專題03軸對(duì)稱（期中復(fù)習(xí)講義）核心考點(diǎn)復(fù)習(xí)目標(biāo)考情規(guī)律軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形能準(zhǔn)確說出軸對(duì)稱和軸對(duì)稱圖形的定義，區(qū)分二者聯(lián)系與區(qū)別基礎(chǔ)考點(diǎn)，多在選擇題、填空題中考查對(duì)概念的理解與辨別平面直角坐標(biāo)系中的軸對(duì)稱掌握平面直角坐標(biāo)系中關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律，并能運(yùn)用規(guī)律求對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)重要考點(diǎn)，常以選擇題、填空題形式考查，是解決平面直角坐標(biāo)系中圖形軸對(duì)稱問題的基礎(chǔ)垂直平分線的性質(zhì)與判定理解并能熟練運(yùn)用垂直平分線的性質(zhì)（線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等）和判定（到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上）高頻考點(diǎn)，易與等腰三角形、三角形全等結(jié)合，在幾何證明與計(jì)算中頻繁出現(xiàn)等腰三角形掌握等腰三角形的性質(zhì)（等邊對(duì)等角、三線合一等）和判定（等角對(duì)等邊），并能運(yùn)用解決角度計(jì)算、線段證明等問題核心考點(diǎn)，貫穿等腰三角形相關(guān)題目，在計(jì)算、證明題中高頻出現(xiàn)，常與三角形內(nèi)角和定理等結(jié)合等邊三角形掌握等邊三角形的性質(zhì)（三邊相等、三角都是60°等）和判定（三邊相等、三角相等、有一個(gè)角是60°的等腰三角形），能運(yùn)用解決相關(guān)問題重要考點(diǎn)，多與等腰三角形、直角三角形等知識(shí)結(jié)合，在幾何證明與計(jì)算中應(yīng)用廣泛含30°角的直角三角形掌握含30°角的直角三角形的性質(zhì)（30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半），并能運(yùn)用解決線段長度計(jì)算等問題?？伎键c(diǎn)，多在幾何計(jì)算題目中出現(xiàn)，與直角三角形其他性質(zhì)結(jié)合考查知識(shí)點(diǎn)01軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形1.軸對(duì)稱圖形定義：如果一個(gè)平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形.這條直線就是它的對(duì)稱軸.這時(shí)，我們也說這個(gè)圖形關(guān)于這條直線（成軸）對(duì)稱.【解讀】1）對(duì)稱軸是一條直線，而不是射線或線段；2）一個(gè)軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸可以有1條，也可以有多條（例：正方形有四條對(duì)稱軸，圓有無數(shù)條對(duì)稱軸等）；2.軸對(duì)稱定義：把一個(gè)圖形沿著某一條直線翻折，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么稱這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱，也稱這兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱，這條直線叫做對(duì)稱軸，折疊后重合的點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，叫做對(duì)稱點(diǎn).【補(bǔ)充】成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形一定全等，但全等的兩個(gè)圖形不一定成軸對(duì)稱.3.軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形的區(qū)別與聯(lián)系：軸對(duì)稱軸對(duì)稱圖形區(qū)別意義不同兩個(gè)圖形之間的特殊位置關(guān)系具有特殊形狀的圖形對(duì)象不同兩個(gè)圖形一個(gè)圖形對(duì)稱軸的位置不同在兩個(gè)圖形之間過圖形的某條直線對(duì)稱軸的數(shù)量不同只有一條不一定只有一條聯(lián)系1)沿對(duì)稱軸折疊，兩個(gè)圖形重合.2)如果把成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形看成一個(gè)整體，那么它就是一個(gè)軸對(duì)稱圖形.1)沿對(duì)稱軸折疊，圖形的兩部分重合.2)如果把軸對(duì)稱圖形的兩部分看作兩個(gè)圖形，那么這兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱.4.