2025年高三數(shù)學(xué)高考函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題模擬試題一、解答題（本小題滿分15分）已知函數(shù)$f(x)=e^x\sinx-ax^2-bx$，其中$a,b\in\mathbb{R}$，$e$為自然對數(shù)的底數(shù)。（1）若$a=0$，$b=1$，求函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[0,\pi]$上的極值點；（2）當$a=1$時，若函數(shù)$f(x)$在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞增，求$b$的取值范圍；（3）若$b=0$，且函數(shù)$f(x)$在$x=0$處的切線方程為$y=x$，證明：對任意$x_1,x_2\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$，且$x_1\neqx_2$，有$\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}>1$。二、試題解析（1）極值點的求解與判斷思路分析：當$a=0$，$b=1$時，函數(shù)簡化為$f(x)=e^x\sinx-x$。求極值點需先求導(dǎo)，分析導(dǎo)函數(shù)的零點及單調(diào)性。解答過程：求導(dǎo)：$f'(x)=e^x(\sinx+\cosx)-1$。分析導(dǎo)函數(shù)：由于$\sinx+\cosx=\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})$，則$f'(x)=e^x\cdot\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})-1$。在區(qū)間$[0,\pi]$上，$x+\frac{\pi}{4}\in[\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4}]$，$\sin(x+\frac{\pi}{4})$在$[0,\frac{\pi}{4}]$上單調(diào)遞增，在$[\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4}]$上單調(diào)遞減。尋找零點：當$x=0$時，$f'(0)=e^0(\sin0+\cos0)-1=1\cdot1-1=0$；當$x\in(0,\pi)$時，$e^x>1$，$\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})\geq\sqrt{2}\cdot(-\frac{\sqrt{2}}{2})=-1$，但$e^x\cdot\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})>1$（例如$x=\frac{\pi}{2}$時，$f'(\frac{\pi}{2})=e^{\frac{\pi}{2}}(1+0)-1>0$），故$f'(x)$在$(0,\pi)$上無零點。結(jié)論：$x=0$是$f(x)$在$[0,\pi]$上唯一的極值點，且為極小值點。（2）含參函數(shù)的單調(diào)性與恒成立問題思路分析：當$a=1$時，$f(x)=e^x\sinx-x^2-bx$。函數(shù)單調(diào)遞增等價于$f'(x)\geq0$在$(0,+\infty)$上恒成立，需分離參數(shù)$b$，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值。解答過程：求導(dǎo)與分離參數(shù)：$f'(x)=e^x(\sinx+\cosx)-2x-b\geq0$，即$b\leqe^x(\sinx+\cosx)-2x$在$(0,+\infty)$上恒成立。設(shè)$g(x)=e^x(\sinx+\cosx)-2x$，則$b\leqg(x)_{\min}$。求$g(x)$的最小值：求導(dǎo)：$g'(x)=e^x(\sinx+\cosx)+e^x(\cosx-\sinx)-2=2e^x\cosx-2$。分析$g'(x)$的零點：令$g'(x)=0$，得$e^x\cosx=1$。設(shè)$h(x)=e^x\cosx$，則$h'(x)=e^x(\cosx-\sinx)$。在$(0,\frac{\pi}{4})$上，$h'(x)>0$，$h(x)$單調(diào)遞增；在$(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2})$上，$h'(x)<0$，$h(x)$單調(diào)遞減。又$h(0)=1$，$h(\frac{\pi}{2})=0$，故$g'(x)=0$在$(0,\frac{\pi}{2})$上有唯一零點$x_0=0$。判斷單調(diào)性：當$x\in(0,+\infty)$時，$g'(x)\leq0$（僅在$x=0$時取等號），故$g(x)$在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞減。最小值：$g(x)>g(0)=1\cdot1-0=1$，故$b\leq1$。（3）不等式證明與導(dǎo)數(shù)幾何意義的綜合應(yīng)用思路分析：已知切線方程為$y=x$，可求出$a$的值；證明$\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}>1$等價于證明$f(x)-x$為嚴格增函數(shù)，需通過二階導(dǎo)數(shù)判斷凹凸性或構(gòu)造輔助函數(shù)。解答過程：求參數(shù)$a$：切線方程為$y=x$，則$f(0)=0$且$f'(0)=1$。$f(0)=e^0\sin0-a\cdot0^2=0$，恒成立；$f'(0)=e^0(\sin0+\cos0)-2a\cdot0=1$，即$1=1$，故$a$可取任意值。結(jié)合（2）中$a=1$的設(shè)定，此處$a=1$。綜上，$f(x)=e^x\sinx-x^2$。構(gòu)造輔助函數(shù)：需證$\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}>1$，即證$f(x_1)-x_1>f(x_2)-x_2$（不妨設(shè)$x_1>x_2$）。設(shè)$h(x)=f(x)-x=e^x\sinx-x^2-x$，則需證$h(x)$在$(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$上嚴格單調(diào)遞增。證明$h(x)$單調(diào)遞增：求導(dǎo)：$h'(x)=e^x(\sinx+\cosx)-2x-1$。二次求導(dǎo)：$h''(x)=2e^x\cosx-2$。分析$h''(x)$：在$(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$上，$\cosx>0$，且$e^x\cosx\geqe^{-\frac{\pi}{2}}\cdot0=0$（當$x=\pm\frac{\pi}{2}$時取等號）。但$e^x\cosx\geq1$（由（2）中$g(x)$的結(jié)論，當$x\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$時，$e^x\cosx\geq1$），故$h''(x)\geq0$，且僅在$x=0$時取等號。結(jié)論：$h'(x)$在$(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$上單調(diào)遞增，且$h'(0)=1-0-1=0$。當$x>0$時，$h'(x)>0$；當$x<0$時，$h'(x)<0$，故$h(x)$在$(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$上先減后增，但在整個區(qū)間內(nèi)，對任意$x_1>x_2$，$h(x_1)>h(x_2)$，即$\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}>1$成立。三、命題特點與核心素養(yǎng)考查綜合性：本題融合了導(dǎo)數(shù)、三角函數(shù)、不等式證明等知識，需靈活運用求導(dǎo)法則、函數(shù)單