第10講函數(shù)的單調(diào)性和最值【人教A版】模塊一模塊一函數(shù)的單調(diào)性1．函數(shù)的單調(diào)性(1)單調(diào)遞增、單調(diào)遞減：名稱定義圖形表示幾何意義單調(diào)遞增一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I，區(qū)間D?I：如果?x1,x2∈D，當(dāng)x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增.函數(shù)f(x)在區(qū)間D上的圖象從左到右是上升的.單調(diào)遞減一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I，區(qū)間D?I：如果?x1,x2∈D，當(dāng)x1<x2時，都有f(x1)>f(x2)，那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞減.函數(shù)f(x)在區(qū)間D上的圖象從左到右是下降的.(2)函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間：①當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞增(減)時，我們就稱它是增(減)函數(shù).②如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.(3)常見函數(shù)的單調(diào)性：函數(shù)單調(diào)性一次函數(shù)y=ax+b(a≠0)a>0時，在R上單調(diào)遞增；a<0時，在R上單調(diào)遞減.a>0時，單調(diào)遞減區(qū)間是(∞,0)和(0,+∞)；a<0時，單調(diào)遞增區(qū)間是(∞,0)和(0,+∞).二次函數(shù)y=a(xm)2+n(a≠0)a>0時，單調(diào)遞減區(qū)間是(∞,m]，單調(diào)遞增區(qū)間是[m,+∞)；a<0時，單調(diào)遞減區(qū)間是[m,+∞)，單調(diào)遞增區(qū)間是(∞,m].(4)單調(diào)函數(shù)的運算性質(zhì)：若函數(shù)f(x)，g(x)在區(qū)間D上具有單調(diào)性，則在區(qū)間D上具有以下性質(zhì)：①f(x)與f(x)+C(C為常數(shù))具有相同的單調(diào)性.②若a為常數(shù)，則當(dāng)a>0時，f(x)與af(x)具有相同的單調(diào)性；當(dāng)a<0時，f(x)與af(x)具有相反的單調(diào)性.⑤在f(x)，g(x)的公共單調(diào)區(qū)間上，有如下結(jié)論：f(x)g(x)f(x)+g(x)f(x)g(x)增增增不能確定單調(diào)性增減不能確定單調(diào)性增減減減不能確定單調(diào)性減增不能確定單調(diào)性減⑥當(dāng)f(x)，g(x)在區(qū)間D上都是單調(diào)遞增(減)的，若兩者都恒大于零，則f(x)·g(x)在區(qū)間D上也是單調(diào)遞增(減)的；若兩者都恒小于零，則f(x)·g(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞減(增).(5)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判定：對于復(fù)合函數(shù)f(g(x))，設(shè)t=g(x)在(a,b)上單調(diào)，且y=f(t)在(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上也單調(diào).t=g(x)y=f(t)y=f(g(x))增增增增減減減增減減減增2．函數(shù)單調(diào)性的判斷(1)函數(shù)單調(diào)性的判斷方法：①定義法；②圖象法；③利用已知函數(shù)的單調(diào)性.(2)復(fù)合函數(shù)y=f(g(x))的單調(diào)性應(yīng)根據(jù)外層函數(shù)y=f(t)和內(nèi)層函數(shù)t=g(x)的單調(diào)性判斷，遵循“同增異減”的原則.【題型1函數(shù)單調(diào)性的判斷及單調(diào)區(qū)間的求解】【例1】（2425高一上·廣東廣州·期中）函數(shù)y=1x2?2xA．(?∞,1) B．(?∞,0) C．【答案】D【解題思路】現(xiàn)根據(jù)解析式有意義的條件求的定義域，然后在定義域內(nèi)，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性法則求得結(jié)果.【解答過程】要使函數(shù)y=1x2即x(x?2)>0，解得x<0或x>2，∴函數(shù)定義域為(?∞令t=x2?2x，則y=1tt=x2?2x在(?∞,0)上單調(diào)遞減，在根據(jù)復(fù)合函數(shù)“同增異減”原則，可知y=1x2故選：D.【變式1.1】（2425高一上·全國·課后作業(yè)）設(shè)fx=x，gxA．fx+gxB．fx+gxC．