軸對(duì)稱的性質(zhì)1）關(guān)于某條直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等形.2）如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線.3）如果圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，如果它們的對(duì)應(yīng)線段或?qū)?yīng)線段的延長線相交，那么交點(diǎn)在對(duì)稱軸上.知識(shí)點(diǎn)02平面直角坐標(biāo)系中的軸對(duì)稱1）關(guān)于x軸對(duì)稱：點(diǎn)（a，b）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，b），簡記：橫同縱反.2）關(guān)于y軸對(duì)稱：點(diǎn)（a，b）關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，b），簡記：縱同橫反.知識(shí)點(diǎn)03垂直平分線的性質(zhì)與判定定義：經(jīng)過線段的中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（也叫中垂線）.數(shù)學(xué)語言：如圖，∵C為線段AB的中點(diǎn)，l⊥AB，∴直線l為線段AB的垂直平分線.性質(zhì)：線段的垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.數(shù)學(xué)語言：∵l是線段AB的垂直平分線，P在l上，∴PA=PB判定：與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上.數(shù)學(xué)語言：∵PA=PB，∴點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上.小結(jié)：線段的垂直平分線是到線段兩端距離相等的點(diǎn)的集合.知識(shí)點(diǎn)04等腰三角形定義：有兩條邊相等的三角形是等腰三角形，相等的兩條邊叫做腰，另一條邊叫做底邊，兩腰的夾角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫做底角.如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，其中AB、AC為腰，BC為底邊，∠A是頂角，∠B、∠C是底角.等腰三角形性質(zhì)定理：1）等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡稱“等邊對(duì)等角”）.2）等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合.（簡稱“三線合一”）.【注意】1）“三線合一”的前提是等腰三角形，且必須是頂角的角平分線，底邊上的高和底邊上的中線.2）在表述“三線合一”的性質(zhì)時(shí)，要分清是哪“三線”(頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高)，不能表述為“等腰三角形的角平分線、中線、高相互重合”.等腰三角形的判定定理：1）定義法：有兩邊相等的三角形是等腰三角形；2）判定定理：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)三角形是等腰三角形（簡稱“等角對(duì)等邊”）.知識(shí)點(diǎn)05等邊三角形定義：三條邊都相等的三角形叫等邊三角形.等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三條邊相等，三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每個(gè)內(nèi)角都是60°.等邊三角形的判定：文字描述數(shù)學(xué)語言圖示定義法三條邊都相等的三角形是等邊三角形∵AB=AC=BC，∴△ABC是等邊三角形等角法三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形∵∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等邊三角形等腰三角形法有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形∵AB=AC，∠A=60°，∴△ABC是等邊三角形知識(shí)點(diǎn)06含90°角的直角三角形含30°角的直角三角形的性質(zhì)：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.幾何表述：如圖，在Rt△ABC中，若∠B=30°，則AC=12題型一軸對(duì)稱圖形的識(shí)別解｜題｜技｜巧尋找對(duì)稱軸是確定軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵，能找出對(duì)稱軸的圖形為軸對(duì)稱圖形，否則就不是軸對(duì)稱圖形.1．