專題03全等三角形（期中復(fù)習(xí)講義）核心考點復(fù)習(xí)目標(biāo)考情規(guī)律命題與定義掌握定義與命題的概念，并解決相關(guān)概念題型且能判斷正誤基礎(chǔ)概念題型，常出現(xiàn)在選擇題全等三角形的概念與性質(zhì)掌握全等三角形定義、對應(yīng)元素，并能找對應(yīng)關(guān)系，用性質(zhì)求邊、角的值中考?？碱}型，一般在小題全等三角形的判定熟記SSS/SAS/ASA/AAS/HL，能按已知條件選擇定理高頻易錯點，容易忽略全等的條件等腰三角形的概念與性質(zhì)掌握等腰三角形的定義（有兩邊相等的三角形）、邊角性質(zhì)（等邊對等角）及“三線合一”性質(zhì)，能運用性質(zhì)解決邊、角計算和證明問題中考重點題型，性質(zhì)應(yīng)用常出現(xiàn)在選擇、填空及解答題基礎(chǔ)部分，高頻且難度中等偏基礎(chǔ)等腰三角形的判定熟記等腰三角形的判定定理（等角對等邊），能根據(jù)已知角或邊的關(guān)系判定三角形為等腰三角形，解決相關(guān)證明和計算中考?？碱}型，多與全等、平行線等定理結(jié)合，是易錯點，需注意判定條件的準(zhǔn)確應(yīng)用等邊三角形的性質(zhì)掌握等邊三角形定義（三邊相等）、邊角性質(zhì)（三角均為60°、三邊相等），能運用性質(zhì)解決角度計算、線段證明及幾何綜合問題多在幾何綜合題中結(jié)合旋轉(zhuǎn)、全等考查，難度中等，是幾何變換類題的高頻考點互逆命題掌握互逆命題的定義，能判斷兩個命題是否為互逆命題；會寫出一個命題的逆命題，并能判斷逆命題的真假基礎(chǔ)概念題型，常出現(xiàn)在選擇題、填空題，考查對概念的理解及逆命題的書寫與真假判斷互逆定理掌握互逆定理的定義，能判斷兩個定理是否為互逆定理；明確互逆定理的成立條件（逆命題為真命題），并結(jié)合具體定理（如勾股定理與其逆定理）理解應(yīng)用常結(jié)合具體定理（如勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)與判定等）考查，多為概念理解題，難度基礎(chǔ)，易忽略“逆命題需為真”的關(guān)鍵條件垂直平分線的性質(zhì)掌握垂直平分線定義及“線段垂直平分線上的點到線段兩端距離相等”的性質(zhì)，能運用性質(zhì)解決線段相等、點的位置判定及輔助線構(gòu)造問題基礎(chǔ)高頻考點，常出現(xiàn)在選擇、填空題，也用于幾何證明的輔助線設(shè)計，屬于幾何基礎(chǔ)工具類考點角平分線的性質(zhì)掌握角平分線定義及“角平分線上的點到角兩邊的距離相等”的性質(zhì)，能運用性質(zhì)解決距離相等證明、角度計算及全等結(jié)合類問題基礎(chǔ)高頻易錯點，多在選擇、填空及證明題中出現(xiàn)，易忽略“距離是垂線段”的條件，需精準(zhǔn)應(yīng)用知識點01命題、定理與證明◎命題表示判斷的語句叫做命題。命題的兩層含義:(1)命題必須是一個完整的句子，通常是一個陳述句，包括肯定句和否定句;(2)命題必須是對某件事情作出肯定或否定的判斷。◎命題的組成...由條件和結(jié)論兩部分組成。條件是已知事項;結(jié)論是由已知事項推出的事項這樣的命題通?？蓪懗伞叭绻?.那么...”的形式?！蛎}的分類命題分為真命題和假命題兩類:★真命題:有些命題，如果條件成立，那么結(jié)論一定成立，像這樣的命題，稱為真命題?！锛倜}:有些命題，條件成立時，不能保證結(jié)論總是正確，也就是說結(jié)論不成立或不一定成立，像這樣的命題，稱為假命題?！蚨ɡ怼锘臼聦?人們在長期實踐中總結(jié)出來的，并作為判斷其他命題真假依據(jù)的真命題。數(shù)學(xué)中，有些命題可以從基本事實或其他真命題出發(fā)，用邏輯推理的方法判斷它們是正確的，并且可以作為進一步判斷其他命題真假的依據(jù)，這樣的真命題叫做定理。五、證明及證明的一般步驟★證明:根據(jù)條件、定義以及基本事實、定理等，經(jīng)過演繹推理，來判斷一個命題是否正確，這樣的推理過程叫做證明知識點02判定全等三角形（邊邊邊）◎判定全等三角形（邊邊邊）三邊分別相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）。◎判定全等三角形（邊角邊）兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“邊角邊”或“SAS”）。◎判定全等三角形（角邊角）兩角和它們的夾邊分別相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角邊角”或“ASA”）。◎判定全等三角形（角角邊）兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等（可以簡寫成"角角邊"或"AAS"）。◎判定全等三角形（直角邊、斜邊）斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等（簡寫成"斜邊、直角邊"或"HL"）。注意：用“HL”證明兩個直角三角形全等，書寫時兩個三角形符號前面要加上“Rt”。知識點03全等三角形的性質(zhì)對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等，對應(yīng)邊上的中線相等，對應(yīng)邊上的高相等，對應(yīng)角的角平分線相等，面積相等．知識點04角平分線◎角的平分線的性質(zhì)（一）作已知角的平分線（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分線）1、以點O為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交OA于點M，交OB于點N。2、分別以M,N為圓心，大于123、畫射線OC，射線OC即為所求。（二）角的平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等。幾何表示：∵OC是∠AOB的平分線，P是OC上一點，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E。∴PD=PE?！