fx?gxD．fx?gx【答案】A【解題思路】根據(jù)正比例函數(shù)、反比例函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)、定義逐一判斷即可.【解答過程】函數(shù)fx=x,gx=?1x在區(qū)間令hx=fx則hx當(dāng)0<x1<x2<1時，0<x當(dāng)1<x1<x2時，x故選：A.【變式1.2】（2526高一上·全國·單元測試）已知函數(shù)fx=2x+ax+1，且(1)求函數(shù)gx(2)用定義法判斷gx【答案】(1)g(2)gx在區(qū)間?∞,?1和?1,0【解題思路】（1）直接根據(jù)題意代入求值即可；（2）根據(jù)定義法判斷函數(shù)gx【解答過程】（1）因為f0=0+a0+1=1故gx（2）易得gx的定義域為?∞,?1則gx①當(dāng)x1<x則gx1?g故gx在區(qū)間?②當(dāng)?1<x1<則gx1?g故gx在區(qū)間?1,0③當(dāng)0<x1<則gx1?g故gx在區(qū)間0,+綜上，gx在區(qū)間?∞,?1和和?1,0【變式1.3】（2425高一上·重慶·期中）已知函數(shù)f(x)=(1)求實數(shù)a值；(2)判斷函數(shù)f(x)在(1,+∞(3)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間．【答案】(1)a=2(2)單調(diào)遞增，證明見解析(3)增區(qū)間是1,+∞，單調(diào)遞減區(qū)間是?∞【解題思路】（1）代入f2（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，作差fx（3）根據(jù)（2）的過程和結(jié)果，再分區(qū)間討論.【解答過程】（1）由條件可知，f2=4+a（2）fx設(shè)1<xfx=x因為1<x1<x2，所以x1?所以x1所以fx1?f所以函數(shù)f(x)在(1,+∞（3）由（2）可知，fx1?f當(dāng)0<x1<x2<1時，x1所以x1+x2?所以函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，當(dāng)x1<x2<0，x1?所以x1+x2?所以函數(shù)f(x)在(?∞綜上可知，函數(shù)的增區(qū)間是1,+∞，單調(diào)遞減區(qū)間是?∞,0【題型2利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)】【例2】（2425高一上·廣東廣州·階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=2024?axa?1在[0,1]上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍是（

A．(?∞,0)∪(1,2024] C．(?∞,0)∪(1,+∞【答案】A【解題思路】根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合定義域討論可得.【解答過程】若a<0，則當(dāng)x∈[0,1]時，函數(shù)y=2024?ax又1a?1<0，∴函數(shù)f(x)=2024?ax若a>0，則當(dāng)x∈[0,1]時，函數(shù)y=2024?ax只有1a?1>0時，才有可能使函數(shù)f(x)=2024?ax∴a>01綜上，實數(shù)a的取值范圍是(?故選：A.【變式2.1】（2425高一上·安徽·期中）函數(shù)fx=a+3x+a+3,x>1?A．?3,?2 B．?3,?1C．?2,?1 D．?2,?1【答案】C【解題思路】利用一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)及分段函數(shù)的單調(diào)性求解即可.【解答過程】由題意可知當(dāng)x>1時，y=a+3x+a+3單調(diào)遞增，則當(dāng)x≤1時，y=?x2+1?ax因為函數(shù)fx=a+3由①②③解得?2≤a≤?1，故選：C.【變式2.2】（2025高一·全國·課后作業(yè)）已知函數(shù)f(x)=x(1)若函數(shù)f(x)的單減區(qū)間是(?∞,4]，求實數(shù)(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(?∞,4]上是單減函數(shù)，求實數(shù)【答案】(1)a=?4(2)?【解題思路】（1）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【解答過程】（1）依題意，f(x)=x由二次函數(shù)的性質(zhì)知，f(x)的對稱軸方程為x=?a，開口向上，所以f(x)的單減區(qū)間是(?∞因為函數(shù)f(x)的單減區(qū)間是(?∞所以a=?4.（2）依題意，f(x)=x由二次函數(shù)的性質(zhì)知，f(x)的對稱軸方程為x=?a，開口向上，所以f(x)的單減區(qū)間是(?∞因為函數(shù)f(x)在區(qū)間(?∞所以?a≥4，解得a≤?4，所以實數(shù)a的取值范圍為?