2025年高三數(shù)學(xué)高考密碼學(xué)中的數(shù)學(xué)問(wèn)題模擬試題一、選擇題（本大題共10小題，每小題6分，共60分）古典密碼中的模運(yùn)算在凱撒密碼中，將明文字母按字母表順序向后移動(dòng)k位得到密文（其中A=0，B=1，…，Z=25）。若明文“MATH”加密后得到密文“PDWk”，則密鑰k的值為（）A.2B.3C.4D.5歐拉函數(shù)的應(yīng)用設(shè)歐拉函數(shù)φ(n)表示小于n且與n互質(zhì)的正整數(shù)個(gè)數(shù)，則φ(12)+φ(18)的值為（）A.12B.16C.18D.24二進(jìn)制編碼的校驗(yàn)問(wèn)題某通信系統(tǒng)采用“偶校驗(yàn)”規(guī)則：在二進(jìn)制數(shù)據(jù)末尾添加1位校驗(yàn)位，使整個(gè)數(shù)據(jù)中1的個(gè)數(shù)為偶數(shù)。若發(fā)送的二進(jìn)制序列為“10110”，則添加的校驗(yàn)位為（）A.0B.1C.0或1D.無(wú)法確定對(duì)稱密碼中的密鑰空間維吉尼亞密碼使用26個(gè)凱撒密碼組成密鑰空間，若密鑰長(zhǎng)度為3，則理論上的密鑰總數(shù)為（）A.26×3B.263C.32?D.2?3RSA算法的基礎(chǔ)數(shù)論在RSA加密中，已知公鑰n=65（n=pq，p、q為素?cái)?shù)），則φ(n)的值為（）A.48B.52C.60D.64哈希函數(shù)的碰撞概率若某哈希函數(shù)將任意輸入映射到10位二進(jìn)制數(shù)，則隨機(jī)輸入兩個(gè)不同的消息，發(fā)生哈希碰撞的概率最接近（）A.1/21?B.1/2?C.1/102D.1/101?線性反饋移位寄存器某3級(jí)線性反饋移位寄存器（LFSR）的初始狀態(tài)為101，反饋多項(xiàng)式為f(x)=x3+x+1（即第3位由前3位的第1位和第3位異或得到），則下一個(gè)輸出狀態(tài)為（）A.011B.110C.100D.001密碼協(xié)議中的概率問(wèn)題在零知識(shí)證明中，prover向verifier證明自己知道某秘密的概率為90%，若重復(fù)證明3次且獨(dú)立，則verifier確認(rèn)prover知道秘密的概率為（）A.90%B.99%C.99.9%D.100%橢圓曲線密碼的基礎(chǔ)橢圓曲線E:y2=x3+ax+b（mod7）上的點(diǎn)P(2,3)，則2P（即P+P）的坐標(biāo)為（）A.(4,5)B.(5,4)C.(3,6)D.(6,3)量子密碼的安全性基于量子不可克隆定理，以下哪種攻擊對(duì)量子密鑰分發(fā)（QKD）無(wú)效？（）A.中間人攻擊B.竊聽(tīng)重發(fā)攻擊C.計(jì)算復(fù)雜性攻擊D.光子數(shù)分裂攻擊二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）仿射密碼的加密仿射密碼的加密函數(shù)為c=(a*m+b)mod26，其中a與26互質(zhì)。若明文“HELLO”（H=7，E=4，L=11，O=14）加密后為“KHOOR”，則a=，b=。希爾密碼的矩陣運(yùn)算使用2×2希爾密碼加密，密鑰矩陣為(\begin{pmatrix}1&2\3&5\end{pmatrix})，則明文“AB”（A=0，B=1）加密后的密文向量為_(kāi)_____（結(jié)果用列向量表示）。貝葉斯定理與密碼分析某密碼系統(tǒng)的誤判率為：正常消息被判定為異常的概率為5%，異常消息被判定為正常的概率為10%。已知正常消息出現(xiàn)的概率為99%，則當(dāng)系統(tǒng)判定為異常時(shí)，該消息確實(shí)為異常的概率為_(kāi)_____（結(jié)果保留兩位小數(shù)）。