蚪堑钠椒志€的判定角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上。幾何表示：∵點P是∠AOB內(nèi)的一點，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E，且PD=PE，∴點P在∠AOB的平分線OC上。知識點05線段垂直平分線◎定義經(jīng)過線段中點并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線，也叫線段的中垂線?！蚓€段垂直平分線的作圖1.分別以點A、B為圓心，以大于AB的長為半徑作弧，兩弧相交于C、D兩點；2.作直線CD，CD為所求直線◎線段垂直平分線性質(zhì)線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等知識點06等腰三角形的概念與性質(zhì)◎等腰三角形概念有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形，相等的邊叫做腰，另一邊叫做底，兩條腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角．◎等腰三角形的性質(zhì)如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC為腰，BC為底邊,∠A是頂角，∠B、∠C是底角．性質(zhì)1：等腰三角形的兩個底角相等，簡稱“在同一個三角形中，等邊對等角”．性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上中線和高線互相重合.簡稱“等腰三角形三線合一”．◎等腰三角形的判定如果一個三角形有兩個角相等，那么這個三角形是等腰三角形.可以簡單的說成：在一個三角形中，等角對等邊.知識點07等邊三角形的概念與性質(zhì)◎等邊三角形概念三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形.也稱為正三角形.注意：等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）.（2）等邊三角形與等腰三角形的關(guān)系：等邊三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等邊三角形.◎等邊三角形的性質(zhì)（1）等邊三角形是一類特殊的等腰三角形，有三條對稱軸，每個角的平分線(底邊上的高線或中線)所在的直線就是它的對稱軸.（2）三個角都是60°◎等邊三角形的判定（1）三個角相等的三角形是等邊三角形.（2）有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.知識點08互逆命題與互逆定理◎互逆命題在兩個命題中，如果第一個命題的條件是第二個命題的結(jié)論，而第一個命題的結(jié)論是第二個命題的條件，那么這兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個命題叫做原命題，那么另一個命題就叫做它的逆命題。任何一個命題都有逆命題。◎互逆定理如果一個定理的逆命題也是定理，那么這兩個定理叫做互逆定理，其中一個定理叫做另一個定理的逆定理。知識點09尺規(guī)作圖◎作一條線段等于已知線段已知線段a求作線段0A，使OA等于a作法1）任作一條射線OP；2）以點0為圓心，a的長為半徑畫弧，交0P于點A，則線段OA即為所求依據(jù)圓上的點到圓心的距離等于半徑.◎作一個角等于已知角已知∠AOB求作∠A'O'B'，使∠A'O'B'=∠AOB作法1）作射線O'A'；2）以點0為圓心，任意長為半徑畫弧，交0A于點C，交OB于點D；3）以點0'為圓心，0C的長為半徑畫弧，交O'A'于點E；4）以點E為圓心，CD的長為半徑畫弧，交前弧于點F；5）經(jīng)過點F作射線O'B',ㄥA'0'B'即為所求.依據(jù)1）三邊分別相等的兩個三角形全等；2）全等三角形的對應(yīng)角相等；3）兩點確定一條直線.◎作已知角的角平分線已知∠AOB求作射線OP，使∠AOP=∠BOP作法1）以點0為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交0A于點M，交0B于點N；2）分別以點M、N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB的內(nèi)部相交于點P；3）作射線OP，射線OP即為所求.依據(jù)1）三邊分別相等的兩個三角形全等；2）全等三角形的對應(yīng)角相等；3）兩點確定一條直線.◎過一點作已知直線的垂線已知直線AB和AB上的一點M求作AB的垂線，使它經(jīng)過點M作法作平角ㄥACB的平分線MF.直線MF就是所求作的垂線.已知直線AB和AB外一點M求作AB的垂線，使它經(jīng)過點M作法1）任意取一點P，使點P和點M在AB的兩旁；2）以點M為圓心，MP的長為半徑作弧，交AB于點C和點D；3）分別以點C和點D為圓心，大于CD的長為半徑作弧，兩弧相交于點E；4）作直線EM，直線EM就是所求作的垂線.依據(jù)1）等腰三角形“三線合一”；2）兩點確定一條直線.◎作線段的垂直平分線已知線段AB求作線段AB的垂直平分線作法1）分別以點A和點B為圓心，大于AB的長為半徑作弧，兩弧相交于點M和點N；2）作直線MN，直線MN就是線段AB的垂直平分線.依據(jù)1）到線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上；2）兩點確定一條直線.尺規(guī)作圖的關(guān)鍵:1）先分析題目，讀懂題意，判斷題目要求作什么；2）讀懂題意后，再運用幾種基本作圖方法解決問題；3)切記作圖中一定要保留作圖痕跡；4）無刻度直尺作圖通常會與等腰三角形的判定，三角形中位線定理，矩形的性質(zhì)和勾股定理等幾何知識點結(jié)合，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵.題型一判斷命題與命題真假解｜題｜技｜巧★只需找到一個滿足條件，但不滿足結(jié)論的例子，即可證明命題為假．示例：“相等的角是對頂角”是假命題，反例為“兩直線平行時的同位角相等，但同位角不是對頂角”．【典例1】下列語句屬于命題的有（

