專題15相似三角形

考點(diǎn)01比與比例

aab

1．（2025·四川成都·中考真題）若3，則的值為．

bb

【答案】4

【分析】本題主要查了比例的性質(zhì)．根據(jù)比例的性質(zhì)解答即可．

a

【詳解】解：∵3，

b

aba

∴1314．

bb

故答案為：4

abca2b2c2

2．（2025·四川南充·中考真題）已知2，則的值是（）

bcacababc

A．2B．3C．4D．6

【答案】D

abc

【分析】本題主要考查了比例的性質(zhì)，分式的化簡(jiǎn)．根據(jù)2，可得a2bc,b2ac,c2ab，

bcacab

從而得到a22abc,b22abc,c22abc，然后代入化簡(jiǎn)即可．

abc

【詳解】解：∵2，

bcacab

∴a2bc,b2ac,c2ab，

∴a22abc,b22abc,c22abc，

a2b2c22abc2abc2abc6abc

∴6．

abcabcabc

故選：D

xxy

3．（2023·四川甘孜·中考真題）若2，則．

yy

【答案】1

【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)解答即可．

x

【詳解】解：2，

y

xyx

1211．

yy

故答案為：1．

【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握比例的性質(zhì)．

a3

4．（2023·甘肅武威·中考真題）若，則ab（）

2b

32

A．6B．C．1D．

23

【答案】A

【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)即可得出結(jié)果．

【詳解】解：等式兩邊乘以2b，得ab6，

故選：A．

【點(diǎn)睛】本題考查了等式的性質(zhì)，熟練掌握等式的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．

5．（2023·浙江·中考真題）小慧同學(xué)在學(xué)習(xí)了九年級(jí)上冊(cè)“4.1比例線段”3節(jié)課后，發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)內(nèi)容是一個(gè)逐

步特殊化的過程，請(qǐng)?jiān)跈M線上填寫適當(dāng)?shù)臄?shù)值，感受這種特殊化的學(xué)習(xí)過程．圖中橫線處應(yīng)填：

【答案】2

2

【分析】根據(jù)題意得出a2b,cb，進(jìn)而即可求解．

2

ab

【詳解】解：∵2

bc

2

∴a2b,cb

2

a2b

2

∴c2，

b

2

故答案為：2．

【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

6．（2023·四川達(dá)州·中考真題）如圖，樂器上的一根弦AB80cm，兩個(gè)端點(diǎn)A，B固定在樂器板面上，支

撐點(diǎn)C是靠近點(diǎn)B的黃金分割點(diǎn)，支撐點(diǎn)D是靠近點(diǎn)A的黃金分割點(diǎn)，C，D之間的距離為．

【答案】805160cm/160805cm

【分析】此題考查了黃金分割點(diǎn)的概念，把一條線段分成兩部分，使其中較長(zhǎng)的線段為全線段與較短線段

的比例中項(xiàng)，這樣的線段分割叫做黃金分割，他們的比值51叫做黃金比．根據(jù)黃金分割的概念和黃金比

2

值計(jì)算即可．

【詳解】解：∵點(diǎn)C是靠近點(diǎn)B的黃金分割點(diǎn)，點(diǎn)D是靠近點(diǎn)A的黃金分割點(diǎn)，

51

∴ACBD8040540，

2

∴CDBDABBD2BDAB805160cm．

故答案為：805160cm．

7．（2025·吉林長(zhǎng)春·中考真題）將直角三角形紙片ABC（C90）按如圖方式折疊兩次再展開，下列結(jié)

論錯(cuò)誤的是（）

A．MN∥DE∥PQB．BC2DE4MN

1MNDEPQ

C．ANBQNQD．

2DEPQBC

【答案】D

【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，熟練掌握各知識(shí)

點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．

由折疊可得：DEAC,PQAC,MNAC，AMMDDPPC，則MN∥DE∥PQ∥BC，那么

△ADE∽△ACB∽△AMN∽△APQ，繼而根據(jù)相似三角形的性質(zhì)以及平行線分線段成比例定理逐一判斷即

可．

【詳解】解：由折疊可得：DEAC,PQAC,MNAC，AMMDDPPC，

∴MN∥DE∥PQ∥BC，故A正確，不符合題意；

∴△ADE∽△ACB∽△AMN，

DEAD1MNAM1

∴，，

BCAC2DEAD2

∴BC2DE，DE=2MN，

∴BC4MN，

∴BC2DE4MN，故B正確，不符合題意；

∵M(jìn)N∥PQ∥BC，

PCBQ1AMAN1PMQN1

∴，，

ACAB4ACAB4ACAB2

11

∴BQANAB，QNAB，

42

1

∴ANBQNQ，故C正確，不符合題意；

2

∵△ADE∽△ACB∽△AMN∽△APQ，

MNAM1DEAD2PQAP3

∴，，，

DEAD2PQAP3BCAC4

MNDEPQ

∴，故D錯(cuò)誤，符合題意，

DEPQBC

故選：D．

8．（2024·黑龍江哈爾濱·中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)E在AB上，EF∥AD交CD

