2025年合肥市第四十八中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設(shè)是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，且在內(nèi)可導(dǎo)，則下列結(jié)論中正確的是（）A.的極值點一定是最值點B.的最值點一定是極值點C.在區(qū)間上可能沒有極值點D.在區(qū)間上可能沒有最值點2．2021年是中國共產(chǎn)黨百年華誕，3月24日，中宣部發(fā)布中國共產(chǎn)黨成立100周年慶?；顒訕俗R（圖1），標識由黨徽、數(shù)字“100”“1921”“2021”和56根光芒線組成，生動展現(xiàn)中國共產(chǎn)黨團結(jié)帶領(lǐng)中國人民不忘初心、牢記使命、艱苦奮斗的百年光輝歷程.其中“100”的兩個“0”設(shè)計為兩個半徑為的相交大圓，分別內(nèi)含一個半徑為1的同心小圓，且同心小圓均與另一個大圓外切（圖2）.已知，在兩大圓的區(qū)域內(nèi)隨機取一點，則該點取自兩大圓公共部分的概率為（）A. B.C. D.3．已知p、q是兩個命題，若“（￢p）∨q”是假命題，則（）A.p、q都是假命題 B.p、q都是真命題C.p是假命題q是真命題 D.p是真命題q是假命題4．如圖所示，已知是橢圓的左、右焦點，為橢圓的上頂點，在軸上，，且是的中點，為坐標原點，若點到直線的距離為3，則橢圓的方程為（）A B.C. D.5．在區(qū)間內(nèi)隨機地取出兩個數(shù)，則兩數(shù)之和小于的概率是（）A. B.C. D.6．過原點O作兩條相互垂直的直線分別與橢圓交于A、C與B、D，則四邊形ABCD面積最小值為（）A B.C. D.7．已知為圓：上任意一點，則的最小值為（）A. B.C. D.8．若拋物線x＝﹣my2的焦點到準線的距離為2，則m＝（）A.﹣4 B.C. D.±9．平行六面體中，若，則（）A. B.1C. D.10．在的展開式中，只有第4項的二項式系數(shù)最大，且所有項的系數(shù)和為0，則含的項的系數(shù)為（）A.-20 B.-15C.-6 D.1511．已知直線過點且與直線平行，則直線方程為（）A. B.C. D.12．校慶當(dāng)天，學(xué)校需要在靠墻的位置用圍欄圍起一個面積為200平方米的矩形場地.用來展示校友的書畫作品.靠墻一側(cè)不需要圍欄，則圍欄總長最小需要（）米A.20 B.40C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．過拋物線的焦點F作斜率大于0的直線l交拋物線于A，B兩點（A在B的上方），且l與準線交于點C，若，則_________.14．已知圓C，直線l：，若圓C上恰有四個點到直線l的距離都等于1.則b的取值范圍為___.15．已知△ABC的周長為20，且頂點，則頂點A的軌跡方程是______16．已知空間向量，，則向量在向量上的投影向量的坐標是__________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線的焦點在直線上（1）求拋物線的方程（2）設(shè)直線經(jīng)過點，且與拋物線有且只有一個公共點，求直線的方程18．（12分）一個經(jīng)銷鮮花產(chǎn)品的微店，為保障售出的百合花品質(zhì)，每天從云南鮮花基地空運固定數(shù)量的百合花，如有剩余則免費分贈給第二天購花顧客，如果不足，則從本地鮮花供應(yīng)商處進貨.今年四月前10天，微店百合花的售價為每支2元，云南空運來的百合花每支進價1.6元，本地供應(yīng)商處百合花每支進價1.8元，微店這10天的訂單中百合花的需求量（單位：支）依次為：251，255，231，243，263，241，265，255，244，252.（Ⅰ）求今年四月前10天訂單中百合花需求量的平均數(shù)和眾數(shù)，并完成頻率分布直方圖；（Ⅱ）預(yù)計四月的后20天，訂單中百合花需求量的頻率分布與四月前10天相同，百合花進貨價格與售價均不變，請根據(jù)（Ⅰ）中頻率分布直方圖判斷（同一組中的需求量數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表，位于各區(qū)間的頻率代替位于該區(qū)間的概率），微店每天從云南固定空運250支，還是255支百合花，四月后20天百合花銷售總利潤會更大？19．（12分）已知拋物線：，直線過定點.（1）若與僅有一個公共點，求直線的方程；（2）若與交于A，B兩點，直線OA，OB（其中О為坐標原點）的斜率分別為，，試探究在，，，中，運算結(jié)果是否有為定值的？并說明理由.20．（12分）已知圓C：的半徑為1（1）求實數(shù)a的值；（2）判斷直線l：與圓C是否相交？