）①兩點之間線段最短；②不許大聲喧嘩；③連接P，Q兩點；④花兒在春天開放；⑤不相交的兩條直線叫做平行線；⑥無論n取怎樣的自然數(shù)，式子2nA．2個 B．3個 C．4個 D．5個【變式1】下列命題中，是真命題的是（

）A．如果兩個角是同旁內(nèi)角，那么這兩個角一定互補B．兩個互補的角一定是鄰補角C．從直線外一點到這條直線的垂線段，叫做這點到這條直線的距離D．在平面內(nèi)過一點有且只有一條直線與已知直線垂直【變式2】判斷下列句子是不是命題①對頂角相等；()②畫一個角等于已知角；()③兩直線平行，同位角相等；()④a，b兩條直線平行嗎？()題型二補全證明過程解｜題｜技｜巧★從已知條件出發(fā)，逐步推導(dǎo)中間結(jié)論（如先證三角形全等，再得對應(yīng)邊/角相等），直到接近最終求證結(jié)論。每一步需標(biāo)注依據(jù)（如“∵已知/SSS判定定理，∴…”）．★若正向推導(dǎo)受阻，可從求證結(jié)論出發(fā)，逆向思考：“要證明這個結(jié)論，需要先證明什么條件？”再看該條件是否可由已知或中間結(jié)論推導(dǎo)得出．【典例1】如圖，E是AB，CD外一點，∠D=∠B+∠E．求證：AB∥證明：∵∠D=∠B+∠E∠BFD=∠B+∠E，∴∠D=∠BFD（等量代換）．∴AB∥CD【變式1】補全下列推理過程：如圖，EF⊥BC，AD⊥BC，∠1=∠2，試說明DG∥BA．解：∵EF⊥BC，AD⊥BC，（已知），∴∠BFE=∠BDA=90°（垂直的定義），∴EF∥AD（____________）．∴∠2=∠3（____________）．∵∠1=∠2（已知），∴____________（等量代換）．∴DG∥AB（____________）．【變式2】推理填空：如圖，已知∠B＝∠CGF，∠BGC＝∠F．求證：∠B＋∠F＝180°，∠F＋∠BGD＝180°．證明：∵∠B＝∠CGF（已知），∴AB∥CD（）．∵∠BGC＝∠F（已知），∴CD∥EF（）．∴AB∥EF（）．∴∠B＋∠F＝180°（）．又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（），∠BGC＝∠F（已知），∴∠F＋∠BGD＝180°（）．題型三全等三角形的概念解｜題｜技｜巧★緊扣全等三角形“完全重合”的本質(zhì)，明確對應(yīng)邊與對應(yīng)角的關(guān)系，以此判斷三角形是否全等或推導(dǎo)邊、角的等量關(guān)系.【典例1】下列說法正確的是（

