）仿照例題，利用規(guī)律解決問題即可；【詳解】（1）解：探究三：第n次分割圖，如圖所示：所有陰影部分的面積之和為1；最后的空白部分的面積是；閱讀材料，大數(shù)學家高斯在上學讀書時曾經(jīng)研究過這樣一個問題：觀察下面三個特殊的等式讀完這段材料，請你思考后回答：【分析】本題考查的是探索規(guī)律的題目，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題目信息，學會把乘法算式拆寫成兩個式子的運算形式．（1）根據(jù)三個特殊等式相加的結(jié)果，代入公式進行計算即可求解；（3）根據(jù)題目中算式得出一般規(guī)律，然后把每一個算式都寫成兩個兩個算式的運算形式，整理即可得解．題型三、與數(shù)軸有關(guān)的規(guī)律探究某一動點在一條數(shù)軸上移動，第1次向數(shù)軸正方向移動1個單位長度，記作；第2次向數(shù)軸正方向移動2個單位長度，記作；第3次向數(shù)軸負方向移動3個單位長度，記作；第4次向數(shù)軸負方向移動4個單位長度，記作；第5次向數(shù)軸正方向移動5個單位長度，記作；第6次向數(shù)軸正方向移動6個單位長度，記作；第7次向數(shù)軸負方向移動7個單位長度，記作；第8次向數(shù)軸負方向移動8個單位長度，記作……直到第2026次移動后結(jié)束．若按照此規(guī)律，第2026次移動后，動點最終在數(shù)軸上的位置所表示的數(shù)是（

）A．2024 B．2025 C．2026 D．2027【答案】DA．m B．n C．p D．q【答案】B【詳解】解：由題意可得，與q對應(yīng)，與p對應(yīng)，與n對應(yīng)，與m對應(yīng)，【答案】B【分析】本題主要考查了圖形類的規(guī)律，數(shù)軸上兩點的距離．熟練掌握各個點跳動的規(guī)律是解題關(guān)鍵．【詳解】解：∵數(shù)軸上，A兩點的距離為12，∴點A表示的數(shù)為12，如圖，按下列方法將數(shù)軸的正半軸繞在一個圓上（該圓的周長為個單位長度，且在圓周的三等分點處分別標上數(shù)字，，）．先讓原點與圓周上數(shù)字所對應(yīng)的點重合，再將正半軸按順時針方向繞在該圓周上，使數(shù)軸上，，，，所對應(yīng)的點分別與圓周上數(shù)字，，，，所對應(yīng)的點重合這樣，正半軸上的整數(shù)就與圓周上的數(shù)字建立了一種對應(yīng)關(guān)系．（1）若圓周上的數(shù)字與數(shù)軸上的對應(yīng)，則（2）若數(shù)軸繞圓周圈后，數(shù)軸上的一個整數(shù)所對應(yīng)的點剛好落在圓周上數(shù)字所對應(yīng)的點的位置，求這個整數(shù)．【答案】(1)2；(2)298【分析】本題考查的是規(guī)律型：數(shù)字的變化類，數(shù)軸的特點，先根據(jù)題意找出規(guī)律是解答此題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)被3除余2的數(shù)與2重合求解即可．在數(shù)軸上，把表示數(shù)1的點稱為基準點，記作點，對于兩個不同的點P和Q，若點P、點Q到基準點的距離相等，則稱點P與點Q互為基準變換點．例如，點P表示數(shù)，點Q表示數(shù)3，它們與基準點的距離都是兩個單位長度，點P與點Q互為基準變換點．(1)已知點A表示數(shù)a，點B表示數(shù)x，點A與點B互為基準變換點．