（2425八年級(jí)上·廣東汕頭·期中）下列圖形中不是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（2425八年級(jí)上·云南臨滄·期中）以下是四款常用的人工智能大模型的圖標(biāo)，其文字上方的圖案是軸對(duì)稱圖形的是（）A．DeepSeekB．ChatGPTC．文心一言D．納米AI3．（2324八年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·期中）圍棋起源于中國，古代稱之為“弈”，至今已有4000多年的歷史．下面是對(duì)戰(zhàn)棋譜中的四個(gè)部分，由黑白棋子擺成的圖案是軸對(duì)稱圖形的是（）4．（2425八年級(jí)上·全國·期末）中華文明，源遠(yuǎn)流長；中華漢字，寓意深廣．下列四個(gè)選項(xiàng)中，是軸對(duì)稱圖形的為（）A． B． C． D．題型二垂直平分線的性質(zhì)與判定解｜題｜技｜巧三角形中與線段垂直平分線結(jié)合的綜合題型，一般先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)進(jìn)行線段間的轉(zhuǎn)化，向我們要證明的結(jié)論逐步引導(dǎo)進(jìn)行證明.5．（2324七年級(jí)下·湖南長沙·期末）如圖，在△ABC中，∠BAC>90°，AB的垂直平分線分別交AB，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，AC的垂直平分線分別交AC，BC于點(diǎn)M，N，直線EF，MN(1)求證：點(diǎn)P在線段BC的垂直平分線上；(2)已知∠FAN=56°，求6．（2425八年級(jí)上·河北石家莊·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)E(1)求證：AB=(2)若△ABC的周長為21cm，AC=87．（2122八年級(jí)上·河北邯鄲·期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，連接(1)若△ABC的周長是14，AD的長是3，求△(2)若∠B=30°，求證：點(diǎn)E在線段8．（2324八年級(jí)上·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·期中）如圖，AD是△ABC的角平分線，DE，DF分別是△ABD和△(1)求證：AD垂直平分EF．(2)若AB+AC=16，S題型三鏡面對(duì)稱解｜題｜技｜巧鏡面對(duì)稱的核心是軸對(duì)稱性質(zhì)，不同場(chǎng)景只需找準(zhǔn)“對(duì)稱軸”，再結(jié)合“對(duì)應(yīng)點(diǎn)/數(shù)字/時(shí)間”的規(guī)律，就能快速解決.鏡面對(duì)稱特點(diǎn)：上下前后方向一致，左右方向相反是解題的關(guān)鍵，根據(jù)鏡子中看到的數(shù)字與實(shí)際數(shù)字是關(guān)于鏡面成垂直的線對(duì)稱求解即可。9．（2425八年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）一個(gè)汽車牌照在水中的倒影為，則該汽車牌照號(hào)碼為．11．（2425八年級(jí)上·安徽淮南·期中）在鏡子中看到時(shí)鐘顯示的時(shí)間是80:25:41，則實(shí)際時(shí)間是．12．（2425八年級(jí)上·廣東珠?！て谥校┟髅髟阽R中看到身后墻上的時(shí)鐘如下，你認(rèn)為實(shí)際時(shí)間最接近8:00的是（

）A． B． C． D．題型四尺規(guī)作圖問題（本章涉及的畫圖問題匯總）解｜題｜技｜巧在直角坐標(biāo)系中畫關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的圖形的“四字訣”1.找：在坐標(biāo)系中，找出已知圖形中的一些特殊點(diǎn)(如多邊形的頂點(diǎn))的坐標(biāo).2.求：求出其對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo).3.描：根據(jù)所求坐標(biāo)，描出對(duì)應(yīng)點(diǎn)，4.連：連接這些點(diǎn)，就可以得到這個(gè)圖形的軸對(duì)稱圖形.13．（2425八年級(jí)上·湖北襄陽·階段練習(xí)）已知：如圖，在△ABC中，其中A0,-2，B2,-4(1)畫出與△ABC關(guān)于x軸對(duì)稱的圖形△A1(2)在y軸上找一點(diǎn)P，使PB+PB1最小，畫出點(diǎn)P的位置，并直接寫出點(diǎn)14．（2223八年級(jí)上·全國·期末）如圖，△ABC在平面直角坐標(biāo)系中，三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A-2，4，B-3，2，C-1，(1)請(qǐng)?jiān)谧鴺?biāo)系中畫出△ABC關(guān)于x(2)請(qǐng)?jiān)谧鴺?biāo)系中畫出△ABC關(guān)于直線l(3)若點(diǎn)Pa,b是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，則點(diǎn)P關(guān)于直線15．