）A．形狀相同的兩個三角形全等 B．面積相等的兩個三角形全等C．完全重合的兩個三角形全等 D．所有的等邊三角形全等【變式1】如圖，若沿直線AC對折，△ABC與△ADC重合，則△ABC≌，AB的對應(yīng)邊是，AC的對應(yīng)邊是，∠B的對應(yīng)角是，∠BCA的對應(yīng)角是．【變式2】如圖，△ABE與△CDE全等，可以確定∠1與是對應(yīng)角，若AE與CE是對應(yīng)邊，則AB與是對應(yīng)邊．題型四全等三角形的性質(zhì)解｜題｜技｜巧★解題時先精準(zhǔn)定位全等三角形的對應(yīng)邊與對應(yīng)角，再利用“全等三角形對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等”的性質(zhì)，推導(dǎo)所求邊或角的等量關(guān)系．【典例1】如圖，△ABC≌△ADE，且D，C，E三點共線，若∠BAD=30°，則∠E=（

）．A．75° B．70° C．65° D．60°【變式1】如圖，△AOB≌△COD，A和C，B和D是對應(yīng)頂點，若BO=8，AO=6，AB=5，則CD的長為（A．10 B．8 C．5 D．不能確定【變式2】已知圖中的兩個三角形全等，則∠α的度數(shù)是（）A．72° B．60° C．58° D．50°題型五全等三角形的判定解｜題｜技｜巧★先分析已知的邊、角條件，找準(zhǔn)三角形間的對應(yīng)關(guān)系，再匹配SSS、SAS、ASA、AAS（直角三角形加HL）判定定理，證明三角形全等．【典例1】如圖，可直接用“HL”判定Rt△ABC和Rt△DEF全等的條件是（A．AC=DF,BC=EF B．∠A=∠D,AB=DEC．AC=DF,AB=DE D．∠B=∠E,BC=EF【變式1】如圖，已知AB=AC，AD=AE，∠1=∠2．求證：△ABD≌△ACE．【變式2】如圖，∠A=∠B,AE=BE，點D在AC邊上，∠1=∠2，AE和BD相交于點O．求證：△AEC≌△BED．

