6.3.2-4平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示、平面向量加減法運(yùn)算的坐標(biāo)表示、平面向量的數(shù)乘運(yùn)算及坐標(biāo)表示重點(diǎn)：平面向量的坐標(biāo)表示、平面向量共線定理的坐標(biāo)表示；難點(diǎn)：平面向量加、減法坐標(biāo)運(yùn)算的應(yīng)用、平面向量的共線問題。一、平面向量正交分解1、平面向量的正交分解：把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.2、平面向量的坐標(biāo)表示（1）在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與軸、軸方向相同的兩個(gè)單位向量、作為基底.對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)、，使，把有序數(shù)對(duì)叫做向量的坐標(biāo)，記作，其中叫做在軸上的坐標(biāo)，叫做在軸上的坐標(biāo).在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一個(gè)平面向量都是可以用一對(duì)實(shí)數(shù)唯一表示.（2）向量坐標(biāo)的求法：①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)；②設(shè)、，則，.（3）若是坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)，則向量的坐標(biāo)就是終點(diǎn)的坐標(biāo)，即若，則點(diǎn)坐標(biāo)為，反之亦成立.（4）特殊向量的坐標(biāo)：．【注意】1、在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量OA=a，點(diǎn)A的位置被向量此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)與向量a的坐標(biāo)統(tǒng)一為(x，y)．2、平面向量的坐標(biāo)與該向量的起點(diǎn)、終點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān)；應(yīng)把向量坐標(biāo)與點(diǎn)坐標(biāo)區(qū)別開來，只有起點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，向量坐標(biāo)才與終點(diǎn)坐標(biāo)相等．3、符號(hào)(x，y)在直角坐標(biāo)系中有兩重意義，它既可以表示一個(gè)固定的點(diǎn)，又可以表示一個(gè)向量．為了加以區(qū)分，在敘述中，就常說點(diǎn)(x，y)或向量(x，y)．特別注意：向量a＝(x，y)中間用等號(hào)連接，而點(diǎn)的坐標(biāo)A(x，y)中間沒有等號(hào)．4、（1）平面向量的正交分解實(shí)質(zhì)上是平面向量基本定理的一種應(yīng)用形式，只是兩個(gè)基向量e1和e2互相垂直．（2）由向量坐標(biāo)的定義，知兩向量相等的充要條件是它們的橫、縱坐標(biāo)對(duì)應(yīng)相等，即a＝b?x1＝x2且y1＝y(tǒng)2，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．（3）向量的坐標(biāo)只與起點(diǎn)、終點(diǎn)的相對(duì)位置有關(guān)，而與它們的具體位置無關(guān)．（4）當(dāng)向量確定以后，向量的坐標(biāo)就是唯一確定的，因此向量在平移前后，其坐標(biāo)不變．二、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算1、已知，則，．結(jié)論：兩個(gè)向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差．2、若，則；結(jié)論：實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo)。3、已知，則向量，共線的充要條件是三、線段的定比分點(diǎn)及設(shè)、是直線上的兩點(diǎn)，是上不同于、的任一點(diǎn)，則一定存在實(shí)數(shù)，使，叫做點(diǎn)分所成的比.有三種情況：

(內(nèi)分)

(外分)()