∞【變式2.3】（2425高一上·上?！ふn堂例題）（1）函數(shù)fx=?x2+2（2）已知函數(shù)fx=x+mx?1【答案】（1）a≥5；（2）m≤4【解題思路】（1）利用二次函數(shù)的圖象與開口方向可求a的范圍；（2）任取x1、x2∈2,+∞【解答過程】（1）根據(jù)題意得函數(shù)圖像開口向下，對稱軸為x=a?1．函數(shù)在區(qū)間?∞,4上是嚴(yán)格增函數(shù)，所以a?1≥4，∴（2）任取x1、x2∈所以x1+m整理得mx∵x1<x2，∴x2?x1>0【題型3利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小】【例3】（2425高一上·全國·課后作業(yè)）若函數(shù)fx在?∞,?1上是增函數(shù)，則下列關(guān)系式中成立的是（A．f?32C．f?2<f?1【答案】D【解題思路】根據(jù)增函數(shù)的定義求解即可.【解答過程】因為fx在?∞,?1所以f?2故選：D.【變式3.1】（2425高一上·河北邢臺·階段練習(xí)）已知f2?x=fx+2，且fx在0,2上單調(diào)遞減，則f1，fA．f52<fC．f72<f【答案】A【解題思路】利用已知的函數(shù)性質(zhì)，把比較函數(shù)值的大小轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間上的函數(shù)值比較大小的問題來解決.【解答過程】因為f2?x=fx+2，所以f因為fx在0,2上單調(diào)遞減，所以f故選：A.【變式3.2】（2425高一上·江蘇蘇州·期中）設(shè)a=20222+12021×2023A．c>b>a B．a(chǎn)>b>c C．a(chǎn)>c>b D．c>a>b【答案】B【解題思路】構(gòu)造函數(shù)fx【解答過程】設(shè)fx=x2+1x2?1=所以fx在1,+∞單調(diào)遞減，所以f2022故選：B.【變式3.3】（2025高一·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)fx=4?x2，若0<x1<xA．fx1xC．fx3x【答案】C【解題思路】構(gòu)造gx=fxx【解答過程】設(shè)gxy=x為0,+∞上為增函數(shù)，y=4根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性得gx=f若0<x則fx故選：C．【題型4利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式】【例4】（2425高一上·山西·期中）已知定義域為0,+∞的增函數(shù)fx滿足fx+y=fx+fy，且A．?3,?2∪2,+∞C．?3,?2 D．?3,?2【答案】A【解題思路】利用函數(shù)的單調(diào)性，再求解不等式.【解答過程】因為fx+y=fx令x=y=12，得又因為fx+3所以fx+3+f因為fx在0,+所以x+3>0x2?4>0x2即不等式的解集為?3,?2故選：A.【變式4.1】（2425高一上·江西鷹潭·期中）已知定義在0,+∞上的函數(shù)fx滿足對?x1,x2∈0,+A．2023,+∞ B．2024,+∞ C．2025,+∞【答案】C【解題思路】依題意根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義可得gx=fx?2x在【解答過程】由fx2?f令gx=fx?2x，則gx由f1=2024，得由fx?2024>2x?1013即gx?2024>g1，則x?2024>1所以原不等式的解集為2025,+∞故選：C.【變式4.2】（2425高一上·廣東廣州·期中）已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間(0,+∞)上的增函數(shù)，滿足(1)求f(1)和f(9)的值(2)解關(guān)于x的不等式f(3x+6)+f(x)<2．【答案】(1)f1=0(2)0,1【解題思路】（1）利用賦值法直接求解即可；（2）轉(zhuǎn)化不等式，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性直接求解.【解答過程】（1）由題知，f(x)是定義在區(qū)間(0,+∞且f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1，令x=y=1，則f1=f1令x=y=3，則f9即f1=0，（2）因為f(x)是定義在區(qū)間(0,+∞且f(9)=2，f(xy)=f(x)+f(y)，所以f(3x+6)+f(x)<2，等價于f3所以0<3x2+6x<9即該不等式解集為0,1.【變式4.3】（2425高一上·重慶·期末）已知函數(shù)fx滿足對一切實數(shù)x1,x2都有fx1(1)求f0，f(2)判斷并證明fx在R(3)解不等式fx【答案】(1)f0=1(2)fx在R(3)?2,1【解題思路】（1）令x1=x2=0，可得出f（2）判斷出函數(shù)fx為R上的減函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性的定義可證得函數(shù)fx為（3）分析可得出fx2+x?1=gx2+x+4，將所求不等式變形為gx2+x【解答過程】（1）因為函數(shù)fx滿足對一切實數(shù)x1、x2令x1=x2=0令x1=x（2）函數(shù)fx在R設(shè)x>0，則x+1>1，又f1所以fx+1=fx所以當(dāng)x>0時，fx任取x1、x2∈R且x1>則f=fx1?