【變式3】如圖，點B、E、C、F在同一條直線上，AB=DE，AC=DF，BE=CF，求證：AB∥題型六等腰三角形的性質(zhì)解｜題｜技｜巧★先識別等腰三角形的相等邊（腰）或相等角（底角），再運用“等邊對等角”或“三線合一”性質(zhì)，推導(dǎo)所求邊、角的等量關(guān)系或垂直、平分關(guān)系.【典例1】如圖，在△ABC中，∠BAC=138°，將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△AB′C′．若點B′恰好落在BC邊上，且AA．16° B．15° C．14° D．13°【變式1】已知等腰三角形的一邊長為6cm，另一邊長為7cm，則它的周長為【變式2】如圖，在△ABC中，AB=BC，BE，CF分別是AC，AB邊上的高，在BE上取一點D，使BD=CA，在射線CF上取一點G，使CG=BA，連接AD，AG，若∠DAE=38°，∠EBC=20°，則∠GAB=°．【變式3】如圖，等邊三角形ABC的邊長為3，點D在邊BC上，且BD=1，AD與BE相交于點P，若∠APE=60°，則CE的長為．題型七等腰三角形的判定解｜題｜技｜巧★先通過已知條件（如平行線、對頂角、全等結(jié)論等）找到同一三角形中的相等角，再依據(jù)“等角對等邊”定理判定該三角形為等腰三角形.【典例1】如圖，△ABC的面積為10cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP，則△PBC的面積為（

A．3 B．4 C．5 D．6【變式1】如圖，∠ABC的平分線BF與△ABC中∠ACB的相鄰?fù)饨恰螦CG的平分線CF相交于點F，過F作DF∥BC，交AB于D，交AC于E，若BD=7cm，DE=3cm，求CE的長為【變式2】已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．求證：2CB=AB【變式3】如圖所示，已知△ABC為等邊三角形，點D為BC延長線上的一點，CE平分∠ACD，(1)∠AEC=∠ADB；(2)△ADE是等邊三角形．題型八互逆命題解｜題｜技｜巧★先拆分原命題的“條件”與“結(jié)論”并互換得到逆命題，再通過邏輯推理或舉反例判斷逆命題的真假.【典例1】下列命題的逆命題是真命題的是（

）A．若a>0,b>0，則a+b>0 B．直角都相等C．同位角相等，兩直線平行 D．三角形的外角和為360°【變式1】請寫出命題“若a>b，則a+1>b+1”的逆命題：．【變式2】下列命題：①若|a|>|b|，則a>b；②直角三角形的兩個銳角互余；③如果a=0，那么ab=0；④互為相反數(shù)的兩個數(shù)的和為0．其中原命題和逆命題均為真命題的是．（請?zhí)顚懶蛱枺╊}型九互逆定理解｜題｜技｜巧★先拆分原定理的條件與結(jié)論并互換得到逆命題，再驗證逆命題是否為真（真則為互逆定理，假則不是），且常結(jié)合具體定理（如勾股定理與其逆定理）輔助判斷.【典例1】下列定理：①有兩邊相等的三角形是等腰三角形；②全等三角形的對應(yīng)邊相等；③同位角相等，兩直線平行．其中有逆定理的有（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【變式1】下列定理中沒有逆定理的是（

