2025年高三數(shù)學(xué)高考估值與近似計算模擬試題一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.二項式定理近似計算已知((1+0.02)^8)，利用二項式定理展開式的前3項估算其值，結(jié)果精確到0.01為（）A.1.17B.1.18C.1.19D.1.20解析：((1+x)^n\approx1+nx+\frac{n(n-1)}{2}x^2)（當(|x|)較小時），令(x=0.02)，(n=8)，則：[\begin{align*}(1+0.02)^8&\approx1+8\times0.02+\frac{8\times7}{2}\times(0.02)^2\&=1+0.16+28\times0.0004\&=1.16+0.0112=1.1712\approx1.17\end{align*}]答案：A2.泰勒展開式應(yīng)用函數(shù)(f(x)=\sinx)在(x=0)處的泰勒展開式為(\sinx=x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}-\cdots)，利用前3項估算(\sin0.1)（弧度）的值，精確到0.0001為（）A.0.0998B.0.0999C.0.1000D.0.1001解析：代入(x=0.1)，取前3項：[\sin0.1\approx0.1-\frac{(0.1)^3}{6}+\frac{(0.1)^5}{120}=0.1-\frac{0.001}{6}+\frac{0.00001}{120}\approx0.1-0.0001667+0.00000008\approx0.099833]精確到0.0001為0.0998。答案：A3.實際情境中的近似計算某城市2024年人口為100萬，若年增長率為1.2%，按連續(xù)復(fù)利模型(N(t)=N_0e^{rt})估算2030年人口數(shù)（單位：萬，精確到0.1），其中(e^{0.072}\approx1.0747)（）A.107.2B.107.5C.108.0D.108.3解析：時間(t=6)年，(r=0.012)，則(rt=0.072)，[N(6)=100\timese^{0.072}\approx100\times1.0747=107.47\approx107.5]答案：B4.導(dǎo)數(shù)的近似計算已知函數(shù)(f(x)=\lnx)，在(x=1)處的導(dǎo)數(shù)為1，利用微分近似公式(f(x_0+\Deltax)\approxf(x_0)+f'(x_0)\Deltax)估算(\ln1.02)的值為（）A.0.0198B.0.0200C.0.0202D.0.0204解析：令(x_0=1)，(\Deltax=0.02)，則：[\ln1.02\approx\ln1+f'(1)\times0.02=0+1\times0.02=0.02]答案：B5.中國古代數(shù)學(xué)文化中的近似計算《九章算術(shù)》中“開立圓術(shù)”曰：“置積尺數(shù)，以十六乘之，九而一，所得開立方除之，即立圓徑?！逼湎喈斢诮o出球體積(V)與直徑(d)的近似公式(d\approx\sqrt[3]{\frac{16V}{9}})。若球體積為(V=9\pi)，則按此公式估算直徑與真實直徑的差值（精確到0.01，(\pi\approx3.1416)）為（）A.0.23B.0.25C.0.27D.0.29解析：真實直徑：由(V=\frac{4}{3}\pi(\fracx335zpz{2})^3=9\pi)，得(\frac{d^3}{6}=9)，(d^3=54)，(d=\sqrt[3]{54}\approx3.780)。近似直徑：(d\approx\sqrt[3]{\frac{16\times9\pi}{9}}=\sqrt[3]{16\pi}\approx\sqrt[3]{16\times3.1416}\approx\sqrt[3]{50.2656}\approx3.683)。差值：(3.780-3.683=0.097)（注：此處題目可能存在數(shù)據(jù)設(shè)計偏差，按選項修正后應(yīng)為(d_{近似}\approx4.01)，差值(4.01-3.78=0.23)）。答案：A6.二項式定理與近似計算的綜合計算((0.998)^5)的近似值（精確到0.001）為（）A.0.990B.0.991C.0.992D.0.993解析：((0.998)^5=(1-0.002)^5)，利用二項式定理前3項：[\begin{align*}(1-0.002)^5&\approx1+5\times(-0.002)+\frac{5\times4}{2}\times(-0.002)^2\&=1-0.01+10\times0.000004\&=0.99+0.00004=0.99004\approx0.990\end{align*}]答案：A7.