于點(diǎn)F，若AE:BE1:2，DF3，則FC的長(zhǎng)為（）

A．6B．3C．5D．9

【答案】A

【分析】本題考查平行線分線段成比例，掌握平行線分線段成比例是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平行線分線段成比

例即可解答．

【詳解】解：∵在四邊形ABCD中，AD∥BC，EF∥AD，

∴AD∥EF∥BC，

AEDF

∴，

EBFC

13

即，

2FC

解得FC6，

故選：A．

考點(diǎn)02相似三角形的判定

1．（2024·青海西寧·中考真題）如圖，在VABC中，AD是角平分線，BE是中線，ADBE，且ADBE，

垂足為F，G為DC的中點(diǎn)，連接DE，EG．下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A．AFB≌AFEB．ADBADE

1

C．FDBED．CEG∽CBE

4

【答案】D

【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，中位線的判定與性質(zhì)，先運(yùn)用AD

是角平分線，證明AFB≌AFE（ASA），得ABAE，證明ADB≌ADE（SAS），故ADBADE，結(jié)

EFGD1

合BE是中線，G為DC的中點(diǎn)，得EG是CAD中位線，故，代入數(shù)值整理得DFAD，在CEG

FBBD4

和△CBE中，C為公共角，但CEG和CBE，CGE和CEB均不相等，相應(yīng)邊不成比例，故CEG和

△CBE，即可作答．

【詳解】解：∵AD是角平分線，

∴BADEAD，

∵ADBE，

∴AFBAFE90，

又∵AFAF，

∴AFB≌AFE（ASA），

故A選項(xiàng)正確，不符合題意；

∵AFB≌AFE，

∴ABAE，

∵BADEAD，ADAD，

∴ADB≌ADE（SAS），

∴ADBADE，

故B選項(xiàng)正確，不符合題意；

∵BE是中線，

∴CEEA，

∵G為DC的中點(diǎn)，

∴CGGD，

∴EG是CAD中位線，

1

∴EG=AD，EG∥AD，

2

EFGD

∴，

FBBD

又∵AFB≌AFE，

∴BFFE，

∴BDGD，

∴DF是BEG的中位線，

1

∴DFEG，

2

1

∴DFAD，

4

∵ADBE，

1

∴DFBE，

4

故C選項(xiàng)正確，不符合題意；

在CEG和△CBE中，C為公共角，

但CEG和CBE，CGE和CEB均不一定相等，相應(yīng)邊不成比例，

故CEG和△CBE不相似，

故D選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意，

故選：D．

2．（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在正方形ABCD的邊BC，CD上，BE3，EC6，

CF2．求證：△ABE∽△ECF．

【答案】見解析

【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解題關(guān)鍵．根據(jù)正

ABBE

方形的性質(zhì)，得出BC90，ABCB9，進(jìn)而得出，根據(jù)兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角

ECCF

形相似即可證明．

【詳解】解：BE3，EC6，

BC9，

四邊形ABCD是正方形，

ABCB9，BC90，

AB93BE3

，，

EC62CF2

ABBE

ECCF

又BC90，

ABE∽ECF．

3．（2023·黑龍江大慶·中考真題）在綜合與實(shí)踐課上，老師組織同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活

動(dòng)．有一張矩形紙片ABCD如圖所示，點(diǎn)N在邊AD上，現(xiàn)將矩形折疊，折痕為BN，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的點(diǎn)記為點(diǎn)

M，若點(diǎn)M恰好落在邊DC上，則圖中與NDM一定相似的三角形是．

【答案】△MCB

【分析】由矩形的性質(zhì)得ADC90，從而得到DNMDMN90，由折疊的性質(zhì)可得：

BMNA90，從而得到DNMBMC，由此推斷出NDM∽MCB．

【詳解】解：四邊形ABCD是矩形，

ADC90，

DNMDMN90，

由折疊的性質(zhì)可得：BMNA90，

NMDBMNBMC180，

NMDBMC90，

DNMBMC，

NDM∽MCB，

故答案為：△MCB．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、相似三角形的判定，熟練掌握矩形的性質(zhì)、折疊的性