（2023八年級(jí)上·廣東肇慶·競(jìng)賽）∠O內(nèi)有一點(diǎn)A，在∠O的兩邊上各找一點(diǎn)B，C，使△ABC的周長最小，用尺規(guī)作圖法，在圖中作出16．（山東省濟(jì)寧市鄒城市20232024學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）已知直線l同側(cè)有兩點(diǎn)A、(1)在直線l上求作一點(diǎn)P，使PA+PB最?。ǔ?2)在直線l上求作一點(diǎn)Q，使QA-(3)在（1）和（2）的條件下，若PB⊥AQ，PA=17．（2122七年級(jí)下·全國·期末）要求用尺規(guī)作圖，畫圖必須用鉛筆，不要求寫作法，但要保留作圖痕跡．(1)如圖①，已知點(diǎn)M在直線l上，A，B是直線l外的兩點(diǎn)，按照下面要求完成作圖：①過點(diǎn)M作直線l的垂線；②在已作出的垂線上確定一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到A，B兩點(diǎn)的距離相等．(2)如圖②，已知點(diǎn)A是銳角MON內(nèi)的一點(diǎn)，試分別在OM，ON上確定點(diǎn)B、點(diǎn)C，使△ABC18．（2025九年級(jí)下·新疆·專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，AD是△(1)尺規(guī)作圖：請(qǐng)用無刻度的直尺和圓規(guī)，作AD的垂直平分線交AB于點(diǎn)E；（要求：不寫作法，保留作圖痕跡，并把作圖痕跡用黑色簽字筆描黑）(2)在（1）的條件下，連接DE，過點(diǎn)D作DF∥AB交AC于點(diǎn)F，求證：題型五關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征解｜題｜技｜巧根據(jù)關(guān)于坐標(biāo)軸或原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系特點(diǎn)，可以利用軸對(duì)稱找到特定點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)；在點(diǎn)的坐標(biāo)不是單一的數(shù)字時(shí)，例如用字母表示，用各種形式的代數(shù)式表示的點(diǎn)的坐標(biāo)仍然滿足軸對(duì)稱的特定關(guān)系，可以利用這種關(guān)系，列出滿足題意的方程或不等式，從而求出坐標(biāo)中的參數(shù).19．（2025八年級(jí)上·全國·專題練習(xí)）若a-3+(b+4)220．（2526八年級(jí)上·全國·課后作業(yè)）如圖，點(diǎn)P,M關(guān)于直線x=1（1）點(diǎn)P'的坐標(biāo)為；點(diǎn)M'的坐標(biāo)為（2）點(diǎn)P-2,4關(guān)于直線y=-1的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為；點(diǎn)N'5,-221．（2526八年級(jí)上·全國·課后作業(yè)）填空：（1）若點(diǎn)P-5,6與點(diǎn)Q關(guān)于x軸對(duì)稱，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2）若點(diǎn)Ma,-5與點(diǎn)N-2,b關(guān)于x軸對(duì)稱，則a（3）若點(diǎn)P-5,6與點(diǎn)Q關(guān)于y軸對(duì)稱，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（4）若點(diǎn)Ma,-5與點(diǎn)N-2,b關(guān)于y軸對(duì)稱，則a22．（2526八年級(jí)上·全國·課后作業(yè)）已知直角坐標(biāo)系中一點(diǎn)P(2x-y,3x+2y)，先將它關(guān)于題型六等腰三角形分類討論問題解｜題｜技｜巧等腰三角形的邊有腰、底之分，角有頂角、底角之分，若題目中的邊沒有明確是底還是腰，角沒有明是頂角還是底角，需要分類討論.類型一當(dāng)腰長或底邊長不能確定時(shí)，必須進(jìn)行分類討論23．（2526八年級(jí)上·全國·周測(cè)）已知等腰三角形的周長為18cm，一邊長為7cm，則另外兩邊的長分別為．24．（2025八年級(jí)上·全國·專題練習(xí)）已知等腰三角形的周長為8，且一邊長為3，求腰長．類型二當(dāng)頂角或底角不能確定時(shí)，必須進(jìn)行分類討論25．（2425八年級(jí)上·陜西咸陽·開學(xué)考試）若等腰三角形的一個(gè)角為52°，則這個(gè)等腰三角形的頂角度數(shù)為．26．