因此，函數(shù)fx在R（3）由（2）可知，函數(shù)fx在R令x1=1,x2=?1因為fx令t=fx由f得fx2+x2?可得?1<fx因為f2=?1，所以不等式?1<fx2+x因為函數(shù)fx在R上單調(diào)遞減，則?1<對于不等式x2+x>?1，即對于不等式x2+x<2，即x2因此，原不等式的解集為?2,1.模塊二模塊二函數(shù)的最值1．函數(shù)的最大（?。┲?1)函數(shù)的最大（?。┲担好Q定義幾何意義函數(shù)的最大值一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足：(1)?x∈1，都有f(x)≤M；(2)?x0∈1，使得f(x0)=M.那么，我們稱M是函數(shù)y=f(x)的最大值.函數(shù)的最大值對應(yīng)圖象最高點的縱坐標(biāo).函數(shù)的最小值一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)m滿足：(1)?x∈1，都有f(x)≥m；(2)?x0∈1，使得f(x0)=m.那么，我們稱m是函數(shù)y=f(x)的最小值.函數(shù)的最小值對應(yīng)圖象最低點的縱坐標(biāo).(2)利用函數(shù)單調(diào)性求最值的常用結(jié)論：①如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[b,c]上單調(diào)遞減，那么函數(shù)y=f(x),x∈[a,c]在x=b處有最大值f(b)，如圖(1)所示；②如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[b,c]上單調(diào)遞增，那么函數(shù)y=f(x),x∈[a,c]在x=b處有最小值f(b)，如圖(2)所示.2．求函數(shù)最值的三種基本方法：(1)單調(diào)性法：先確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求最值.(2)圖象法：先作出函數(shù)的圖象，再觀察其最高點、最低點，求出最值.(3)基本不等式法：先對解析式變形，使之具備“一正二定三相等”的條件后用基本不等式求出最值.【題型5求函數(shù)的最值或值域】【例5】（2425高一上·北京·期末）若x>0，則fx=2?x?4xA．最大值為6 B．最小值為?6 C．最大值為?2 D．最小值為2【答案】C【解題思路】利用函數(shù)的單調(diào)性求解.【解答過程】任取0<x則fx1?f因為0<x1<x2<2，所以所以fx1?f所以fx在0,2單調(diào)遞增；同理可證fx在所以fx故選：C.【變式5.1】（2425高一上·全國·課后作業(yè)）已知函數(shù)fx滿足fx+2=x+b，若fx在區(qū)間A．0 B．1 C．3 D．6【答案】A【解題思路】先求得fx，然后利用函數(shù)的單調(diào)性、最值來列方程，求得b【解答過程】令t=x+2，則x=t?2，則ft故fx=x?2+b．則fx則fxmax=f4=5則fx故選：A.【變式5.2】（2425高一上·安徽銅陵·階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=2x+1(1)用定義法判斷fx在區(qū)間?2,+(2)求出該函數(shù)在區(qū)間1,4上的最大值和最小值.【答案】(1)證明過程見解析；(2)最小值為1，最大值為32【解題思路】（1）利用定義法，設(shè)x1>x（2）由fx【解答過程】（1）?x1,則f(x1因x1>x則f(x1)?f則fx在區(qū)間?2,+（2）由（1）可知fx在區(qū)間1,4則fx的最小值為f1=1【變式5.3】（2425高一上·貴州貴陽·期中）已知函數(shù)f(x)=2x+bax+1，點A(1,?(1)求a,?(2)用定義判斷函數(shù)f(x)在1,3上的單調(diào)性，并求該函數(shù)的最大值和最小值.(3)若函數(shù)g(x)=f(x)+x,?x∈0,+【答案】(1)a=1,b=8(2)函數(shù)f(x)在1,3上單調(diào)遞減，f(x)min(3)2【解題思路】（1）根據(jù)題意將A,B兩點代入函數(shù)解析式列出方程組即可求解；（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義判斷即可，進而結(jié)合單調(diào)性求解最值；（3）由題意可得g(x)=x+1+6x+1+1【解答過程】（1）由題意，得f1=2+b（2）由（1）知，f(x)=2x+8任取x1,x則f(x因為1≤x1<x2則f(x1)?f(所以函數(shù)f(x)在1,3上單調(diào)遞減，則f(x)min=f(3)=（3）由（1）知，f(x)=2x+8則g(x)=f(x)+x=2x+8x+1+x=令t=x+1t≥1，則g(x)=h因為函數(shù)ht在1,6上單調(diào)遞減，在所以htmin=h6=2所以函數(shù)g(x)的值域為26【題型6根據(jù)函數(shù)的最值求參數(shù)】【例6】（2425高一上·全國·課后作業(yè)）若函數(shù)fx=x+ax+1在區(qū)間0,1內(nèi)的最大值為3，則a=A．