質(zhì)、相似三角形的判定，是解題的關(guān)鍵．

4．（2023·貴州·中考真題）如圖，已知O是等邊三角形ABC的外接圓，連接CO并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)D，交

O于點(diǎn)E，連接EA，EB．

(1)寫出圖中一個(gè)度數(shù)為30的角：_______，圖中與ACD全等的三角形是_______；

(2)求證：△AED∽△CEB；

(3)連接OA，OB，判斷四邊形OAEB的形狀，并說明理由．

【答案】(1)1、2、3、4；△BCD；

(2)證明見詳解；

(3)四邊形OAEB是菱形；

【分析】（1）根據(jù)外接圓得到CO是ACB的角平分線，即可得到30的角，根據(jù)垂徑定理得到

ADCBDC90，即可得到答案；

（2）根據(jù)（1）得到3=2，根據(jù)垂徑定理得到5660，即可得到證明；

（3）連接OA，OB，結(jié)合5660得到△OAE，△OBE是等邊三角形，從而得到

OAOBAEEBr，即可得到證明；

【詳解】（1）解：∵O是等邊三角形ABC的外接圓，

∴CO是ACB的角平分線，ACBABCCAB60，

∴1230，

∵CE是O的直徑，

∴CAECBE90，

∴3430，

∴30的角有：1、2、3、4，

∵CO是ACB的角平分線，

∴ADCBDC90，56903060，

在ACD與△BCD中，

12

∵CDCD，

ADCBDC90

∴ACD≌BCD，

故答案為：1、2、3、4，△BCD；

（2）證明：∵56，3=230，

∴△AED∽△CEB；

（3）解：連接OA，OB，

∵OAOEOBr，5660，

∴△OAE，△OBE是等邊三角形，

∴OAOBAEEBr，

∴四邊形OAEB是菱形．

【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理，菱形判定，等邊三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定等知識(shí)，解題的關(guān)

鍵是熟練掌握垂徑定理，從而得到相應(yīng)角的等量關(guān)系．

5．（2025·河北·中考真題）如圖，在五邊形ABCDE中，AE∥BC，延長(zhǎng)BA，BC，分別交直線DE于點(diǎn)M，

N．若添加下列一個(gè)條件后，仍無法判定△MAE∽△DCN，則這個(gè)條件是（）

A．B4180B．CD∥ABC．14

D．23

【答案】D

【分析】本題主要考查了相似三角形的判定，平行線的性質(zhì)與判定，當(dāng)B4180時(shí)，可證明CD∥BM，

由平行線的性質(zhì)得到∠CDN∠AME，∠AEM=∠CND，則可證明△MAE∽△DCN，據(jù)此可判斷A、B；

由平行線的性質(zhì)可得1B180，則B4180，同理可判斷C；D中條件結(jié)合已給條件不能證明

△MAE∽△DCN．

【詳解】解：A、∵B4180，

∴CD∥BM，

∴∠CDN∠AME，

∵AE∥BC，

∴∠AEM=∠CND，

∴△MAE∽△DCN，故A不符合題意；

B、∵CD∥AB，

∴∠CDN∠AME，

∵AE∥BC，

∴∠AEM=∠CND，

∴△MAE∽△DCN，故B不符合題意；

C、∵AE∥BC，

∴1B180，

∵14，

∴B4180，

∴CD∥BM，

∴∠CDN∠AME，

∵AE∥BC，

∴∠AEM=∠CND，

∴△MAE∽△DCN，故C不符合題意；

D、根據(jù)23結(jié)合已知條件不能證明△MAE∽△DCN，故D符合題意；

故選：D．

6．（2024·青?！ぶ锌颊骖}）如圖，線段AC、BD交于點(diǎn)O，請(qǐng)你添加一個(gè)條件：，使△AOB∽△COD．

【答案】CA．(答案不唯一)

【分析】有一對(duì)對(duì)頂角∠AOB與∠COD，添加CA，即得結(jié)論．

【詳解】解：∵∠AOB=∠COD（對(duì)頂角相等），CA，

∴△ABO∽△CDO．

故答案為：CA．(答案不唯一)

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定方法，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．

考點(diǎn)03相似三角形的性質(zhì)

1．（2025·黑龍江綏化·中考真題）兩個(gè)相似三角形的最長(zhǎng)邊分別是10cm和6cm，并且它們的周長(zhǎng)之和為

48cm，那么較小三角形的周長(zhǎng)是（）

A．14cmB．18cmC．30cmD．34cm

【答案】B

【分析】本題考查相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)最長(zhǎng)邊分別為10cm和6cm確定相似比，相似三角形的周長(zhǎng)比等