（2021八年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）若等腰三角形一腰上的高與底邊所成的角的度數(shù)是25度，則等腰三角形頂角的度數(shù)是度．27．（2425九年級(jí)下·重慶沙坪壩·期末）等腰△ABC中，已知一內(nèi)角等于50°，求三角形的底角為類型三當(dāng)高的位置關(guān)系不能確定時(shí)，必須進(jìn)行分類討論28．（黑龍江省哈爾濱市第一一三中學(xué)校20212022學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期10月模擬測(cè)試數(shù)學(xué)試卷（五四制））等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角是30°，則其頂角的度數(shù)為．29．（2425七年級(jí)下·上海·階段練習(xí)）已知BD是等腰三角形ABC一腰上的高，且∠ABD=40°，求△ABC類型四由腰的垂直平分線所引起的分類討論30．（2122八年級(jí)下·遼寧盤錦·開學(xué)考試）在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交直線AC于點(diǎn)E，∠AEB31．（2425七年級(jí)下·上海楊浦·階段練習(xí)）在△ABC中，AB=AC，AB邊的垂直平分線與邊AB交于點(diǎn)D，與AC、BC邊所在直線分別交于E、F，若∠類型五由腰上的中線所引起的分類討論32．（2425七年級(jí)下·四川成都·期末）等腰三角形底邊長為5cm，一腰上的中線把這個(gè)三角形的周長分為兩部分，這兩部分的差為4cmA．1cm或9cm B．1cm C．533．（2526八年級(jí)上·全國·隨堂練習(xí)）已知等腰三角形ABC的底邊BC長為10cm，AC上的中線BD把其周長分為差是6cm的兩部分，求等腰三角形題型七利用等腰三角形的性質(zhì)求角的度數(shù)的方法解｜題｜技｜巧對(duì)于等腰三角形中求角度問題，若題目沒有一個(gè)已知角度而結(jié)果需要求具體的角度，則常設(shè)較小角為x，通過三角形內(nèi)角和或等腰三角形的性質(zhì)列方程求解.【注意】已知多個(gè)等腰三角形時(shí)，常利用方程思想解題.34．（2025八年級(jí)上·全國·專題練習(xí)）已知一等腰三角形的兩外角的度數(shù)之比為1:4，試求其與底角相鄰的外角的度數(shù)．35．（2526八年級(jí)上·全國·課后作業(yè)）如圖，在△ABC中，∠BAC=120°，AD⊥BC于點(diǎn)D36．（2425八年級(jí)上·吉林·期末）如圖所示，△ABC中，∠ABC=100°,37．（2425七年級(jí)下·河南平頂山·期末）已知一個(gè)等腰三角形的頂角是底角的3倍，求它的各個(gè)內(nèi)角的度數(shù)．題型八等腰三角形的個(gè)數(shù)問題解｜題｜技｜巧確定等腰三角形的個(gè)數(shù)問題是等腰三角形中的常見題，通常是“兩定一動(dòng)”類型，則以兩定點(diǎn)所連線段進(jìn)行分類討論，①當(dāng)該線段是等腰三角形的底時(shí)，作該線段的垂直平分線進(jìn)行找點(diǎn)；②當(dāng)該線段是等腰三角形的邊時(shí)，分別以兩定點(diǎn)為圓心，兩定點(diǎn)所連線段為半徑作圓來進(jìn)行找點(diǎn).38．（2425八年級(jí)上·廣東東莞·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A2,-2，在y軸上確定點(diǎn)P，使△AOP為等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)P共有（A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)39．（2021八年級(jí)上·山東臨沂·期中）在如圖的網(wǎng)格上，小正方形的頂點(diǎn)叫網(wǎng)格的格點(diǎn)，圖中能找出幾個(gè)格點(diǎn)？使每一個(gè)格點(diǎn)與A，B兩點(diǎn)能構(gòu)成等腰三角形，符合條件格點(diǎn)的個(gè)數(shù)有（

）A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)40．（2425八年級(jí)上·廣東韶關(guān)·期中）在直角坐標(biāo)系中，△ABC(1)請(qǐng)畫出△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的△(2)直接寫出A1，B1，(3)點(diǎn)Q在坐標(biāo)軸上，且滿足△BCQ是等腰三角形，則所有符合條件的Q點(diǎn)有______個(gè)41．（2425八年級(jí)上·浙江杭州·期末）如圖，在直線MN上能否找到點(diǎn)A，使以BC為一邊的△ABC題型九見等腰，構(gòu)造三線合一解｜題｜技｜巧已知等腰三角形，通過作底邊的高（底邊的中線，頂角的角平分線），利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)求解.42．