2.1

空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系2.1.1

平面目標(biāo)導(dǎo)航預(yù)習(xí)導(dǎo)引目標(biāo)導(dǎo)航預(yù)習(xí)導(dǎo)引1231.平面(1)平面的概念幾何里所說的“平面”,是從課桌面、黑板面、海面這樣的一些物體中抽象出來的.幾何里的平面是無限延展的.(2)平面的畫法水平放置的平面通常畫成一個平行四邊形,它的銳角通常畫成45°,且橫邊長等于其鄰邊長的2倍.如圖①.如果一個平面被另一個平面遮擋住,為了增強(qiáng)它的立體感,把被遮擋部分用虛線畫出來.如圖②.(3)平面的表示法圖①的平面可表示為平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD.目標(biāo)導(dǎo)航預(yù)習(xí)導(dǎo)引123預(yù)習(xí)交流：下列命題:(1)課桌面是平面;(2)8個平面重疊起來要比6個平面重疊起來厚;(3)有一個平面的長是50

m,寬是20

m;(4)平面是絕對的平、無厚度、可以無限延展的抽象的數(shù)學(xué)概念.其中正確命題的個數(shù)為(

)A.1

B.2C.3

D.4答案:A解析:平面是無限延展的,無厚度,不可度量,故(1)(2)(3)均錯,只有(4)正確.目標(biāo)導(dǎo)航預(yù)習(xí)導(dǎo)引1232.點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系(1)直線在平面內(nèi)的概念如果直線l上的所有點(diǎn)都在平面α內(nèi),就說直線l在平面α內(nèi),或者說平面α經(jīng)過直線l.目標(biāo)導(dǎo)航預(yù)習(xí)導(dǎo)引123目標(biāo)導(dǎo)航預(yù)習(xí)導(dǎo)引123預(yù)習(xí)交流：如圖所示,平面ABEF記作平面α,平面ABCD記作平面β,根據(jù)圖形填寫:(1)A∈α,B

α,E

α,C

α,D

α;

(2)α∩β=

;

(3)A∈β,B

β,C

β,D

β,E

β,F

β;

(4)AB

α,AB

β,CD

α,CD

β,BF

α,BF

β.

答案:(1)∈

∈

?

?

(2)AB

(3)∈

∈

∈

?

?

(4)?

?

?

?

?

?目標(biāo)導(dǎo)航預(yù)習(xí)導(dǎo)引123一二三知識精要典題例解遷移應(yīng)用思考探究一、點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系及表示在立體幾何中,符號“∈”和“?”表示點(diǎn)與直線、點(diǎn)與平面的關(guān)系;符號“∩”表示直線與直線或直線與平面相交;符號“?”和“?”表示直線與平面的關(guān)系.雖然借用集合中的符號表示點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系,但在讀時仍用幾何語言.四一二三典題例解遷移應(yīng)用思考探究知識精要數(shù)學(xué)中常說的三種語言分別指哪三種?提示:文字語言、圖形語言、符號語言.四一二三典題例解遷移應(yīng)用思考探究知識精要【例1】

(1)說明語句“l(fā)?α,m∩α=A,A?l”表示的點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系,并畫出圖形;(2)用符號語言表示下圖所表示的點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系.思路分析:利用三種語言的關(guān)系解答.四一二三典題例解遷移應(yīng)用思考探究知識精要解:(1)直線l在平面α內(nèi),直線m與平面α相交于點(diǎn)A,且點(diǎn)A不在直線l上,圖形如圖所示.(2)圖示的點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系可用符號語言表示為α∩β=l,m?α,n?β,l∩n=P,m∥l.四一二三典題例解遷移應(yīng)用思考探究知識精要四一二三典題例解遷移應(yīng)用思考探究知識精要用符號語言表示“三個平面α,β,γ相交于一點(diǎn)P,且平面α與平面β交于PA,平面α與平面γ交于PB,平面β與平面γ交于PC”,并畫出圖形.解:α∩β=PA,α∩γ=PB,β∩γ=PC,PA∩PB∩PC=P.圖形如圖所示.四一二三知識精要典題例解遷移應(yīng)用思考探究四二、點(diǎn)線共面問題解決點(diǎn)線共面問題的基本方法一二三知識精要典題例解遷移應(yīng)用思考探究四怎樣證明多點(diǎn)或多線共面?提示:要證明多點(diǎn)或多線共面,首先根據(jù)確定平面的條件找到平面,再結(jié)合公理1證明其余的點(diǎn)或線也在這個平面內(nèi).一二三知識精要典題例解遷移應(yīng)用思考探究四【例2】

過直線l外一點(diǎn)P引兩條直線PA,PB和直線l分別相交于A,B兩點(diǎn),求證:三條直線PA,PB,l共面.思路分析:根據(jù)條件P,A,B確定一個平面,再證直線l,PA,PB在這個平面內(nèi).證明:如圖,∵點(diǎn)P,A,B不共線,∴點(diǎn)P,A,B確定一個平面α.∴P∈α,A∈α,B∈α.∴PA?α,PB?α.又A∈l,B∈l,∴l(xiāng)?α.∴三條直線PA,PB,l共面.一二三知識精要典題例解遷移應(yīng)用思考探究四一二三知識精要典題例解遷移應(yīng)用思考探究四空間兩兩相交的三條直線,可以確定的平面數(shù)是