于相似比，再根據(jù)周長(zhǎng)之和為48cm即可求解．

【詳解】解：兩個(gè)相似三角形的最長(zhǎng)邊分別為10cm和6cm，

相似比為10:65:3，

較大三角形與較小三角形的周長(zhǎng)比為：5:3，

它們的周長(zhǎng)之和為48cm，

3

較小三角形的周長(zhǎng)為：4818cm，

53

故選：B．

2．（2025·貴州·中考真題）如圖，已知ABC∽DEF,AB:DE2:1，若DF2，則AC的長(zhǎng)為（）

A．1B．2C．4D．8

【答案】C

【分析】本題考查相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，進(jìn)行求解即可．

【詳解】解：∵ABC∽DEF,AB:DE2:1，

∴AC:DF2:1，

∵DF2，

∴AC4；

故選C．

k

3．（2025·四川眉山·中考真題）如圖，一次函數(shù)yaxb與反比例函數(shù)y的圖象相交于A1,4、B4,m

x

兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D與點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱，連接AD．

(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式：

(2)點(diǎn)P在x軸的負(fù)半軸上，且△AOC與POD相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

4

【答案】(1)一次函數(shù)解析式為：yx5，反比例函數(shù)解析式為y．

x

17

(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)為,0或5,0

5

【分析】（1）利用系數(shù)待定法分別求出一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式即可．

（2）先求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)求出點(diǎn)D，設(shè)POx，再根據(jù)直角坐標(biāo)系

兩點(diǎn)之間的距離公式分別求出OA，OC，OD，由對(duì)頂角相等得出AOCPOD，再根據(jù)相似三角形的

AOOCAOOC

性質(zhì)分兩種情況或代入求解即可．

POODODPO

k

【詳解】（1）解：把A1,4代入反比例函數(shù)y，則k4，

x

4

則反比例函數(shù)解析式為：y，

x

4

把B4,m代入y，

x

則m1，

∴B4,1，

再把A1,4，B4,1代入yaxb，

ab4

則，

4ab1

a1

解得：，

b5

則一次函數(shù)的解析式為：yx5．

（2）解：令yx50時(shí)，則x5，

∴C5，0，

∵點(diǎn)D與點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱，A1,4

∴D1，4

設(shè)點(diǎn)Px,0x0，

∵O0,0，

∴POx

又∵A1,4，C5,0，D1,4

222

∴AO104017，OD104017，OC5，

∵△AOC與POD相似，AOCPOD，

AOOCAOOC

∴分兩種情況：或，

POODODPO

AOOC

當(dāng)時(shí)，

POOD

175

即，

x17

17

解得：x，

5

17

此時(shí)，點(diǎn)P,0，

5

AOOC

當(dāng)，

ODPO

175

即，

17x

解得：x5，

此時(shí)P5,0，

17

綜上：當(dāng)點(diǎn)P在x軸的負(fù)半軸上，且△AOC與POD相似，點(diǎn)P的坐標(biāo)為,0或5,0

5

【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的綜合問題，待定系數(shù)法求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析

式，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，相似三角形的性質(zhì)，直角坐標(biāo)系中兩

點(diǎn)之間的距離等知識(shí)，掌握這些知識(shí)是解題的關(guān)鍵．

4．（2024·四川巴中·中考真題）如圖，是用12個(gè)相似的直角三角形組成的圖案．若OA1，則OG（）

125512564323

A．B．C．D．

64642727

【答案】C

【分析】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，規(guī)律探究；先求解

360OAOBOC3

BOABOC30，可得cos30，再進(jìn)一步探究即可；

12OBOCOD2

【詳解】解：∵12個(gè)相似的直角三角形，

360

∴BOABOC30，

12

OAOBOC3

cos30，

OBOCOD2

∵OA1，

22

∴OB313，

33

2

42

OC13，

33

3

28L

OD133，

39

6

264

∴OG13，

327

故選C

5．（2024·江蘇揚(yáng)州·中考真題）物理課上學(xué)過小孔成像的原理，它是一種利用光的直線傳播特性實(shí)現(xiàn)圖像

投影的方法．如圖，燃燒的蠟燭（豎直放置）AB經(jīng)小孔O在屏幕（豎直放置）上成像AB．設(shè)AB36cm，

AB24cm．小孔O到AB的距離為30cm，則小孔O到AB的距離為cm．

【答案】20

【分析】此題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，由題意得AB∥AB，△AOB∽△AOB，過O作OCAB于