（2425八年級(jí)上·浙江杭州·期末）如圖，在四邊形ACBD中，∠C=90°，(1)若CA=3，BC=4，AD=6(2)請(qǐng)?jiān)冖佟螦BD=2∠ABC；②AD43．（2425八年級(jí)上·浙江金華·期末）如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D，E分別是BC上兩點(diǎn)，連接AD，AE，且AD針對(duì)這道題目，三位同學(xué)進(jìn)行了如下討論：小明：“可以通過證明△ABD≌△小華：“可以通過證明△ABE≌△小聰：“我覺得可以通過等腰三角形三線合一定理添加適當(dāng)?shù)妮o助線證明．”請(qǐng)你結(jié)合上述討論，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄍ瓿勺C明．44．（2425八年級(jí)上·全國·期末）如圖，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D為AB邊上的中點(diǎn)，E為AC上的一動(dòng)點(diǎn)（不與A、C點(diǎn)重合），過點(diǎn)D作DE的垂線交BC題型十雙腰上的高求定值解｜題｜技｜巧雙腰上的高求定值的證明利用了等面積法，消去相等底邊后得到高之間的關(guān)系，因此等腰三角形中動(dòng)點(diǎn)只能在底邊所在直線上運(yùn)動(dòng)，此時(shí)連接該點(diǎn)和底邊所對(duì)頂點(diǎn)，能將原圖形分割成兩個(gè)底相等的三角形.45．（第十五章軸對(duì)稱數(shù)學(xué)活動(dòng)）【問題情境】數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師提出了一個(gè)問題：等腰三角形底邊中點(diǎn)到兩腰的距離相等嗎？同學(xué)們就這個(gè)問題展開探究．【問題初探】（1）希望小組的同學(xué)們根據(jù)題意畫出了相應(yīng)的圖形，如圖①，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB，DF⊥AC證明：∵DE⊥AB，∴∠DEB∵AB=∴∠B=∠C∵D是BC的中點(diǎn)，∴BD在△BDE和△∠∴△BDE≌△CDF∴DE=①請(qǐng)寫出依據(jù)1和依據(jù)2的內(nèi)容：依據(jù)1：，依據(jù)2：；②請(qǐng)你寫出另一種證法；【問題再探】（2）未來小組的同學(xué)們經(jīng)過探究又有新的發(fā)現(xiàn)，如圖②，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，作腰AB上的高CG，則CG【類比探究】（3）奮斗小組的同學(xué)們認(rèn)真研究過后，發(fā)現(xiàn)了以下兩個(gè)正確結(jié)論：①如圖③，在△ABC中，AB=AC，D為BC的中點(diǎn)，若DE，DF分別為△ABD和△ACD的中線，那么DE=DF仍然成立；②如圖④，在△ABC中，AB=AC，D46．（2122八年級(jí)下·云南·期末）某數(shù)學(xué)興趣小組在學(xué)完勾股定理的證明后，發(fā)現(xiàn)運(yùn)用“同一圖形的面積用不同方式計(jì)算結(jié)果相同”可以證明一類含有線段的等式，這種解決問題的方法我們稱之為“等面積法”．如圖1，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AC邊上的高BD記為h，M是底邊BC上的任意一點(diǎn)，M到腰AB、AC的距離ME、MF分別記為h1(1)興趣小組現(xiàn)需要證明h=證明：連接AM，由題意得BD=h，ME=h∵S△ABC=SS△AMC=∴12又∵AB=∴12AC×h=∴h=(2)當(dāng)點(diǎn)M在BC延長線上時(shí)（M點(diǎn)在C點(diǎn)的右邊），h1、h2、h之間又有什么樣的結(jié)論，請(qǐng)你寫出結(jié)論，并說明理由（可利用圖(3)利用以上結(jié)論解答：如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中有兩條直線l1：y=34x+6，l2：y=-3x+6，若47．（2324八年級(jí)上·浙江紹興·階段練習(xí)）數(shù)學(xué)中常常利用面積相等來證明其他的線段相等，這種方法被稱為“面積法”．已知等邊△ABC，點(diǎn)P是平面上任意一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P到△ABC邊AB、AC邊的距離分別為PD、PE，△ABC的BC(1)如圖（1），若點(diǎn)P在三角形的BC邊上，PD、PE、AM存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)給出證明過程．