）A．三邊分別相等的兩個三角形全等B．直角三角形的兩個銳角互余C．斜邊和一條直角邊分別對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等D．全等三角形的對應(yīng)角相等【變式2】下列說法對嗎？請說明理由．(1)每個定理都有逆定理．(2)每個命題都有逆命題．(3)假命題沒有逆命題．(4)真命題的逆命題是真命題．題型十線段垂直平分線的性質(zhì)解｜題｜技｜巧★先找或構(gòu)造線段垂直平分線上的點，再利用“線段垂直平分線上的點到線段兩端距離相等”的性質(zhì)，推導(dǎo)線段等量關(guān)系以解決證明或計算問題．【典例1】到三角形三個頂點的距離相等的點是（

）．A．三角形兩邊垂直平分線交點 B．三角形兩個內(nèi)角平分線交點C．三角形兩條中線交點 D．三角形兩條高線所在直線的交點【答案】A【分析】本題考查中垂線的性質(zhì)，根據(jù)中垂線上的點到線段兩端點的距離相等，進行判斷即可．【詳解】到三角形三個頂點的距離相等的點是三角形三邊垂直平分線的交點．故選：A．【變式1】如圖，△ABC中，AB<AC<BC，使PA+PB=BC，那么符合要求的作圖痕跡是（

） B． C． D．【變式2】如圖，在△ABC中，AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，點O是AC，BC的垂直平分線的交點，連接AO，BO．若∠AOB=α，則∠AIB的大小為（用含α的代數(shù)式表示）．題型十一線段垂直平分線的判定解｜題｜技｜巧★先找到到某線段兩端距離相等的兩個點，再依據(jù)“到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上”，判定這兩點的連線就是該線段的垂直平分線．【典例1】如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，BC=DC，則下列說法正確的是（

）A．AC垂直平分BD B．BD垂直平分ACC．AC與BD互相垂直平分 D．以上說法均不正確【變式1】如圖，在△ABC中，∠B=∠C，點P，Q，R分別在邊AB，BC，AC上，且PB=QC，QB=RC．求證：點Q在PR的垂直平分線上．【變式2】課本再現(xiàn)：前面已經(jīng)證明了：“線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等”；反過來，其逆命題：“到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上”成立嗎？事實上，可以證明這個“線段垂直平分線”判定定理．現(xiàn)已經(jīng)寫出了已知，求證，請你完成這一定理的證明過程：已知：如圖，線段AB，PA=PB，求證：點P在線段AB的垂直平分線上．證明：題型十二角平分線的性質(zhì)與判定解｜題｜技｜巧★利用角平分線性質(zhì)時，先找角平分線上的點并作角兩邊的垂線段，借“垂線段相等”推等量關(guān)系；用判定時，先證某點到角兩邊的垂線段相等，再依此判定該點在角平分線上（核心是緊扣“垂線段”這一關(guān)鍵條件）．【典例1】如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC．若BC=5，BD=3，則點D到AB的距離為．【變式1】如圖，AD是△ABC的角平分線，DF⊥AB于點F，且DE=DG，S△ADG=24，S△AED=18，則【變式2】如圖，在正方形網(wǎng)格中，已知△ABC的三個頂點都在格點上．(1)畫出△ABC關(guān)于直線DE的軸對稱圖形△A(2)在直線DE上找一點P，使點P到邊AB，題型十三角平分線的實際應(yīng)用解｜題｜技｜巧★先將實際問題中“到角兩邊距離相等”的需求轉(zhuǎn)化為幾何條件，再借助角平分線的性質(zhì)或判定，確定符合要求的點的位置（如選址、路徑規(guī)劃等），核心是緊扣“垂線段距離相等”這一關(guān)鍵關(guān)聯(lián)．【典例1】如圖，直線l1，l2，l3表示三條公路．現(xiàn)要建造一個中轉(zhuǎn)站P，使P到三條公路的距離都相等，則中轉(zhuǎn)站PA．一處 B．二處 C．三處 D．四處【變式1】如圖是某校的局部平面圖，學(xué)校有三條小路MN,PQ和AB，已知MN∥PQ,AB與MN,PQ相交．學(xué)校計劃修建一個亭子，使其到小路MN,PQ,AB的距離均相等，則亭子可以選擇的修建位置有（