(

)A.1 B.2 C.3 D.1或3答案:D解析:兩兩相交不共點(diǎn)的三條直線,可確定一個平面;兩兩相交且共點(diǎn)的三條直線若在一個平面內(nèi),可確定一個平面;若三條直線不在一個平面內(nèi),每兩條可確定一個平面,共確定3個平面.一二三知識精要典題例解遷移應(yīng)用四三、證明多點(diǎn)共線問題證明若干點(diǎn)共線問題的兩種基本方法(1)首先找出兩個平面的交線,然后證明這若干點(diǎn)都是這兩個平面的公共點(diǎn),根據(jù)公理3可推知這些點(diǎn)都在交線上,即證若干點(diǎn)共線;(2)首先選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線,然后證明另外一些點(diǎn)都在這條直線上.一二三知識精要典題例解遷移應(yīng)用四【例3】

如圖,在四面體ABCD中,E,G分別為BC,AB上的點(diǎn),H,F分別為AD,CD上的點(diǎn),GH與EF交于點(diǎn)O.求證:B,D,O在同一條直線上.思路分析:本例是一個證明三點(diǎn)共線的問題,根據(jù)題意只需證明點(diǎn)O在直線BD上.而BD是平面ABD與平面BCD的交線,因而只需證明點(diǎn)O在平面ABD內(nèi),也在平面BCD內(nèi)即可.一二三知識精要典題例解遷移應(yīng)用四證明:∵GH∩EF=O,∴O∈GH,O∈EF.又GH?平面ABD,EF?平面BCD,∴O∈平面ABD,O∈平面BCD.∴點(diǎn)O在平面ABD與平面BCD的交線上.又∵平面ABD∩平面BCD=BD,∴O∈BD.∴B,D,O在同一條直線上.一二三知識精要典題例解遷移應(yīng)用四一二三知識精要典題例解遷移應(yīng)用四如圖,已知△ABC在平面α外,它的三邊所在的直線分別交平面α于點(diǎn)P,Q,R,求證:P,Q,R三點(diǎn)共線.證明:∵AB∩α=P,AB?平面ABC,∴P∈平面ABC,P∈α.∴點(diǎn)P在平面ABC與平面α的交線上.同理可證,點(diǎn)Q和R均在這條交線上.∴P,Q,R三點(diǎn)共線.一二三知識精要典題例解遷移應(yīng)用四四、證明多線共點(diǎn)所謂線共點(diǎn)問題就是證明三條或三條以上的直線交于一點(diǎn).證明三線共點(diǎn)的依據(jù)是公理3.證明三線共點(diǎn)的思路是:先證明兩條直線交于一點(diǎn),再證明第三條直線經(jīng)過這點(diǎn),把問題轉(zhuǎn)化為證明點(diǎn)在直線上的問題.一二三知識精要典題例解遷移應(yīng)用四【例4】

已知三個平面α,β,γ兩兩相交于三條直線,即α∩β=c,β∩γ=a,γ∩α=b,若直線a和b不平行,求證:a,b,c三條直線必過同一點(diǎn).思路分析:先由a,b共面且不平行,得a與b相交,設(shè)交于點(diǎn)P,再證明交點(diǎn)P在c上,即證明P∈α,P∈β.證明:∵α∩γ=b,β∩γ=a,∴a?γ,b?γ.又由于直線a和b不平行,∴a,b必相交設(shè)a∩b=P,如圖,則P∈a,P∈b.∵a?β,b?α,∴P∈β,P∈α.又α∩β=c,∴P∈c,即交線c經(jīng)過點(diǎn)P.∴a,b,c三條直線相交于同一點(diǎn).一二三知識精要典題例解遷移應(yīng)用四一二三知識精要典題例解遷移應(yīng)用四如圖,已知平面α,β,且α∩β=l.設(shè)梯形ABCD中,AD∥BC,且AB?α,CD?β,求證:直線AB,CD,l共點(diǎn).證明:∵四邊形ABCD是梯形,且AD∥BC,∴延長AB,DC,設(shè)交于點(diǎn)O,則O∈AB,O∈CD.∵AB?α,CD?β,∴O∈α,O∈β.∵α∩β=l,∴O∈l.∴直線AB,CD,l共點(diǎn).案例探究誤區(qū)警示思悟升華易錯考點(diǎn):共面問題判斷中的解題誤區(qū)下列說法中正確的是(

)A.空間不同的三點(diǎn)確定一個平面B.空間兩兩相交的三條直線確定一個平面C.空間有三個角為直角的四邊形一定是平面圖形D.和同一條直線相交的三條平行直線一定在同一平面內(nèi)審題:抓信息,找思路答案:D案例探究誤區(qū)警示思悟升華解析:A錯誤.空間中共線的三點(diǎn)不能確定一個平面①.B錯誤.空間兩兩相交的三條直線交于同一點(diǎn)時②,無法確定一個平面.C錯誤.空間中四個點(diǎn)不一定共面,有三個角為直角的四邊形可能是空間圖形.如圖,空間四邊形ABCD1③.D正確.如圖,因為a∥b,所以直線a,b確定一個平面α,因為b∥c,所以直線b,c確定一個平面β,再說明l?α,l?β.