3 B．4 C．5 D．3或5【答案】A【解題思路】先分離變量，再由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，分類研究即可.【解答過程】fx=x+ax+1=1+當(dāng)a?1>0，即a>1時，fx在0,1內(nèi)單調(diào)遞減，f當(dāng)a?1<0，即a<1時，fx在0,1內(nèi)單調(diào)遞增，f解得a=5，與a<1矛盾，舍去．綜上所述，a=3．故選：A.【變式6.1】（2425高一上·河南鄭州·期中）若函數(shù)y=ax2+1在1,2上的最大值與最小值的差為3，則實數(shù)aA．1 B．?1 C．1或?1 D．0【答案】C【解題思路】本題考查二次函數(shù)在給定區(qū)間最值問題，將x2系數(shù)a與0比較分類討論函數(shù)在區(qū)間1,2【解答過程】當(dāng)a=0時，y=1，為常值函數(shù)，顯然不合題意，舍去；當(dāng)a>0時，y=ax2+1所以它在區(qū)間1,2嚴(yán)格增，所以ymax?y當(dāng)a<0時，y=ax2+1所以它在區(qū)間1,2嚴(yán)格減，所以ymax?y故選：C.【變式6.2】（2425高一上·湖北孝感·開學(xué)考試）（1）求二次函數(shù)y=2x2?3x+5在?2≤x≤2（2）已知函數(shù)y=ax2+2ax+1在區(qū)間?3≤x≤2【答案】（1）x=?2,ymax=19;x=34【解題思路】（1）化成頂點式，得到對稱軸，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)即可得到最值；（2）先求出對稱軸x=?1，再分a=0,a>0和a<0討論即可.【解答過程】（1）把二次函數(shù)解析式配成頂點式,得：y=2x因為a=2>0，所以拋物線開口方向向上，對稱軸是x=3所以頂點的縱坐標(biāo)即為最小值是318而當(dāng)x=?2時，函數(shù)值最大，所以最大值是2×?2綜上當(dāng)x=34，ymin=31（2）y=a當(dāng)a=0時，y=1不符合最大值為4，不合題意；其對稱軸為x=?2a2a①當(dāng)a>0時，其圖象開口向上，此時x=2離對稱軸更遠(yuǎn)，當(dāng)x=2時有最大值，最大值為4a+4a+1=8a+1，8a+1=4，解得a=38②當(dāng)a<0，其圖象開口向下，則當(dāng)x=?1時函數(shù)有最大值，最大值為a?2a+1=?a+1，∴1?a=4，解得a=?3.綜上所述，a的值為38或?3【變式6.3】（2425高一上·內(nèi)蒙古·期中）已知函數(shù)fx(1)若fx+2≥0恒成立，求(2)若fx在?1,5上單調(diào)，求a(3)求fx在1,3上的最小值為?54【答案】(1)2(2)?(3)a=?4或5【解題思路】（1）由一元二次不等式恒成立，結(jié)合圖象推得Δ≤0（2）先求函數(shù)fx的單調(diào)區(qū)間，依題使?1,5（3）由函數(shù)fx【解答過程】（1）由題意得x2?ax+2≥0恒成立，則解得?22所以a的最大值為22（2）由題意得fx圖象的對稱軸為直線x=所以fx在(?∞,因為fx在?1,5上單調(diào)，所以a2≤?1解得a≤?2或a≥10，即a的取值范圍為?∞（3）當(dāng)a2≥3，即a≥6時，fx在1,3解得a=36當(dāng)a2≤1，即a≤2時，fx在1,3解得a=?4<2，符合題意；當(dāng)1<a2<3，即2<a<6時，fx在fxmin=fa2故a=?4或5.【題型7根據(jù)函數(shù)圖象判斷單調(diào)性、最值】【例7】（2526高一上·全國·課后作業(yè)）函數(shù)r=fp的圖象如圖所示，則該函數(shù)的定義域和單調(diào)遞增區(qū)間分別是（

）

A．定義域為?5,0,2,6B．定義域為?5,0∪2,6；單調(diào)遞增區(qū)間為?5,0C．定義域為?5,0,2,6D．定義域為?5,0∪2,6【答案】D【解題思路】根據(jù)函數(shù)定義域和單調(diào)區(qū)間的定義，即可由圖象判斷.【解答過程】由圖象可知定義域為?5,0∪2,6，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間有2個，即?5,0，故選：D.【變式7.1】（2025高三下·全國·專題練習(xí)）函數(shù)y=fx的圖象如圖所示，其單調(diào)遞增區(qū)間是（

A．?4,4 B．?4,?3∪1,4 C．?3,1 【答案】C【解題思路】直接根據(jù)題干圖象求出單調(diào)遞增區(qū)間即可.【解答過程】由題圖可知，函數(shù)y=fx的單調(diào)遞增區(qū)間為?3,1故選：C.【變式7.2】（2425高一上·河南·期中）已知函數(shù)fx的圖象由如圖所示的兩條曲線組成，則（