若不相交，請說明理由；若相交，請求出弦長21．（12分）已知函數(shù)的圖像在處的切線斜率為，且時，有極值.（1）求的解析式；（2）求在上的最大值和最小值.22．（10分）已知滿足，.（1）求證：是等差數(shù)列，求的通項公式；（2）若，的前項和是，求證：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)連續(xù)函數(shù)的極值和最值的關(guān)系即可判斷【詳解】根據(jù)函數(shù)的極值與最值的概念知，的極值點不一定是最值點，的最值點不一定是極值點．可能是區(qū)間的端點，連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)在閉區(qū)間上一定有最值，所以選項A，B，D都不正確，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，則函數(shù)在區(qū)間上沒有極值點，所以C正確故選：C.【點睛】本題主要考查函數(shù)的極值與最值的概念辨析，屬于容易題2、B【解析】求出兩圓相交公共部分兩個弓形面積，結(jié)合兩圓面積可得概率【詳解】如圖，是兩圓心，是兩圓交點坐標，四邊形邊長均為，又，所以，所以，四邊形是正方形，，弓形面積為，兩個弓形面積為，兩圓涉及部分面積為所以所求概率為故選：B3、D【解析】由已知可得￢p，q都是假命題，從而可分析判斷各選項【詳解】∵“（￢p）∨q”是假命題，∴￢p，q都是假命題，∴p真，q假，故選：D.4、D【解析】由題設(shè)可得，直線的方程為，點線距離公式表示到直線的距離，又聯(lián)立解得即可得出答案.【詳解】且，則△是等邊三角形，設(shè)，則①，∴直線方程為，即，∴到直線的距離為②，又③，聯(lián)立①②③，解得，，故橢圓方程為.故選：D.5、C【解析】利用幾何概型的面積型，確定兩數(shù)之和小于的區(qū)域，進而根據(jù)面積比求概率.【詳解】由題意知：若兩個數(shù)分別為，則，如上圖示，陰影部分即為，∴兩數(shù)之和小于的概率.故選：C6、A【解析】直線AC、BD與坐標軸重合時求出四邊形面積，與坐標軸不重合求出四邊形ABCD面積最小值，再比較大小即可作答.【詳解】因四邊形ABCD的兩條對角線互相垂直，由橢圓性質(zhì)知，四邊形ABCD的四個頂點為橢圓頂點時，而，四邊形ABCD的面積，當(dāng)直線AC斜率存在且不0時，設(shè)其方程為，由消去y得：，設(shè)，則，，直線BD方程為，同理得：，則有，當(dāng)且僅當(dāng)，即或時取“=”，而，所以四邊形ABCD面積最小值為.故選：A7、C【解析】設(shè)，則的幾何意義為圓上的點和定點連線的斜率，利用直線和圓相切，即可求出的最小值；【詳解】圓，它圓心是，半徑為1，設(shè)，則，即，當(dāng)直線和圓相切時，有，可得，，的最小值為：，故選：8、D【解析】把拋物線的方程化為標準方程，由焦點到準線的距離為，即可得到結(jié)果，得到答案.【詳解】由題意，拋物線，可得，又由拋物線的焦點到準線的距離為2，即，解得.故選D.【點睛】本題主要考查了拋物線的標準方程，以及簡單的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟記拋物線的焦點到準線的距離為是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】根據(jù)空間向量的運算，表示出，和已知比較可求得的值，進而求得答案.【詳解】在平行六面體中，有，故由題意可知：，即，所以，故選：D.10、C【解析】先由只有第4項的二項式系數(shù)最大，求出n=6；再由展開式的所有項的系數(shù)和為0，用賦值法求出,用通項公式求出的項的系數(shù).【詳解】∵在的展開式中，只有第4項的二項式系數(shù)最大，∴在的展開式有7項，即n=6；而展開式的所有項的系數(shù)和為0，令x=1，代入，即，所以.∴是展開式的通項公式為：，要求含的項，只需，解得，所以系數(shù)為.故選：C11、C【解析】由題意，直線的斜率為，利用點斜式即可得答案.【詳解】解：因為直線與直線平行，所以直線的斜率為，又直線過點，所以直線的方程為，即，故選：C.12、B【解析】在出矩形中，設(shè)，得到，結(jié)合基本不等式，即可求解【詳解】如圖所示，在矩形中，設(shè)，則，根據(jù)題意，可得矩形圍欄總長為因為，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立，即圍欄總長最小需要米.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】分別過A，B作準線的垂線，垂足分別為，，由可求.【詳解】分別過A，B作準線的垂線，垂足分別為，，設(shè)，，則，∴，∴.