(2)如圖（2），當(dāng)點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，已知AM=10，求(3)如圖（3），當(dāng)點(diǎn)P在△ABC外，請(qǐng)直接寫出AM與PD、PF、PE題型十一等腰三角形判定與性質(zhì)綜合解｜題｜技｜巧1）當(dāng)三角形有兩條邊相等時(shí)，應(yīng)用“有兩條邊相等的三角形是等腰三角形”來判定；2）當(dāng)三角形中有兩個(gè)角相等時(shí)，應(yīng)用“如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等”來證明；3）當(dāng)線段垂直平分線上的點(diǎn)與線段兩端點(diǎn)構(gòu)成三角形時(shí)，應(yīng)用“線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等，則構(gòu)成的三角形是等腰三角形”來證明.48．（2223八年級(jí)上·湖南長沙·期末）已知在△ABC中，∠ACB的平分線CD交AB于點(diǎn)D，(1)如圖1，求證：△CDE(2)如圖2，若DE平分∠ADC交AC于E，∠ABC=30°，在BC邊上取點(diǎn)F使BF=DF49．（2223八年級(jí)上·廣東廣州·期末）如圖，在△ABC中，D點(diǎn)是AB的中點(diǎn)，OD⊥AB于D，點(diǎn)O(1)求證：△BOC(2)若∠BAC=80°，求50．（2425八年級(jí)上·廣東汕尾·期中）如圖，已知線段BC上有點(diǎn)D，E，且BD=CE．在線段BC外側(cè)取點(diǎn)A，使AD=AE．連結(jié)AB，AD，(1)求證：AB=(2)若∠BAC=108°，∠DAE=36°，求出圖中除題型十二構(gòu)造等腰三角形五種方法解｜題｜技｜巧1）作邊的平行構(gòu)造等腰三角形.2）“角平分線+平行線”構(gòu)造等腰三角形，應(yīng)用平行線的性質(zhì)得到角的相等關(guān)系，應(yīng)用等角對(duì)等邊得到邊的相等關(guān)系；3）“角平分線+垂線”構(gòu)造等腰三角形，逆用等腰三角形的三線合一性質(zhì)定理；4）應(yīng)用“垂直平分線”構(gòu)造等腰三角形；5）利用二倍角關(guān)系構(gòu)造等腰三角形.51．如圖，在△ABC中∠ABC=∠ACB，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB．若過點(diǎn)O作直線EF和邊BC平行，與AB交于點(diǎn)E，與AC交于點(diǎn)F，則線段52．（2425八年級(jí)上·湖南懷化·階段練習(xí)）（1）如圖，△ABC中，若AB=6,AC=4，求（2）如圖，AD是△ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF53．（2425八年級(jí)上·海南省直轄縣級(jí)單位·期中）在△ABC中，∠ABC、∠ABC的平分線相交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作EF∥BC分別交AB、AC(1)求證：BE=(2)若△ABC的周長比△AEF的周長大8，試求出54．（2425八年級(jí)上·北京海淀·期中）如圖，D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，AD⊥CD，AD平分∠CAB，且∠DCB=∠B55．（2425八年級(jí)上·內(nèi)蒙古烏蘭察布·期中）【閱讀理解】在一個(gè)三角形中出現(xiàn)一個(gè)角是另一個(gè)角的2倍時(shí)，我們可以通過以下三種方法轉(zhuǎn)化倍角尋找等腰三角形．（1）如圖①，若∠ABC=2∠C，可作∠ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)（2）如圖②，若∠ABC=2∠C，可延長CB至點(diǎn)D，使BD=BA（3）如圖③，若∠B=2∠ACB，以C為頂點(diǎn)，CA為一邊，在△ABC外作∠ACD=______，交【解決問題】（4）如圖④，在△ABC中，∠C=2∠B，題型十三利用等邊三角形的性質(zhì)求角度/線段長度解｜題｜技｜巧1）與等邊三角形有關(guān)的角度計(jì)算常常要用到等邊三角形的三個(gè)角相等，并且每個(gè)角都等于60，這一點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.2）與等邊三角形有關(guān)的線段長度的計(jì)算問題，常常與勾股定理相結(jié)合，利用等邊三角形的性質(zhì)構(gòu)造直角三角形，借用勾股定理求線段長度.56．（2425七年級(jí)下·四川成都·期末）如圖，等邊三角形紙片ABC的邊長為4cm，點(diǎn)D，E分別在AC，BC上，將△CDE沿直線DE折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)C'處，且點(diǎn)C'在57．（2526八年級(jí)上·江蘇徐州·期中）圖，在邊長為a等邊三角形ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊BC，AB上，且DE∥AC，過點(diǎn)E作EF⊥DE，交CB的延長線于點(diǎn)F．若AE=b，則DF=．58．