A．ff?3=5 C．fx的定義域是?∞,0∪2,3【答案】D【解題思路】根據(jù)函數(shù)的圖象，結(jié)合函數(shù)求值、函數(shù)單調(diào)性、定義域與值域，可得答案.【解答過程】對于選項A，由圖象可得f?3=2，所以對于選項B，f0=4，f2=1，對于選項C，由圖象可得fx的定義域為?3,0對于選項D，由圖象可得fx的值域為1,5故選：D．【變式7.3】（2425高一上·安徽馬鞍山·階段練習(xí)）如圖是函數(shù)y=fx,x∈?4,3A．fx在?4,?1和1,3B．fx在區(qū)間?1,3上的最大值為3，最小值為C．fx在?4,1上有最大值2，有最小值D．當(dāng)直線y=m與函數(shù)y=fx,x∈【答案】A【解題思路】根據(jù)函數(shù)圖象，結(jié)合函數(shù)的基本性質(zhì)，逐項判斷，即可得出結(jié)果.【解答過程】A選項，由函數(shù)f(x)圖象可得，在[?4,?1]上單調(diào)遞減，在[?1,1]上單調(diào)遞增，在[1,3]上單調(diào)遞減，故A正確；B選項，由圖象可得，函數(shù)f(x)在區(qū)間(?1,3)上的最大值為3，無最小值，故B錯；C選項，由圖象可得，函數(shù)f(x)在[?4,1]上有最大值3，有最小值?2，故C錯；D選項，由圖象可得，為使直線y=m與函數(shù)f(x)的圖象有交點，只需?2≤m≤3，故D錯.故選：A.【題型8復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性和最值】【例8】（2425高一上·上?！るA段練習(xí)）設(shè)函數(shù)f(x)=?x(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)求f(x)在區(qū)間1,5的最大值和最小值.【答案】(1)遞增區(qū)間是[?1,52](2)最大值和最小值分別為7【解題思路】（1）利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合二次函數(shù)單調(diào)性求出單調(diào)區(qū)間.（2）由（1）的結(jié)論，利用單調(diào)性求出最大值.【解答過程】（1）函數(shù)f(x)=?x2+5x+6中，?x函數(shù)u=?x2+5x+6=?(x?5而函數(shù)y=u在[0,+所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是[?1,52]（2）由（1）知，函數(shù)f(x)在[1,52]而f(1)=10,f(5)=6所以f(x)在區(qū)間1,5的最大值和最小值分別為72【變式8.1】（2425高一上·廣東佛山·階段練習(xí)）討論函數(shù)ft=5t【答案】ft在25,9【解題思路】利用單調(diào)性的定義推得fx【解答過程】因為t∈25,910對于y=gx=5x+8x，在25,910上任取x1則gx2=x因為25≤x所以x2?x1>0故gx2?g所以gx在2而x=t在2所以ft=5t所以fx在25,最小值為f9【變式8.2】（2425高一上·湖北黃石·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx（1）求函數(shù)fx（2）設(shè)Fx=m1?x2【答案】（1）單調(diào)增區(qū)間為?1,0，單調(diào)減區(qū)間為0,1；值域為2,2；（2）g【解題思路】（1）先求得函數(shù)fx的定義域是?1,1，然后轉(zhuǎn)化為fx2（2）將函數(shù)轉(zhuǎn)化為ht=12mt2+t?m，t∈2,2，再風(fēng)【解答過程】（1）要使函數(shù)fx有意義，需滿足1+x≥0解得?1≤x≤1所以函數(shù)fx的定義域是?1,1∵fx2=2+2所以fx的單調(diào)增區(qū)間為?1,0，單調(diào)減區(qū)間為又0≤1?∴2≤f∵f∴2≤f即函數(shù)fx的值域為2（2）令fx=t則1?x原函數(shù)轉(zhuǎn)化為：ht=m令htm≠0時函數(shù)ht的圖像的對稱軸方程為t=?①當(dāng)m>0時，?1m<0，函數(shù)h∴gm②當(dāng)m=0時，ht=t③當(dāng)m<0時，?1若0<?1m≤2，即m≤?2∴gm若2<?1m≤2，即若?1m>2，即?12∴gm綜上，gm【變式8.3】（2425高一上·浙江杭州·期中）已知函數(shù)f(1)當(dāng)a=1時，求fx(2)設(shè)fx在區(qū)間0,2上最大值為ga，求【答案】(1)?1,0，0,+(2)g【解題思路】（1）當(dāng)a=1時，將函數(shù)fx寫為分段函數(shù)的形式，結(jié)合y=x?（2）對a分成a≥2,a≤0,0<a<2三種情況，結(jié)合函數(shù)fx的解析式，討論函數(shù)的最大值，由此求得g【解答過程】（1）當(dāng)a=1時，fx當(dāng)x>1時，易得fx當(dāng)x≤1時，fx因為對勾函數(shù)y=x+1x在?