故答案為：2.14、【解析】根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，結(jié)合點到直線距離公式進行求解即可.【詳解】圓C：的半徑為3，圓心坐標為：設(shè)圓心到直線l：的距離為，要想圓C上恰有四個點到直線l的距離都等于1，只需，即，所以.故答案為：.15、.【解析】由周長確定，故軌跡是橢圓，注意焦點位置和摳除不符合條件的點即可.【詳解】解：，所以，，則頂點A的軌跡方程是.故答案為：.【點睛】考查橢圓定義的應(yīng)用，基礎(chǔ)題.16、【解析】根據(jù)投影向量概念求解即可.【詳解】因為空間向量，，所以，，所以向量在向量上投影向量為：，故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）的方程為、、【解析】（1）求得點的坐標，由此求得，進而求得拋物線的方程.（2）結(jié)合圖象以及判別式求得直線的方程.【小問1詳解】拋物線的焦點在軸上，且開口向上，直線與軸的交點為，則，所以，拋物線的方程為.【小問2詳解】當(dāng)直線的斜率不存在時，直線與拋物線只有一個公共點.那個直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，，，，解得或.所以直線的方程為或.綜上所述，的方程為、、.18、（Ⅰ）見解析（Ⅱ）四月后20天總利潤更大【解析】（Ⅰ）根據(jù)眾數(shù)的定義直接可求出眾為255.利用平均數(shù)的公式可以求出平均數(shù)．根據(jù)給定的分組，通過計算完成頻率分布直方圖（Ⅱ）設(shè)訂單中百合花需求量為（支），由（Ⅰ）中頻率分布直方圖，可以求出可能取值、每個可能取值相應(yīng)頻率，每個可能取值相應(yīng)的天數(shù)．分別求出空運250支，255支百合花時，銷售總利潤的大小，進行比較，得出結(jié)論【詳解】解：（Ⅰ）四月前10天訂單中百合需求量眾數(shù)為255，平均數(shù)頻率分布直方圖補充如下：（Ⅱ）設(shè)訂單中百合花需求量為（支），由（Ⅰ）中頻率分布直方圖，可能取值為235，245，255，265，相應(yīng)頻率分別為0.1，0.3，0.4，0.2，∴20天中相應(yīng)的天數(shù)為2天，6天，8天，4天.①若空運250支，當(dāng)日利潤為，，當(dāng)日利潤為，，當(dāng)日利潤為，，當(dāng)日利潤為，20天總利潤為元.②若空運255支，當(dāng)日利潤為，，當(dāng)日利潤為，，當(dāng)日利潤為，，當(dāng)日利潤為，20天總利潤為元.∵，∴每天空運250支百合花四月后20天總利潤更大.【點睛】本題考查了眾數(shù)、平均數(shù)、頻率分布直方圖；重點考查了學(xué)生通過閱讀，提取有用信息，用數(shù)學(xué)知識解決實際生活問題的能力19、（1）或或（2）為定值，而，，均不為定值【解析】（1）過拋物線外一定點的直線恰好與該拋物線只有一個交點，則分兩類分別討論，一是直線與拋物線的對稱軸平行，二是直線與拋物線相切；（2）聯(lián)立直線的方程與拋物線的方程，根據(jù)韋達定理，分別表示出，，，為直線斜率的形式，便可得出結(jié)果.【小問1詳解】過點的直線與拋物線僅有一個公共點，則該直線可能與拋物線的對稱軸平行，也可能與拋物線相切，下面分兩種情況討論：當(dāng)直線可能與拋物線的對稱軸平行時，則有：當(dāng)直線與拋物線相切時，由于點在軸上方，且在拋物線外，則存在兩條直線與拋物線相切：易知：是其中一條直線另一條直線與拋物線上方相切時，不妨設(shè)直線的斜率為，則有：聯(lián)立直線與拋物線可得：可得：則有：解得：故此時的直線的方程為：綜上，直線的方程為：或或【小問2詳解】若與交于A，B兩點，分別設(shè)其坐標為，，且由（1）可知直線要與拋物線有兩個交點，則直線的斜率存在且不為，不妨設(shè)直線的斜率為，則有：聯(lián)立直線與拋物線可得：可得：，即有：根據(jù)韋達定理可得：，則有：，下面分別說明各項是否為定值：，故運算結(jié)果為定值；，故運算結(jié)果不為定值；，故運算結(jié)果不為定值；，故運算結(jié)果不為定值.綜上，可得：為定值，而，，均不為定值20、（1）；（2）直線l與圓C相交，.【解析】（1）利用配方法進行求解即可；（2）根據(jù)點到直線距離公式，結(jié)合圓的弦長公式進行求解即可.【小問1詳解】將化為標準方程得：因為圓C的半徑為1，所以，得【小問2詳解】由（1）知圓C的圓心為，半徑為1設(shè)圓心C到直線l的距離為d，則，所以直線l與圓C相交，設(shè)其交點為A，B，則，即21、（1）；（2）最大值為，最小值為.【解析】（1）由題得①，②，解方程組即得解；（2）令解得或，再列表得解.