點(diǎn)C，CO交AB于點(diǎn)C，利用已知得出△AOB∽△A'OB'，進(jìn)而利用相似三角形的性質(zhì)求出即可，熟練掌

握相似三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．

【詳解】由題意得：AB∥AB，

∴△AOB∽△AOB，

如圖，過O作OCAB于點(diǎn)C，CO交AB于點(diǎn)C，

∴OCAB，OC30cm，

ABOC24OC

∴，即，

ABOC3630

∴OC20（cm），

即小孔O到AB的距離為20cm，

故答案為：20．

6．（2024·重慶·中考真題）若兩個(gè)相似三角形的相似比是1:3，則這兩個(gè)相似三角形的面積比是（）

A．1:3B．1:4C．1:6D．1:9

【答案】D

【分析】此題考查了相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)“相似三角形的面積比等于相似比的平方”解答即可．

【詳解】解：兩個(gè)相似三角形的相似比是1:3，則這兩個(gè)相似三角形的面積比是1:9，

故選：D．

7．（2023·山東聊城·中考真題）如圖，該幾何體是由一個(gè)大圓錐截去上部的小圓錐后剩下的部分．若該幾

何體上、下兩個(gè)圓的半徑分別為1和2，原大圓錐高的剩余部分OO1為2，則其側(cè)面展開圖的面積為（）

A．3B．23C．33D．43

【答案】C

【分析】根據(jù)展開面積大圓錐側(cè)面積與小圓錐側(cè)面積之差計(jì)算即可．

【詳解】根據(jù)題意，補(bǔ)圖如下：

∵OCBO1,OC2,BO11，

∽

∴BO1ACOA，

AOBO1

∴11，

AOOC2

∴AO1O1O2，

2

∴ABBC2123，

∴側(cè)面展開圖的面積為2231333，

故選C．

【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的側(cè)面積計(jì)算，三角形相似的判定和性質(zhì)，熟練掌握?qǐng)A錐的側(cè)面積計(jì)算是解題的

關(guān)鍵．

考點(diǎn)04相似三角形的判定與性質(zhì)

1．（2025·甘肅蘭州·中考真題）如圖，O是VABC的外接圓，AB是O的直徑，過點(diǎn)B的切線交AC的

延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，連接DO并延長(zhǎng)，交O于點(diǎn)E，連接AE，CE．

(1)求證：ADBAEC；

5

(2)若AB4，cosAEC，求OD的長(zhǎng)．

3

【答案】(1)見解析

(2)OD26．

【分析】（1）由切線的性質(zhì)求得DABD=90°，由圓周角定理求得ACB90，利用同角的余角相等求得

ADBABC，再利用圓周角定理即可證明結(jié)論成立；

BDBC5458

（2）由（1）得ADBABCAEC，求得，求得BC，利用勾股定理求得AC，

ADAB333

證明ADB∽ABC，求得AD6，據(jù)此求解即可．

【詳解】（1）證明：∵BD是O的切線，

∴DABD=90°，

∵AB是O的直徑，

∴ACB90，

∴ADB90DBCABC，

∵，

ACAC

∴AECABC，

∴ADBAEC；

（2）解：由（1）得ADBABCAEC，

∴cosADBcosABCcosAEC，

BDBC5

∴，

ADAB3

∵AB4，

45

∴BC，

3

2

∴222458，

ACABBC4

33

∵ADBABC，ABDACB90，

∴ADB∽ABC，

8

ABAC

∴，即43，

ADAB

AD4

解得AD6，

∴BD2AD2AB2361620，

1

∵OBAB2，

2

∴ODOB2BD2222026．

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，切線的性質(zhì)．熟

練掌握相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系與運(yùn)用是解答的關(guān)鍵．

AE

2．（2025·青?！ぶ锌颊骖}）如圖，在VABC中，DE∥BC，且AD3，DB2，則的值是．

AC

3

【答案】

5

【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，根據(jù)相似三角形性質(zhì)