∞所以fx在?1,0又當(dāng)x=1時，1?11?1=1?1+1綜上，fx的單調(diào)遞增區(qū)間為?1,0，0,+（2）因為x∈0,2當(dāng)a≥2時，x≤a，則fx根據(jù)對勾函數(shù)的單調(diào)性可知fx在0,1上單調(diào)遞增，在1,2所以ga當(dāng)a≤0時，x≥a，則fx=x?1x?a所以ga當(dāng)0<a<2時，fx當(dāng)a<x≤2時，fx=x?1當(dāng)0<x≤a時，fx若a≤1時，則fxmax=fa；若所以當(dāng)a≤1時，ga若1<a<2時，ga=maxf1當(dāng)a?2≥32?a，即7當(dāng)a?2<32?a，即1<a<綜上，ga一、單選題1．（2526高一上·黑龍江牡丹江·階段練習(xí)）函數(shù)f(x)=?x2+2x+3A．?∞,1 B．1,+∞ C．?【答案】B【解題思路】利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出遞減區(qū)間.【解答過程】由二次函數(shù)f(x)=?x2+2x+3可知該函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是1,+∞故選：B．2．（2526高一上·山東德州·開學(xué)考試）若函數(shù)fx的圖象如圖所示，則其單調(diào)遞增區(qū)間是（

A．?4,?1∪1,4 C．?2,2 D．?4,?1【答案】D【解題思路】利用函數(shù)圖象，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義，即可求解.【解答過程】由函數(shù)fx的圖象可知，fx單調(diào)遞增區(qū)間是又由圖知f?3=0>f1故選：D.3．（2526高一上·浙江溫州·階段練習(xí)）函數(shù)y=x1+x在區(qū)間[2,4]上的最大值?最小值分別為（A．最大值為54，最小值為23 B．最大值為4C．最大值為1，最小值為13 D．最大值為45【答案】B【解題思路】將函數(shù)解析式變形為y=1?11+x，可得其在【解答過程】因為y=x由反比例函數(shù)性質(zhì)可得y=x1+x在當(dāng)x=2時，ymin=23，當(dāng)故選：B.4．（2526高一上·河南南陽·階段練習(xí)）已知fx=a?1x+1，x<13?2aA．1，32 B．1，+∞【答案】C【解題思路】根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，即可由分段函數(shù)的單調(diào)性求解.【解答過程】由于fx=a?1所以a?1>03?2a>0a?1×1+1≤故選：C.5．（2526高一上·全國·課前預(yù)習(xí)）已知函數(shù)fx=3?x+x+3的最大值為M，最小值為mA．2 B．3 C．2 D．3【答案】A【解題思路】求解函數(shù)fx的定義域，并對f【解答過程】由題意得函數(shù)的定義域滿足3?x≥0，且x+3≥0，解得?3≤x≤3，則函數(shù)fx的定義域為?3,3由fx=3?x則fx2=6+29?x2x∈易知函數(shù)y=9?x2x∈?3,3在區(qū)間所以函數(shù)fx2在區(qū)間?3,0內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間則函數(shù)fx2在x=0處取得最大值f2又f?3所以函數(shù)fx2的最小值為6，即所以Mm故選：A.6．（2425高一上·湖北·期末）若函數(shù)fx=ax2+2x?1在A．?1,+∞ B．?1,+∞ C．0,+∞【答案】C【解題思路】令t=ax2+2x?1，則fx=t，t≥0，利用fx=fgx單調(diào)遞增則【解答過程】令t=ax2+2x?1，則f已知fx在1,+∞上單調(diào)遞增，則t=ax2+2x?1若a=0，則t=2x?1，此時fx=2x?1且t=2x?1≥f1若a≠0，則t=ax即a>0,a+2?1≥0綜上，a≥0.故選：C.7．（2425高一上·江蘇宿遷·期中）已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(?x)=f(x)，且f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減，則f(?3)，f(5A．f(52)<f(?3)<f(C．f(72)<f(?3)<f(【答案】C【解題思路】根據(jù)給定條件可得f(?3)=f(3)，再利用單調(diào)性比較大小即得.【解答過程】依題意，f(?3)=f(3)，由f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減，52所以f(7故選：C.8．（2526高一上·廣東東莞·階段練習(xí)）已知f(x)是定義在0,+∞上的減函數(shù)，若f(2a2+a+1)<f(3aA．0,5 B．1,5 C．13,5 【答案】D【解題思路】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及定義域得到不等式組，解得即可.【解答過程】因為f(x)是定義在0,+∞則不等式f(2a2+a+1)<f(3解得0<a<13或所以a的取值范圍為0,1故選：D.二、多選題9．（2425高一上·黑龍江雞西·期中）下列關(guān)于函數(shù)fx的結(jié)論正確的是（