(外分)()（1）定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式：若點(diǎn)，，為實(shí)數(shù)，且，則點(diǎn)坐標(biāo)為，我們稱為點(diǎn)分所成的比.（2）點(diǎn)的位置與的范圍的關(guān)系：①當(dāng)時(shí)，與同向共線，這時(shí)稱點(diǎn)為的內(nèi)分點(diǎn)；②當(dāng)()時(shí)，與反向共線，這時(shí)稱點(diǎn)為的外分點(diǎn).（3）若分有向線段所成的比為，點(diǎn)為平面內(nèi)的任一點(diǎn)，則；特別地為的中點(diǎn).題型一對(duì)正角分解概念的理解與辨析【例1】（多選）已知向量，對(duì)坐標(biāo)平面內(nèi)的任一向量，下列說法錯(cuò)誤的是（）A．存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)，使得B．若，則，且C．若x，y∈R，，且，則的起點(diǎn)是原點(diǎn)OD．若x，y∈R，，且的終點(diǎn)坐標(biāo)是，則【變式1-1】向量，，，在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，則（）A．B．C．D．【變式1-2】在平面直角坐標(biāo)系中，，與x軸正半軸的夾角為，則向量的坐標(biāo)是（）A．B．C．D．【變式1-3】已知分別是方向與軸正方向、軸正方向相同的單位向量，O為原點(diǎn)，設(shè)(其中)，則點(diǎn)A位于（）A．第一、二象限B．第二、三象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限【變式1-4】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，向量、、的方向如圖所示，且、、，分別計(jì)算出它們的坐標(biāo)．題型二用坐標(biāo)表示平面向量【例2】若點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，則的坐標(biāo)為______.【變式2-1】已知，，若，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．（3，2）B．（3，-1）C．（7，0）D．（1，0）【變式2-2】設(shè)x，y為實(shí)數(shù)，已知點(diǎn)A（l，2），B（3，2），向量與相等，求x，y的值．【變式2-3】將向量＝(－2,－2)繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到向量，則的坐標(biāo)為____.【變式2-4】已知對(duì)任意平面向量，把繞其起點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角得到向量，叫做把點(diǎn)B繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角得到點(diǎn)P．已知平面內(nèi)點(diǎn)，點(diǎn)，把點(diǎn)B繞點(diǎn)A沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）A．B．C．D．題型三平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示【例3】已知向量，，則（）A．B．C．D．【變式3-1】若，則的坐標(biāo)為（）A．B．C．D．【變式3-2】已知向量，則的坐標(biāo)是（）A．B．C．D．【變式3-3】已知向量，，則（）A．B．C．D．【變式3-4】已知、，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．B．C．D．題型四線段的定比分點(diǎn)問題【例4】若，，且是線段靠近的一個(gè)三等分點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．B．C．D．【變式4-1】已知，，若線段的一個(gè)三等分點(diǎn)為，則的坐標(biāo)為（）A．或B．C．D．或【變式4-2】若過兩點(diǎn)的直線與軸相交于點(diǎn)，則點(diǎn)分有向線段所成的比的值為（）A．－B．－C．D．【變式4-3】（多選）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知，，若P是線段的三等分點(diǎn)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是（）A．B．C．D．題型五用坐標(biāo)解決向量共線的問題【例5】與向量平行的向量是（）A．B．C．D．【變式5-1】下列各組的兩個(gè)向量，共線的是（）A．，B．，C．，D．，【變式5-2】若向量，，則與共線的向量可以是（）A．B．C．D．【變式5-3】已知向量，，，若，則（）A．B．C．D．題型六用坐標(biāo)解決三點(diǎn)共線問題【例6】已知，則（）A．三點(diǎn)共線B．三點(diǎn)共線C．三點(diǎn)共線D．三點(diǎn)共線【變式6-1】已知三點(diǎn)在同一直線上，則實(shí)數(shù)的值是（）A．B．C．D．不確定【變式6-2】已知向量．若點(diǎn)A，B，C能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)m應(yīng)滿足的條件為（）A．B．C．D．【變式6-3】若，，三點(diǎn)不能構(gòu)成三角形，則t=______．題型七用向量坐標(biāo)解決幾何問題【例7】順次連接點(diǎn)，，，所構(gòu)成的圖形是（）A．等腰梯形B．平行四邊形C．菱形D．矩形【變式7-1】（多選）已知，，，則以，，為頂點(diǎn)的平行四邊形的另一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．B．C．D．【變式7-2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，．（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）求證：．【變式7-3】如圖所示，已知點(diǎn)A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，求AC和OB的交點(diǎn)P的坐標(biāo).6.3.2&6.3.3&6.3.4平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示、平面向量加減法運(yùn)算的坐標(biāo)表示、平面向量的數(shù)乘運(yùn)算及坐標(biāo)表示【題型1對(duì)正角分解概念的理解與辨析】1、下列可作為正交分解的基底的是A．等邊三角形中的和B．銳角三角形中的和C．以角A為直角的直角三角形中的和D．鈍角三角形中的和2、向量為原點(diǎn)）的終點(diǎn)位于第二象限，則有A．，B．，C．，D．，3、平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若點(diǎn)，則向量的向量正交分解形式是___________．4、已，分別是方向與軸正方向、軸正方向相同的單位向量，為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)，則點(diǎn)位于第______象限.5、在直角坐標(biāo)系xOy中，向量的方向如圖所示，且，分別計(jì)算出它們的坐標(biāo).【題型2用坐標(biāo)表示平面向量】1、已知，且點(diǎn)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（）A．B．C．D．2、已知，，向量，則向量（）A．B．C．D．3、已知，若，其中O為原點(diǎn)，求的值．4、在平面直角坐標(biāo)系中，已知，當(dāng)繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則的坐標(biāo)為___________.5、已知對(duì)任意的平面向量，把繞其起點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角得到向量，叫著把點(diǎn)繞點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角得到點(diǎn).已知，，把點(diǎn)繞點(diǎn)沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)，則的坐標(biāo)為（）A．B．C．D．【題型3平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示】1、已知向量，則（）A．B．C．D．.2、已知向量，則等于（）A．B．C．D．3、已知點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（－2，5），（1，4），若點(diǎn)P滿足，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為______．4、已知向量、滿足，，則________.5、設(shè)，，，，則與的坐標(biāo)分別為________【題型4線段的定比分點(diǎn)問題】1、已知，，點(diǎn)P是線段MN的一個(gè)三等分點(diǎn)且靠近點(diǎn)M，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為______．2、已知在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，當(dāng)P是線段靠近的一個(gè)四等分點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為__________．3、若，且是線段的一個(gè)三等分點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．B．C．D．4、已知兩點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，且滿足，則點(diǎn)的坐標(biāo)為___________.【題型5用坐標(biāo)解決向量共線問題】1、下列各組向量中，能作為基底的是（）A．，B．，C．，D．，．2、已知向量，，那么與共線的一個(gè)向量是（）A．（6，4）B．（4，6）C．（0，4）D．（1，6）3、已知向量，且，則_____.4、已知向量，且，則實(shí)數(shù)m的值（）A．B．1C．D．5、已知向量，若，則_____.【題型6用坐標(biāo)解決三點(diǎn)共線問題】1、設(shè)，，，若三點(diǎn)能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.2、已知向量，若點(diǎn)A，B，C能構(gòu)成三角形，則的值不可以為（）A．-2B．-1C．1D．23、向量，，．若三點(diǎn)共線，則的值為（）A．B．1C．或11D．2或4、已知，且三點(diǎn)共線，則（）A．B．C．D．5、已知，若B、C、D點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)a的值為（）A．B．C．D．【題型7用向量坐標(biāo)解決幾何問題】1、（多選）已知平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)的