）A．4處 B．3處 C．2處 D．1處【變式2】探索新知：如圖①，AD是△ABC的角平分線，ABAC與BDDC之間有怎樣的關(guān)系呢？過點D作DE⊥AB,DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，過點A作AH⊥BC，垂足為∵AD平分∠ABC,DE⊥AB,DF⊥AC∴DE=DF∵S△ABD∴S△ABDS新知應(yīng)用：(1)如圖②，AD是△ABC的角平分線，若AB=5，AC=3，則(2)如圖②，AD是△ABC的角平分線，若S△ABDS△ADC(3)如圖③，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，若AB:BC:AC=5:6:4，S△ABC=m，則S四邊形題型十四全等三角形之倍長中線解｜題｜技｜巧★遇中線時延長中線至兩倍（使延長段等于原中線），利用SAS構(gòu)造全等三角形，將分散的邊或角集中，轉(zhuǎn)化為可直接利用的等量關(guān)系．【典例1】如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，AC=3，AD=5，則AB的取值范圍是．【變式1】我們規(guī)定：兩組邊相等及其夾角互補的兩個三角形叫兄弟三角形，如圖，在△OAC和△OBD中，OA=OB，OC=OD，∠AOC=60°，∠BOD=120°．(1)△OAC和△OBD兄弟三角形；（填“是”或“不是”）(2)取BD的中點P，連接OP，求證：AC=2OP，小林同學(xué)根據(jù)求證的結(jié)論，想起了老師上課講的“中線倍延”的輔助線構(gòu)造方法，解決了這個問題，試幫小林同學(xué)完成證明過程．【變式2】在通過構(gòu)造全等三角形解決問題的過程中，有一種方法叫作倍長中線法，【舉例】如圖1，在△ABC中，AB>AC，AD是中線，延長AD至點E，使DE=DA，可得△ADC≌△EDB．請你說明理由．【應(yīng)用】如圖2，AB=AE，AB⊥AE，AD=AC，AD⊥AC，M為BC中點，求證：DE=2AM．題型十五全等三角形之一線三垂直解｜題｜技｜巧★先識別“一線三垂直”模型（一條直線上有三個垂直關(guān)系，形成兩個直角三角形），再利用直角相等、余角（或?qū)斀牵┫嗟燃耙阎呄嗟?，用AAS或ASA證明直角三角形全等，實現(xiàn)分散邊、角的集中轉(zhuǎn)化．【典例1】如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，D是線段BC上一點，連接AD，過點A作AE⊥AD，且AE=AD，連接EC交AB于點F，若BD=3.3，BF=2.5，則AB的長度為（

）A．8.3 B．8.5 C．8.7 D．9.1【變式1】(1)如圖①，點A是線段DE上一點，∠BAC=90°，AB=AC，BD⊥DE，CE⊥DE，求證：DE=BD+CE；如圖②，若點A在直線DE上，（1）中其他條件不變，BD,CE,DE有什么數(shù)量關(guān)系？并證明．【變式2】已知：如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到△DEC，連接AD,BE，延長BE交AD于點F．求證：F為AD的中點．題型十六全等三角形之動點問題解｜題｜技｜巧★先分析動點的運動軌跡、速度等要素，確定不同時刻的圖形狀態(tài)，再抓住公共邊、已知等角/等邊等不變量，結(jié)合全等判定定理列出等量關(guān)系，求解動點位置或運動時間．【典例1】如圖，AB=12m，CA⊥AB于點A，DB⊥AB于點B，且AC=4m，點P從B向A運動，每分鐘走1m，點Q從B向D運動，每分鐘走2m，P、Q兩點同時出發(fā)，運動（