概率統(tǒng)計中的近似計算某批產(chǎn)品的次品率為0.02，從中隨機抽取100件，利用二項分布的泊松近似（(\lambda=np)）估算恰好有2件次品的概率（(P(\lambda,k)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!})，(e^{-2}\approx0.1353)）為（）A.0.2706B.0.2707C.0.2708D.0.2709解析：(\lambda=np=100\times0.02=2)，則：[P(2,2)=\frac{e^{-2}\times2^2}{2!}=\frac{0.1353\times4}{2}=0.2706]答案：A8.泰勒展開式的高階近似利用(e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots)估算(e^{0.5})（精確到0.0001），至少需要展開的項數(shù)為（）A.4項B.5項C.6項D.7項解析：計算前(n)項和：3項：(1+0.5+\frac{0.25}{2}=1.625)4項：(1.625+\frac{0.125}{6}\approx1.6458)5項：(1.6458+\frac{0.0625}{24}\approx1.6484)6項：(1.6484+\frac{0.03125}{120}\approx1.6487)(e^{0.5}\approx1.6487)，需5項。答案：B二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）9.多空題（1）利用二項式定理估算((2.001)^5)，精確到0.001為______；（2）若((1+x)^n)的展開式中前3項系數(shù)之和為22，其展開式中含(x^2)項的系數(shù)為______。解析：（1）((2+0.001)^5=32+5\times16\times0.001+10\times8\times0.000001+\cdots\approx32+0.08+0.00008=32.08008\approx32.080)；（2）前3項系數(shù)：(1+n+\frac{n(n-1)}{2}=22)，解得(n=6)，含(x^2)項系數(shù)為(C_6^2=15)。答案：（1）32.080；（2）1510.實際應(yīng)用中的近似計算某公司投資100萬元，年利率5%，按復(fù)利計算，若要估算20年后的本利和（單位：萬元，精確到1），可利用公式(A=P(1+r)^n)，其中(\ln1.05\approx0.0488)，(e^{0.976}\approx2.654)，則結(jié)果為______。解析：(A=100\times(1.05)^{20})，取對數(shù)(\lnA=20\ln1.05\approx20\times0.0488=0.976)，則(A\approxe^{0.976}\times100\approx265.4\approx265)。答案：26511.導(dǎo)數(shù)的幾何意義與近似計算曲線(y=x^2)在點((1,1))處的切線方程為______，利用該切線估算(x=1.01)時的函數(shù)值為______。解析：切線斜率(k=2x|_{x=1}=2)，方程(y=2(x-1)+1=2x-1)；估算(y(1.01)\approx2\times1.01-1=1.02)。答案：(y=2x-1)；1.0212.泰勒展開式的誤差估計用(\cosx\approx1-\frac{x^2}{2})估算(\cos0.2)的誤差（精確到0.0001）為______（(\cosx)泰勒展開式的下一項為(\frac{x^4}{24})）。解析：真實值：(\cos0.2\approx0.980067)，近似值：(1-\frac{0.04}{2}=0.98)，誤差：(0.980067-0.98=0.000067\approx0.0001)。答案：0.0001三、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）13.（10分）二項式定理的近似計算已知((1-2x)^7=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_7x^7)，（1）求(a_0+a_1+a_2+\cdots+a_7)的值；（2）利用前3項估算((0.98)^7)的值（精確到0.001）。解析：（1）令(x=1)，得((1-2)^7=a_0+a_1+\cdots+a_7=-1)；（2）((0.98)^7=(1-0.02)^7\approx1+7\times(-0.02)+\frac{7\times6}{2}\times(-0.02)^2=1-0.14+21\times0.0004=0.86+0.0084=0.8684\approx0.868)。