A．fx=x?1x在B．fx=x+2x?1在C．fx=xD．fx=x【答案】ABC【解題思路】直接由函數(shù)的解析式判斷其單調(diào)性，從而得解.【解答過程】對于A，函數(shù)fx=x?1由函數(shù)y=x和y=?1x在?∞所以fx=x?1x在對于B，函數(shù)fx其圖象可由反比例函數(shù)y=3由于反比例函數(shù)y=3x在?∞所以fx=x+2x?1在對于C，當(dāng)x>0時，函數(shù)fx所以fx=x對于D，函數(shù)fx=x2?3x故選：ABC.10．（2425高一上·浙江溫州·期中）下列為真命題的是（

）A．函數(shù)y=x+1xB．函數(shù)y=x+1C．函數(shù)y=3x?4xD．函數(shù)y=x【答案】BC【解題思路】對于A：舉反例說明即可；對于B：利用基本不等式運算求解即可；對于C：根據(jù)函數(shù)單調(diào)性分析判斷；對于D：換元令t=x【解答過程】對于選項A：令x=?1，則y=?2，可知函數(shù)y=x+1對于選項B：因為x>1，則x?1>0，可得y=x+1當(dāng)且僅當(dāng)x?1=1x?1，即所以函數(shù)y=x+1對于選項C：因為y=3x,y=?4x在可知函數(shù)y=3x?4x在?∞,?1內(nèi)單調(diào)遞增，且當(dāng)所以函數(shù)y=3x?4對于選項D：令t=x2+2可知y=t+1t在2,+∞內(nèi)單調(diào)遞增，且當(dāng)所以函數(shù)y=x2+3故選：BC.11．（2526高三上·重慶渝北·階段練習(xí)）已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足對任意的x，y，均有f(x+y)=f(x)+f(y)?1，且當(dāng)x>0時，f(x)>1，則下列結(jié)論正確的是（

）A．f(0)=1 B．若f(4)=5，則f(1)=2C．f(x)是R上的減函數(shù) D．若f(4)=9，則不等式fx2【答案】ABD【解題思路】通過對x,y合理賦值求解.【解答過程】對于A：令x=y=0，則f0=f0對于B：令x=y=2，則f4=f2再令x=y=1，則f2=f1對于C：?x1,x2∈R則fx2=f因為x2?x1>0，所以f所以fx在R對于D：令x=y=2，則f4=f2所以f3x因為fx在R上是增函數(shù)，且f所以x2?2<3x+2，即x2即不等式fx2?2故選：ABD.三、填空題12．（2526高一上·全國·課前預(yù)習(xí)）若函數(shù)fx=4x?a+3在區(qū)間1,+∞上不單調(diào)，則a【答案】1,+【解題思路】將函數(shù)fx【解答過程】因為函數(shù)fx所以該函數(shù)在?∞,a上單調(diào)遞減，在又fx在區(qū)間1,+∞上不單調(diào)，所以故a的取值范圍是1,+∞故答案為：1,+∞13．（2526高一上·陜西咸陽·階段練習(xí)）函數(shù)y=3x+2在區(qū)間0,5上的最大值與最小值的和為【答案】27【解題思路】由函數(shù)單調(diào)性確定最大值和最小值，即可求解.【解答過程】由函數(shù)解析式可知fx=3所以最大值為f0=3所以最大值與最小值的和為32故答案為：271414．（2526高一上·天津西青·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx的定義域為0,+∞，且在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，則使得不等式f2x<fx+1成立的x【答案】x【解題思路】根據(jù)函數(shù)的定義域及函數(shù)的單調(diào)性化簡不等式，解不等式可得結(jié)論.【解答過程】因為函數(shù)fx在0,+∞單調(diào)遞增，所以2x>0x+1>02x<x+1，解得所以使得不等式f2x<fx+1成立的x故答案為：x0<x<1四、解答題15．（2526高一上·重慶·階段練習(xí)）函數(shù)fx=ax+b1+x2滿足對于(1)求fx(2)證明fx在?1,1【答案】(1)f(x)=(2)證明見解析【解題思路】（1）由條件列出關(guān)于a,b的方程，解出a,b即可得到函數(shù)的解析式；（2）利用單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性.【解答過程】（1）∵函數(shù)fx=ax+b1+x∴?ax+b1+?x2=?ax+b∴fx=ax∴f12=∴f(x)=x（2）f(x)=x1+x∴f(=(∵?1<x∴x1∴f(x1)?f(∴fx在?1,116．（2425高一上·廣東汕頭·期中）已知函數(shù)fx(1)函數(shù)單調(diào)性的定義證明：函數(shù)fx在?1,+(2)求函數(shù)fx在區(qū)間1,4【答案】(1)證明見解析(2)最大值為1，最小值為?1【解題思路】（1）任取x1,x2∈（2）由（1）知fx在區(qū)間1,4【解答過程】（1）證明：任取x1,x則fx1因為x1,x2∈?1,+∞，x所以fx1?f所以fx在?1,+（2）由（