（2526八年級(jí)上·陜西西安·開學(xué)考試）如圖，點(diǎn)B、C、D在同一直線上，△ABC和△ADE都是等邊三角形．求證：59．（2425七年級(jí)下·四川成都·階段練習(xí)）已知：如圖，點(diǎn)B在線段AD上，△ABC和△BDE都是等邊三角形，且在AD同側(cè)，連接AE交BC于點(diǎn)G，連接CD交BE于點(diǎn)H，交AE于點(diǎn)O，連接GH．(1)求證：AE=(2)求∠AOC(3)求證：AG=題型十四等邊三角形判定與性質(zhì)綜合解｜題｜技｜巧題目圖形中有兩個(gè)以上的以圖形中的線段為邊向圖形同側(cè)或異側(cè)作的特殊圖形(特殊圖形包括等邊三角形、等腰三角形、等腰直角三角形等)，在分析條件時(shí)，經(jīng)常先尋找圖形中有無全等三角形（手拉手模型），若有，這對(duì)全等三角形的性質(zhì)常常是解題的關(guān)鍵所在.60．（2526八年級(jí)上·全國·期中）如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D、E、F分別在AB、BC、AC邊上，且BE(1)求證：△DEF(2)當(dāng)∠A=50°時(shí)，求(3)當(dāng)∠EDF=60°時(shí)，求61．（2425八年級(jí)下·陜西咸陽·期中）如圖，在△ABC中，∠ACB=30°，DE是邊AC的垂直平分線，點(diǎn)O在DE(1)求證：△OAB(2)若OD=2，OE62．（2425八年級(jí)上·貴州遵義·期中）如圖，點(diǎn)O是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，D是△ABC外的一點(diǎn)，且有△BOC≌△ADC，∠OCD=60°(1)求證：△OCD(2)∠BOC=150°時(shí)，試判斷(3)探究：當(dāng)∠BOC為多少度時(shí)，△題型十五利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)求解解｜題｜技｜巧在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.這個(gè)性質(zhì)常常用于計(jì)算三角形的邊長也是證明一邊(30°角所對(duì)的直角邊)等于另一邊(斜邊)的一半的重要依據(jù).當(dāng)已知的條件或結(jié)論傾向于該性質(zhì)時(shí)，我們可運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，將線段或角轉(zhuǎn)化，構(gòu)造直角三角形.63．（2425八年級(jí)上·湖南湘西·期中）如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=60°，BD⊥AC，垂足為D64．（2425八年級(jí)下·黑龍江綏化·期中）某校在一塊如圖所示的三角形空地ABC上種植草皮美化環(huán)境，已知∠A=150°，這種草皮每平方米售價(jià)a元，則購買這種草皮需要65．（2425八年級(jí)下·湖南婁底·期中）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，連接(1)求證：AE=(2)若∠BAC=60°，AD=10題型十六等腰三角形存在性問題解｜題｜技｜巧66．（2425八年級(jí)下·山東日照·階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)B6,0的直線AB與直線OA相交于點(diǎn)A4,2，動(dòng)點(diǎn)M沿路線(1)求直線AB的解析式．(2)求△OAC(3)當(dāng)△OMC的面積是△OAC的面積的14(4)在x軸上是否存在一點(diǎn)P，使得△OAP是等腰三角形，若存在請(qǐng)直接寫出P67．（2425八年級(jí)上·黑龍江·期中）綜合與探究如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A0,a，Bb,0，且a，b滿足a-82+b+6=0，點(diǎn)C在x軸正半軸上，OC=OA．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以1個(gè)單位長度/秒的速度沿x軸向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)為______，點(diǎn)B的坐標(biāo)為______；(2)當(dāng)點(diǎn)P在線段OB上時(shí)，如圖②所示，求線段ON的長度（用含t的式子表示）；(3)若ON=2，則t的值為______(4)若AB=10，是否存在以AB為腰的等腰三角形ABP？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P68．（2425八年級(jí)上·四川成都·期末）如圖，直線AB交x軸于點(diǎn)A-4,0，交y軸于點(diǎn)B0,2，直線x=-1交直線AB于點(diǎn)D，P是直線x=-1(1)求直線AB的解析式；(2)求△ABP的面積（用含n(3)當(dāng)△ABP的面積等于1時(shí)，在y軸上是否存在點(diǎn)C，使△APC是等