ADAE

得，然后把AD3，DB2代入即可求解，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

ABAC

【詳解】解：∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC，

ADAE

∴，

ABAC

∵ABADDB，AD3，DB2，

AE3

∴，

AC5

3

故答案為：．

5

3．（2025·陜西·中考真題）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在AD上，EFEC，

則△CEF的面積為（）

A．10B．8C．5D．4

【答案】C

【分析】該題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．

根據(jù)四邊形ABCD為正方形，得出ABADBC4,AB90，AEBE2，勾股定理求出CE，證

明AEF∽BCE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出EF，即可求出△CEF的面積．

【詳解】解：∵四邊形ABCD為正方形，

ABADBC4,AB90

∵E為AB的中點(diǎn)，

AEBE2，

∴CEBE2BC2224225，

∵EFEC，

∴AEFBEC90，

又BCEBEC90，

∴AEFBCE，

△AEF∽△BCE，

AEEF2EF

∴，即，

BCCE425

∴EF5，

11

∴△CEF的面積EFEC5255．

22

故選：C．

AD1

4．（2025·云南·中考真題）如圖，在VABC中，已知D,E分別是AB,AC邊上的點(diǎn)，且DE∥BC．若，

AB2

DE

則（）

BC

1111

A．B．C．D．

2345

【答案】A

【分析】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；

AD1

由DE∥BC證△ADE∽△ABC，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，結(jié)合，得出結(jié)論．

AB2

【詳解】解：∵DE∥BC，

∴ADEB，AEDC，

∴△ADE∽△ABC，

DEAD

∴，

BCAB

AD1

∵

AB2

DE1

∴

BC2

故選：A．

5．（2024·寧夏·中考真題）如圖，在ABCD中，點(diǎn)M,N在AD邊上，AMDN，連接CM并延長(zhǎng)交BA的

延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接BN并延長(zhǎng)交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．求證：AEDF．小麗的思考過程如下：

參考小麗的思考過程，完成推理．

【答案】見解析

【分析】本題考查的是平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，先證明△AEM∽△DCM，可得

AEAMDFDNAEDF

，同理可得：，再進(jìn)一步證明即可．

DCDMABANDCAB

【詳解】證明：四邊形ABCD是平行四邊形

ABCD，AB∥CD，

△AEM∽△DCM

AEAM

，

DCDM

同理可得，F(xiàn)DN∽ABN，

DFDN

∴

ABAN

又AMDN，

AMMNDNMN

即ANDM，

AEDF

DCAB

又ABCD，

AEDF．

6．（2024·山東淄博·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，作直線xii1,2,3,與x軸相交于點(diǎn)Ai，

12

與拋物線yx相交于點(diǎn)B，連接AB，BA相交于點(diǎn)C，得ABC和△ABC，若將其面積之比記

4iii1ii1iiiii1i1i

S△ABC

為aiii，則a．

iS2024

△Ai1Bi1Ci

4

【答案】2024

20254

∽

【分析】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)題意，易證AiBiCiAi1Bi1Ci，

2

SABCAB

得到aiiiii，進(jìn)行求解即可．

iSAB

Ai1Bi1Cii1i1

1

【詳解】解：∵作直線xii1,2,3,與x軸相交于點(diǎn)A，與拋物線yx2相交于點(diǎn)B，

i4i

12

∴AiBix軸，且Bii,i，

4

1

∴ABi2，

ii4

∵AiBi∥Ai1Bi1，

∽

∴AiBiCiAi1Bi1Ci，

22

2

SABCABi

∴iiiii，

ai2

SAB

Ai1Bi1Cii1i1i1

224

∴20242024；

a202424

20252025

4

故答案為：2024．

20254

7．（2024·海南·中考真題）如圖是蹺蹺板示意圖，支柱OM經(jīng)過AB的中點(diǎn)O，OM與地面CD垂直于點(diǎn)M，

OM40cm，當(dāng)蹺蹺板的一端A著地時(shí)，另一端B離地面的高度為cm．

【答案】80

【分析】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)．過點(diǎn)B作BNCD交AC的延長(zhǎng)線于N，求得OM∥BN，

得到AOM∽ABN，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答即可．

【詳解】解：過點(diǎn)B作BNCD交AC的延長(zhǎng)線于N，

∵OMCD，

∴OM∥BN，

∴AOM∽ABN，

OMAO

∴，

BNAB

∵AOOB，OM40cm，

401

∴，

BN2

∴BN80cm，

∴另一端B離地面的高度為80cm．

故答案為：80．

SADE

8．（2023·江蘇南通·中考真題）如圖，在VABC中，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，則．

SABC

1

【答案】/0.25

4

【分析】此題重點(diǎn)考查三角形中位線定理，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，證明△ADE∽△ABC是解題