）分鐘后，△CAPA．2 B．3 C．4 D．8【變式1】如圖．在長方形ABCD中，AB=6，AD=8．延長BC到點E，使CE=4，連接DE，動點P從點B出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿BC→CD→DA向終點A運動．設(shè)點P的運動時間為t，當(dāng)t的值為多少時，△ABP和△DCE全等．（

）A．2或9 B．2或7 C．2 D．3或7【變式2】如圖，在△ABC和△BDE中，∠ABC=∠DBE=90°，∠CBE為銳角，AB=BC=5，BE=BD=3，連接AE、CD，AE與CD交于點M，AE與BC交于點N．(1)AE與CD有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？說明理由．(2)固定△ABC不動，將△BDE繞著點B順時針方向旋轉(zhuǎn)360°，在變化的過程中AD的長度變化的范圍是______．題型十七全等三角形之旋轉(zhuǎn)手拉手解｜題｜技｜巧★如果題目中出現(xiàn)兩個等腰三角形，可以考慮連接對應(yīng)的頂點，用旋轉(zhuǎn)全等模型；如果只出現(xiàn)一個等腰三角形，可以用旋轉(zhuǎn)的方法構(gòu)造旋轉(zhuǎn)全等．【典例1】【綜合與實踐】星光中學(xué)八年級數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)發(fā)現(xiàn)這樣一個模型：它是由兩個共頂角頂點且頂角相等的等腰三角形構(gòu)成的，在兩個等腰三角形頂角的變化過程中，始終存在一對全等三角形．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組同學(xué)稱此模型為“手拉手模型”．請你和數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)一起研究下面的問題．

(1)如圖1，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=30°，連接BE，CF，延長BE交CF于點D．則∠BDC=°；(2)如圖2，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=α90°<α<180°，連接BE，CF，延長BE，F(xiàn)C交于點D．請猜想BE與CF的數(shù)量關(guān)系及∠BDC的度數(shù)（用含α的代數(shù)式表示），并說明理由；(3)如圖3，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=90°，連接BE，CF交于點D，連接CE，連接AD并延長交CE于點G，直接寫出∠CDG的度數(shù)．【變式1】問題提出（1）如圖1，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=40°（AB>AD），將△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，連接BD、CD．當(dāng)點E落在AB邊上且D、E、C三點共線時，在這個“手拉手”模型中，和△ABD全等的三角形是_______，∠BDC的度數(shù)為____________；（2）如圖2，已知等邊三角形ABC，AB=5，P是其外一點，且∠APB=120°，PC=7，求四邊形APBC的周長；問題解決（3）某市園林綠化部門在某小區(qū)門口的空地上新建一個家門口的“口袋公園”，設(shè)計形狀大致為三角形ABE，如圖3所示，AB段臨街道有足夠長度，D是小道AE上某小區(qū)的入口（點D不在點E處），且AD=200米，設(shè)計人員準(zhǔn)備將公園分成△ABD，△BDE兩大部分，C是△ADB內(nèi)一標(biāo)志點，此處將栽植一棵風(fēng)景大樹，設(shè)計∠ADC=∠CAB=45°，AC⊥BC，△ADB內(nèi)部種植三種不同類的草坪，平均每平方米約6元，留出適當(dāng)大小的△BDE區(qū)域作為休閑健身區(qū)，其內(nèi)安裝健身器材需38000元，請你預(yù)算滿足上述條件的建設(shè)費用大致需多少元？（不考慮其他花費）期中基礎(chǔ)通關(guān)練（測試時間：10分鐘）1．下面是“作∠AOB的平分線”的尺規(guī)作圖過程：該尺規(guī)作圖可直接利用三角形全等說明，其中三角形全等的依據(jù)是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS2．下列說法錯誤的是（

）A．任何命題都有逆命題 B．任何定理都有逆定理C．命題的逆命題不一定是真命題 D．定理的逆定理一定是真命題3．如圖，已知△ABC≌△ABE≌△ADC，若∠1=130°，則∠α的度數(shù)為（

）A．90° B．100° C．110° D