②用含a的一次代數(shù)式表示x，則；【分析】本題主要考查了規(guī)律型﹣數(shù)字的變化，總結(jié)出的變化規(guī)律，根據(jù)與k無關(guān)求出M對應(yīng)的數(shù)字是本題解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)絕對值的意義，列出等式，再根據(jù)兩點不同，化簡絕對值即可得到a與x的關(guān)系，代入a值即可求解；（2）假設(shè)M對應(yīng)的數(shù)字，根據(jù)每次變換寫出每個點對應(yīng)的數(shù)，發(fā)現(xiàn)變化規(guī)律，再根據(jù)絕對值的意義，寫出與N兩點間的距離，根據(jù)距離與k無關(guān)，求出M對應(yīng)數(shù)，從而求得對應(yīng)的數(shù)．題型四、與幾何圖形有關(guān)的規(guī)律探究觀察前三個圖形，若按照得到的計算規(guī)律，第四個圖形的計算結(jié)果為（

）A．15 B． C． D．【答案】B【分析】此題考查了有理數(shù)的加法運算，根據(jù)圖形，發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解題的關(guān)鍵．根據(jù)前三個圖形得到規(guī)律：左上角與右下角的兩數(shù)之和減去右上角與左下角的兩數(shù)之和，即可得到答案．故選：B．將正方體骰子（相對面上的點數(shù)分別為1和6，2和5，3和4）放置于水平桌面上，如圖①.在圖②中，將骰子向右翻滾，然后在桌面上按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，則完成一次變換.若骰子的初始位置為圖①所示的狀態(tài)，則按上述規(guī)則連續(xù)完成2023次變換后，骰子朝上一面的點數(shù)是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】本題主要考查了數(shù)字變化規(guī)律問題，先確定前4次變換的點數(shù)朝上，可確定3次一個循環(huán)，再確定2023次是循環(huán)中的第幾次即可得出答案.【詳解】解：第1次變換：點數(shù)3朝上，向右翻滾后點數(shù)5朝上，逆時針旋轉(zhuǎn)后點數(shù)5朝上；第2次變換：點數(shù)5朝上，向右翻滾后點數(shù)6朝上，逆時針旋轉(zhuǎn)后點數(shù)6朝上；第3次變換：點數(shù)6朝上，向右翻滾后點數(shù)3朝上，逆時針旋轉(zhuǎn)后點數(shù)3朝上；第4次變換：點數(shù)3朝上，向右翻滾后點數(shù)5朝上，逆時針旋轉(zhuǎn)后點數(shù)5朝上，用正方形按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第個圖案中有個正方形，第個圖案中有個正方形，第個圖案中有個正方形……按此規(guī)律排列下去，則第個圖案中正方形的個數(shù)為個．【答案】【分析】本題考查圖形類規(guī)律探究，正確得出規(guī)律是解題關(guān)鍵．觀察可知，第個圖案中有個正方形，后一個圖案比前一個圖案多個正方形，據(jù)此進行作答即可．如圖，用5個實心圓圈、5個空心圓圈相間組成一個圓環(huán)，然后把這樣的圓環(huán)從左到右按下列規(guī)律組成圓環(huán)串：相鄰兩圓環(huán)有一公共圓圈，公共圓圈從左到右以空心圓圈和實心圓圈相間排列．(1)把表格補充完整．圓環(huán)串中圓環(huán)的個數(shù)123456…實心圓圈和空心圓圈的總個數(shù)101928…(2)設(shè)圓環(huán)串由x個圓環(huán)組成，則組成這個圓環(huán)串所需實心圓圈和空心圓圈的總個數(shù)為______（用含x的代數(shù)式表示）．(3)如果圓環(huán)串由18個這樣的圓環(huán)組成，那么實心圓圈和空心圓圈的總數(shù)有多少個？有多少個空心圓圈？（1）利用每增加一個圓環(huán)，實心圓圈和空心圓圈的總個數(shù)就多出9個，由此規(guī)律得出答案即可；（2）利用每增加一個圓環(huán)，實心圓圈和空心圓圈的總個數(shù)就多出9個，由此規(guī)律得出答案即可；（3）因為