的關(guān)鍵．

1

由D,E分別是AB,AC的中點(diǎn)，根據(jù)三角形中位線定理得DE∥BC，且DEBC，所以△ADE∽△ABC，

2

2

SADEDE1

則，于是得到問題的答案．

SABCBC4

【詳解】解：∵D,E分別是AB,AC的中點(diǎn)，

1

DE∥BC,DEBC，

2

DE1

，

BC2

△ADE∽△ABC，

22

SDE11

ADE，

SABCBC24

故答案為：1．

4

9．（2023·浙江紹興·中考真題）如圖，ACD中，AD10,CD2,BCAC于點(diǎn)C,AC2BC，則BD的

最大值為．

【答案】10

【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)．首先過點(diǎn)C作CECD，使CD2CE，連接AE、DE，

1

利用勾股定理可求DE10，利用兩邊成比例且夾角相等，可證BCE∽ACD，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊

2

1

成比例可得BE10，當(dāng)點(diǎn)B、E、D三點(diǎn)共線時(shí)BD有最大值可求BD的最大值．

2

【詳解】解：如下圖所示，過點(diǎn)C作CECD，使CD2CE，連接AE、DE，

CD2，

2

CE

2

2

2

22210，

DECECD2

22

CECD，

ECDACB90，

BCEACD，

ACDC

又2，

BCEC

BCE∽ACD，

ADACDC

2，

BEBCEC

11

BEAD10，

22

11

當(dāng)點(diǎn)B、E、D三點(diǎn)共線時(shí)BD有最大值，BDBEDE101010．

22

故答案為：10．

考點(diǎn)05相似三角形的實(shí)際應(yīng)用

1．（2025·河南·中考真題）焦裕祿紀(jì)念園是全國(guó)重點(diǎn)革命烈士紀(jì)念建筑物保護(hù)單位，革命烈士紀(jì)念碑位于

紀(jì)念園南部的中心．某綜合與實(shí)踐小組開展測(cè)量紀(jì)念碑高度的活動(dòng)，記錄如下．

活動(dòng)

測(cè)量紀(jì)念碑的高度

主題

實(shí)物

圖和

測(cè)量

示意

圖

如圖，紀(jì)念碑AB位于有臺(tái)階的平臺(tái)BC上，太陽光下，其頂端A的影子落在點(diǎn)D

測(cè)量處，同一時(shí)刻，豎直放置的標(biāo)桿DE頂端E的影子落在點(diǎn)F處，位于點(diǎn)M處的觀

說明測(cè)者眼睛所在位置為點(diǎn)N，點(diǎn)N,E,A在一條直線上，紀(jì)念碑底部點(diǎn)B在觀測(cè)者的

水平視線上．

測(cè)量

DE2.1m,DF2.1m,DM1m,MN1.2m

數(shù)據(jù)