流密碼的密鑰流生成線性同余生成器（LCG）的遞推公式為x???=(a*x?+c)modm，若a=3，c=2，m=7，初始x?=1，則生成的前4位密鑰流為_(kāi)_____。信息熵的計(jì)算某信源發(fā)送“0”和“1”的概率分別為0.6和0.4，則該信源的信息熵H=______（單位：比特，結(jié)果保留一位小數(shù)）。公鑰密碼的密鑰交換在Diffie-Hellman密鑰交換中，設(shè)素?cái)?shù)p=23，生成元g=5，用戶A的私鑰a=6，用戶B的私鑰b=15，則共享密鑰K=______（mod23）。三、解答題（本大題共6小題，共70分）17.（10分）古典密碼的加密與破譯某密碼系統(tǒng)使用“單表代替密碼”，將明文字母映射為密文字母的規(guī)則如下表（部分）：明文ABCDEF...密文QWERTY...（1）若明文“CODE”加密后為“ERXT”，求字母D對(duì)應(yīng)的密文；（2）已知該密碼的密鑰為線性函數(shù)c=(3m+5)mod26（m為明文字母序號(hào)，c為密文字母序號(hào)），求明文“CRYPTO”對(duì)應(yīng)的密文。18.（12分）RSA算法的實(shí)現(xiàn)在RSA加密中，已知素?cái)?shù)p=7，q=13，公鑰e=5。（1）計(jì)算n和φ(n)；（2）求私鑰d（滿足ed≡1modφ(n)）；（3）用公鑰加密明文m=10，求密文c；用私鑰解密c，驗(yàn)證解密結(jié)果是否為m。19.（12分）概率統(tǒng)計(jì)在密碼學(xué)中的應(yīng)用某通信信道傳輸0和1的誤碼率均為0.1（即發(fā)送0接收1的概率為0.1，發(fā)送1接收0的概率為0.1），且發(fā)送0和1的概率相等。（1）求接收端收到“0”時(shí)，發(fā)送端實(shí)際發(fā)送“0”的概率；（2）若連續(xù)發(fā)送3個(gè)相同的比特（如“000”）作為校驗(yàn)，接收端采用“多數(shù)表決”規(guī)則（即接收的3個(gè)比特中出現(xiàn)次數(shù)多的作為結(jié)果），求此時(shí)的正確接收概率。20.（12分）線性代數(shù)與希爾密碼希爾密碼使用矩陣乘法加密，密鑰矩陣為(K=\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix})，加密過(guò)程為(\begin{pmatrix}c_1\c_2\end{pmatrix}=K\begin{pmatrix}m_1\m_2\end{pmatrix}\mod26)。（1）若明文“HI”（H=7，I=8）加密后為“LM”（L=11，M=12），明文“JK”（J=9，K=10）加密后為“NP”（N=13，P=15），求密鑰矩陣K；（2）若密鑰矩陣K的逆矩陣為(K^{-1}=\begin{pmatrix}21&15\7&3\end{pmatrix})，求密文“ZG”對(duì)應(yīng)的明文。21.（12分）信息論與數(shù)據(jù)壓縮某無(wú)損壓縮算法對(duì)4種符號(hào)A、B、C、D的編碼如下：A:0，B:10，C:110，D:111（1）驗(yàn)證該編碼是否為前綴碼；（2）若某消息序列為“ABACCD”，求編碼后的二進(jìn)制長(zhǎng)度；（3）已知符號(hào)出現(xiàn)的概率為P(A)=0.5，P(B)=0.25，P(C)=0.125，P(D)=0.125，求該編碼的平均碼長(zhǎng)，并與信源熵比較，說(shuō)明其壓縮效率。22.（12分）密碼學(xué)中的數(shù)學(xué)建模某保密通信系統(tǒng)需設(shè)計(jì)一個(gè)基于“同余方程”的密鑰生成器：（1）已知正整數(shù)x滿足以下同余方程組，求最小正整數(shù)x：(\begin{cases}x\equiv2\mod3\x\eq