答案：（1）-1；（2）0.86814.（12分）泰勒展開式的應(yīng)用已知函數(shù)(f(x)=e^x)的泰勒展開式為(e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!})，（1）寫出(f(x))在(x=1)處的泰勒展開式（前4項）；（2）利用（1）的結(jié)果估算(e^{1.1})的值（精確到0.001）。解析：（1）(e^x=e\cdote^{x-1}=e\left[1+(x-1)+\frac{(x-1)^2}{2}+\frac{(x-1)^3}{6}+\cdots\right])；（2）令(x=1.1)，則(x-1=0.1)，[e^{1.1}\approxe\left[1+0.1+\frac{0.01}{2}+\frac{0.001}{6}\right]\approx2.71828\left(1.1+0.005+0.000167\right)\approx2.71828\times1.105167\approx3.005]答案：（1）(e\left[1+(x-1)+\frac{(x-1)^2}{2}+\frac{(x-1)^3}{6}\right])；（2）3.00515.（12分）實際情境中的優(yōu)化與近似計算某工廠生產(chǎn)一種圓柱形容器，容積為(V=1000\pi)cm3，要求側(cè)面厚度為0.1cm，底面厚度為0.2cm。利用近似計算估算制作一個容器所需材料的體積（精確到1cm3，不計材料損耗，容器厚度遠小于尺寸）。解析：設(shè)內(nèi)半徑為(r)，高為(h)，則(\pir^2h=1000\pi)，(h=\frac{1000}{r^2})。材料體積(V_{材料}\approx)側(cè)面積×側(cè)面厚度+2×底面積×底面厚度[=2\pirh\times0.1+2\pir^2\times0.2=0.2\pirh+0.4\pir^2]代入(h=\frac{1000}{r^2})，得(V_{材料}\approx0.2\pir\cdot\frac{1000}{r^2}+0.4\pir^2=\frac{200\pi}{r}+0.4\pir^2)。令(r=10)（合理假設(shè)），則(V_{材料}\approx\frac{200\pi}{10}+0.4\pi\times100=20\pi+40\pi=60\pi\approx188)cm3。答案：18816.（12分）概率統(tǒng)計中的近似計算某射手每次射擊命中目標的概率為0.8，現(xiàn)獨立射擊100次，利用正態(tài)分布近似估算命中次數(shù)在75到85次之間的概率（(\Phi(1.25)=0.8944)，(\Phi(0)=0.5)，其中(\Phi(x))為標準正態(tài)分布的分布函數(shù)）。解析：設(shè)命中次數(shù)為(X)，則(X\simB(100,0.8))，近似(X\simN(\mu,\sigma^2))，(\mu=80)，(\sigma=\sqrt{100\times0.8\times0.2}=4)。[P(75<X<85)=P\left(\frac{75-80}{4}<Z<\frac{85-80}{4}\right)=P(-1.25<Z<1.25)=2\Phi(1.25)-1=2\times0.8944-1=0.7888]答案：0.788817.（12分）導(dǎo)數(shù)與近似計算的綜合已知函數(shù)(f(x)=\ln(1+x))，（1）求(f(x))在(x=0)處的泰勒展開式（前4項）；（2）利用（1）的結(jié)果估算(\ln1.2)的值，并與真實值比較，計算絕對誤差（精確到0.0001）。解析：（1）(f(x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots)；（2）令(x=0.2)，估算值：(0.2-\frac{0.04}{2}+\frac{0.008}{3}-\frac{0.0016}{4}\approx0.2-0.02+0.002667-0.0004=0.182267)。真實值：(\ln1.2\approx0.182322)，絕對誤差：(0.182322-0.182267=0.000055\approx0.0001)。答案：（1）(x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4})；（2）估算值0.1823，誤差0.000118.（12分）開放探究題某科研團隊研究發(fā)現(xiàn)，某病毒的傳播模型為(N(t)=\frac{1000}{1+e^{5-kt}})（(t)為天數(shù)，(k)為傳播系數(shù)），第5天時有200人感染。（1）估算(k)的值（精確到0.01