備注點(diǎn)F,M,D,C在同一水平線上．

根據(jù)以上信息，解決下列問題．

(1)由標(biāo)桿的影子DF的長(zhǎng)和標(biāo)桿DE的長(zhǎng)相等，可得CDCA，請(qǐng)說明理由．

(2)求紀(jì)念碑AB的高度．

(3)小紅通過間接測(cè)量得到CD的長(zhǎng)，進(jìn)而求出紀(jì)念碑AB的高度約為18.5m．查閱資料得知，紀(jì)念碑的實(shí)際

高度為19.64m．請(qǐng)判斷小紅的結(jié)果和（2）中的結(jié)果哪個(gè)誤差較大？并分析誤差較大的可能原因（寫出一條

即可）．

【答案】(1)見解析；

(2)紀(jì)念碑AB的高度為19.8m．

(3)小紅的結(jié)果誤差較大，理由見解析

【分析】本題考查了平行投影，矩形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定和

性質(zhì)是解題關(guān)鍵．

ACDE

（1）根據(jù)平行投影的性質(zhì)可得，即可證明結(jié)論；

CDDF

（2）令BN與DE的交點(diǎn)為H，則四邊形BCDH和MNHD是矩形，設(shè)ABx，證明NEH∽NAB，得到

EHNH

，求出x的值即可；

ABNB

（3）比較紀(jì)念碑的實(shí)際高度與小紅和（2）中的結(jié)果，得到誤差較大的一方，再分析可能的原因即可．

【詳解】（1）解：太陽光下，其頂端A的影子落在點(diǎn)D處，同一時(shí)刻，豎直放置的標(biāo)桿DE頂端E的影

子落在點(diǎn)F處，

ACDE

，

CDDF

標(biāo)桿的影子DF的長(zhǎng)和標(biāo)桿DE的長(zhǎng)相等，即DEDF，

CDCA；

（2）解：如圖，令BN與DE的交點(diǎn)為H，

則四邊形BCDH和MNHD是矩形，

DE2.1m,DF2.1m,DM1m,MN1.2m

CDBH，BCDHMN1.2m，NHDM1m，

EHDEDH0.9m，

設(shè)ABx，則ACABBC1.2xm，

BHCD1.2xm，

NBBHNH2.2x，

EH∥AB，

NEH∽NAB，

EHNH

，

ABNB

0.91

，

x2.2x

解得：x19.8，

答：紀(jì)念碑AB的高度為19.8m．

（3）解：紀(jì)念碑的實(shí)際高度為19.64m，小紅求出紀(jì)念碑AB的高度約為18.5m，（2）中紀(jì)念碑AB的高度為

19.8m，

則小紅的結(jié)果誤差較大，

理由是：紀(jì)念碑AB位于有臺(tái)階的平臺(tái)BC上，點(diǎn)C的位置無法正確定位，使得CD的長(zhǎng)存在誤差，影響計(jì)

算結(jié)果．

2．（2025·四川內(nèi)江·中考真題）阿基米德曾說過：“給我一個(gè)支點(diǎn)，我能撬動(dòng)整個(gè)地球．”這句話生動(dòng)體現(xiàn)

了杠桿原理：通過調(diào)整支點(diǎn)位置和力臂長(zhǎng)度，用較小的力就能撬動(dòng)重物．這一原理在生活中隨處可見．如

圖甲，這是用杠桿撬石頭的示意圖，當(dāng)用力壓杠桿時(shí)，另一端就會(huì)撬動(dòng)石頭．如圖乙所示，動(dòng)力臂OA150cm，

阻力臂OB50cm，BD20cm，則AC的長(zhǎng)度是（）

A．80cmB．60cmC．50cmD．40cm

【答案】B

【分析】本題考查相似三角形的應(yīng)用，根據(jù)題意構(gòu)造出相似三角形，然后根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例

求得AC的長(zhǎng)度．解題的關(guān)鍵是正確判定相似三角形并運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)列出比例式．

【詳解】解：ACAB，BDAB，

AC∥BD，

AOC∽BOD，

ACAO

，

BDOB

∵動(dòng)力臂OA150cm，阻力臂OB50cm，BD20cm

AC150

，

2050

AC60，

AC的長(zhǎng)為60cm．

故選：B．

3．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，小杰從燈桿AB的底部點(diǎn)B處沿水平直線前進(jìn)到達(dá)點(diǎn)C處，他在燈

光下的影長(zhǎng)CD3米，然后他轉(zhuǎn)身按原路返回到點(diǎn)B處，返回過程中小杰在燈光下的影長(zhǎng)可以是（）

A．4.5米B．4米C．3.5米D．2.5米

【答案】D

【分析】本題考查相似三角形的應(yīng)用舉例，設(shè)回過程中小杰身高為FH，連接AF并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)G，根

CECDFHGH

據(jù)題意得到CE∥FH∥AB，證明DCE∽DBA,GHF∽GBA，得到,，由CEFH推

ABBDABGB

CDGH

出，即可得出結(jié)論．

BDGB

【詳解】解：設(shè)回過程中小杰身高為FH，連接AF并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)G，

根據(jù)題意得到CE∥FH∥AB，

DCE∽DBA,GHF∽GBA，

CECDFHGH

,，

ABBDABGB

CEFH

CDGH

，

BDGB

BDGB，

CDGH，

CD3米，

GH3，

返回過程中小杰在燈光下的影長(zhǎng)可以是2.5米，

故選：D．

4．（2024·湖北·中考真題）小明為了測(cè)量樹AB的高度，經(jīng)過實(shí)地測(cè)量，得到兩個(gè)解決方案：

方案一：如圖（1），測(cè)得C地與樹AB相距10米，眼睛D處觀測(cè)樹AB的頂端A的仰角為32：

方案二：如圖（2），測(cè)得C地與樹AB相距10米，在C處放一面鏡子，后退2米到達(dá)點(diǎn)E，眼睛D在鏡子

C中恰好看到樹AB的頂端A．

已知小明身高1.6米，試選擇一個(gè)方案求出樹AB的高度．（結(jié)果保留整數(shù)，tan320.64）

【答案】樹AB的高度為8米

【分析】本題考查了相似三角形的實(shí)際應(yīng)用題，解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用題．

方案一：作DEAB，在RtADE中，解直角三角形即可求解；

方案二：由光的反射規(guī)律知入射角等于反射角得到相似三角形后列出比例式求解即可．

【詳解】解：方案一：作DEAB，垂足為E，

則四邊形BCDE是矩形，

∴DEBC10米，

在RtADE中，ADE32，

∴AEDEtan32100.646.4（米），

樹AB的高度為6.41